Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 4, стр. 106-112

ВВЕДЕНИЕ

Изучение процессов взаимодействия атомных частиц низких и средних энергий имеет фундаментальный и практический интерес. Примером областей применения этих взаимодействий является спектроскопия рассеянных ионов [1–3] и распыление материала [4], где важным фактором является рассеяние первичных ионов атомами мишени, начиная от пороговых энергий и выше. В случае параллельного пучка ионов (порядковый номер Z₁, масса m₁), взаимодействующего с атомами мишени (Z₂, m₂), траектории ионов в лабораторной системе координат отклоняются отталкивающим потенциалом взаимодействия (ПВ) U(r) между ними, и за атомом образуется область, куда ионы попасть не могут. Граница между областями возможного и невозможного проникновения иона имеет форму конуса и называется конусом затенения (КЗ). Для практических применений представляют интерес зависимости формы КЗ и угла рассеяния иона от его начальной энергии Е, соотношения масс частиц и порядковых номеров.

При взаимодействии частиц обычно рассматривают парные столкновения и привлекают теорию рассеяния. Для вычисления угла отклонения χ в системе центра масс используют известное интегральное уравнение рассеяния [5, 6]:

где E₀ = m₂E/(m₁ + m₂) – относительная энергия сталкивающихся частиц ρ – прицельный параметр, ρ_ms – наибольшее расстояние сближения, которое вычисляется из уравнения:

Дополнительный знак s в нижнем индексе ρ_ms связан с экранировкой ПВ и будет определен ниже.

Обычно, при проведении дальнейших вычислений используют малоугловое рассеяние (импульсное приближение) и потенциал Мольера [7, 8]. При расчете зависимости радиуса R_sh КЗ от расстояния l за атомом используется уравнение для кулоновского ПВ [2, 7]:

где q – заряд электрона.

При расчете радиуса Мольера $\left( {R_{{{\text{sh}}}}^{{{\text{Moliere}}}}} \right)$ для экранированного ПВ Мольера и малоуглового рассеяния используют эмпирическое выражение [7, 8]:

где k = R_sh/a, a = $0.8853{{a}_{0}}{{\left( {Z_{1}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + Z_{2}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} \right)}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ – длина экранирования, a₀ – радиус Бора.

По уравнениям (3) и (4) можно сделать следующие замечания. Во-первых, поскольку отсчет l начинается с атома, то центр вершины КЗ расположен на атоме для всех указанных ПВ. Это не соответствует истинному положению дел, так как в отталкивающем ПВ всегда существует некоторое расстояние между ионом и атомом (даже при лобовом столкновении). Во-вторых, поскольку малоугловое рассеяние может быть использовано для χ $ \ll $ 1, предложенный подход справедлив только для расчета боковой поверхности КЗ (для θ₁ $ \ll $ π/2, где θ₁ – угол отклонения иона в лабораторной системе координат).

Первая цель данной работы состояла в вычислении вершины КЗ, определяемой рассеянием на большие углы θ₁ ≥ π/2, и определении параметров, влияющих на ее форму.

Второе направление исследований связано с расширением области использования представления КЗ, в частности, к процессу распыления. В работе [4] при вычислении пороговой энергии распыления E_th было найдено, что первичный ион при нормальном падении на поверхность сначала проникает внутрь мишени на глубину ~d, затем рассеивается на угол ~π и уже при движении из глубины мишени выбивает внешний атом. Полученная в [4] формула для E_th хорошо описывает экспериментальные данные, но механизм разворота на угол ~π не ясен. По-видимому, это связано с блокировкой дальнейшего проникновения иона внутрь мишени.

Вторая цель данной работы состояла в исследовании возможной блокировки поверхности и ее связи с пороговой энергией распыления.

РАСЧЕТ ФОРМЫ ВЕРШИНЫ КОНУСА ЗАТЕНЕНИЯ

Все расчеты проводили с использованием отталкивающего степенного ПВ Линдхарда–Нильсена–Шарфа (ЛНШ) [9]:

где k_s = [(s – 1)/e]^s – 1, s – степенной показатель, e – иррациональное число.

Выбор этого ПВ обусловлен тем, что, во-первых, в диапазоне значений 0 ≤ a/r ≤ 5 (1 ≤ s ≤ 4) многие ПВ совпадают [10]. Во-вторых, используя потенциал (5), можно описать экспериментальные результаты зависимости пороговых энергий распыления от отношения масс сталкивающихся частиц [4]. В-третьих, при анализе эффекта экранирования в (5) необходимо изменить только одну величину s в отличие от многих других ПВ. В-четвертых, гораздо проще проводить аналитические расчеты с использованием степенного ПВ.

Далее все расчеты будут проведены для значений s в диапазоне от 1 до 4 и без учета возможных химических реакций при столкновении. Учет неупругих столкновений Q выполним с помощью замены Е на Е – Q [11]. Применительно к процессам распыления Q ~ U₀, где U₀ – энергия сублимации атомов мишени, и составляет несколько эВ [4].

На рис. 1 приведена схема рассеяния падающего перпендикулярно на поверхность образца (ось Х) иона (m₁, Z₁) на угол θ₁ в лабораторной системе координат в результате взаимодействия с покоящимся в начале координат поверхностным атомом (m₂, Z₂). Отрезок ОD равен наибольшему расстоянию сближения ρ_ms, а отрезок ОС его минимальной величине b_s при лобовом столкновении. Кривая ACDB образована концами ρ_ms при изменении прицельного параметра ρ.

В зависимости от значения ρ существуют две области, определяющие форму КЗ. Для углов θ₁ ≥ ≥ π/2 все конечные траектории рассеянных ионов лежат в верхней полуплоскости (рис. 1, выше оси Х). В этой области форму КЗ определяют наибольшие расстояния сближения сталкивающихся частиц ρ_ms, и совокупность проекций ρ_ms на оси координат описывает вершину КЗ. Во второй области для углов θ₁ < π/2 все конечные траектории рассеянных ионов лежат в нижней полуплоскости (рис. 1, ниже оси Х). Форму КЗ в этом случае описывают траектории ионов после достижения наибольшего расстояния сближения сталкивающихся частиц ρ_ms, образуя его боковую поверхность. Расчеты формы КЗ для этой области и потенциала Мольер выполнены в работах [7, 8].

Для всех ионов, имеющих угол отклонения θ₁ = π/2, конечные траектории при рассеянии располагаются параллельно оси Х. Концы ρ_ms для этих траекторий образуют границу между двумя областями на кривой конуса затенения.

Из рис. 1 видно, что γ = θ₁/2. Поэтому координаты точки D находятся по уравнениям:

Функциональная зависимость Y = f(Х) описывает кривую ACDB.

Согласно уравнению (6) при θ₁ = π/2 из-за симметрии следует, что |Х_b| = Y_b. Это равенство является условием для нахождения границы между двумя областями и поэтому отмечено нижними индексами.

При вычислениях удобно использовать наибольшее расстояние сближения частиц при лобовом столкновении b_s. Эта величина находится из равенства U(r) = Е₀ и равна:

Используя (5) и (7), запишем уравнение (2) в виде:

Равенство (8) представляет собой уравнение, в котором начальные параметры взаимодействия сталкивающихся частиц (кроме ρ) присутствуют через величину b_s. Для целых значений s в диапазоне 1–4 уравнение (8) имеет точные решения соответственно:

Чтобы найти зависимость ρ_ms от ρ для промежуточных значений s представим (8) в виде:

Поскольку всегда ρ/ρ_ms < 1, то разлагая правую часть уравнения (13) в ряд и учитывая два первых члена в разложении, получаем квадратное уравнение относительно ρ_ms. Решением полученного уравнения является:

Для s = 1 уравнения (9) и (14) полностью совпадают. При других целых значениях s между результатами, полученными по уравнениям (10)–(12) и (14) наблюдаются отличия, возрастающие с увеличением ρ/b_s и составляющие 3–5% при ρ/b_s = 1. Такая точность достаточна для проведения дальнейших расчетов.

Углы отклонения иона (θ₁, χ) связаны уравнением [13]:

Для установления зависимости угла χ от ρ/b_s необходимо решить уравнение (1). Один из способов получения этой зависимости состоит в аналитическом решении. Для ПВ (5) и s, равных 1 и 2, это возможно сделать [5, 6]. С учетом формулы (7) решения имеют следующий вид:

Для s, равных 3 и 4, точных решений нет. Приближенные вычисления для углов χ > π/2, выполненные в соответствии с рекомендациями [6] дают приемлемые результаты в очень узкой области около ρ/b_s ~ 0. Поэтому для получения аналитической функциональной зависимости χ от ρ/b_s, позволяющей проводить расчеты в более широкой области изменений величины s, был использован следующий подход. На первом этапе было использовано численное решение уравнения (1) с помощью программы Mathсad-2000 [14] для целых s в диапазоне 1–4. При выполнении этих расчетов для ρ_ms применяли формулы (9)–(12). Второй этап состоял в нахождении эмпирической аппроксимации точных и численных результатов в диапазоне изменений ρ/b_s от 0 до 1. Конечный результат хорошо совпадает с формулой:

При s = 2 аналитические, численные и эмпирические результаты полностью совпадают, в то время как между точными и численными результатами для s = 1 существует разница. Для значений s > 2 существуют различия между численными и эмпирическими расчетами, которые увеличиваются с увеличением ρ/b_s. При значении χ ~ 90 градусов (ρ/b_s = 0.6) эти различия не превышает ~5%, а при углах ~60 градусов (ρ/b_s = 0.8) ~ 10%.

Уравнения (6), (14), (15) и (18) образуют замкнутую параметрическую систему уравнений для расчета Х и Y в лабораторной системе координат. При фиксированных значениях степенного показателя, масс, порядковых номеров и энергии сталкивающихся частиц единственной изменяемой величиной является прицельный параметр ρ (или ρ/b_s).

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ВЕРШИНЫ КОНУСА ЗАТЕНЕНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 2 приведены результаты расчетов зависимостей Y от X. Рис. 2а, 2б соответствуют системе ⁴He⁺–⁵⁹Co с энергиями ионов 2000 и 4000 эВ соответственно. Результаты расчетов для системы ⁴⁰Ar⁺–⁵⁹Co приведены на рис. 2в с энергией ионов 2000 эВ. Сплошные кривые на рис. 2 были построены с использованием значений s равных 1, 1.5, 2 для ионов ⁴He⁺ и 2, 3, 4 для ионов ⁴⁰Ar⁺ соответственно. Для оценки точности вычислений на рис. 2 представлены графики (пунктирные линии), полученные для s = 2 при использовании уравнений (10) и (17) вместо (14) и (18) соответственно. В табл. 1 сравниваются некоторые расчетные параметры для рассмотренных систем с целью исследования динамики их изменений. Черные точки на графиках соответствуют границе между двумя областями |Х_b| = Y_b. Рассеянные в этих точках ионы летят параллельно оси Х, а внутренняя область между ними представляет вершину КЗ. Ширина пика ∆X, приведенная в табл. 1, равна расстоянию между черными точками на рис. 2. Для рассматриваемых систем в табл. 1 представлены расчетные значения параметра b_s/a.

Все графики, показанные на рис. 2, расположены выше оси Х, при этом их формы напоминают колокола. Формы вершин КЗ хорошо совпадают в расчетах с использованием точных и приближенных уравнений на всех графиках. Полученные результаты свидетельствуют о том, что совпадение наблюдается не только при рассеянии на углы θ₁ ≥ π/2, но и до углов θ₁ ~ 50–60 град. Этот факт свидетельствует о допустимости приближений, используемых при получении уравнений (14) и (18).

Центры КЗ расположены на расстоянии b_s от атома. Если s фиксировано, то b_s является наименьшим возможным значением ρ_ms и зависит от параметров частиц. Его абсолютные значения приведены в табл. 1. С увеличением s величина b_s непропорционально уменьшается, а коэффициент падения уменьшается с увеличением энергии ионов (в ~4 и 2.8 раза для ⁴He⁺ с энергиями 2000 и 4000 эВ соответственно). Для более тяжелых ионов величина b_s увеличивается (для ⁴He⁺ и ⁴⁰Ar⁺ при s = 2 в ~3.4 раза) и также непропорционально уменьшается с увеличением s, но с меньшим коэффициентом (~1.5). Ширина пика ∆X всегда больше расстояния наибольшего сближения b_s: для ⁴He⁺ в 1.6 и для ⁴⁰Ar⁺ в 1.4 раза. Что касается изменений ∆X, то они аналогичны вариациям b_s с аналогичными коэффициентами. Следует отметить, что обе эти величины в приведенных выше примерах в 2–3 раза превышают атомные тепловые колебания поверхностных атомов, оценки которых (≤10^–2 нм) приведены в работе [15].

Полученные данные показывают, что форма вершины КЗ зависит от степени экранировки, порядкового номера и соотношения масс, сталкивающихся частиц. С усилением экранировки кривые становятся более узкими. Для тяжелых ионов графики расположены более близко друг к другу.

Представленные выше расчеты и выводы важны при изучении отражений атомных частиц низких и средних энергий на большие углы (например, для метода Impact Collision Ion Scattering Spectroscopy [3, 15]).

ЭНЕРГИЯ БЛОКИРОВКИ ПОВЕРХНОСТИ

Далее рассмотрим блокировку поверхности мишени и ее связь с пороговыми энергиями распыления.

Предположим, что мишень является аморфным телом, состоящим из атомов (Z₂, m₂), со средним межатомным расстоянием d. Нормально к поверхности мишени падает параллельный пучок ионов (Z₁, m₁) с энергией Е в несколько кВ. Постепенно при уменьшении энергии Е величина b_s возрастает, а вершина КЗ увеличивается в размерах. При этом для фиксированного значения прицельного параметра ρ величина второго слагаемого под квадратным корнем в формуле (14) уменьшается. При условии

ρ_ms = b_s и колоколообразная вершина КЗ превращается в шарообразную форму. Более того, из уравнения (8) следует, что при ρ_ms ~ b_s значение ρ ~ 0 для всех налетающих ионов. Это означает, что происходят практически лобовые столкновения, и все ионы отражаются поверхностью, т.е. происходит блокировка поверхности.

Для того, чтобы найти блокирующую энергию Е_bl поступим следующим образом. Наибольшее значение прицельного параметра ρ для рассматриваемого случая может составлять d/2. Величина блокирующей энергии может быть сопоставима с неупругими потерями иона, поэтому в данном случае необходим их учет, который выполнен с помощью замены Е_bl на Е_bl – U₀, где U₀ – энергия сублимации атомов мишени. С учетом этих замечаний из (7) и (19) получаем выражение для вычисления блокирующей энергией:

где выражение, стоящее в правой части неравенства обозначено как критическая энергия E_cr.

Между изменениями величин Z, m и d в формуле (20) нет корреляции. С ростом Z_i от 1 (для ²Н) до 92 (²³⁸U) коэффициент m_i/Z_i непрерывно возрастает от ~2 до ~2.59. Вариации d носят циклический характер и изменяются от минимального (для С ~ 0.154 нм) до максимального (для Cs ~ ~ 0.5235 нм) значений [16]. Энергия сублимации атомов мишени изменяется также в широких пределах от ~0.6 до ~9 эВ [17]. По этой причине все дальнейшие расчеты были выполнены при значениях d = 0.3 нм, U₀ = 5 эВ и m_i/Z_i = 2 для всех элементов мишени. Расчеты были выполнены для ионов с большим отличием в порядковых номерах и массах: гелия ⁴Не⁺ и ртути ²⁰⁰Hg⁺. Кроме того, значения s возрастали с увеличением Z₁ и m₁ иона и были равны 1.15 и 4 для ⁴Не⁺ и ²⁰⁰Hg⁺ соответственно. Расчетный диапазон изменений m₂/m₁ составил для ионов гелия от 1 до 60 а ртути от 0.01 до 2.

С учетом этих замечаний на рис. 3 представлен график зависимости критической энергии E_cr от отношения масс (сплошные линии (1) для ²⁰⁰Hg⁺ и (2) для ⁴Не⁺). Для выполнения неравенства (20) с точностью 5% при расчете энергии блокировки Е_bl (пунктирные линии) от отношения масс m₂/m₁ для ²⁰⁰Hg⁺ (1) и ⁴Не⁺ (2) считали, что Е_bl – U₀ = = E_cr/20.

С увеличением m₂/m₁ представленные кривые показывают рост величин E_cr и Е_bl для ⁴Нe⁺ и падение для ²⁰⁰Hg⁺. Наибольшее возрастание критической и блокирующей энергий наблюдается для ионов гелия. Суммарная форма кривых (1) и (2) для Е_bl или E_cr напоминает зависимость пороговой энергии распыления E_th от отношения масс m₂/m₁ [4], отличаясь от нее количественно.

При небольшом увеличении энергии ионов Е > Е_bl между соседними атомами на поверхности мишени образуется щель. Часть падающих ионов, имеющих соответствующий прицельный параметр ρ, может пройти через эту щель, попасть внутрь мишени и взаимодействовать со следующим слоем атомов твердого тела, расположенном на расстоянии d от поверхности. Но затратив часть своей энергии при взаимодействии с поверхностным атомом и имея энергию Е ≤ Е_bl, ион будет блокироваться этим внутренним слоем и рассеиваться в сторону поверхности. Если этот ион обладает достаточной энергией для выбивания атома из верхнего слоя (равной энергии сублимации атома мишени U₀), то начинается процесс распыления.

Такой же механизм, предполагающий, что первичный ион при нормальном падении на поверхность сначала проникает внутрь мишени на глубину ~d, затем рассеивается на угол ~π и уже при движении из глубины мишени выбивает внешний атом, был использован в [4] при вычислении пороговой энергии распыления E_th. При этом глубина выхода распыленных частиц h (отсчет от поверхности вглубь мишени) предполагалась равной нулю. Полученная в [4] формула для E_th хорошо описывает экспериментальные данные, но механизм разворота на угол ~π, по-видимому, связан с результатами данной работы. Такой же вариант распыления был рассмотрен в работе [18] и признан доминирующим в области низких энергий. Следует отметить, что E_th больше Е_bl в несколько раз и связано это с необходимостью дополнительных затрат энергии на движение иона внутри твердого тела и неупругие взаимодействия.

В заключение оценим критерий применимости классической механики в проведенных расчетах. Известно, что если длины волн де Бройля частиц малы по сравнению с характерными размерами L, определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим [19]. В нашем случае L = d = 0.3 нм, а длина волны иона λ с массой m и энергией E определяется уравнением λ = 2πћ/(mE)^1/2 [19]. Для ионов Hе⁺ (m = m₁ =4) наименьшая энергия E_bl, найденная из рис. 3, составляет ~6 эВ. Расчет с использованием уравнения дает значение λ ~ ~ 5.9 × 10^–3 нм, что в ~50 раз меньше используемого в работе значения d. Все расчеты, выполненные для других ионов в разделах выше, дают меньшие значения λ. Кроме того, для всех значений b_s, представленных в табл. 1, выполняется условие b_s > λ с учетом зависимости длины волны иона главным образом от его энергии. Таким образом, можно сделать вывод, что выполненные в работе расчеты с использованием классической механики правомерны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вершина конуса затенения является основой для дальнейшего построения его боковой поверхности и может влиять на результаты расчетов и обработки экспериментальных данных. Предложенный метод расчета позволил вычислить и систематически исследовать формирование вершины КЗ при рассеянии атомных частиц. По-видимому, энергетическая область этого метода расчета может быть расширена до нескольких МэВ, несмотря на то, что рассмотрение ограничено низкими и средними энергиями. Что касается применения результатов этой работы, то они достаточно широки (технология и диагностика твердых тел, связанных с ионными пучками) и коррелируют с нано- и субнано-размерами. Некоторые приложения будут рассмотрены в дальнейших исследованиях.