Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 4, стр. 653-659
ПРОГИБ ТОНКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
В. Н. Федосеев 1, *, Д. А. Ягнятинский 1, **
1 НИИ НПО “ЛУЧ”
Подольск, Россия
* E-mail: fvn@luch.com.ru
** E-mail: day@luch.com.ru
Поступила в редакцию 16.10.2018
После доработки 29.01.2019
Принята к публикации 19.03.2019
Аннотация
Приведено аналитическое решение задачи о прогибе тонкой прямоугольной пластины со свободными краями под действием сосредоточенных сил со стороны упругих приводов, опирающихся на бесконечно жесткое основание. Решение основывается на применении интегральных преобразований и на учете кинематической связи между пластиной и приводами, деформируемыми по закону Гука.
Введение. Некоторые авторы отмечают, что аналитическое решение задачи о прогибе тонкой прямоугольной упругой изотропной пластины со свободными краями при действии на нее сосредоточенных сил [1] представляет собой значительную трудность [2], и вместо этого используют расчетные модели, построенные на основе метода конечных элементов. Тем не менее, аналитическое решение этой задачи может быть найдено.
Для задач адаптивной оптики о проектировании и использовании деформируемых зеркал важно уметь с допустимой точностью рассчитывать функции влияния приводов этих зеркал [3, 4]. Воздействие приводов на пластину зеркала в некоторых случаях моделируют силами, приложенными в дискретных точках [2].
В теории упругости пластины со свободными краями часто рассматривают покоящимися на упругом (винклеровском) основании [5, 6]. Эта модель может быть применена для случая, когда пластина покоится на большом количестве приводов или упругих поперечинах, равномерно распределенных на ее поверхности [7], однако в реальности число приводов ограничено, и модель с винклеровским основанием оказывается некорректной.
В данной работе предложен метод нахождения функций влияния приводов, действующих сосредоточенно на тонкую прямоугольную пластину со свободными краями. Метод основан на разложении решения в ряд по специальным функциям и применении интегральных преобразований; дополнительно учитываются условия кинематической связи. Приводы моделируются как упругие пружины, деформируемые по закону Гука. Одним концом приводы крепятся к пластине, а другим – опираются на бесконечно жесткое основание. В качестве управляющих элементов часто используют пьезоприводы, принцип действия которых основан на обратном пьезоэффекте. При подаче напряжения приводы растягиваются и сосредоточенно воздействуют на пластину с некоторой силой.
1. Постановка задачи. Нагрузку на поверхность упругой прямоугольной пластины толщиной $h$ и изгибной жесткостью $D$ представим в виде давления $q\left( {x,y} \right)$; тогда прогиб пластины в поперечном направлении $w\left( {x,y} \right)$ подчиняется неоднородному бигармоническому уравнению [1]
(1.1)
${{\nabla }^{4}}w\left( {x,y} \right) = \frac{{q\left( {x,y} \right)}}{D};~\quad D = \frac{{E{{h}^{3}}}}{{12\left( {1 - {{\nu }^{2}}} \right)}}~,$В зависимости от геометрической формы пластины, типа нагрузки и граничных условий данное уравнение может быть решено разными методами. Известно, что в некоторых случаях решение уравнений в частных производных по двум координатам удается свести к решению двух одномерных дифференциальных уравнений [8]. Для рассматриваемого случая это невозможно, так как перекрестный член уравнения не позволяет разделить переменные.
Полагая края пластины свободными, граничные условия запишем в виде [1]
(1.2)
$\begin{gathered} {{\left[ {\frac{{{{\partial }^{3}}w}}{{\partial {{x}^{3}}}} + \left( {2 - \nu } \right)\frac{{{{\partial }^{3}}w}}{{\partial x\partial {{y}^{2}}}}} \right]}_{{\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,} \\ {x = a} \end{array}}}} = 0,~\quad ~{{\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \nu \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right]}_{{\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,} \\ {x = a} \end{array}}}} = 0 \\ \left( {x \leftrightarrow y,\;~a \leftrightarrow b} \right)~ \\ \end{gathered} $Давление, производимое на пластину ${{n}_{a}}$ сосредоточенными приводами, может быть записано в виде
(1.3)
$q\left( {x,y} \right) = {{F}_{0}}~\delta \left( {x - {{x}_{{j0}}},y - {{y}_{{j0}}}} \right) - \mathop \sum \limits_{j = 1}^{{{n}_{a}}~} {{K}_{j}}{{w}_{j}}~\delta \left( {x - {{x}_{j}},y - {{y}_{j}}} \right),$Особенность предлагаемого подхода – учет зависимости величины $q\left( {x,y} \right)$ в уравнении (1.1) от заранее неизвестных перемещений ${{w}_{j}}$ в точках размещения приводов (соотношение (1.3)).
2. Решение в виде ряда Фурье. Аналогично подходу Д.М. Ляхова [9], решение уравнения (1.1) ищем в виде
(2.1)
$w\left( {x,y} \right) = \mathop \sum \limits_{m = 0}^\infty \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \,{{\alpha }_{{mn}}}~f\left( {{{X}_{m}}} \right)f\left( {{{Y}_{n}}} \right)~;~\quad {{X}_{m}} = {{k}_{m}}\frac{x}{a}~,~\quad {{Y}_{n}} = {{k}_{n}}\frac{y}{b}~,$Выбранные базисные функции $f$ удобны тем, что они представляют собой полную ортонормированную на множестве $[0,a] \times [0,b]$ систему функций, а также удовлетворяют граничным условиям (1.2). Требуется найти коэффициенты ${{{\alpha }}_{{mn}}}$, ограничившись в сумме (2.1) максимальными значениями $\bar {m}$ и $\bar {n}$ для индексов $m$ и $n$ соответственно (эти два числа можно выбирать исходя из характерного количества приводов в каждом из направлений осей $x$ и $y$; как правило, на практике $\bar {m}$ и $\bar {n}$ не превосходят 15).
Для дальнейших выкладок введем обозначения $f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right)$ и $f_{{yy}}^{^\circ }\left( {{{Y}_{n}}} \right)$ – частные производные функции $f$ второго порядка, в которых будут отсутствовать множители $\hat {X}_{m}^{2}$ и $\hat {Y}_{n}^{2}$, где ${{\hat {X}}_{m}} = \frac{{{{k}_{m}}}}{a}$, ${{\hat {Y}}_{n}} = \frac{{{{k}_{n}}}}{b}$, возникающие при дифференцировании соответственно функций $f\left( {{{X}_{m}}} \right)$ и $f\left( {{{Y}_{n}}} \right)$. Например,
Тогда при подстановке разложения (2.1) в уравнение (1.1) с учетом конечности сумм получим
(2.2)
$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}\left( {\hat {X}_{m}^{4}~\; + \;\hat {Y}_{n}^{4}} \right)f\left( {{{X}_{m}}} \right)f\left( {{{Y}_{n}}} \right)~\; + \\ + \;2\mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}~\hat {X}_{m}^{2}\hat {Y}_{n}^{2}f_{{xx}}^{^\circ }\left( {{{X}_{m}}} \right)~f_{{yy}}^{^\circ }\left( {{{Y}_{n}}} \right) = \frac{{q\left( {x,y} \right)}}{D} \\ \end{gathered} $Умножим обе части уравнения (2.2) на один из базисных элементов частичной суммы ряда (2.1): $f\left( {{{X}_{{m0}}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0}}}} \right)$, где $m0 \in \left[ {0,\bar {m}} \right]$, $n0 \in \left[ {0,\bar {n}} \right]$. После этого подействуем на полученное уравнение оператором $\int_0^a {\int_0^b {dxdy} } $. В силу ортонормированности функций $f$ получим
(2.3)
${{\alpha }_{{m0n0}}}\left( {\hat {X}_{{m0}}^{4}~\; + \hat {Y}_{{n0}}^{4}} \right) + \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}{{\gamma }_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) = {{Q}_{{m0n0}}},$Далее используются обозначения (${\delta }$ – символ Кронекера)
(2.4)
$\begin{gathered} {\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( j \right) = f\left( {{{X}_{{m0j}}}} \right)f\left( {{{Y}_{{n0j}}}} \right) \\ {{G}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) = {{{\gamma }}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right) + {{{\delta }}_{{mm0}}}{{{\delta }}_{{nn0}}}\left( {\hat {X}_{{m0}}^{4}{\text{\;}} + \hat {Y}_{{n0}}^{4}} \right) \\ \end{gathered} $Тогда уравнение (2.3) можно переписать в виде системы
(2.5)
$\mathop \sum \limits_{j = 1}^{{{n}_{a}}} \frac{{{{K}_{j}}}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( j \right){{w}_{j}} + \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{G}_{{m0n0}}}\left( {m,n} \right){\text{\;}}{{{\alpha }}_{{mn}}} = \frac{{F0}}{D}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{m0n0}}}\left( {j0} \right),$Для того чтобы дополнить эту систему недостающими ${{n}_{a}}$ уравнениями, следует воспользоваться “самосогласованными условиями”, которые выражают кинематическую связь – равенство растяжения (или сжатия) j-го привода и поперечного прогиба пластины в точке его расположения. С учетом обозначения (2.4) и выбора конечных сумм в представлении (2.1) можно написать соотношение
(2.6)
$\mathop \sum \limits_{l = 1}^{{{n}_{a}}} \,{{\delta }_{{jl}}}{{w}_{l}} - \mathop \sum \limits_{m = 0}^{\bar {m}} \,\mathop \sum \limits_{n = 0}^{\bar {n}} \,{{\alpha }_{{mn}}}{\text{f}}{{{\text{f}}}_{{mn}}}\left( j \right) = 0$Уравнения (2.6) и (2.5) вместе представляют систему ${{n}_{a}} + \bar {l}$ линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных WA.
В матричной форме система имеет вид
Матрицу ${\text{MA}}$ и столбец свободных членов FD удобно представить в виде
Решение системы (2.7) имеет вид
3. Численные результаты – примеры функций влияния приводов. Для примера рассмотрим пластину и приводы со следующими значениями параметров:
Приводы расположены в шахматном порядке (см. правую часть рис. 1). Единицы измерения по осям – мм. Левый нижний привод на схеме имеет в мм координаты (10,8), расстояние между приводами вдоль линии по горизонтали – 10 мм, по вертикали – 11 мм.
На рис. 2 изображены характерные функции влияния приводов.
Заключение. Показано, что полученное решение задачи о прогибе тонкой пластины со свободными краями, на которую сосредоточенно воздействуют деформируемые по закону Гука упругие приводы, при устремлении длины одной из сторон пластины к нулю совпадает с решением задачи о прогибе тонкой балки с теми же физическими параметрами. Проверено, что для рассчитанных функций влияния отсутствует “ошибка совместного действия” (pinning error [3]): если жесткости всех приводов одинаковы и в каждом из них, в отдельности, развивается одинаковая растягивающая сила, то суммы всех их функций влияния дадут прогиб в виде параллельного сдвига плоскости пластины на величину, получающуюся из закона Гука для деформации одного привода под действием этой внутренней растягивающей силы.
Список литературы
Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.
Канев Ф.Ю., Лукин В.П. Адаптивная оптика. Численные и экспериментальные исследования. Томск: Изд. Инст. оптики атмосферы СО РАН, 2005.
Tyson R.K. Principles of Adaptive Optics. Boca Ratonn, FL: CRC Press, 2015.
Lemaitre G.R. Astronomical Optics and Elasticity Theory – Active Optics Methods. Berlin, Heidelberg: Springer, 2009.
Li R., Zhong Y., Li M. Analytic bending solutions of free rectangular thin plates resting on elastic foundations by a new symplectic superposition method // Proc. R. Soc. Ser. A. 2013. P. 469–486.
Li R., Tian B., Zhong Y. Analytical bending solutions of free orthotropic rectangular thin plates under arbitrary loading // Meccanica. 2013. V. 48. P. 2497–2510.
Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наук. думка, 1972. 508 с.
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд. МГУ–Наука, 2004.
Ляхов Д.М. Оптимальное размещение приводов для квадратных зеркал со свободными краями // Автометрия. 2016. Вып. 1 (52). С. 70–78.
Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967, 444 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика