Проблемы машиностроения и надежности машин, 2022, № 3, стр. 45-49

При расчете нагруженности и прочности зубчатых зацеплений, а также оценке их усталостного разрушения, учитывают снижение их нагрузочной способности и концентрацию напряжений в торцевых сечениях при кромочном контакте в результате перекоса [1–7]. В работе [1] приведены результаты моделирования напряженного состояния в контакте зубьев прямозубых эвольвентных зубчатых передач, работающих в условиях перекосов осей колес. Установлено, что применяемые стандартные расчеты дают завышенную нагрузочную способность передачи. Показано, что для работающих при перекосах передач увеличение радиусов профильной кривизны поверхностей в контакте не приводит к дополнительному (помимо вытекающего из теории Герца) повышению нагрузочной способности передачи. Анализ результатов указывает на то, что при углах перекоса зубьев относительно друг друга ψ = (0.1–1.0) × 10^–3 рад, обусловленных перекосом зубчатых колес, нагрузочная способность передач редукторов снижается в 2–15 раз, что является недопустимым [3]. В работах [4–7] обоснована необходимость учета напряженности зубьев на периферийных участках пятна контакта при прочностных расчетах зубчатых передач с локальным контактом зубьев.

В работах [8–14], где подробно исследованы контактные напряжения и деформации при перекосе, показано, что при перекосе сильно растут контактные напряжения и деформации, и тем самым снижается нагрузочная способность зубчатой передачи. Для оценки влияния отклонений профилей и погрешностей в зубчатых зацеплениях в [11, 12] используются специальные математические подходы и многолистные функции. Показано, что существующие методы отражают важную для анализа качества зубчатых передач информацию лишь для части параметров зацепления.

Так как одним из главных недостатков эвольвентных зубчатых передач, из-за повышенной жесткости зубьев, является их чувствительность к упругим деформациям элементов и погрешностям монтажа, приводящим к перекосу и начальному неприлеганию зубьев, то максимальное значение угла перекоса [γ] является важным параметром при прочностных расчетах, долговечности передачи, износа элементов передачи, а также максимальных контактных напряжений [15–17].

В проведенных ранее исследованиях, в результате сделанных допущений, не учитываются все факторы, влияющие на [γ]. Целью настоящей статьи является аналитическое определение допускаемого угла перекоса с учетом всех параметров зубчатой передачи.

В работе [6] показано, что контактные напряжения при перекосе определяются по формуле

где K_σ – коэффициент концентрации контактных напряжений; σ_Н – контактные напряжения по Герцу [18]; ${{\sigma }_{H}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{2q}}{{R\vartheta }}} $, где $\vartheta = \frac{{1 - {{\nu }^{2}}}}{{\pi E}}$; $q = \frac{P}{l}$ – погонная нагрузка; R – приведенный радиус кривизны профиля зубьев в рассматриваемом сечении; ν и $E$ – коэффициент Пуассона и модуль упругости материала; Κ_γ – коэффициент угла перекоса, согласно работе [6] определяется как где ξ = $\frac{{l\gamma }}{{{{\alpha }_{{\rm H}}}}}$ – безразмерный нагрузочный параметр; l – длина контактной линии, для прямозубых колес при номинальном контакте она совпадает с длиной зуба; γ – угол перекоса; α_Н – контактная деформация в отсутствие перекоса, которая согласно работе [19] определяется по формуле ${{\alpha }_{H}}$ = $\frac{{4(1 - {{\nu }^{2}})}}{{\pi E}}q\left( {\ln \frac{{4R}}{{{{b}_{{\rm H}}}}} - 0.5} \right)$; b_Н – полуширина площадки контакта по Герцу, ${{b}_{H}} = 2\sqrt {2qR\vartheta } $; l_к – длина пятна контакта.

Следует отметить, что формулы для коэффициента угла перекоса (2) и (3) при значении безразмерного параметра нагруженности ξ = 2 дают одинаковый результат K_γ = 2.

Анализ этих формул показал, что с достаточно хорошей точностью для инженерных расчетов можно построить зависимость для всего диапазона изменения параметра ξ.

При варьировании безразмерного параметра в интервале 0 ≤ ξ ≤ 10 для коэффициента угла перекоса K_γ получена функция в виде

которая удовлетворительно соответствует (погрешность не более 5%) зависимостям (2) и (3).

На рис. 1 показаны графики зависимостей Κ_γ от ξ: – при ξ ≤ 2 по формуле (2), $\blacksquare $ – при ξ ≥ 2 по формуле (3), $\blacktriangle $ – при 0 ≤ ξ ≤ 10 по формуле (4).

Учитывая, что условие прочности по контактным напряжениям запишется в виде

где [σ_H] – допускаемое контактное напряжение, то из соотношений (1), (4) и (5) получаем или или или

Отсюда для допустимого угла перекоса окончательно получаем выражение

Анализ формулы (6) показывает, что в отличие от существующих решений для допускаемого угла перекоса, [γ] зависит от многих параметров: материал, геометрия, а также силовые факторы.

Несмотря на важность параметра [γ], в международных исследованиях и разработках его аналитическое определение отсутствует. Среди отечественных авторов следует отметить работы [16, 17], в которых используется условная удельная расчетная нагрузка, представляемая в виде произведения номинальной удельной нагрузки на ряд коэффициентов, учитывающих реальные условия работы передачи. Такой подход определения удельной нагрузки вызывает возражения из-за условности учета реальных условий работы передачи при определении фиктивной расчетной удельной нагрузки в зацеплении.

Определим допускаемый угол перекоса для зубчатой передачи из примера расчета ГОСТ [20]. Параметры кинематической пары зубчатой передачи: делительный диаметр и количество зубьев шестерни d₁ = 166.7 мм и Ζ₁ = 32 соответственно; передаточное число передачи u = 2; модуль зацепления m = 5 мм; ширина зубчатого венца b_w = 60 мм; окружная сила в зацеплении P_t = 25 635 Н; приведенный радиус кривизны зубьев R₁ = 19 мм; допускаемые контактные напряжения [σ_H] = 1075 Мпа; модуль упругости материалов зубьев Е = 21 000 Н/мм².

На рис. 2 показан график зависимости допустимого угла перекоса в зубчатом зацеплении от погонной нагрузки для указанных выше величин.

Расчеты показали, что при варьировании погонной нагрузки в диапазоне 214‒513 Н/мм, допустимый угол перекоса для передачи изменяется в пределах (7.81–0.39) × 10^–4 рад (рис. 2). А для нагрузки 427 Н/мм, что имеет место в рассматриваемом примере, он равняется 1.187 × 10^–4 рад.

Таким образом, предложен новый подход для определения важного параметра для прочностного расчета – допускаемого угла перекоса в зубчатых зацеплениях.