Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 4, стр. 608-614

О ДВИЖЕНИИ ТРЕХКОЛЕСНОГО РОБОТА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ВЕДУЩИХ КОЛЕС

А. В. Карапетян^1, *, К. А. Катасонова^1, **

¹ Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

^* E-mail: avkarapetyan@yandex.ru
^** E-mail: xenia.katasonova@gmail.com

Поступила в редакцию 24.02.2019
После доработки 10.03.2019
Принята к публикации 19.03.2019

DOI: 10.1134/S0032823519040076

Аннотация

Рассматривается задача о движении мобильного робота с двумя ведущими и одним пассивным колесом. Найдены все стационарные движения робота, исследованы их устойчивость и ветвление. В отличие от многочисленных публикаций по этой теме допускается проскальзывание этих колес, при этом предполагается, что в точках их контакта с опорной плоскостью приложены силы линейного вязкого трения.

Ключевые слова: трехколесный робот, проскальзывание колес, стационарные движения, устойчивость и бифуркации

1. Постановка задачи. Рассматривается движение трехколесного робота с двумя ведущими и одним пассивным колесом рояльного типа [1] на горизонтальной плоскости. Центр масс $C$ робота лежит на горизонтальной ортогонали к оси подвеса ведущих колес, проходящей через середину этой оси. Центры колес обозначим через ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$, а их точки контакта с опорной плоскостью – через ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$. Радиусы ведущих колес обозначим через $a$, расстояние между центрами колес – через $2b$, расстояние от центра масс робота до оси подвеса ведущих колес – через $c$. Радиус пассивного колеса, как и ранее, будем считать пренебрежимо малым.

Пусть $Oxyz$ – неподвижная система координат ($Oxy$ – опорная плоскость, $Oz$ – вертикаль), а $C{\xi \eta \zeta }$ – система координат, жестко связанная с корпусом робота ($C{\xi }$ проходит через середину оси подвеса ведущих колес, $C{\eta }$ параллельна этой оси, $C{\zeta }$ – вертикаль, положительное направление оси $C{\xi }$ совпадает с направлением от центра подвеса ведущих колес к центру масс робота). Положение робота будем определять координатами $x$, $y$ центра масс $C$, углом $\phi $ между осями $Ox$ и $C{\xi }$ и углами ${{\phi }_{1}}$ и ${{\phi }_{2}}$ поворота колес вокруг оси ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$. При этом скорость ${{{\mathbf{v}}}_{c}}$ центра масс робота, угловая скорость ${\mathbf{\omega }}$ его корпуса и относительные угловые скорости ${{{\mathbf{\omega }}}_{i}}$ ведущих колес определяются соотношениями

${{{\mathbf{v}}}_{c}} = \dot {x}{{{\mathbf{e}}}_{x}} + \dot {y}{{{\mathbf{e}}}_{y}} = u{{{\mathbf{e}}}_{{\xi }}} + {v}{{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}},\quad {\mathbf{\omega }} = {\omega }{{{\mathbf{e}}}_{{\zeta }}},\quad {{{\mathbf{\omega }}}_{i}} = {{{\omega }}_{i}}{{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}},\quad i = 1,~2$

$u = \dot {x}\cos \phi + \dot {y}\sin \phi ,\quad {v} = - \dot {x}\sin \phi + \dot {y}\cos \phi ,\quad \omega = \dot {\phi },\quad {{\omega }_{i}} = {{\dot {\phi }}_{i}},\quad i = 1,~2,$

содержащими орты соответствующих осей.

Пусть $m$ – масса всей системы, $A$ – момент инерции колеса относительно оси подвеса колес, $B$ – момент инерции всей системы относительно вертикали, проходящей через центр масс системы.

Предположим, что рояльное колесо, как и ранее, может свободно (без трения) скользить по опорной плоскости, а ведущие колеса [1], в отличие от предыдущих исследований [1–5], тоже могут скользить по этой плоскости, причем в точках ${{K}_{i}}$ контакта этих колес с опорной плоскостью приложены силы вязкого трения ${{{\mathbf{F}}}_{i}} = - mk{{{\mathbf{v}}}_{i}}$ (${{{\mathbf{v}}}_{i}}$ – скорости точек ${{K}_{i}}$ ($i = 1,2$; $k > 0$)). Кроме того, предположим, что на ведущие колеса действуют управляющие моменты вида [1–5]

${{{\mathbf{Q}}}_{i}} = {{Q}_{i}}{{{\mathbf{e}}}_{\eta }}\quad ({{Q}_{i}} = m{{a}^{2}}\left( {p - \varkappa {{{\omega }}_{i}}} \right),\;i = 1,2;\;p \in \mathbb{R},\;\varkappa > 0)$

2. Уравнения движения. Выпишем кинетическую энергию робота:

$T = \frac{1}{2}m\left( {{{u}^{2}} + {{{v}}^{2}}} \right) + \frac{1}{2}B{{{\omega }}^{2}} + \frac{1}{2}A\left( {{\omega }_{1}^{2} + {\omega }_{2}^{2}} \right)$

Найдем диссипативную функцию Релея $F = \frac{1}{2}~mk\left( {{v}_{1}^{2} + {v}_{2}^{2}} \right)$, порождающую силы вязкого трения. Имеем

${{{\mathbf{v}}}_{1}} = \left( {u - b{\omega } - a{{\omega }_{1}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\xi }}} + \left( {{v} - c{\omega }} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}}$

${{{\mathbf{v}}}_{2}} = \left( {u + b{\omega } - a{{{\omega }}_{2}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\xi }}} + \left( {{v} - c{\omega }} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}}$

$F = \frac{1}{2}mk\left[ {{{{(u - b{\omega } - a{{{\omega }}_{1}})}}^{2}} + {{{(u + b{\omega } - a{{{\omega }}_{2}})}}^{2}} + 2{{{\left( {{v} - c{\omega }} \right)}}^{2}}} \right]$

Уравнения движения робота выпишем в форме Аппеля

${{\left( {~\frac{{\partial T}}{{\partial u}}} \right)}^{.}} = \frac{{\partial T}}{{\partial {v}}}{\omega } - \frac{{\partial F}}{{\partial u}},\quad {{\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {v}}}} \right)}^{ \cdot }} = - \frac{{\partial T}}{{\partial u}}{\omega } - \frac{{\partial F}}{{\partial {v}}}$

(2.1)

${{\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {\omega }}}} \right)}^{.}} = - \frac{{\partial F}}{{\partial {\omega }}},\quad {{\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{{\omega }}_{i}}}}} \right)}^{.}} = - \frac{{\partial F}}{{\partial {{{\omega }}_{i}}}} + {{Q}_{{i~}}},\quad i = 1,2$

Пусть $B = m{{r}^{2}}$ ($r$ – соответствующий оси вращения радиус инерции робота), а единицы измерения массы, длины и времени выбраны так, что $m = 1$, $~A = 1$, $\varkappa = 1$. Вводя обозначения ${{{\omega }}_{1}} + {{{\omega }}_{2}} = 2{{w}_{1}}$, ${{{\omega }}_{1}} - {{{\omega }}_{2}} = 2{{w}_{2}}$, выпишем уравнения (2.1) в явном виде

${\dot {u}} = {v}\omega - 2ku + 2ka{{w}_{1}},\quad {\dot {v}} = - u\omega - 2k\left( {{v} - c\omega } \right)$

(2.2)

${{r}^{2}}{\dot {\omega }} = - 2k\left( {{{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right){\omega } + 2kc{v} - 2kab{{w}_{2}}$

${{\dot {w}}_{1}} = kau - {{a}^{2}}\left( {k + 1} \right){{w}_{1}} + {{a}^{2}}p,\quad {{\dot {w}}_{2}} = - kab{\omega } - {{a}^{2}}\left( {k + 1} \right){{w}_{2}}$

3. Прямолинейное движение робота и его устойчивость. Очевидно, система (2.2) допускает стационарное решение

(3.1)

$u = ap,\quad {v} = 0,\quad {\omega } = 0,\quad {{w}_{1}} = p,\quad {{w}_{2}} = 0$

Этому решению соответствует равномерное прямолинейное движение робота (при $p > 0$ рояльное колесо находится впереди, а при $p < 0$ – позади ведущих колес). При этом ведущие колеса не скользят по плоскости (${{{v}}_{1}} = {{{v}}_{2}} = 0$).

Полагая

(3.2)

$u = ap + \bar {u},\quad {v} = {\bar {v}},\quad {\omega } = {\bar {\omega }},\quad {{w}_{1}} = p + {{\bar {w}}_{1}},\quad {{w}_{2}} = {{\bar {w}}_{2}},$

выпишем полные (нелинейные) уравнения возмущенного движения

$\dot {\bar {u}} = - 2k\bar {u} + 2ka{{\bar {w}}_{1}} + {\bar {v}}{\bar {\omega }},\quad {\dot {\bar {v}}} = - 2k{\bar {v}} + \left( {2kc - ap} \right){\bar {\omega }} - \bar {u}{\bar {\omega }}$

(3.3)

${{r}^{2}}{\dot {\bar {\omega }}} = - 2kc{\bar {v}} - 2k\left( {{{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right){\bar {\omega }} - 2kab{{\bar {w}}_{2}}$

${{\dot {\bar {w}}}_{1}} = ka\bar {u} - \left( {k + 1} \right){{a}^{2}}{{\bar {w}}_{1}},\quad {{\dot {\bar {w}}}_{2}} = - kab{\bar {\omega }} - {{a}^{2}}\left( {k + 1} \right){{\bar {w}}_{2}}$

Отбрасывая в правых частях первых двух уравнений системы (3.3) нелинейные члены ${\bar {v}}{\bar {\omega }}$ и $ - \bar {u}{\bar {\omega }}$, получим линеаризованную систему уравнений возмущенного движения и выпишем ее характеристическое уравнение

$g\left( {\lambda } \right) = 0,\quad g\left( {\lambda } \right) = {{g}_{1}}\left( {\lambda } \right){{g}_{2}}\left( {\lambda } \right)$

${{g}_{1}}\left( {\lambda } \right) = {{{\lambda }}^{2}} + {{{\rho }}_{1}}{\lambda } + {{{\rho }}_{2}},\quad {{g}_{2}}\left( {\lambda } \right) = {{r}^{2}}{{{\lambda }}^{3}} + {{{\rho }}_{3}}{{{\lambda }}^{2}} + {{{\rho }}_{4}}{\lambda } + {{{\rho }}_{5}}$

${{{\rho }}_{1}} = 2k + \left( {k + 1} \right){{a}^{2}} > 0,\quad {{{\rho }}_{2}} = 2k{{a}^{2}} > 0$

${{{\rho }}_{3}} = 2k\left( {{{r}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right) + {{r}^{2}}{{a}^{2}}\left( {k + 1} \right) > 0$

${{{\rho }}_{4}} = 2k\left[ {\left( {k + 1} \right){{a}^{2}}\left( {{{r}^{2}} + {{c}^{2}}} \right) + {{a}^{2}}{{b}^{2}} + 2k{{b}^{2}} + acp} \right]$

${{{\rho }}_{5}} = 2k{{a}^{2}}\left[ {2k{{b}^{2}} + acp\left( {k + 1} \right)} \right]$

Оба корня уравнения ${{g}_{1}}\left( {\lambda } \right) = 0$ всегда лежат в левой полуплоскости, поскольку ${{{\rho }}_{1}}$ и ${{{\rho }}_{2}}$ положительны. Согласно критерию Гурвица, все три корня уравнения ${{g}_{2}}\left( {\lambda } \right)$ лежат в левой полуплоскости, если и только если

(3.4)

${{{\rho }}_{3}} > 0,\quad {{{\rho }}_{3}}{{{\rho }}_{4}} - {{r}^{2}}{{{\rho }}_{5}} > 0,\quad {{{\rho }}_{5}} > 0$

Первое из неравенств (3.4) выполнено всегда. Покажем, что если выполнено третье неравенство, то второе тоже выполнено. Действительно,

${{{\rho }}_{4}} = {{{\bar {\rho }}}_{4}} + \frac{{{{{\rho }}_{5}}}}{{\left( {k + 1} \right){{a}^{2}}}};\quad {{{\bar {\rho }}}_{4}} = 2k\left[ {\left( {k + 1} \right){{a}^{2}}\left( {{{r}^{2}} + {{c}^{2}}} \right) + {{a}^{2}}{{b}^{2}} + 2\frac{{k{{b}^{2}}}}{{k + 1}}} \right] > 0$

Следовательно, второе неравенство (3.4) имеет вид

${{{\rho }}_{3}}{{{\bar {\rho }}}_{4}} + {{{\rho }}_{5}}\frac{{2k\left( {{{r}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right)}}{{{{a}^{2}}\left( {k + 1} \right)}} > 0$

и заведомо выполнено при ${{{\rho }}_{5}} > 0$. Последнее неравенство накладывает ограничение на параметр управления $p:{{{\rho }}_{5}} > 0$, если и только если

(3.5)

$p > {{p}_{0}},\quad {{p}_{0}} = - \frac{{2k{{b}^{2}}}}{{ac\left( {k + 1} \right)}} < 0$

Таким образом, равномерное прямолинейное движение робота, при котором рояльное колесо находится спереди ($p > 0$), всегда асимптотически устойчиво; если же рояльное колесо находится сзади ($p < 0$), то медленное ($\left| u \right| < a\left| {{{p}_{0}}} \right|$) движение робота асимптотически устойчиво, а быстрое ($\left| u \right| > a\left| {{{p}_{0}}} \right|$) – неустойчиво.

4. Круговое движение робота и его устойчивость. Согласно теории бифуркации [6], при критическом значении ${{p}_{0}}$ параметра $p$ от прямолинейного движения робота (3.1) ответвляется другое стационарное движение, соответствующее нетривиальному решению системы (3.3). Приравнивая правые части этой системы к нулю, находим это решение в виде

(4.1)

$\bar {u} = \frac{{k + 1}}{{2k}}{\omega }_{0}^{2},~\quad {\bar {v}} = \left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){{{\omega }}_{0}},\quad {\bar {\omega }} = {{{\omega }}_{0}},\quad {{\bar {w}}_{1}} = \frac{{{\omega }_{0}^{2}}}{{2a}},\quad {{\bar {w}}_{2}} = - \frac{{kb}}{{\left( {k + 1} \right)a}}{{{\omega }}_{0}}$

(4.2)

${\omega }_{0}^{2} = - \frac{{2k\left[ {acp\left( {k + 1} \right) + 2k{{b}^{2}}} \right]}}{{{{{(k + 1)}}^{2}}c}}$

Очевидно, стационарное решение (4.1) существует только при $p < {{p}_{0}}$ (см. соотношения (3.5) и (4.2)), а при $p = {{p}_{0}}$ оно совпадает с тривиальным решением системы (3.3). При этом стационарные решения исходной системы (2.2) определяются соотношениями (3.2) и (4.1). Этим решениям соответствуют равномерные движения робота, для которых ведущие колеса находятся впереди, а центр масс робота движется по окружности. Действительно, из равенств (3.2) и (4.1) имеем

$u = ap + \bar {u} = - \frac{{2k{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}} = {{u}_{0}} < 0,\quad {v} = \left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){{{\omega }}_{0}} = {{{v}}_{0}}$

Следовательно,

$\dot {x} = {{u}_{0}}\cos {{\omega }_{0}}t - {{{v}}_{0}}\sin {{\omega }_{0}}t,\quad \dot {y} = {{u}_{0}}\sin {{\omega }_{0}}t + {{{v}}_{0}}\cos {{\omega }_{0}}t$

$x = \frac{{{{u}_{0}}\sin {{\omega }_{0}}t + {{{v}}_{0}}\cos {{\omega }_{0}}t}}{{{{\omega }_{0}}}} + \alpha ,\quad y = - \left( {{{u}_{0}}\cos {{\omega }_{0}}t + {{{v}}_{0}}\sin {{\omega }_{0}}t} \right){\text{/}}{{\omega }_{0}} + \beta $

${{(x - \alpha )}^{2}} + {{(y - \beta )}^{2}} = \left( {u_{0}^{2} + {v}_{0}^{2}} \right){\text{/}}\omega _{0}^{2}$

(${\alpha }$ и ${\beta }$ – произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, начальный момент времени считается, без ограничения общности, нулевым).

Заметим, что на круговых движениях робота ведущие колеса катятся со скольжением:

${{{\mathbf{v}}}_{1}} = \left( {\frac{{{\omega }_{0}^{2}}}{{2k}} - \frac{{b{{{\omega }}_{0}}}}{{k + 1}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\xi }}} + \frac{{{{b}^{2}}{{{\omega }}_{0}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}} \ne 0,\quad {{{\mathbf{v}}}_{2}} = \left( {\frac{{{\omega }_{0}^{2}}}{{2k}} + \frac{{b{{{\omega }}_{0}}}}{{k + 1}}} \right){{{\mathbf{e}}}_{{\xi }}} + \frac{{{{b}^{2}}{{{\omega }}_{0}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}} \ne 0$

Полагая

$\bar {u} = \frac{{k + 1}}{{2k}}{\omega }_{0}^{2} + \tilde {u},\quad {\bar {v}} = \left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){{{\omega }}_{0}} + {\tilde {v}},\quad {\bar {\omega }} = {{{\omega }}_{0}} + {\tilde {\omega }}$

${{\bar {w}}_{1}} = \frac{{{\omega }_{0}^{2}}}{{2a}} + {{\tilde {w}}_{1}},\quad {{\bar {w}}_{2}} = - \frac{{kb}}{{a\left( {k + 1} \right)}}{{{\omega }}_{0}} + {{\tilde {w}}_{2}}$

и выражая параметр $p$ через ${{{\omega }}_{0}}$ с помощью соотношения (4.2), выпишем полные (нелинейные) уравнения возмущенного движения робота в окрестности его кругового движения

$\dot {\tilde {u}} = - 2k\tilde {u} + {{{\omega }}_{0}}{\tilde {v}} + \left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){{{\omega }}_{0}}{\tilde {\omega }} + 2ka{{\tilde {w}}_{1}} + {\tilde {v}}{\tilde {\omega }}$

(4.3)

$\begin{gathered} {\dot {\tilde {v}}} = - {{{\omega }}_{0}}\tilde {u} - 2k{\tilde {v}} + 2k\left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){\tilde {\omega }} - \tilde {u}\tilde {\omega } \\ {{r}^{2}}\dot {\tilde {\omega }} = - 2kc{\tilde {v}} - 2k\left( {{{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right){\tilde {\omega }} - 2kab{{{\tilde {w}}}_{2}} \\ \end{gathered} $

${{\dot {\tilde {w}}}_{1}} = ka\tilde {u} - {{a}^{2}}\left( {k + 1} \right){{\tilde {w}}_{1}},\quad {{\dot {\tilde {w}}}_{2}} = - kab{\tilde {\omega }} - {{a}^{2}}\left( {k + 1} \right){{\tilde {w}}_{2}}$

Отбрасывая в правых частях первых двух уравнений системы (4.3) нелинейные члены ${\tilde {v}}{\tilde {\omega }}$ и $ - \tilde {u}{\tilde {\omega }}$, получим линеаризованную систему уравнений возмущенного движения и выпишем ее характеристическое уравнение

(4.4)

$f\left( {\lambda } \right)\mathop = \limits^{{\text{def}}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda } + 2k}&{ - {{{\omega }}_{0}}}&{ - \left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right){{{\omega }}_{0}}}&{ - 2ka}&0 \\ {{{{\omega }}_{0}}}&{{\lambda } + 2k}&{ - 2k\left( {c + \frac{{{{b}^{2}}}}{{c\left( {k + 1} \right)}}} \right)}&0&0 \\ 0&{ - 2kc}&{{{r}^{2}}{\lambda } + 2k\left( {{{b}^{2}} + {{c}^{2}}} \right)}&0&{2kab} \\ { - ka}&0&0&{{\lambda } + \left( {k + 1} \right){{a}^{2}}}&0 \\ 0&0&{kab}&0&{{\lambda } + \left( {k + 1} \right){{a}^{2}}} \end{array}} \right| = 0$

После трех элементарных преобразований определителя (4.4) (меняются местами вторая и четвертая строки, затем второй и четвертый столбцы и, наконец, первый столбец полученного определителя представляется в виде суммы двух столбцов col$\left( {{\lambda } + 2k, - ka,0,0,0} \right)$ и col$\left( {0,0,0,{{{\omega }}_{0}},0} \right)$) этот определитель легко вычисляется:

$f\left( {\lambda } \right) = {{f}_{1}}\left( {\lambda } \right) + {\omega }_{0}^{2}{{f}_{2}}\left( {\lambda } \right)$

${{f}_{1}}\left( {\lambda } \right) = {\lambda }{{g}_{1}}\left( {\lambda } \right){{\bar {g}}_{2}}\left( {\lambda } \right);\quad {{\bar {g}}_{2}}\left( {\lambda } \right) = {{r}^{2}}{{{\lambda }}^{2}} + {{{\rho }}_{3}}{\lambda } + {{{\bar {\rho }}}_{4}}$

${{f}_{2}}\left( {\lambda } \right) = {{r}^{2}}{{{\lambda }}^{3}} + {{{\sigma }}_{1}}{{{\lambda }}^{2}} + {{{\sigma }}_{2}}{\lambda } + {{{\sigma }}_{3}}$

${{{\sigma }}_{1}} = 2\left[ {{{r}^{2}}{{a}^{2}} + k\left( {\frac{{{{b}^{2}}\left( {k + 2} \right)}}{{k + 1}} + 2{{c}^{2}}} \right)} \right] > 0$

${{{\sigma }}_{2}} = {{a}^{2}}\left[ {\left( {k + 1} \right){{r}^{2}}{{a}^{2}} + 2k\left( {\left( {k + 4} \right){{b}^{2}} + 4\left( {k + 1} \right){{c}^{2}}} \right)} \right] > 0$

${{{\sigma }}_{3}} = 4k\left( {k + 1} \right){{a}^{4}}\left( {{{b}^{2}} + \left( {k + 1} \right){{c}^{2}}} \right) > 0$

(коэффициенты квадратных трехчленов ${{g}_{1}}\left( {\lambda } \right)$ и ${{\bar {g}}_{2}}\left( {\lambda } \right)$ приведены в разд. 3). Таким образом,

$f\left( {\lambda } \right) = {{r}^{2}}{{{\lambda }}^{5}} + {{s}_{1}}{{{\lambda }}^{4}} + \left( {{{s}_{2}} + {\omega }_{0}^{2}{{r}^{2}}} \right){{{\lambda }}^{3}} + \left( {{{s}_{3}} + {\omega }_{0}^{2}{{{\sigma }}_{1}}} \right){{{\lambda }}^{2}} + \left( {{{s}_{4}} + {\omega }_{0}^{2}{{{\sigma }}_{2}}} \right){\lambda } + {\omega }_{0}^{2}{{{\sigma }}_{3}}$

${{s}_{1}} = {{{\rho }}_{1}}{{r}^{2}} + {{{\rho }}_{3}},\quad {{s}_{2}} = {{r}^{2}}{{{\rho }}_{2}} + {{{\rho }}_{1}}{{{\rho }}_{3}} + {{{\bar {\rho }}}_{4}},\quad {{s}_{3}} = {{{\rho }}_{1}}{{{\bar {\rho }}}_{4}} + {{{\rho }}_{2}}{{{\rho }}_{3}},\quad {{s}_{4}} = {{{\rho }}_{2}}{{{\bar {\rho }}}_{4}}$

Согласно критерию Гурвица все корни уравнения $f\left( {\lambda } \right) = 0$ лежат в левой полуплоскости, если и только если все главные диагональные миноры определителя Гурвица, соответствующего полиному $f\left( {\lambda } \right)$, положительны:

(4.5)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\Delta }}_{1}} = {{s}_{1}} > 0,\quad {{{\Delta }}_{2}} = {{{\Delta }}_{{20}}} + {\omega }_{0}^{2}{{{\Delta }}_{{21}}} > 0,\quad {{{\Delta }}_{3}} = {{{\Delta }}_{{30}}} + {\omega }_{0}^{2}{{{\Delta }}_{{31}}} + {\omega }_{0}^{4}{{{\Delta }}_{{32}}} > 0} \\ {{{{\Delta }}_{4}} = {{{\Delta }}_{{40}}} + {\omega }_{0}^{2}{{{\Delta }}_{{41}}} + {\omega }_{0}^{4}{{{\Delta }}_{{42}}} + {\omega }_{0}^{6}{{{\Delta }}_{{43}}} > 0,\quad {{{\Delta }}_{5}} = {\omega }_{0}^{2}{{{\sigma }}_{3}}{{{\Delta }}_{4}} > 0} \end{array}$

Первое из неравенств (4.5) выполнено всегда, а последнее, если ${{{\Delta }}_{4}} > 0$. Следовательно, круговые движения робота асимптотически устойчивы при условиях

(4.6)

${{{\Delta }}_{2}} > 0,\quad {{{\Delta }}_{3}} > 0,\quad {{{\Delta }}_{4}} > 0$

Поскольку все корни полинома ${{g}_{1}}\left( {\lambda } \right){{\bar {g}}_{2}}\left( {\lambda } \right)$ лежат в левой полуплоскости (${{g}_{1}}$ и ${{\bar {g}}_{2}}$ – квадратные трехчлены с положительными коэффициентами), то ${{{\Delta }}_{{20}}}$, ${{{\Delta }}_{{30}}}$ и ${{{\Delta }}_{{40}}}$ всегда положительны. Следовательно, существует значение ${\omega }_{{\text{*}}}^{2} > 0$ такое, что все условия (4.6) выполнены при ${\omega }_{0}^{2} \in (0,{\omega }_{*}^{2})$. В зависимости от параметров задачи эти условия могут выполняться как при любом ${\omega }_{0}^{2} > 0$, так и только при ${\omega }_{0}^{2} \in (0,{\omega }_{*}^{2})$. Действительно, вычисляя ${{{\Delta }}_{{21}}}$, ${{{\Delta }}_{{32}}}$ и ${{{\Delta }}_{{43}}}$, имеем

${{{\Delta }}_{{21}}} = 2k{{r}^{2}}\left[ {{{r}^{2}}\left( {{{a}^{2}} + 2} \right) - \left( {\frac{{{{b}^{2}}}}{{k + 1}} + {{c}^{2}}} \right)} \right],\quad ~{{{\Delta }}_{{32}}} = {{{\sigma }}_{1}}{{{\Delta }}_{{21}}},\quad {{{\Delta }}_{{43}}} = \left( {{{{\sigma }}_{1}}{{{\sigma }}_{2}} - {{r}^{2}}{{{\sigma }}_{3}}} \right){{{\Delta }}_{{21}}},$

причем ${{{\sigma }}_{1}} > 0$ и ${{{\sigma }}_{1}}{{{\sigma }}_{2}} - {{r}^{2}}{{{\sigma }}_{3}} > 0$ (последнее легко проверяется). Таким образом, если

(4.7)

${{b}^{2}} + {{c}^{2}}\left( {k + 1} \right) > \left( {k + 1} \right){{r}^{2}}\left( {{{a}^{2}} + 2} \right),$

то ${{{\Delta }}_{{21}}} < 0$ и первое из условий (4.6) выполняется только при ${\omega }_{0}^{2} < - {{{\Delta }}_{{21}}}{\text{/}}{{{\Delta }}_{{20}}}$.

Заключение. Итак, в пространстве параметров задачи есть область, для которой круговые движения робота асимптотически устойчивы на ограниченном интервале изменения параметра $p:~~p \in ({{p}_{{\text{*}}}},{{p}_{o}})$ (${{p}_{{\text{*}}}}$ определяется из соотношения (4.2), в котором ${\omega }_{0}^{2}$ заменено на ${\omega }_{{\text{*}}}^{2}$). При переходе параметра $p$ через критическое значение ${{p}_{{\text{*}}}}$ пара комплексно-сопряженных корней уравнения $f\left( {\lambda } \right)$ переходит из левой полуплоскости в правую через мнимую ось. Это означает, что при условии (4.7) имеет место бифуркация Андронова–Хопфа [7] и робот может совершать периодические движения, рождающиеся из его круговых движений (уравнения (4.3) имеют периодические решения).

Отметим, что в неголономной постановке задачи (ведущие колеса не могут скользить по плоскости) при управлениях рассмотренного вида круговые движения всегда устойчивы и бифуркации Андронова–Хопфа нет [4].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (19-01-00140).

Список литературы

Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 244–255.
Охоцимский Д.Е., Мартыненко Ю.Г. Новые задачи динамики и управления движением колесных роботов // Успехи механики. 2003. Т. 42. № 1. С. 3–47.
Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных колесных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 8. С. 29–80.
Карапетян А.В., Салмина М.А. Бифуркации Пуанкаре–Четаева и Андропова–Хопфа в динамике трехколесного робота // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. 2006. № 2. С. 56–58.
Карапетян А.В., Салмина М.А. Об одном случае интегрируемости уравнений движения колесного робота // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. 2008 № 6. С. 67–69.
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 536 с.
Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 368 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал