Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2021, № 12, стр. 31-34

ВВЕДЕНИЕ

Магнетизм частиц субмикронного размера в последние годы привлекает большое внимание в связи с возможностью их практического применения [1, 2]. “Однодоменные” частицы являются потенциальными кандидатами для использования в качестве элементов памяти в накопителях данных на жестких дисках высокой плотности. Однако при увеличении размера частиц их магнитное состояние изменяется на вихревое или многодоменное [3–5]. Обсуждение магнитных фазовых переходов (ФП) в малых частицах стало особенно распространенным [5]. Существуют материалы с различными типами структурного, магнитного, зарядового и орбитального упорядочения, например, манганиты, высокотемпературные купратные сверхпроводники и мультиферроики. Разделение фаз в этих материалах часто сопровождается неоднородным распределением заряда [6–9].

Мультиферроики также представляют большой научный и практический интерес, поскольку эти материалы являются как ферромагнитными, так и сегнетоэлектрическими в одной фазе [10]. Это обусловлено существованием магнитоэлектрического эффекта, который наблюдается в мультиферроиках [11]. Антиферромагнетизм и сегнетоэлектричество чаще всего сосуществуют в мультиферроиках, но сегнетоэлектрические ферромагнетики являются довольно редкими материалами. Появление вызванной магнитным полем электрической поляризации можно объяснить, ссылаясь на три наиболее популярных микроскопических механизма: механизма, связанного с антисимметричным взаимодействием Дзялошинского–Мории (ДМ) [12, 13], механизма магнитострикции [9] и механизма спин-зависимой гибридизации металл–лиганд. Взаимодействие ДМ вызывает неколлинеарное упорядочение спинов. Неоднородное магнитное упорядочение, в свою очередь, может привести к поляризации [8, 14].

В данной работе рассматривается взаимосвязь магнетизма и сегнетоэлектричества в субмикронных частицах сегнетоэлектрического ферромагнетика вблизи магнитного фазового перехода. Целью работы является определение пространственного распределения неоднородной намагниченности, обусловленной размерными эффектами, пространственного распределения неоднородной поляризации, возникающей вследствие пространственной неоднородности намагниченности. Также будет определена область существования таких состояний. Все расчеты проводились в рамках феноменологического подхода.

МЕТОДИКА

Рассмотрим трехмерную сферическую частицу мультиферроика, помещенную в параэлектрическую среду. В сферических координатах гармоническая часть свободной энергии Ландау–Гинзбурга–Девоншира [14] вблизи фазового перехода второго порядка имеет вид

где $m\left( {r,~\theta ,~\varphi } \right)$ – локальная намагниченность, r, θ и φ – сферические координаты, $A = A{\kern 1pt} '\left( {T - {{T}_{{\text{c}}}}} \right),$ ${{T}_{{\text{c}}}}$ – температура фазового перехода (ФП) объемного образца, $A{\kern 1pt} ' = {\text{const,}}$ $g = {\text{const}}$ определяют обменное взаимодействие и градиентный член, полученный в [14].

Эффективное магнитное поле ${{H}^{{{\text{eff}}}}}\left( {{\mathbf{r}},~t} \right)$ определяется как вариация изменения свободной энергии F по магнитному моменту m:

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Для определения пространственного распределения вектора магнитного момента M и вектора электрической поляризации P рассмотрим вариацию $\delta F$ по $\delta {{m}_{\varphi }}.$ Если эта вариация равна нулю, то намагниченность является решением уравнения:

Распределение намагниченности, возникающее при потере устойчивости по отношению к вихреобразованию, имеет вид: где ${{m}_{r}},$ ${{m}_{\theta }}$ и ${{m}_{\varphi }}\left( {r,\varphi } \right)$ – проекции вектора локальной намагниченности на оси сферической системы координат, ${{j}_{1}}\left( x \right)$ – сферическая функция Бесселя 1-го порядка, R – радиус сферической частицы, $p_{n}^{1}$ – n-ый корень уравнения $j_{{\text{1}}}^{'}(x) = 0.$ Потеря устойчивости по отношению к вихреобразованию соответствует минимальному значению константы $p_{1}^{1} \approx 2.1.$

На рис. 1а показано распределение намагниченности в объеме сферической частицы. Векторы локальной намагниченности показаны толстыми стрелками. Вблизи фазового перехода второго порядка в ферромагнитное состояние для частиц субмикронного размера можно использовать приближение, когда значение локальной намагниченности зависит от расстояния до центра частицы. Одним из решений уравнения (3) является вихрь (4).

Для кубических кристаллов допустимой формой магнитно-индуцированной электрической поляризации [14] является

Это выражение получено для случая, когда электрическая поляризация возникает из-за взаимодействия Дзялошинского–Мории [12, 13]. Для 3D-вихревого состояния в объеме сферы при ${{m}_{r}} = {{m}_{\theta }} = 0,$ и ${{m}_{\varphi }} = {{m}_{\varphi }}\left( {r,\varphi } \right)$ (3) поляризация имеет вид 3D-ежа [5] с ${{P}_{\varphi }} = 0$ и Здесь ${{e}_{r}}$ и ${{e}_{\theta }}$ – единичные векторы сферической системы координат. На рис. 1б показано распределение локальной поляризации в объеме частицы. Векторы поляризации (показаны стрелками) лежат в плоскости xy декартовой системы координат и направлены к оси z (для случая, показанного на рис. 1а) или от оси z (для случая противоположного направления локальных векторов m). На рис. 1б показана поляризация для трех поперечных сечений шарообразной частицы. Показаны три сечения частицы, перпендикулярные оси z. Сечение в середине проходит через центр частицы ($z = 0$). Два других поперечных сечения проходят через точки $z = \pm h = \pm 0.707R,$ здесь h – расстояние от центра сферической частицы до поперечного сечения. Длина стрелок в разных точках сечения пропорциональна модулю вектора поляризации в этих точках.

Рассмотрим второй случай, когда ${{m}_{r}} = {{m}_{\varphi }} = 0,$ и ${{m}_{\theta }} = {{m}_{\theta }}\left( {r,\varphi } \right).$ При этом решение уравнения, подобного уравнению (3), будет иметь следующий вид:

В отличие от первого случая (рис. 1а), полная намагниченность частицы не равна нулю (рис. 2а). На рис. 2б показано распределение локальной поляризации в объеме частицы. Из рис. 1б и рис. 2б видно, что поляризация в частице имеет одинаковый вид для двух разных распределений намагниченности. Модуль поляризации принимает свое максимальное значение в плоскости, проходящей через центр частицы (h = 0), и уменьшается по мере приближения к полюсам (h = R, h = –R).

Распределение вихревой намагниченности, рассмотренное в этой статье, приводит к распределению поляризации, для которого полная поляризация частицы равна нулю. Но по нашим предварительным оценкам, при таком распределении намагниченности полная поляризация может отличаться от нуля во внешнем магнитном поле.

ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Мелкие ферромагнитные частицы могут также представлять собой “однодоменные”, однородно намагниченные образования. Критерий их “однодоменности” получается из сравнения магнитной энергии равномерно намагниченной частицы с энергией, которая возникает при наличии значительной неоднородности в распределении намагниченности в объеме частицы. Первая энергия имеет порядок $A{{M}^{2}}V,$ а вторая – порядок ${{g{{M}^{2}}V} \mathord{\left/ {\vphantom {{g{{M}^{2}}V} {{{l}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}^{2}}}}$ (здесь $M$ – суммарная намагниченность частицы, $V$ – ее объем, $A$ и $g$ – параметры выражения для свободной энергии (1)). Тогда размер однодоменных частиц имеет значение, по порядку величины равное ${{R}_{c}} \sim {{\left( {{g \mathord{\left/ {\vphantom {g A}} \right. \kern-0em} A}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ [15]. Существует постоянное магнитное поле ${{h}_{s}}$ (h_s = $ = - {{\left[ {{{\mu }_{0}}\left( {\mu + 2} \right)} \right]}^{{ - 1}}}M$), которое создается внутри равномерно намагниченной частицы в нулевом внешнем магнитном поле для однородной намагниченности шара, и стабильность состояния с однородной намагниченностью теряется при $A = - {{\left[ {{{\mu }_{0}}\left( {\mu {\text{\;}} + 2} \right)} \right]}^{{ - 1}}}.$ В этом выражении $\mu $ – магнитная проницаемость мультиферроика, а ${{\mu }_{0}}$ – магнитная постоянная. Выражение A = $ = - {{\left[ {{{\mu }_{0}}\left( {\mu + 2} \right)} \right]}^{{ - 1}}}$ определяет критическую температуру T_CS = T_C – ΔT_S (здесь ΔT_S $ = {{\left[ {A{\kern 1pt} '{{\mu }_{0}}\left( {\mu + 2} \right)} \right]}^{{ - 1}}}$), выше которой однородное состояние становится неустойчивым по отношению к возникновению неоднородного состояния, так как энергия неоднородного состояния становится меньше, чем у однородного. Поэтому для критического радиуса мы имеем $~R = {{R}_{{\text{c}}}} = p_{1}^{1}{{\left( {g{{\mu }_{0}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{\left( {\mu + 2} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ при этом ${{R}_{{\text{c}}}}$ имеет порядок 100 нм [2]. Обсуждаемое вихревое состояние существует в диапазоне температур ниже T_CV и выше T_CS и соответствует минимуму свободной энергии системы, поэтому это состояние является стабильным. Верхняя граничная температура T_CV существования неоднородного вихревого состояния определяется выражением $A = - g{{\left( {{{p_{n}^{1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_{n}^{1}} R}} \right. \kern-0em} R}} \right)}^{2}}$ для n = 1. Таким образом, она равна T_CV = T_C – ΔT_V, где $\Delta {{T}_{{\text{V}}}} = 4.41g{{\left[ {A{\kern 1pt} '{{R}^{2}}} \right]}^{{ - 1}}}.$ Так как величина ${g \mathord{\left/ {\vphantom {g {A{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {A{\kern 1pt} '}}$ достаточно мала (${g \mathord{\left/ {\vphantom {g {A{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {A{\kern 1pt} '}}$ ≈ ≈ 5 × 10^–16 м² · K), то T_CV ~ T_C (ΔT_V≈ 0.05 K для R ≈ ≈ 100 нм). Поэтому температурный интервал области существования вихревого состояния составляет порядка ΔT_S. По нашим оценкам, ΔT_S составляет несколько десятков градусов K. Выше T_C однородное парамагнитное состояние является основным состоянием, а ниже T_CS однородное магнитное состояние является основным состоянием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследован фазовый переход в трехмерных сферических частицах кубического мультиферроика в рамках феноменологической теории. Получены выражения для намагниченности этих частиц в двух состояниях в нулевом внешнем магнитном поле с учетом вариаций амплитуды намагниченности. При использовании выражения свободной энергии для намагниченности в сферических наночастицах, получено неоднородное распределение намагниченности в виде трехмерных магнитных вихрей. Локальная электрическая поляризация рассчитана для двух различных распределений намагниченности. Показано, что конкретный вид выражений для намагниченности и поляризации определяется геометрической формой нанообластей.