Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 1, стр. 77-84

С активным внедрением в современную технику новых конструкционных материалов интенсивно развиваются неклассические модели сплошных сред. Математическая модель редуцированной среды Коссера учитывает микроструктуру материала и предназначена для описания гранулированных, сыпучих материалов. Отличие данной модели от классической теории упругости состоит в том, что она учитывает размер частиц среды, микроструктуру материала, и вектор поворота является независимым от вектора перемещений. При этом, в отличии от классического континуума Коссера [1–4], в такой модели не возникает моментных напряжений. Впервые такая модель была предложена в 1984 году [5] для описания океанических отложений, которая затем детально изучалась [6–10].

Для построения математической модели материала недостаточно рассмотрения только гладких, т.е. непрерывных и нужное число раз дифференцируемых решений уравнений механики. Рано или поздно исследователям приходится сталкиваться с разрывами в свойствах среды, в первую очередь, с ударными волнами. Поэтому математические модели материала должны включать в себя разрывные решения дифференциальных уравнений. Разрывы изучались в классическом континууме Коссера [11, 12], но, как показывают исследования [8, 9], в редуцированной среде Коссера возникают эффекты, которых не наблюдается для классического континуума, например, запрещенные зоны распространения волн, поэтому не следует считать редуцированную среду Коссера упрощением классического континуума – для нее необходимо получать все уравнения отдельно. Изучены условия совместности решений на поверхности разрыва в нелинейной редуцированной среде Коссера [13]. В настоящей работе приводятся результаты анализа кинематических и динамических условий совместности на поверхности сильного разрыва в редуцированном континууме Коссера для линейно-упругой среды с произвольной анизотропией. Под сильным разрывом в работе понимается случай, в котором некоторые первые производные от искомых функций могут быть разрывны на конечном числе гладких поверхностей. Не уменьшая общности, будем рассматривать только одну такую поверхность.

В модели редуцированной среды Коссера тензор напряжений τ несимметричен и может быть представлен как:

где ${\mathbf{\sigma }}$ – симметричная часть тензора напряжений, ${\mathbf{T}}$ – вектор, соответствующий антисимметричной части тензора ${\mathbf{\tau }}$, ${\mathbf{I}}$ – единичный тензор второго ранга, “$ \times $” – знак векторного умножения. Уравнения, описывающие процессы в анизотропной линейной среде, можно представить в форме [14]:

Здесь $\rho $ – объемная плотность; ${\mathbf{J}}$ – объемная плотность тензора инерции; ${\mathbf{u}}$ – вектор перемещений; ${\mathbf{\varphi }}$ – вектор поворота; ${\mathbf{q}}$ – объемная силовая нагрузка; ${\mathbf{\varepsilon }}$ – тензор линейных деформаций, ${\mathbf{\gamma }}$ – вектор деформаций сдвига; ${\mathbf{С}}$, ${\mathbf{D}}$ – тензоры упругих модулей четвертого и второго ранга соответственно; точкой обозначена частная производная по времени. В уравнениях (2)–(4) использованы стандартные обозначения прямого тензорного исчисления [15].

Пусть деформируемое тело занимает объем $V$, ограниченный поверхностью $S$. Движущаяся поверхность $\Gamma $, заданная уравнением

разделяет объем $V$ на две части ${{V}^{ + }}$ и ${{V}^{ - }}$, так что в любой момент времени $V = {{V}^{ + }} \cup {{V}^{ - }}$. В дальнейшем предполагаем, что функция $\psi $ непрерывно дифференцируема в объеме $V$ и что поверхность (5) не имеет особых точек, т.е. ${{(\nabla \psi )}^{2}} \ne 0$ во всех точках $\Gamma $ в любой момент времени t. В таком случае в точках поверхности $\Gamma $ определен единичный вектор нормали ${\mathbf{n}} = \frac{1}{{\left| {\nabla \psi } \right|}}\nabla \psi $. Считаем, что ${{V}^{ + }}$ – обозначение той части объема $V$, в которую направлен вектор ${\mathbf{n}}$. Как известно [16, 17], скорость ${{c}_{n}}$ движения поверхности $\Gamma $ в направлении нормали ${\mathbf{n}}$ определяется формулой ${{c}_{n}} = - \frac{{\dot {\psi }}}{{\left| {\nabla \psi } \right|}}$. В силу сделанных предположений о функции $\psi $, скорость ${{c}_{n}}$ непрерывна в объеме $V$.

В дальнейшем будем считать, что инерционные и упругие характеристики редуцированной среды Коссера непрерывны в $V$. Квадратными скобками в формулах будет обозначен скачок функций на поверхности $\Gamma $: $\left[ Z \right] \equiv {{Z}^{ + }} - {{Z}^{ - }}$, где $Z({\mathbf{r}},t)$ – некоторая функция, имеющая конечные пределы при приближении к поверхности $\Gamma $ по точкам объема ${{V}^{ + }}$: ${{Z}^{ + }}$ и по точкам объема ${{V}^{ - }}$: ${{Z}^{ - }}$. Тогда условия непрерывности при переходе через поверхность $\Gamma $ для скорости ${{c}_{n}}$, инерционных и упругих характеристик могут быть записаны в виде:

Будем называть поверхность $\Gamma $ поверхностью разрыва, если [16, 17]: векторы ${\mathbf{u}}$, $\phi $ непрерывны при переходе через поверхность, а некоторые производные первого порядка этих векторов имеют разрыв на этой поверхности.

Разрывы в первых производных не могут быть произвольными. Они должны быть связаны некоторыми соотношениями, которые называются кинематическими и динамическими условиями совместности.

Кинематические условия совместности, связывающие производные первого порядка функции ${\mathbf{u}}$, есть условия, следующие из непрерывности самой функции ${\mathbf{u}}$, и имеют вид [16, 17]:

Аналогично, для первых производных вектора $\varphi $:

Динамические условия совместности, есть следствия основных законов механики. Они были получены [13] для общей нелинейной постановки – физически и геометрически нелинейной редуцированной среды Коссера. Запишем эти соотношения в линеаризованном виде:

баланс массы:

баланс импульса:

баланс кинетического момента:

баланс энергии:

где $K = \frac{1}{2}\rho {{{\mathbf{\dot {u}}}}^{2}} + \frac{1}{2}{\mathbf{\dot {\varphi }}} \cdot {\mathbf{J}} \cdot {\mathbf{\dot {\varphi }}}$ – объемная плотность кинетической энергии, Π = = $\frac{1}{2}{\mathbf{\varepsilon }} \cdot \cdot \;{\mathbf{С}} \cdot \cdot \;{\mathbf{\varepsilon }} + \frac{1}{2}{\mathbf{\gamma }} \cdot {\mathbf{D}} \cdot {\mathbf{\gamma }}$ – объемная плотность энергии деформации.

Рассмотрим некоторые следствия из условий совместности (7)–(12). Отметим, прежде всего, что выражение (9) есть тривиальное следствие из условий непрерывности (6) и не имеет самостоятельного значения. Также вследствие условий непрерывности (6) из выражения (11) следует, что $\left[ {\dot {\varphi }} \right] = 0$, но тогда из кинематических условий совместности (8) получаем $\left[ {\nabla {\mathbf{\varphi }}} \right] = 0$. Таким образом, из кинематических и динамических условий совместности вытекает, что все частные производные вектора ${\mathbf{\varphi }}$ непрерывны при переходе через поверхность разрыва. Другими словами доказан следующий факт: в линейной редуцированной среде Коссера непрерывность вектора поворота ${\mathbf{\varphi }}$ влечет непрерывность всех первых частных производных вектора ${\mathbf{\varphi }}$, т.е. разрывы вектора ${\mathbf{\varphi }}$ не возможны.

Докажем, что условие баланса энергии (12) также не имеет самостоятельного значения, а является следствием кинематических условий совместности (7) и динамических условий совместности (10), (11). Предварительно преобразуем условие (7), добавив непрерывное слагаемое ${{c}_{n}}{\mathbf{\varphi }} \times {\mathbf{I}}$, и введем для удобства обозначения ${\mathbf{A}}$, ${{{\mathbf{A}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{A}}}_{2}}$:

Введенные величины непрерывны при переходе через поверхность $\Gamma $:

Докажем равенство

Имеем

При вычислении последнего слагаемого в выражении (16), используем следствия определений (1) и первого уравнения (3), обращение в нуль свертки симметричного и кососимметричного тензоров, обращение в нуль свертки симметричного и кососимметричного тензоров, а также тождество $({\mathbf{a}} \times {\mathbf{I}}) \cdot \cdot \;({\mathbf{b}} \times {\mathbf{I}}) = - 2{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}$, справедливое для любых векторов ${\mathbf{a}}$ и ${\mathbf{b}}$. В результате, получим ${{{\mathbf{\tau }}}^{{\text{т}}}} \cdot \cdot \;(\nabla {\mathbf{u}} + {\mathbf{\varphi }} \times {\mathbf{I}}) = 2\Pi $. Теперь выражение (16) принимает вид

Складывая формулы (15) и (17) и деля на 2, получаем равенство (14).

Докажем, что левая часть равенства (14) непрерывна при переходе через поверхность $\Gamma $. Из условий (13), а также доказанной непрерывности$\,{\kern 1pt} {\mathbf{\dot {\varphi }}}$ следует, что

В правой части выражения (18) первое слагаемое – второе равенство в (13) – равно нулю. Для преобразования последнего слагаемого в (18) распишем, равное нулю, согласно (13), выражение

Из последней формулы выразим слагаемое ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\tau }} \cdot \left[ {{\mathbf{\dot {u}}}} \right]$ и подставим в уравнение (18). Получим

В силу симметрии и непрерывности тензоров упругости ${\mathbf{C}}$ и ${\mathbf{D}}$ имеем

откуда следует, что правая часть выражения (19) равна нулю.

Итак, доказано, что левая часть (а тем самым и правая) равенства (14) непрерывна при переходе через поверхность $\Gamma $, а, следовательно, условие баланса энергии (12) является следствием кинематических (7) и динамических (10), (11) условий совместности.

В итоге, получаем следующие существенные условия совместности на поверхности разрыва

Далее докажем, что решение динамической задачи с разрывами единственно. Решением задачи в среде с разрывами будем называть функции ${\mathbf{u}}$, $\varphi $, которые

а) непрерывны в объеме $V = {{V}^{ + }} \cup {{V}^{ - }}$;

б) в каждой подобласти ${{V}^{ + }}$ и ${{V}^{ - }}$ дважды непрерывно дифференцируемы;

в) в каждой из подобластей ${{V}^{ + }}$ и ${{V}^{ - }}$ удовлетворяют уравнениям движения, а также граничным ${{S}_{1}}\;{\text{:}}\;{\mathbf{u}} = 0$,${\kern 1pt} {\mathbf{\varphi }} = 0$, ${{S}_{2}}:{\mathbf{n}} \cdot ({\mathbf{\sigma }} + {\mathbf{T}} \times {\mathbf{I}}) = {\mathbf{g}}$ и начальным ${{\left. {\mathbf{u}} \right|}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{u}}}_{0}}(x,y,z)$, ${{\left. {{\mathbf{\dot {u}}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{v}}}_{0}}(x,y,z)$, ${{{\mathbf{\varphi }}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{\varphi }}}_{0}}(x,y,z)$, ${{\left. {{\mathbf{\dot {\varphi }}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{\omega }}}_{0}}(x,y,z)$ условиям линейной редуцированной среды Коссера [14].

Здесь ${\mathbf{g}}$ – заданная поверхностная нагрузка, ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$, ${{{\mathbf{v}}}_{0}}$, ${{{\mathbf{\varphi }}}_{0}}$, ${{{\mathbf{\omega }}}_{0}}$ – заданные начальные значения перемещений, поворотов и их скоростей.

г) первая производная функции ${\mathbf{u}}$ имеет конечные пределы при стремлении к поверхности $\Gamma $, разделяющей области ${{V}^{ + }}$ и ${{V}^{ - }}$, изнутри соответствующих областей;

д) первая производная функций ${\mathbf{u}}$ на поверхности $\Gamma $ удовлетворяет кинематическим и динамическим условиям совместности (20);

е) функция ${\kern 1pt} {\mathbf{\varphi }}$ непрерывна вместе со своими первыми производными в объеме $V$.

Докажем, что если решение с разрывами существует, то оно единственно.

Допустим, что существуют два решения: ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{\varphi }}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{u}}}_{2}}$, ${{{\mathbf{\varphi }}}_{2}}$. Обозначим их разности ${\mathbf{u}} \equiv {{{\mathbf{u}}}_{1}} - {{{\mathbf{u}}}_{2}}$, ${\mathbf{\varphi }} \equiv {{{\mathbf{\varphi }}}_{1}} - {{{\mathbf{\varphi }}}_{2}}$. Векторы ${\mathbf{u}}$, ${\mathbf{\varphi }}$ удовлетворяют однородным уравнениям движения, однородным граничным и начальным условиям. Кинематические и динамические условия совместности линейны по функциям ${{{\mathbf{u}}}_{i}}$ и поэтому для разности ${\mathbf{u}}$ остаются справедливыми. Докажем, что в любой момент времени ${\mathbf{u}} \equiv 0$, ${\mathbf{\varphi }} \equiv 0$ в области $V$.

Из уравнения баланса энергии для каждого решения следует формула [13]

Из уравнений (2)–(4) и симметрии тензоров ${\mathbf{D}}$, ${\mathbf{C}}$, ${\mathbf{J}}$ несложно доказать, что для разности решений справедлива следующая формула

где ${\mathbf{\tau }} = {{{\mathbf{\tau }}}_{1}} - {{{\mathbf{\tau }}}_{2}}$.

Далее воспользуемся теоремой переноса [18]. Пусть $\eta ({\mathbf{r}},t)$ – некоторая функция, определенная в точках сплошной среды, движущихся по закону ${\mathbf{r}}({\mathbf{R}},t)$, где ${\mathbf{R}}$ – отсчетные координаты. Пусть функция $\eta $ непрерывно дифференцируема в объеме $V$, кроме точек поверхности $\Gamma $, и имеет конечные пределы ${{\eta }^{ + }}$ и ${{\eta }^{ - }}$ при стремлении к поверхности $\Gamma $ по точкам ${{V}^{ + }}$ и ${{V}^{ - }}$, соответственно. Тогда

Положим $\eta = K + \Pi $, тогда $W = \int_V {(K + \Pi )} dV$ – полная энергия для разности решений. Теперь формула (23) примет следующий вид

Воспользовавшись равенством (22), перепишем последнюю формулу в виде:

Используем формулу Остроградского–Гаусса для функций, имеющих разрыв на поверхности $\Gamma $, находящейся внутри объема $V$ [19]:

Положим в равенстве (25) ${\mathbf{a}} = {\mathbf{\tau }} \cdot {\mathbf{\dot {u}}}$ и подставим результат в выражение (24), тогда (24) примет вид:

Разность решений удовлетворяет однородным граничным условиям. Тогда на ${{S}_{2}}$: ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\tau }} = 0$, на ${{S}_{1}}$: ${\mathbf{u}} = 0 \Rightarrow {\mathbf{\dot {u}}} = 0$ и интеграл по $S = {{S}_{1}} \cup {{S}_{2}}$ в (26) равен нулю. Следовательно,

Так как разность решений ${\mathbf{u}}$ удовлетворяет на поверхности $\Gamma $кинематическим и динамическим условиям совместности (20), то, по доказанному ранее (12), подынтегральное выражение в правой части формулы (27) равно нулю, откуда $\frac{{dW}}{{dt}} = 0 \Rightarrow W$ = = const(t). Поскольку разности решений удовлетворяют однородным начальным условиям, то $W(t) \equiv 0$.

Рассмотрим выражение для энергии разности решений

Поскольку $\rho $ больше нуля, а ${\mathbf{J}}$, ${\mathbf{C}}$, ${\mathbf{D}}$ – положительно определенные тензоры, то энергия $W$ может быть равна нулю только в случае, если ${\mathbf{\dot {u}}} = 0$, ${\mathbf{\dot {\varphi }}} = 0$, ${\mathbf{\varepsilon }} = 0$, ${\mathbf{\gamma }} = 0$. Откуда, с учетом нулевых начальных условий, получаем, что ${\mathbf{u}} \equiv 0$, ${\mathbf{\varphi }} \equiv 0$ [17]. Что и требовалось доказать.

Итак, в работе приведены кинематические и динамические условия совместности на поверхности разрыва в линейной анизотропной редуцированной среде Коссера. Доказано, что разрывы вектора поворота в среде не возможны. С помощью условий на поверхности разрыва доказано, что начально-краевая задача с разрывами имеет единственное решение.