Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 2, стр. 175-181

Известные в механике сплошной среды автомодельные и квазиавтомодельные диффузионно-вихревые течения в полуплоскости с заданным движением границы служат хорошим приближением при моделировании граничного управления процессами, происходящими в недоступной для приложения сил области движения среды. Важной задачей является нахождение параметров, в частности, закона движения границы, при которых малые начальные возмущения, наложенные на одномерные нестационарные диффузионно-вихревые течения, не возрастают (либо экспоненциально затухают) со временем по некоторой мере во всей полуплоскости.

1. Диффузия вихревого слоя с заданной скоростью границы полуплоскости. Пусть полуплоскость $\Omega = \{ - \infty < {{x}_{1}} < \infty $, ${{x}_{2}} > 0\} $ с границей $\Sigma = \{ - \infty < {{x}_{1}} < \infty $, ${{x}_{2}} = 0\} $ занята однородной несжимаемой вязкой жидкостью с плотностью $\rho $ и динамической вязкостью $\mu $. При $t < 0$ среда покоилась, а в момент $t = 0$ граница $\Sigma $ начинает двигаться вдоль самой себя с заданной кусочно-непрерывной во времени скоростью $V(t)$. Возможно наличие массовой силы $F$ с компонентами ${{F}_{1}} = 0$, ${{F}_{2}} = F({{x}_{2}},t)$.

Далее будем вести изложение в безразмерном виде, включив в размерный базис тройку величин $\{ \rho ,\mu ,{{V}_{0}}\} $, где ${{V}_{0}}$ – характерное значение функции $V(t)$. Так, классическая диффузия разрыва имеет место, если $V(t)$ совпадает с функцией Хевисайда $h(t)$. Здесь и далее $V(t)$ – безразмерная в упомянутом базисе скорость границы $\Sigma $.

Нестационарный одномерный сдвиг в области $\Omega $ при $t > 0$ моделируется начально-краевой задачей параболического типа

относительно функций $v^\circ ({{x}_{2}},t)$ и $\sigma ^\circ ({{x}_{2}},t)$, являющихся компонентами $v_{1}^{^\circ }$ и $\sigma _{{12}}^{^\circ }$ вектора скорости и тензора напряжений соответственно. Остальные их компоненты таковы:

Давление $p^\circ $ отделяется от системы уравнений (1.1) и не оказывает влияния на кинематику диффузии плоского вихревого слоя в $\Omega $.

Точное решение начально-краевой задачи (1.1), (1.2) может быть представлено с помощью интегралов Стилтьеса

Здесь $dV(t)$ понимается как $\dot {V}(t){\kern 1pt} dt$ в точках непрерывности функции $V$ и как $[V]({{t}_{k}})\delta (t - {{t}_{k}}){\kern 1pt} dt$ в возможных точках ${{t}_{k}}$, $k = 1,2, \ldots $, ее разрыва ($[V]({{t}_{k}})$ – скачки в точках ${{t}_{k}}$; $\delta (t)$ – функция Дирака).

Наложим во всей области $\Omega $ малые начальные возмущения $\delta {{v}_{i}}$, $\delta p$, $\delta {{\sigma }_{{ij}}}$, $i,j = 1,2$, зависящие от ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ и $t$, на нестационарное одномерное сдвиговое течение с параметрами (1.3)–(1.5) и исследуем развитие картины этих возмущений при $t > 0$. Предполагая, что при определенных условиях они остаются малыми и при $t > 0$ (в дальнейшем надо определить именно эти условия), дадим постановку линеаризованной задачи в возмущениях. Замкнутая система уравнений в $\Omega $ относительно трех функций $\delta {{v}_{i}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},t)$, $\delta p({{x}_{1}},{{x}_{2}},t)$ имеет вид

Запятая в индексе означает частное дифференцирование по соответствующей координате либо по времени.

Путем введения функции тока ($\delta {{v}_{1}} = {{\psi }_{{,2}}}$, $\delta {{v}_{2}} = - {{\psi }_{{,1}}}$) система (1.6) стандартным образом редуцируется к одному бипараболическому уравнению

Выберем отдельную гармонику возмущения с волновым числом $s > 0$ вдоль оси ${{x}_{1}}$:

и придем к уравнению относительно комплекснозначной функции $\varphi $: обобщающему классическое уравнение Орра–Зоммерфельда [1] на случай, когда невозмущенное течение само по себе нестационарно [2]. Заметим, что в левой части (1.9) отсутствует традиционный для уравнения Орра–Зоммерфельда в слое множитель ${\text{1/Re}}$ с числом Рейнольдса. Его невозможно составить из размерных параметров системы из-за того, что в задаче нет характерного линейного размера.

Положим, что движение границы $\Sigma $ в возмущенном течении не меняется по сравнению с невозмущенным. Это означает, что

Для анализа задачи (1.9), (1.10) воспользуемся методом интегральных соотношений, позволяющим выводить достаточные интегральные оценки затухания начальных возмущений и получившим широкое применение в линеаризованной теории гидродинамической устойчивости. В обзорах, содержащихся в [3, 4], такие оценки собраны для большого класса течений с различными: а) кинематикой невозмущенного движения (не только соответствующей сдвигу); б) определяющими соотношениями, включающими неньютоновские, вязкопластические среды, материалы с тензорно нелинейной связью напряжений и скоростей деформаций, кусочно-неоднородные и непрерывно стратифицированные среды; в) классами возмущений, удовлетворяющими либо не удовлетворяющими теореме Сквайра или аналогичным утверждениям. В публикуемой работе, как и в [2], особенностью является то, что в силу нестационарности основного течения уравнение (1.9) не содержит явно спектрального параметра, по знаку действительной части которого можно было бы судить об устойчивости возмущенной картины. Роль этого параметра выполняет частная производная по $t$. Присутствие такого “операторного” спектрального параметра налагает особенности на процедуру метода, и, как будет видно, в целом усложняет его.

Положим, что $\varphi ({{x}_{2}},t) = {{\varphi }_{*}} + i{{\varphi }_{{{\text{**}}}}}$ – элемент комплекснозначного гильбертова пространства ${{H}_{2}}(0,\infty )$ с нормой

Аналитическая схема метода интегральных соотношений формально сводится к следующим процедурам. Умножим обе части (1.9) на $\bar {\varphi }({{x}_{2}},t) = {{\varphi }_{*}} - i{{\varphi }_{{{\text{**}}}}}$ и проинтегрируем по ${{x}_{2}}$ от нуля до бесконечности с учетом граничных условий (1.10). После преобразований запишем для действительных частей получившегося равенства:

Неравенство Коши–Буняковского в ${{H}_{2}}$ позволяет оценить сверху первое слагаемое в правой части уравнения (1.12):

Тогда для левой части уравнения (1.12) получим

Пусть $\Lambda (s,t)$ – оценивающая функция, такая что неравенство

справедливо для любой функции $\varphi \in {{H}_{2}}(0,\infty )$ с условиями (1.10). Тогда несложно вывести интегральную оценку развития возмущений

Нахождение функций $\Lambda $ связано с оценками отношений квадратичных функционалов $I_{n}^{2}$, $n = 0,1,2$, в пространстве ${{H}_{2}}(0,\infty )$. На конечном интервале эти оценки следуют из неравенств Фридрихса [5], при выводе которых используют экстремальные свойства первых положительных собственных значений соответствующих задач [6]. Не останавливаясь на возможных обобщениях неравенств Фридрихса на полубесконечный интервал, заметим, что если $\Lambda (s,t) \leqslant 2{{s}^{2}} - q(t)$, то неравенство (1.17) выполнено для любых функций $\varphi \in {{H}_{2}}(0,\infty )$. Выбирая для оценки минимальный из этого полуинтервала параметр $\Lambda $, равный $2{{s}^{2}} - q(t)$, из оценки (1.18) получим

Поскольку $q(t) \geqslant 0$ в силу неравенства (1.15), единой равномерной по $s$ оценки затухания начальных возмущений (даже если $\int_0^t q(\tau ){\kern 1pt} d\tau $ растет при $t \to \infty $ медленнее, чем линейная функция) из соотношения (1.19) представить не удается. Видно, что коротковолновые гармоники затухают заведомо быстрее, чем длинноволновые.

Обратим отдельное внимание на случай $s = 0$, в котором $\delta {{v}_{1}}$ зависит только от ${{x}_{2}}$ и $t$, а $\delta {{v}_{2}} \equiv 0$. Из соотношения (1.12) следует, что для таких одномерных возмущений имеет место достаточно грубая оценка

2. Частные случаи задания скорости границы. Остановимся ниже на некоторых характерных случаях задания скорости $V(t)$.

а) “Ступенька Хевисайда”. Пусть $V(t) = h(t)$. Тогда согласно решению (1.5)

Показатель экспоненты в соотношении (1.19), равный $ - 2{{s}^{2}}t + (\sqrt {t{\text{/}}\pi } ){\text{/}}2$, стремится к минус бесконечности при $t \to \infty $ для любого волнового числа $s > 0$, что говорит о затухании возмущений в смысле интегральной меры (1.11). Но чем больше длина возмущения вдоль оси ${{x}_{1}}$, тем медленнее происходит затухание.

б) Степенной рост. Пусть $V(t) = {{t}^{\gamma }}$, $\gamma > 0$. Имеем

Выделим три подслучая:

б1) $0 < \gamma < 1{\text{/}}2$. Тогда показатель экспоненты в неравенстве (1.19) при $t \to \infty $ стремится к минус бесконечности для любого $s > 0$, т.е. начальные возмущения со всеми гармониками экспоненциально затухают;

б2) $\gamma = 1{\text{/}}2$; $J(1{\text{/}}2) = \sqrt \pi {\text{/}}2$. Показатель экспоненты в неравенстве (1.19) – линейная функция $(\sqrt \pi {\text{/}}2 - {{s}^{2}})t$. Гармоники с волновыми числами, большими чем $4\pi {\text{/}}\sqrt 2 $, экспоненциально затухают;

б3) $\gamma > 1{\text{/}}2$. В этом случае скорость границы растет достаточно быстро, и о затухании возмущений ничего сказать нельзя. Неравенство (1.19) играет роль только верхней оценки роста возмущений при $t \to \infty $.

3. Диффузия вихревого слоя с заданным касательным напряжением на границе полуплоскости. Исследуем родственное предыдущему течение такой же среды, которое отличается тем, что на прямолинейной границе $\Sigma $ задана не скорость, а касательное напряжение ${{\sigma }_{{12}}} = S(t)$, не меняющееся и в возмущенном движении [7]. В размерный базис включим теперь тройку величин $\{ \rho ,\mu ,{{S}_{0}}\} $, где ${{S}_{0}}$ – характерное значение функции $S(t)$. Классическая диффузия разрыва касательного напряжения имеет место, если $S(t) = h(t)$. Как и ранее, во избежание новых обозначений в последней формуле $S$ – уже безразмерная функция, отнесенная к ${{S}_{0}}$. Скорость границы в начальный момент времени терпит излом, но является непрерывной.

Система уравнений (1.1) и соотношения (1.3) в $\Omega $ остаются прежними, а вместо граничных и начальных условий (1.2) запишем

Точное решение начально-краевой задачи (1.1), (3.1) имеет вид

где скорость границы $\Sigma $ полуплоскости определяется выражением

Постановка и анализ линеаризованной задачи в возмущениях, наложенных на основное движение с параметрами (3.2)–(3.4), весьма схожи с рассмотренными в п. 1. Остановимся на отличиях и особенностях задачи о диффузии вихревого слоя с заданным касательным напряжением.

Уравнение (1.9) относительно комплекснозначной функции $\varphi ({{x}_{2}},t)$ теперь сопровождается однородными условиями

соответствующими тому, что в возмущенном процессе граница $\Sigma $ остается прямолинейной, и на ней значение касательного напряжения $S(t)$ такое же, как и в невозмущенном.

Применение метода интегральных соотношений к задаче (1.9), (3.5) непосредственно приводит к той же, что и ранее, экспоненциальной оценке (1.19). Функция $q(t)$ определяется из равенств (1.15), куда теперь надо подставить выражения (3.2)–(3.4). Остановимся на некоторых характерных случаях задания на $\Sigma $ касательного напряжения $S(t)$.

а) “Ступенька Хевисайда”. Пусть $S(t) = h(t)$. Тогда параметры основного течения следующие:

Модуль скорости границы ${\text{|}}v_{\Sigma }^{^\circ }{\kern 1pt} {\text{|}}$ равен $2\sqrt {t{\text{/}}\pi } $, т.е. течение неограниченно разгоняется.

Оценивающий показатель экспоненты в (1.19) – линейная функция времени $(1 - 2{{s}^{2}})t$. Она стремится к минус бесконечности при достаточно больших волновых числах $s \geqslant 1{\text{/}}\sqrt 2 $. Для длинноволновых возмущений ($s < 1{\text{/}}\sqrt 2 $) неравенство (1.19) не является оценкой затухания.

б) Монотонный рост. Пусть $S(t)$ – неотрицательная кусочно-непрерывная монотонно неубывающая функция. Тогда $q(t) = S(t)$ и показатель экспоненты в (1.19) равен $ - 2{{s}^{2}}t + \int_0^t dS(\tau )$. От его поведения при больших $t$ зависит то, какой оценкой является неравенство (1.19): затухания возмущений или их роста.

Выводы. Найденные достаточные интегральные экспоненциальные оценки развития малых начальных возмущений в полуплоскости показывают, что во всех рассмотренных задачах наименее устойчивым является возмущенное движение, соответствующее гармоникам с малыми волновыми числами, т.е. длинноволновым возмущениям. В задаче о диффузии плоского вихревого слоя с заданной скоростью $V(t)$ границы степенной рост функции $V(t) = {{t}^{\gamma }}$ с показателем $\gamma $, меньшим чем 1/2, приводит к затуханию малых по интегральной мере пространства ${{H}_{2}}(0,\infty )$ кинематических возмущений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (18-29-10085 мк, 19-01-00016 а).