Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 2, стр. 99-103

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день одним из наиболее перспективных объектов наноэлектроники являются резонансно-туннельные структуры (РТС), интерес к которым обусловлен возможностью проектирования топологии гетероструктуры с заданной вольт-амперной характеристикой (ВАХ). В частности, РТС рассматриваются как нелинейный элемент нового поколения генераторов сигналов терагерцового диапазона [1–8]. Рабочая точка таких устройств расположена на участке отрицательной дифференциальной проводимости (ОДП), что обуславливает интерес к изучению процессов, формирующих участок ОДП, а также моделированию данного участка.

Теоретические и экспериментальные исследования физических процессов на участке ОДП представлены в ряде работ [9–14], где указывается на два проявляющихся на этом участке, связанных друг с другом феномена: “плато” – резкое падение абсолютного значения дифференциальной проводимости, которое проявляется как “зигзаг” на ВАХ, и гистерезис – зависимость положения пиковых и долинных токов и напряжений от знака изменения напряжения. Так как считается, что эти особенности участка ОДП на ВАХ РТС имеют общую природу, они часто обсуждается под одним термином “бистабильность”.

Хотя динамика протекания тока на участке ОДП формируется несколькими одновременно протекающими процессами, в конечном итоге формирование бистабильности сводится к особенностям насыщения и истощения зарядом квантовой ямы РТД, обусловленным межэлектронным взаимодействием, и рассеянием электронов из метастабильных состояний в истоке и прилегающем к нему спейсере в метастабильные состояния в квантовой яме [9–12]. Данные процессы естественным образом описываются с помощью такого параметра, как время релаксации, с помощью которого и предлагается строить модель формирования участка ОДП [15, 16].

Модель токопереноса для инженерных приложений должна обладать важным качеством: низкими требованиями к вычислительным ресурсам, т.е. низкой алгоритмической сложностью, так как значительную долю области применения инженерных моделей представляет решение так называемых “обратных” задач, возникающих при проведении конструкторско-технологической оптимизации топологии РТС по критерию надежности устройства на их основе [17–19]. Именно алгоритмическая сложность ab initio-моделей затрудняет их использование в инженерной практике, так как модели такого класса, обеспечивающие расчет с удовлетворительной точностью, включают моделирование одновременного протекания большого числа физических процессов, что увеличивает требования к вычислительным мощностям. Поэтому в инженерной практике в системах автоматического проектирования используются “компактные” модели, которые при должном подходе к их разработке, кроме очевидного преимущества в требованиях к вычислительным ресурсам, обладают преимуществом физической “прозрачности” (возможности анализа и физической интерпретации получаемых на каждом из этапов расчета ВАХ-параметров модели).

Таким образом, в данной работе для описания формирования участка ОДП на ВАХ РТС предлагается использовать “компактную” модель токопереноса в РТС с включением в качестве параметров времен релаксации процессов насыщения и истощения квантовой ямы и процессов рассеяния электронов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрим стационарную модель токопереноса в РТС. Плотность тока в зависимости от напряжения в гетероструктурах описывается с помощью широко известной формулы [20]:

где ${{J}_{0}} = {{2m{\text{*}}{{q}_{e}}kT} \mathord{\left/ {\vphantom {{2m{\text{*}}{{q}_{e}}kT} {4{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {4{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{3}}}}$ – коэффициент пропорциональности, E – поперечная компонента полной энергии электрона, V – внешнее напряжение, ${{E}_{{\text{s}}}}$ – положение дна зоны проводимости в истоке, $T\left( {E,V} \right)$ – коэффициент туннельной прозрачности, $D\left( {E,V} \right)$ = ${\text{ln}}\left[ {\left( {1 + {\text{exp}}\left( {{{\left( {{{E}_{{\text{F}}}} - E} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{E}_{{\text{F}}}} - E} \right)} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}} \right)} \right){\kern 1pt} /} \right.$ $\left. {\left( {1 + {\text{exp}}\left( {{{\left( {{{E}_{{\text{F}}}} - {{q}_{e}}V - E} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{E}_{{\text{F}}}} - {{q}_{e}}V - E} \right)} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}} \right)} \right)} \right]$ – функция снабжения, ${{E}_{{\text{F}}}}$ – уровень Ферми, ${{q}_{e}}$ – элементарный заряд, $kT$ – тепловая энергия (постоянная Больцмана, умноженная на абсолютную температуру), $m{\text{*}}$ – эффективная масса электронов в резервуарах.

В РТС коэффициент туннельной прозрачности вследствие интерференции электронов в квантовой яме имеет резонансы в точках, соответствующих энергии метастабильных состояний квантовой ямы, которые описываются кривой Лоренца. Плотность тока в РТС обусловлена током электронов через метастабильные состояния. Учитывая этот факт, формулу (1) для РТС можно свести к следующему выражению [21]:

где ${{\varepsilon }_{n}}(V)$ – энергия n-ого метастабильного состояния квантовой ямы, ${{{{\Gamma }}}_{n}}$ – полуширина $n$-ого метастабильного состояния квантовой ямы, $N$ – количество метастабильных состояний в квантовой яме.

Так как энергия метастабильного состояния имеет смысл полной энергии электрона в этом состоянии, она обусловлена кинетической энергией электрона и потенциальной энергией взаимодействий электрона с кристаллической решеткой, внешним полем и межэлектронным взаимодействием, причем первые два слагаемых не зависят от напряжения. Таким образом, энергия метастабильного состояния представляется в виде:

где ${{\varepsilon }_{{0n}}}$ – энергия метастабильного состояния при нулевом напряжении (без учета энергии взаимодействия электронов), ${{U}_{p}}(V)$ – поправка, обусловленная внешним напряжением и межэлектронным взаимодействием.

Функция ${{U}_{p}}\left( V \right)$ определяется численным расчетом концентрации электронов с последующим решением уравнения Пуассона, для чего применяется процедура самосогласования. В этой работе для построения компактной модели токопереноса была введена следующая аппроксимация (рис. 1):

В формуле (4) первое слагаемое ${{U}_{0}}$ – энергия межэлектронного взаимодействия при нулевом напряжении. Во втором слагаемом ${{U}_{1}},$ ${{V}_{1}}$ – энергия и напряжение насыщения, определяющие энергию межэлектронного взаимодействия при напряжениях значительно, отличающихся от нуля, когда метастабильные состояния квантовой ямы полностью заполнены электронами. ${{V}_{1}}$ является кусочно-постоянной функцией, которая претерпевает разрыв при пиковом напряжении. При этом пиковое напряжение достигается при условии где ${{E}_{{\text{s}}}}$ – дно зоны проводимости, $\delta E$ – энергия, необходимая для ухода метастабильного состояния в запрещенную зону.

Последнее слагаемое в формуле (4) описывает потенциальную энергию взаимодействия электрона с внешним полем, коэффициент $\beta $ равен отношению координаты центра квантовой ямы к длине структуры.

На рис. 1 показаны расчетный коэффициент туннельной прозрачности модельной РТС и энергии резонансных уровней, полученные с помощью аппроксимации (3). Как видно из рисунка, подобная аппроксимация удовлетворительно описывает положение резонансного уровня на заданной области напряжений. Таким образом, в рамках данной модели, плотность тока, а, следовательно, и бистабильность ВАХ определяются влиянием процессов насыщения и истощения заряда в квантовой яме РТС и процессов рассеяния электронов в квантовую яму из спейсерных и истоковых метастабильных состояний в метастабильные состояния в квантовой яме.

Как отмечалось выше, бистабильность ВАХ РТС является проявлением двух процессов: насыщения и истощения заряда в квантовой яме РТС и рассеяния зарядов в квантовую яму из метастабильных состояний в истоковом спейсере, которые формируются в квантовой яме, образованной истоковым барьером и уровнем дна зоны проводимости в спейсере [11]. Совокупное течение этих процессов характеризуется общим временем релаксации τ:

где ${{\tau }_{w}}$ – время релаксации насыщения/истощения заряда в квантовой яме, ${{\tau }_{e}}$ – время рассеяния электронов из метастабильных состояний в спейсере в квантовую яму.

Наличие конечного времени релаксации $\tau $ приводит к отставанию по фазе колебаний концентрации электронов в квантовой яме РТД от колебаний внешнего напряжения. Естественно предположить, что степени заполненности метастабильных состояний в квантовой яме можно однозначно поставить в соответствие значение потенциальной энергии ${{U}_{p}}.$ Следовательно, колебания ${{U}_{p}},$ также будут отставать по фазе от внешнего поля (что можно трактовать как наличие у РТС реактивного сопротивления), что приводит к различным значениям энергии ${{E}_{{\text{s}}}} + \delta E$ и, соответственно, пикового напряжения при повышающемся и понижающемся напряжениях. Тогда пиковое напряжение при понижающемся и повышающемся напряжениях можно представить в виде:

где ${{V}_{{p \pm }}}$ – пиковое напряжение при повышающемся (понижающемся) внешнем напряжении, ${{V}_{p}}$ – стационарное пиковое напряжение, $V(t)$ – внешнее напряжение, $V({{t}_{p}}) = {{V}_{p}}.$

Насыщение и истощение заряда в квантовой яме не происходит мгновенно из-за инертности электронов и характеризуется временем релаксации ${{\tau }_{w}},$ которое обратно пропорционально ширине заселенного метастабильного состояния в яме. Так как концентрация электронов в квантовой яме РТС обусловлена в основном электронами в метастабильном состоянии с минимальной энергией в разрешенной зоне, то время релаксации ${{\tau }_{w}}$ оценим как

Спейсерные метастабильные состояния лежат ниже дна зоны проводимости в истоке, поэтому в отсутствие процессов рассеяния они не заселены электронами. Попасть на эти метастабильные состояния электроны могут либо путем туннелирования из примесных состояний истока, либо рассеянием с высших уровней энергий в истоковом спейсере. Эти процессы вносят свой вклад в ${{\tau }_{e}},$ помимо непосредственно перехода электронов из метастабильных состояний спейсера в метастабильные состояния в квантовой яме, то есть оценка ${{\tau }_{e}}$ требует анализа всех представленных процессов, что является довольно трудной задачей, поэтому ${{\tau }_{e}}$ будем определять на основе данных эксперимента.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Для определения ${{\tau }_{e}}$ были проведены расчеты тестового резонансно-туннельного диода с известной ВАХ. Материал барьеров – AlAs, материал спейсеров и ямы – GaAs, ширина ямы составляла 4.9 нм, ширина барьеров – 2.9 нм, ширина спейсеров – 6.3 нм, концентрация донорных примесей в приконтактных областях сотавляла 4 × × 10²⁴ м^–3/4 × 10²⁴ м^–3/4 × 10²⁴ м^–3 (градиентное легирование). Результаты расчетов по представленной модели показаны на рис. 2.

Для представленной структуры время релаксации насыщения/истощения заряда в квантовой яме равно 74 фс, а время релаксации из метастабильных состояний спейсера почти в два раза меньше – 40 фс при частоте осцилляций 1 ТГц, из чего делаем вывод, что определяющим процессом в формировании гистерезиса, а, следовательно, и участка ОДП для представленной структуры является процессы насыщения/истощения заряда в квантовой яме.

Если есть гистерезисная ВАХ, то естественным образом можно сделать предположение о существовании двух состояний, в которых находится РТС, и о некотором связанном с гистерезисом метастабильном состоянии [22], которое проявляется как “зигзаг” на участке ОДП. В таком случае стационарную ВАХ (полученную при замерах на постоянном токе) можно представить как смесь плотностей тока при возрастающих и убывающих напряжениях, а формирование участка ОДП можно представить по следующей формуле:

где ${{J}_{{dV{\kern 1pt} > {\kern 1pt} \,0}}}$ – ВАХ при возрастающем напряжении, ${{J}_{{dV{\kern 1pt} < \,{\kern 1pt} 0}}}$ – ВАХ при убывающем напряжении, $\alpha $ – безразмерный коэффициент, описывающий смешение ВАХ, пропорционален напряжению.

С помощью данного выражения была получена стационарная ВАХ (рис. 2). Из графиков видно, что представленная модель позволяет получать результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными, рассчитанное относительное отклонение на начальном участке и участке ОДП составляет в среднем 1%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлена компактная модель токопереноса в РТС, позволяющая получать хорошо согласующиеся с экспериментом ВАХ как на начальном участке, так и на участке ОДП. Показано, как представленная модель может быть использована для анализа процессов переноса и рассеивания электронов. Проведена оценка времени релаксации процесса рассеивания электронов в квантовую яму РТС из метастабильных состояний спейсера и времени релаксации процессов насыщения и истощения заряда в квантовой яме. Разработанная модель предъявляет низкие требования к вычислительным ресурсам, при этом сохраняет точность моделей на основе интегрально-дифференциальных уравнений токопереноса, что делает ее перспективной для интеграции в системы автоматического проектирования и решения задачи синтеза конструкторских параметров РТС для обеспечения необходимого уровня эксплуатационных параметров устройств на их основе.