Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 2, стр. 151-157

О ФОРМИРОВАНИИ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

В. Ф. Журавлёв^*

Институт проблем механики РАН
Москва, Россия

Поступила в редакцию 23.09.2019
После доработки 28.11.2019
Принята к публикации 02.12.2019

DOI: 10.31857/S0032823520010105

Аннотация

Рассматриваются вопросы формирования обратных связей эффективности управления колебаниями осциллятора Ван-дер-Поля. Под эффективностью управления понимается выбор таких законов формирования обратных связей, которые обеспечивают наискорейший выход осциллятора на стационарный режим. Изучаются два типа осциллятора – классический, с одной степенью свободы, совершающий прямолинейные колебания, и двумерный, совершающий плоские колебания [1]. Модель двумерного осциллятора Ван-дер-Поля используется обычно для изучения работы волнового твердотельного гироскопа (кварцевого полусферического резонатора).

Ключевые слова: пространственный осциллятор Ван-дер-Поля, постоянная Ляпунова, предельный цикл, волновой твердотельный гироскоп

1. Случай одномерного осциллятора с обратной связью по амплитуде. Будем рассматривать уравнение осциллятора в следующей размерной форме:

(1.1)

$\ddot {x} + {{\omega }^{2}}x = \varepsilon \omega (x_{0}^{k} - {{\left| x \right|}^{k}})\dot {x},\quad (k = 1,2,\; \ldots )$

В отличие от обычных записей уравнения Ван-дер-Поля (см., напр. [2]) обратная связь здесь выбрана в более общем виде. Найдем такое $k \in (0,1,\; \ldots )$, чтобы стационарное, асимптотически устойчивое решение уравнения (1.1) отвечало максимальному по модулю отрицательному показателю Ляпунова. Приведем уравнение (1.1) к нормальной форме Коши

(1.2)

$\begin{gathered} \dot {x} = y \\ \dot {y} = - {{\omega }^{2}} + \varepsilon \omega (x_{0}^{k} - {{\left| x \right|}^{k}})y \\ \end{gathered} $

и сделаем замену переменных

(1.3)

$(x,y) \to (r,\varphi ):\quad x = r\cos \varphi ,\quad y = r\omega \sin \varphi $

Получаем систему

(1.4)

$\begin{gathered} \dot {r} = \varepsilon \left( {x_{0}^{k} - {{r}^{k}}{{{\left| {\cos \varphi } \right|}}^{k}}} \right)r{{\sin }^{2}}\varphi \\ \dot {\varphi } = - \omega + \varepsilon \left( {x_{0}^{k} - {{r}^{k}}{{{\left| {\cos \varphi } \right|}}^{k}}} \right)r\sin \varphi \cos \varphi \\ \end{gathered} $

Полагая $\varepsilon $ малым параметром, приходим к системе с одной быстрой ($\varphi $) и одной медленной ($r$) переменной. Выполним осреднение системы (1.4) по быстрой переменной [3]:

(1.5)

$\begin{gathered} \dot {r} = \frac{\varepsilon }{2}(x_{0}^{k} - M(k){{r}^{k}})r \\ \dot {\varphi } = - \omega {\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $

где

(1.6)

$M(k) = \left\{ \begin{gathered} \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{{\left| {\cos \varphi } \right|}}^{k}}{{{\sin }}^{2}}\varphi d\varphi } \quad k = 2n + 1 \hfill \\ \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {{{{\cos }}^{k}}\varphi {{{\sin }}^{2}}\varphi d\varphi } \quad k = 2n + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad n = 0,1,\; \ldots $

Вычисления по формуле (1.6) дают

$k$	1	2	3	4	5	6
$M(k)$	0.424	0.25	0.17	0.125	0.098	0.078

Асимптотика $M(k)$ при $k \to \infty $ может быть получена для четных $k$ при помощи формулы (см., например, [3]):

(1.7)

$\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {{{{\cos }}^{{2n}}}\varphi {{{\sin }}^{2}}\varphi d\varphi = \frac{2}{{{{4}^{n}}}}\left[ {\frac{{(2n)!}}{{{{{(n!)}}^{2}}}} - \frac{{(2(n + 1))!}}{{{{{(2(n + 1)!)}}^{2}}}}} \right]{\kern 1pt} } ,$

в которой для асимптотики $n!$ используется формула Стирлинга (см. напр. [4]):

(1.8)

$n! \approx \sqrt {2\pi n} {{\left( {\frac{n}{e}} \right)}^{n}}$

В результате получаем:

(1.9)

$M(k) = M(2n) \approx \frac{1}{{\sqrt {\pi {{n}^{3}}} }}$

Стационарное решение уравнения (1.5) имеет вид

(1.10)

$r = \frac{{{{x}_{0}}}}{{\sqrt[k]{{M(k)}}}},$

соответствующее решение уравнения (1.1) в силу (1.3) таково

(1.11)

$x = \frac{{{{x}_{0}}}}{{\sqrt[k]{{M(k)}}}}\cos (\omega t - {{\varphi }_{0}}) = A\cos (\omega t - {{\varphi }_{0}}),\quad A = \frac{{{{x}_{0}}}}{{\sqrt[k]{{M(k)}}}}$

Рассмотрим вопрос об устойчивости стационарного решения (1.11), проварьировав в окрестности решения (1.10) уравнение для амплитуды в системе (1.5). Предварительно перепишем это уравнение, использовав связь амплитуды стационарного решения $A$ с установочной амплитудой ${{x}_{0}}$ в виде:

(1.12)

$\dot {r} = \frac{{\varepsilon M(k)}}{2}\left( {{{A}^{k}} - {{r}^{k}}} \right)r$

Вариация решения стационарного решения (1.10):

(1.13)

$r = A + \delta r \Rightarrow \delta \dot {r} = - \frac{1}{2}\varepsilon kM(k){{A}^{k}}\delta r$

Таким образом, характеристический показатель Ляпунова равен:

(1.14)

$\lambda = - \frac{1}{2}\varepsilon kM(k){{A}^{k}}$

Максимум модуля этого показателя определяется максимумом произведения $kM(k)$.

$k$	1	2	3	4	5	6
$kM(k)$	0.424	0.50	0.51	0.50	0.49	0.468

Видно, что этот максимум достигается при $k = 3$. При дальнейшем возрастании $k$ функция $\tilde {\lambda }(k) = kM(k)$ монотонно убывает до нуля. Таким образом, показано, что уравнение управляемого осциллятора Ван-дер-Поля с максимальным эффектом управления по амплитуде имеет вид:

$\ddot {x} + {{\omega }^{2}}x = \varepsilon \omega \left( {x_{0}^{3} - {{{\left| x \right|}}^{3}}} \right)\dot {x}$

2. Осциллятор Ван-дер-Поля с управлением по энергии колебаний. Вместо традиционной формы обратной связи в системе (1.1) рассмотрим обратную связь с управлением по энергии:

(2.1)

$\ddot {x} + {{\omega }^{2}}x = {{2}^{n}}\varepsilon \omega ({{E}^{n}} - E_{0}^{n})\dot {x},$

где

(2.2)

$E = \frac{1}{2}\left( {m{{{\dot {x}}}^{2}} + c{{x}^{2}}} \right) = \frac{m}{2}\left( {{{{\dot {x}}}^{2}} + {{\omega }^{2}}{{x}^{2}}} \right)$

или, в нормальной форме Коши

(2.3)

$\begin{gathered} \dot {x} = y \\ \dot {y} = - {{\omega }^{2}}x + \varepsilon \omega m\left( {{{{\left( {{{y}^{2}} + {{\omega }^{2}}{{x}^{2}}} \right)}}^{n}} - {{{\left( {y_{0}^{2} + {{\omega }^{2}}x_{0}^{2}} \right)}}^{n}}} \right)y \\ \end{gathered} $

Выполним в системе (2.3) замену переменных (1.3)

(2.4)

$\begin{gathered} \dot {r} = \varepsilon m{{\omega }^{{2n + 1}}}\left( {{{r}^{{2n}}} - r_{0}^{{2n}}} \right)r{{\sin }^{2}}\varphi \\ \dot {\varphi } = - \omega + \varepsilon m{{\omega }^{{2n + 1}}}\left( {{{r}^{{2n}}} - r_{0}^{{2n}}} \right)\sin \varphi \cos \varphi \\ \end{gathered} $

Осредняем систему (2.4) по быстрой фазе $\varphi $:

(2.5)

$\dot {r} = \varepsilon m{{\omega }^{{2n}}}\left( {{{r}^{n}} - r_{0}^{n}} \right)r,\quad \dot {\varphi } = - \omega $

Стационарное решение системы (2.5) имеет вид $r = {{r}_{0}}$, $\varphi = - \omega t + {{\varphi }_{0}}$, или, в исходных переменных (1.3) $x = {{r}_{0}}\cos (\omega t - {{\varphi }_{0}})$. Для исследования устойчивости этого решения запишем уравнение в вариациях в первом уравнении системы (2.5):

(2.6)

$\delta \dot {r} = n\varepsilon m{{\omega }^{{2n}}}r_{0}^{n}\delta r$

Устойчивость (2.6) имеет место при $\varepsilon < 0$.

Модуль показателя Ляпунова $\lambda = n\left| \varepsilon \right|m{{\omega }^{{2n}}}r_{0}^{n}$ монотонно возрастает при увеличении $n$, что говорит о том, что управление с обратной связью по энергии колебаний является существенно более эффективным, чем управление с обратной связью по амплитуде.

3. Двумерный случай. Уравнения двумерного управляемого осциллятора Ван-дер-Поля получены в следующем виде [1]:

(3.1)

$\begin{gathered} {{{\ddot {q}}}_{1}} + {{q}_{1}} = {{Q}_{1}} = - d(E - 1{\text{/}}2){{{\dot {q}}}_{1}} - pK{{q}_{2}} - \gamma {{{\dot {q}}}_{2}} \\ {{{\ddot {q}}}_{2}} + {{q}_{2}} = {{Q}_{2}} = - d(E - 1{\text{/}}2){{{\dot {q}}}_{2}} + pK{{q}_{1}} + \gamma {{{\dot {q}}}_{1}} \\ E = \frac{1}{2}\left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + \dot {q}_{1}^{2} + \dot {q}_{2}^{2}} \right),\quad K = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}} \\ \end{gathered} $

Осциллятор в свободном режиме ($d = p = \gamma = 0$) описывает эллиптическую траекторию в плоскости (${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$) с произвольными главными полуосями и с произвольным наклоном большой полуоси к оси абсцисc ${{q}_{1}}$. В отличие от одномерного осциллятора Ван-дер-Поля, в котором посредством специальной обратной связи поддерживается постоянной амплитуда колебаний, в двумерном случае (3.1) можно стабилизировать энергию колебаний (коэффициент обратной связи $d$), площадь эллипса (квадратура с коэффициентом обратной связи $p$), его наклон к оси абсцисс и его прецессию (коэффициент $\gamma $). Общее решение системы (3.1) при равных нулю правых частях определяет уравнение эллиптической траектории в параметрической форме:

(3.2)

${{q}_{1}} = {{x}_{1}}\cos t + {{x}_{3}}\sin t,\quad {{q}_{2}} = {{x}_{2}}\cos t + {{x}_{4}}\sin t$

Скорость движения по этой траектории:

(3.3)

${{\dot {q}}_{1}} = - {{x}_{1}}\sin t + {{x}_{3}}\cos t,\quad {{\dot {q}}_{2}} = - {{x}_{2}}\sin t + {{x}_{4}}\cos t$

Произвольные постоянные (${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$) в выражениях (3.2) и (3.3) в дальнейшем будут рассматриваться как медленно меняющиеся фазовые переменные, в том случае, когда правые части не равны нулю и малы в сравнении с восстанавливающей силой осциллятора. Два первых интеграла системы (3.1) в случае $Q = 0$ представляют собой энергию колебаний:

(3.4)

$E = \frac{1}{2}\left( {q_{1}^{2} + \dot {q}_{1}^{2} + q_{2}^{2} + \dot {q}_{2}^{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}} \right) = \frac{1}{2}{{x}^{2}}$

и момент количества движения (кинетический момент):

(3.5)

$K = {{q}_{1}}{{\dot {q}}_{2}} - {{\dot {q}}_{1}}{{q}_{2}} = {{x}_{1}}{{x}_{4}} - {{x}_{2}}{{x}_{3}}$

Площадь эллипса (квадратура):

(3.6)

$\pi rk = \frac{1}{2}\oint {({{q}_{1}}d{{q}_{2}} - {{q}_{2}}d{{q}_{1}}) = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {({{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}})dt = \pi K} } ,$

где $r$ – большая полуось эллипса, а $k$ – малая.

Используя формулы (3.2) и (3.3) в качестве замены переменных $({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{\dot {q}}_{1}},{{\dot {q}}_{2}})$ → → $({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})$ в уравнениях (3.1), получим, после осреднения по времени, уравнения в фазовых переменных

(3.7)

$\dot {x} = - dS{{e}_{2}} - pK{{e}_{3}} - \gamma {{e}_{1}},$

где

(3.8)

$S = \frac{{{{x}^{2}} - 1}}{2},\quad K = {{x}_{1}}{{x}_{4}} - {{x}_{2}}{{x}_{3}}$

4. Базис инфинитезимальных эволюций. В четырехмерном пространстве $x$ многообразие $K = 0$ представляет собой трехмерный конус. Если $Q \ne 0$, то точка $x(t)$ в фазовом пространстве $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})$ движется. В конфигурационном пространстве $q = ({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ этому соответствует эволюция начальной (невозмущенной) траектории, эллипса, или отрезка прямой. Будем отталкиваться от начальной траектории в виде отрезка прямой, поскольку в приложениях это чаще всего и требуется. Имеется четыре типа простейших эволюций:

а) прецессия формы − вращение отрезка прямой в плоскости $q = ({{q}_{1}},{{q}_{2}})$, когда существует такая вращающаяся система координат, в плоскости $q = ({{q}_{1}},{{q}_{2}})$, в которой этот отрезок неподвижен;

б) изменение амплитуды колебаний, когда меняется лишь длина отрезка;

в) изменение частоты колебаний $q(t)$ вдоль неподвижного отрезка;

г) наконец, разрушение формы, это такая эволюция, которая не сводится к первым трем. Всем этим типам эволюции прямолинейной формы колебаний в плоскости $q = ({{q}_{1}},{{q}_{2}})$, соответствуют определенные направления движения точки $x(t)$ в фазовом пространстве. Каждому из этих направлений соответствует один из четырех векторов, образующих базис инфинитезимальных эволюций, построенный в виде [1]

(4.1)

$\begin{gathered} {{e}_{1}} = \left\{ {{{x}_{2}}, - {{x}_{1}},{{x}_{4}}, - {{x}_{3}}} \right\} \\ {{e}_{2}} = \left\{ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right\} \\ {{e}_{3}} = \left\{ {{{x}_{4}}, - {{x}_{3}}, - {{x}_{2}},{{x}_{1}}} \right\} \\ {{e}_{4}} = \left\{ {{{x}_{3}},{{x}_{4}}, - {{x}_{1}}, - {{x}_{2}}} \right\}, \\ \end{gathered} $

где ${{e}_{1}}$ – определяет прецессию прямолинейной формы, ${{e}_{2}}$ – вариацию амплитуды, ${{e}_{3}}$ – разрушение прямолинейной формы и ${{e}_{4}}$ – изменение частоты.

Вычислим матрицу скалярных произведений (матрица Грама):

(4.2)

$\Gamma = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {({{e}_{1}} \cdot {{e}_{1}})}& \cdot & \cdot &{({{e}_{1}} \cdot {{e}_{4}})} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ {({{e}_{4}} \cdot {{e}_{1}})}& \cdot & \cdot &{({{e}_{4}} \cdot {{e}_{4}})} \end{array}} \right\| = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}^{2}}}&0&0&{ - 2K} \\ 0&{{{x}^{2}}}&{2K}&0 \\ 0&{2K}&{{{x}^{2}}}&0 \\ { - 2K}&0&0&{{{x}^{2}}} \end{array}} \right\|$

5. Двумерный осциллятор Ван-дер-Поля с эффективным управлением. В [1] система (3.7) изучалась в переменных ($S$, $K$) при $\gamma = 0$. Было показано, что устойчивость многообразия $S = 0$, $K = 0$ определяется отличным от нуля коэффициентом Ляпунова по переменной $S$, в то время как по квадратуре устойчивость имеет место с нулевым коэффициентом Ляпунова, т.е. определяется лишь нелинейными членами. Для повышения эффективности управления достаточно в (3.7) увеличить амплитуду обратной связи при малых $x$, для чего (3.7) следует изменить так

(5.1)

$\dot {x} = - dS{{e}_{2}} - p\frac{K}{E}{{e}_{3}} = - dS{{e}_{2}} - p\frac{{2K}}{{{{x}^{2}}}}{{e}_{3}}$

$S$, $K$ – (3.8). Перейдем в уравнениях (5.1)−(3.8) от переменных $x$ к переменным $S$, $K$. Имеем

(5.2)

$\dot {S} = \frac{{dS}}{{dx}}\dot {x} = x\left( { - dS{{e}_{2}} - p\frac{{2K}}{{{{x}^{2}}}}{{e}_{3}}} \right)$

В силу (4.1) $x = {{e}_{2}}$, а в силу (4.2) ${{e}_{2}} \cdot {{e}_{3}} = 2K$, поэтому (5.2) переписывается в виде

(5.3)

$\dot {S} = - dS(2S + 1) - 4p\frac{{{{K}^{2}}}}{{(2S + 1)}}$

Аналогично

(5.4)

$\dot {K} = \frac{{dK}}{{dx}}\dot {x} = {{e}_{3}}\left( { - dS{{e}_{2}} - p\frac{{2K}}{{{{x}^{2}}}}{{e}_{3}}} \right) = - 2dSK - 2pK$

Тем самым, система (5.1) в переменных $S$, $K$ принимает вид

(5.5)

$\begin{gathered} \dot {S} = - dS(2S + 1) - 4p\frac{{{{K}^{2}}}}{{2S + 1}} \\ \dot {K} = 2( - dKS - pK) \\ \end{gathered} $

Система (5.5) содержит особую точку $S = K = 0$, характеризующую стационарный режим колебаний с постоянной энергией ${{x}^{2}} = 1$ и с равной нулю квадратурой ${{x}_{1}}{{x}_{4}} - {{x}_{2}}{{x}_{3}} = 0$. Линеаризация системы (5.5) в окрестности этой точки приводит к системе

(5.6)

$\begin{gathered} \dot {S} = - dS, \\ \dot {K} = - 2pK \\ \end{gathered} $

Таким образом, рассмотренное управление приводит к линейным в окрестности стационарного режима уравнениям в вариациях с характеристическими числами $ - d$ и $ - 2p$. Поставленная цель достигнута.

В системе (3.1) новое управление выглядит так

$\begin{gathered} {{{\ddot {q}}}_{1}} + {{q}_{1}} = - d(E - 1{\text{/}}2){{{\dot {q}}}_{1}} - p\frac{K}{E}{{q}_{2}} \\ {{{\ddot {q}}}_{2}} + {{q}_{2}} = - d(E - 1{\text{/}}2){{{\dot {q}}}_{2}} + p\frac{K}{E}{{q}_{1}} \\ E = \frac{1}{2}\left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + \dot {q}_{1}^{2} + \dot {q}_{2}^{2}} \right),\quad K = {{q}_{1}}{{{\dot {q}}}_{2}} - {{{\dot {q}}}_{1}}{{q}_{2}} \\ \end{gathered} $

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-01633).

Список литературы

Журавлёв В.Ф. Двумерный осциллятор Ван-дер-Поля с внешним управлением // Нелин. динам. 2016. Т. 12. № 2. С. 211–222.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.
Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с.
Bryan G.H. Diffusion with back reaction // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1891. V. 7. P. 246–248.
Loper E.J., Lynch D.D. The HRG: A new low-nose inertial rotation sensor // in: Proc. 16 Jt. Services Data Exchange for Inertial Systems, November 16–18, Los Angeles, 1982. P. 432–433.
Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР. МТТ. № 5. 1983. С. 17–24.
Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 126 с.
Журавлёв В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 3. С. 15–26.
Журавлёв В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ. № 5. 1995. С. 12–24.
Журавлёв В.Ф. Решение уравнений линейного осциллятора относительно матрицы инерциального триэдра // Доклады РАН. 2005. Т. 404. № 4. С. 491–495.
Климов Д.М., Журавлёв В.Ф., Жбанов Ю.К. Кварцевый полусферический резонатор (Волновой твердотельный гироскоп). М.: Ким Л.А., 2017. 194 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал