Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 4, стр. 653-659

ПРОГИБ ТОНКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

В. Н. Федосеев 1*, Д. А. Ягнятинский 1**

1 НИИ НПО “ЛУЧ”
Подольск, Россия

* E-mail: fvn@luch.com.ru
** E-mail: day@luch.com.ru

Поступила в редакцию 16.10.2018
После доработки 29.01.2019
Принята к публикации 19.03.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Приведено аналитическое решение задачи о прогибе тонкой прямоугольной пластины со свободными краями под действием сосредоточенных сил со стороны упругих приводов, опирающихся на бесконечно жесткое основание. Решение основывается на применении интегральных преобразований и на учете кинематической связи между пластиной и приводами, деформируемыми по закону Гука.

Ключевые слова: тонкая прямоугольная пластина, прогиб, свободный край, сосредоточенная сила, привод, интегральные преобразования, кинематическая связь

Введение. Некоторые авторы отмечают, что аналитическое решение задачи о прогибе тонкой прямоугольной упругой изотропной пластины со свободными краями при действии на нее сосредоточенных сил [1] представляет собой значительную трудность [2], и вместо этого используют расчетные модели, построенные на основе метода конечных элементов. Тем не менее, аналитическое решение этой задачи может быть найдено.

Для задач адаптивной оптики о проектировании и использовании деформируемых зеркал важно уметь с допустимой точностью рассчитывать функции влияния приводов этих зеркал [3, 4]. Воздействие приводов на пластину зеркала в некоторых случаях моделируют силами, приложенными в дискретных точках [2].

В теории упругости пластины со свободными краями часто рассматривают покоящимися на упругом (винклеровском) основании [5, 6]. Эта модель может быть применена для случая, когда пластина покоится на большом количестве приводов или упругих поперечинах, равномерно распределенных на ее поверхности [7], однако в реальности число приводов ограничено, и модель с винклеровским основанием оказывается некорректной.

В данной работе предложен метод нахождения функций влияния приводов, действующих сосредоточенно на тонкую прямоугольную пластину со свободными краями. Метод основан на разложении решения в ряд по специальным функциям и применении интегральных преобразований; дополнительно учитываются условия кинематической связи. Приводы моделируются как упругие пружины, деформируемые по закону Гука. Одним концом приводы крепятся к пластине, а другим – опираются на бесконечно жесткое основание. В качестве управляющих элементов часто используют пьезоприводы, принцип действия которых основан на обратном пьезоэффекте. При подаче напряжения приводы растягиваются и сосредоточенно воздействуют на пластину с некоторой силой.

1. Постановка задачи. Нагрузку на поверхность упругой прямоугольной пластины толщиной $h$ и изгибной жесткостью $D$ представим в виде давления $q\left( {x,y} \right)$; тогда прогиб пластины в поперечном направлении $w\left( {x,y} \right)$ подчиняется неоднородному бигармоническому уравнению [1]

(1.1)
${{\nabla }^{4}}w\left( {x,y} \right) = \frac{{q\left( {x,y} \right)}}{D};~\quad D = \frac{{E{{h}^{3}}}}{{12\left( {1 - {{\nu }^{2}}} \right)}}~,$
где $x$ и $y$ – координаты вдоль сторон пластины, длиной $a$ и $b$ соответственно (левая часть рис. 1), $E$ и ${\nu }$ – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала пластины.

Рис. 1.

Пластина с упругими приводами (слева) и план расположения приводов (справа).

В зависимости от геометрической формы пластины, типа нагрузки и граничных условий данное уравнение может быть решено разными методами. Известно, что в некоторых случаях решение уравнений в частных производных по двум координатам удается свести к решению двух одномерных дифференциальных уравнений [8]. Для рассматриваемого случая это невозможно, так как перекрестный член уравнения не позволяет разделить переменные.

Полагая края пластины свободными, граничные условия запишем в виде [1]

(1.2)
$\begin{gathered} {{\left[ {\frac{{{{\partial }^{3}}w}}{{\partial {{x}^{3}}}} + \left( {2 - \nu } \right)\frac{{{{\partial }^{3}}w}}{{\partial x\partial {{y}^{2}}}}} \right]}_{{\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,} \\ {x = a} \end{array}}}} = 0,~\quad ~{{\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \nu \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right]}_{{\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,} \\ {x = a} \end{array}}}} = 0 \\ \left( {x \leftrightarrow y,\;~a \leftrightarrow b} \right)~ \\ \end{gathered} $

Давление, производимое на пластину ${{n}_{a}}$ сосредоточенными приводами, может быть записано в виде

(1.3)
$q\left( {x,y} \right) = {{F}_{0}}~\delta \left( {x - {{x}_{{j0}}},y - {{y}_{{j0}}}} \right) - \mathop \sum \limits_{j = 1}^{{{n}_{a}}~} {{K}_{j}}{{w}_{j}}~\delta \left( {x - {{x}_{j}},y - {{y}_{j}}} \right),$
где ${{F}_{0}}$ – внутренняя растягивающая сила в активном приводе (на который подается электрическое напряжение и которому присвоен номер j0), ${{x}_{j}}$, ${{y}_{j}}$ – координаты j-го привода, ${{K}_{j}}$ – его жесткость, ${{w}_{j}} = w\left( {{{x}_{j}},{{у}_{j}}} \right)$ прогиб пластины в месте расположения j-го привода и растяжение (или сжатие) j-го привода, ${\delta }$ – двумерная дельта-функция Дирака. Требуется определить функцию $w\left( {x,y} \right)$ при $\left( {x,y} \right) \in [0,a] \times [0,b]$.

Особенность предлагаемого подхода – учет зависимости величины $q\left( {x,y} \right)$ в уравнении (1.1) от заранее неизвестных перемещений ${{w}_{j}}$ в точках размещения приводов (соотношение (1.3)).

2. Решение в виде ряда Фурье. Аналогично подходу Д.М. Ляхова [9], решение уравнения (1.1) ищем в виде

(2.1)
$w\left( {x,y} \right) = \mathop \sum \limits_{m = 0}^\infty \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \,{{\alpha }_{{mn}}}~f\left( {{{X}_{m}}} \right)f\left( {{{Y}_{n}}} \right)~;~\quad {{X}_{m}} = {{k}_{m}}\frac{x}{a}~,~\quad {{Y}_{n}} = {{k}_{n}}\frac{y}{b}~,$
где
$f\left( {{{X}_{0}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }},\quad f\left( {{{X}_{1}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }}\left( {\frac{x}{a} - \frac{1}{2}} \right)\sqrt {12} ~$
$f\left( {{{X}_{m}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }}\left[ { - \frac{{S_{m}^{ - }\left( {{{k}_{m}}} \right)}}{{C_{m}^{ - }\left( {{{k}_{m}}} \right)}}C_{m}^{ + }\left( {{{X}_{m}}} \right) + S_{m}^{ + }\left( {{{X}_{m}}} \right)} \right],\quad ~m \geqslant 2$
$C_{m}^{ \pm }\left( {{{u}_{m}}} \right) = {\text{ch}}{{u}_{m}} \pm \cos {{u}_{m}},~\quad S_{m}^{ \pm }\left( {{{u}_{m}}} \right) = {\text{sh}}{{u}_{m}} \pm \sin {{u}_{m}}$
$\left( {X,x,a,m \leftrightarrow Y,y,b,n} \right)$
${{k}_{m}}~\left( {{{k}_{n}}} \right)$ – корни частотного уравнения, для $m \geqslant 2$ $(n \geqslant 2$) [10]:
$\cos k\operatorname{ch} k = 1,$
вычисленные с большой точностью по методу, который использовался ранее [9]; также следует положить: ${{k}_{0}} = {{k}_{1}} = 0.$

Выбранные базисные функции $f$ удобны тем, что они представляют собой полную ортонормированную на множестве $[0,a] \times [0,b]$ систему функций, а также удовлетворяют граничным условиям (1.2). Требуется найти коэффициенты ${{{\alpha }}_{{mn}}}$, ограничившись в сумме (2.1) максимальными значениями $\bar {m}$ и $\bar {n}$ для индексов $m$ и $n$ соответственно (эти два числа можно выбирать исходя из характерного количества приводов в каждом из направлений осей $x$ и $y$; как правило, на практике $\bar {m}$ и $\bar {n}$ не превосходят 15).

Для дальнейших выкладок введем обозначения $f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right)$ и $f_{{yy}}^{^\circ }\left( {{{Y}_{n}}} \right)$ – частные производные функции $f$ второго порядка, в которых будут отсутствовать множители $\hat {X}_{m}^{2}$ и $\hat {Y}_{n}^{2}$, где ${{\hat {X}}_{m}} = \frac{{{{k}_{m}}}}{a}$, ${{\hat {Y}}_{n}} = \frac{{{{k}_{n}}}}{b}$, возникающие при дифференцировании соответственно функций $f\left( {{{X}_{m}}} \right)$ и $f\left( {{{Y}_{n}}} \right)$. Например,

$f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{0}}} \right) = f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{1}}} \right) = 0$
$f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }}\left[ { - \frac{{S_{m}^{ - }\left( {{{k}_{m}}} \right)}}{{C_{m}^{ - }\left( {{{k}_{m}}} \right)}}C_{m}^{ - }\left( {{{X}_{m}}} \right) + S_{m}^{ - }\left( {{{X}_{m}}} \right)} \right],\quad m \geqslant 2$

Тогда при подстановке разложения (2.1) в уравнение (1.1) с учетом конечности сумм получим

(2.2)
$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}\left( {\hat {X}_{m}^{4}~\; + \;\hat {Y}_{n}^{4}} \right)f\left( {{{X}_{m}}} \right)f\left( {{{Y}_{n}}} \right)~\; + \\ + \;2\mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}~\hat {X}_{m}^{2}\hat {Y}_{n}^{2}f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right)~f_{{yy}}^{^\circ }\left( {{{Y}_{n}}} \right) = \frac{{q\left( {x,y} \right)}}{D} \\ \end{gathered} $

Умножим обе части уравнения (2.2) на один из базисных элементов частичной суммы ряда (2.1): $f\left( {{{X}_{{m0}}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0}}}} \right)$, где $m0 \in \left[ {0,\bar {m}} \right]$, $n0 \in \left[ {0,\bar {n}} \right]$. После этого подействуем на полученное уравнение оператором $\int_0^a {\int_0^b {dxdy} } $. В силу ортонормированности функций $f$ получим

(2.3)
${{\alpha }_{{m0n0}}}\left( {\hat {X}_{{m0}}^{4}~\; + \hat {Y}_{{n0}}^{4}} \right) + \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}{{\gamma }_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) = {{Q}_{{m0n0}}},$
где

${{{\gamma }}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) = 2{\text{\;}}\hat {X}_{m}^{2}\hat {Y}_{n}^{2}\mathop \smallint \limits_0^a f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right)f\left( {{{X}_{{m0}}}} \right)dx\mathop \smallint \limits_0^b f_{{yy}}^{^\circ }\left( {{{Y}_{n}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0}}}} \right)dy$
${{Q}_{{m0n0}}} = \frac{{{{F}_{0}}}}{D}f\left( {~{{X}_{{m0j0}}}} \right)f\left( {~{{Y}_{{n0j0}}}} \right) - \mathop \sum \limits_{j = 1}^{{{n}_{a}}} \frac{{{{K}_{j}}{{w}_{j}}}}{D}f\left( {{{X}_{{m0j}}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0j}}}} \right)$
${{X}_{{m0j}}} = {{k}_{{m0}}}\frac{{{{x}_{j}}}}{a},\quad {{Y}_{{n0j}}} = {{k}_{{n0}}}\frac{{{{y}_{j}}}}{b}$

Далее используются обозначения (${\delta }$ – символ Кронекера)

(2.4)
$\begin{gathered} {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( j \right) = f\left( {{{X}_{{m0j}}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0j}}}} \right) \\ {{G}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) = {{{\gamma }}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) + {{{\delta }}_{{mm0}}}{{{\delta }}_{{nn0}}}\left( {\hat {X}_{{m0}}^{4}{\text{\;}} + \hat {Y}_{{n0}}^{4}} \right) \\ \end{gathered} $

Тогда уравнение (2.3) можно переписать в виде системы

(2.5)
$\mathop \sum \limits_{j = 1}^{{{n}_{a}}} \frac{{{{K}_{j}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( j \right){{w}_{j}} + \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{G}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right){\text{\;}}{{{\alpha }}_{{mn}}} = \frac{{F0}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( {j0} \right),$
представляющей собой $\bar {l} = \left( {\bar {m} + 1} \right)\left( {\bar {n} + 1} \right)$ линейных уравнений при разных значениях индексов $m0$ и $n0$ относительно столбца неизвестных

${\text{WA}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{w}_{1}}}& \ldots &{{{w}_{{{{n}_{a}}}}}}&{{{\alpha }_{{00}}}}&{{{\alpha }_{{01}}}}& \ldots &{{{\alpha }_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}}&{{{\alpha }_{{\bar {m}\bar {n}}}}} \end{array}} \right)}^{T}}$

Для того чтобы дополнить эту систему недостающими ${{n}_{a}}$ уравнениями, следует воспользоваться “самосогласованными условиями”, которые выражают кинематическую связь – равенство растяжения (или сжатия) j-го привода и поперечного прогиба пластины в точке его расположения. С учетом обозначения (2.4) и выбора конечных сумм в представлении (2.1) можно написать соотношение

${{w}_{j}} = \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}~{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{mn}}}\left( j \right)$
или

(2.6)
$\mathop \sum \limits_{l = 1}^{{{n}_{a}}} \,{{\delta }_{{jl}}}{{w}_{l}} - \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{mn}}}\left( j \right) = 0$

Уравнения (2.6) и (2.5) вместе представляют систему ${{n}_{a}} + \bar {l}$ линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных WA.

В матричной форме система имеет вид

(2.7)
${\text{MA}} \cdot {\text{WA}} = {\text{FD}}$

Матрицу ${\text{MA}}$ и столбец свободных членов FD удобно представить в виде

${\text{MA}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\text{I}}}_{{{{n}_{a}}}}}} \end{array}}&{ - {\text{F}}{{{\text{F}}}_{{{{n}_{a}} \times \bar {l}}}}} \\ {{\text{K}}{{{\text{F}}}_{{\bar {l} \times {{n}_{a}}}}}}&{{\text{G}}{{{\text{G}}}_{{\bar {l} \times \bar {l}}}}} \end{array}} \right],\quad {\text{FD}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\theta }}_{{{{n}_{a}}}}}} \\ {{\text{FD}}{{2}_{{\bar {l}}}}} \end{array}} \right],$
где ${{{\text{I}}}_{{{{n}_{a}}}}}$ – единичная матрица размерности ${{n}_{a}}$,
$ - {\text{F}}{{{\text{F}}}_{{{{n}_{a}} \times \bar {l}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( 1 \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( 1 \right)}& \ldots &{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( 1 \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( 1 \right)} \\ { - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( 2 \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( 2 \right)}& \ldots &{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( 2 \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( 2 \right)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ { - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)}& \ldots &{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)}&{ - {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)} \end{array}} \right)$
${\text{K}}{{{\text{F}}}_{{\bar {l} \times {{n}_{a}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{K}_{1}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( 1 \right)}&{\frac{{{{K}_{2}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( 2 \right)}& \ldots &{\frac{{{{K}_{{{{n}_{a}}}}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)} \\ {\frac{{{{K}_{1}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( 1 \right)}&{\frac{{{{K}_{2}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( 2 \right)}& \ldots &{\frac{{{{K}_{{{{n}_{a}}}}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\frac{{{{K}_{1}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( 1 \right)}&{\frac{{{{K}_{2}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( 2 \right)}& \ldots &{\frac{{{{K}_{{{{n}_{a}}}}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)} \\ {\frac{{{{K}_{1}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( 1 \right)}&{\frac{{{{K}_{2}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( 2 \right)}& \ldots &{\frac{{{{K}_{{{{n}_{a}}}}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {{{n}_{a}}} \right)} \end{array}} \right)$
${\text{G}}{{{\text{G}}}_{{\bar {l} \times \bar {l}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{G}_{{00}}}\left( {0,0} \right)}&{{{G}_{{00}}}\left( {0,1} \right)}& \ldots &{{{G}_{{00}}}\left( {\bar {m},\bar {n} - 1} \right)}&{{{G}_{{00}}}\left( {\bar {m},\bar {n}} \right)} \\ {{{G}_{{01}}}\left( {0,0} \right)}&{{{G}_{{01}}}\left( {0,1} \right)}& \ldots &{{{G}_{{01}}}\left( {\bar {m},\bar {n} - 1} \right)}&{{{G}_{{01}}}\left( {\bar {m},\bar {n}} \right)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{{G}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {0,0} \right)}&{{{G}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {0,1} \right)}& \ldots &{{{G}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {\bar {m},\bar {n} - 1} \right)}&{{{G}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {\bar {m},\bar {n}} \right)} \\ {{{G}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {0,0} \right)}&{{{G}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {0,1} \right)}& \ldots &{{{G}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {\bar {m},\bar {n} - 1} \right)}&{{{G}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {\bar {m},\bar {n}} \right)} \end{array}} \right)$
${{{\theta }}_{{{{n}_{a}}}}}$ – нулевой столбец длины ${{n}_{a}}$,

${\text{FD}}{{2}_{{\bar {l}}}} = \frac{{{{F}_{0}}}}{D}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{00}}}\left( {j0} \right)} \\ {{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{01}}}\left( {j0} \right)} \\ \vdots \\ {{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\left( {\bar {n} - 1} \right)}}}\left( {j0} \right)} \\ {{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{\bar {m}\bar {n}}}}\left( {j0} \right)} \end{array}} \right)$

Решение системы (2.7) имеет вид

${\text{WA}} = {\text{M}}{{{\text{A}}}^{{ - 1}}} \cdot {\text{FD}}$

3. Численные результаты – примеры функций влияния приводов. Для примера рассмотрим пластину и приводы со следующими значениями параметров:

$\begin{gathered} a = 100\;{\text{мм}},\quad b = 60~\;{\text{мм}},\quad h = 3~\;{\text{мм}},\quad E = 150~\;{\text{ГПа,}}\quad {\nu } = 0.3, \\ {{n}_{a}} = 23,\quad {{K}_{j}} = 2 \times {{10}^{7}}\;Н/м,\quad {{F}_{0}} = 400\;{\text{Н}} \\ \end{gathered} $

Приводы расположены в шахматном порядке (см. правую часть рис. 1). Единицы измерения по осям – мм. Левый нижний привод на схеме имеет в мм координаты (10,8), расстояние между приводами вдоль линии по горизонтали – 10 мм, по вертикали – 11 мм.

Рис. 2.

Характерные функции влияния приводов: (a) – угловой привод, (б) – центральный привод, (в) – привод сбоку на середине стороны $a$, (г) – привод сбоку на середине стороны $b$. По горизонтальным осям $x$ и $y$ единицы измерения – мм, по вертикальной – мкм.

На рис. 2 изображены характерные функции влияния приводов.

Заключение. Показано, что полученное решение задачи о прогибе тонкой пластины со свободными краями, на которую сосредоточенно воздействуют деформируемые по закону Гука упругие приводы, при устремлении длины одной из сторон пластины к нулю совпадает с решением задачи о прогибе тонкой балки с теми же физическими параметрами. Проверено, что для рассчитанных функций влияния отсутствует “ошибка совместного действия” (pinning error [3]): если жесткости всех приводов одинаковы и в каждом из них, в отдельности, развивается одинаковая растягивающая сила, то суммы всех их функций влияния дадут прогиб в виде параллельного сдвига плоскости пластины на величину, получающуюся из закона Гука для деформации одного привода под действием этой внутренней растягивающей силы.

Список литературы

  1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

  2. Канев Ф.Ю., Лукин В.П. Адаптивная оптика. Численные и экспериментальные исследования. Томск: Изд. Инст. оптики атмосферы СО РАН, 2005.

  3. Tyson R.K. Principles of Adaptive Optics. Boca Ratonn, FL: CRC Press, 2015.

  4. Lemaitre G.R. Astronomical Optics and Elasticity Theory – Active Optics Methods. Berlin, Heidelberg: Springer, 2009.

  5. Li R., Zhong Y., Li M. Analytic bending solutions of free rectangular thin plates resting on elastic foundations by a new symplectic superposition method // Proc. R. Soc. Ser. A. 2013. P. 469–486.

  6. Li R., Tian B., Zhong Y. Analytical bending solutions of free orthotropic rectangular thin plates under arbitrary loading // Meccanica. 2013. V. 48. P. 2497–2510.

  7. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наук. думка, 1972. 508 с.

  8. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд. МГУ–Наука, 2004.

  9. Ляхов Д.М. Оптимальное размещение приводов для квадратных зеркал со свободными краями // Автометрия. 2016. Вып. 1 (52). С. 70–78.

  10. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967, 444 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.