1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 84, № 2, 2020

Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 2, стр. 234-241

О СТАТИЧЕСКОЙ БИФУРКАЦИИ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРЕТОЙ ПАНЕЛИ, ОБТЕКАЕМОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Н. В. Баничук 1, *, В. С. Афанасьев 1, **, С. Ю. Иванова 1, ***

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: banichuk@ipmnet.ru
** E-mail: ciber200hlrn05Ox@yandex.ru
*** E-mail: syuivanova@yandex.ru

Поступила в редакцию 07.11.2019
После доработки 14.02.2020
Принята к публикации 18.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается продольное движение нагретой упругой панели, обтекаемой потоком идеальной жидкости. Предполагается, что панель, движущаяся с постоянной продольной скоростью и совершающая поперечные упругие колебания, оперта на краях пролета. Задача статической неустойчивости (бифуркации) формулируется на основе концепции упругого равновесия искривленной панели под действием прикладываемых к панели инерционных сил, гидродинамической реакции, теплового воздействия и внутриплоскостных растяжений (сжатий). Возникающая нелинейная граничная задача решается при помощи метода возмущений. В результате исследовано влияние нагрева, гидроупругого взаимодействия, а также внутриплоскостного растяжения (сжатия) на устойчивость упругой панели, совершающей продольное движение и поперечные колебания.

Ключевые слова: метод возмущений, статическая устойчивость, нелинейный анализ

Исследования устойчивости продольно движущихся деформируемых структурных элементов, таких как балки, струны, панели и пластинки, выполнялись ранее в основном с использованием линейных моделей (см., например, монографию [1]). Небольшое число исследований устойчивости продольно движущихся упругих элементов было выполнено в рамках нелинейных моделей [2–4]. Отметим также исследования по устойчивости деформируемых прямолинейно движущихся конструктивных элементов, выполняемые с учетом взаимодействия рассматриваемого элемента с потоком жидкости [1, 5–19].

В настоящей работе изучается влияние нагрева и гидродинамического воздействия, а также внутриплоскостного натяжения на устойчивость продольно движущихся нагретых упругих панелей, обтекаемых идеальной жидкостью. Используется гидротермоупругая модель, основанная на комбинированном учете однородного поля температур, гидродинамической реакции, внутриплоскостного натяжения и изгибных упругих сил. В используемой модели предполагается малость термоупругих деформаций и приближение присоединенных масс для выражения гидродинамической реакции. Эти предположения приводят к существенным упрощениям и допускают эффективное применение аналитических подходов (см., например, [6, 12, 13]).

1. Основные соотношения. Рассмотрим продольное движение с постоянной скоростью упругой, подпертой на краях панели, обтекаемой идеальной жидкостью и совершающей поперечные колебания. Панель находится под воздействием инерциальных сил, изгибных сил, внутриплоскостных натяжений, термических воздействий и давления жидкости. С целью вывода определяющего уравнения для функции поперечных упругих прогибов $w$ представим сначала уравнение равновесия для поперечных проекций действующих сил:

(1.1)
${{Q}_{I}} + {{Q}_{H}} + {{Q}_{B}} + {{Q}_{T}} = {{Q}_{f}}$

Здесь ${{Q}_{I}} = {{Q}_{I}}\left( w \right)$, ${{Q}_{H}} = {{Q}_{H}}\left( w \right)$, ${{Q}_{T}} = {{Q}_{T}}\left( w \right)$, ${{Q}_{B}} = {{Q}_{B}}\left( w \right)$ и ${{Q}_{f}} = {{Q}_{f}}\left( w \right)$ – поперечные проекции, соответственно, сил инерции, тепловых воздействий, внутриплоскостных натяжений, изгибных сил и давления жидкости. Проекции сил инерции и изгиба записываются в виде

(1.2)
${{Q}_{I}}\left( w \right) = m{{V}_{0}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}$
(1.3)
${{Q}_{B}}\left( w \right) = D\frac{{{{\partial }^{4}}w}}{{\partial {{x}^{4}}}},$
где $D$, $m$ и ${{V}_{0}}$ – соответственно, изгибная жесткость, масса на единицу площади и продольная скорость панели. Проекция ускорения в поперечном направлении, обусловленная наличием натяжения панели, дается формулами
(1.4)
${{Q}_{T}}\left( w \right) = - {{T}_{p}}\left( w \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}$
(1.5)
${{T}_{p}}(w) = {{T}_{0}} + \frac{c}{{2\ell }}\int\limits_{ - l}^l {\left( {{{{\left[ {1 + {{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}}} \right]}}^{{\frac{1}{2}}}} - 1} \right)dx} = {{T}_{0}} + \frac{c}{4}{{\int\limits_{ - l}^l {\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)} }^{2}}dx,$
где ${{T}_{0}}$ – постоянное плоскостное натяжение неизогнутой панели, $c$ – коэффициент жесткости, $2\ell $ – длина пролета между местами опирания панели. Поперечная проекция теплового воздействия (сжатия или растяжения) определяется следующим образом [20]
(1.6)
${{Q}_{H}}\left( w \right) = {{T}_{\theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}$
(1.7)
${{T}_{\theta }} = \frac{{Eh}}{{1 - \nu }} {{\alpha }_{\theta }}\left( {{{\theta }_{{{\text{abs}}}}} - {{\theta }_{0}}} \right) = {\text{const,}}$
где $E$ – модуль Юнга, $\nu $ – коэффициент Пуассона, $h$ – толщина панели, ${{\theta }_{0}}$ и ${{\theta }_{{{\text{abs}}}}}$ – нормальная и действительная температуры, измеряемые по шкале Кельвина, ${{\alpha }_{\theta }}$ – постоянный коэффициент линейного теплового расширения.

Поперечная проекция гидродинамического давления может быть представлена в виде [1, 15]

(1.8)
${{Q}_{f}}\left( w \right) = - {{m}_{a}}v_{\infty }^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}$

Здесь ${{v}_{\infty }}$ – скорость потока идеальной жидкости в продольном направлении, а ${{m}_{a}}$ – присоединенная масса жидкости, определяемая выражением [9]

(1.9)
${{m}_{a}} = \frac{{\pi \ell }}{4}{{\rho }_{f}},$
в котором величина ${{\rho }_{f}}$ означает плотность жидкости.

Используя далее выражения (1.2)–(1.9) для ${{Q}_{I}}\left( w \right)$, ${{Q}_{B}}\left( w \right)$, ${{Q}_{T}}\left( w \right)$, ${{Q}_{H}}\left( w \right)$, ${{Q}_{f}}\left( w \right)$ и безразмерные переменные (штрихи у безразмерных переменных в дальнейшем опускаем) $x = \ell x{\kern 1pt} '$, $w = \ell w{\kern 1pt} '$, записываем уравнение (1.1) в следующей форме:

(1.10)
$\frac{D}{{{{\ell }^{4}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}w}}{{\partial {{x}^{4}}}} + \frac{1}{{{{\ell }^{2}}}}\left( {mV_{0}^{2} + {{m}_{a}}v_{\infty }^{2}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \left[ {{{T}_{\theta }} - {{T}_{0}} - \frac{c}{{4\ell }}\int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}}dx} } \right]\frac{1}{{{{\ell }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0,$
где $\ell $ играет роль характеристического значения. Далее введем следующие обозначения:

(1.11)
$\begin{gathered} S = {{\left( {\frac{T}{m}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}},\quad T = {{T}_{0}} - {{T}_{\theta }} \\ {{r}_{m}} = \frac{{{{m}_{a}}}}{m},\quad {{r}_{v}} = \frac{{{{v}_{\infty }}}}{{{{V}_{0}}}},\quad {{r}_{0}} = \frac{{{{V}_{0}}}}{S} \\ \beta = \frac{c}{{4\ell m}},\quad \kappa = \frac{D}{{{{\ell }^{2}}\left( {{{T}_{0}} - {{T}_{\theta }}} \right)}} = \frac{D}{{{{\ell }^{2}}T}} \\ \end{gathered} $

С использованием этих обозначений уравнение (1.10) запишется следующим образом:

(1.12)
$\frac{{{{d}^{4}}w}}{{d{{x}^{4}}}} + \lambda \frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}} - \varepsilon \left( {\int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left( {\frac{{dw}}{{dx}}} \right)}}^{2}}dx} } \right)\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}} = 0,$
где

(1.13)
$\varepsilon = \frac{\beta }{{\kappa {{S}^{2}}}} = \frac{{c\ell }}{{4D}},\quad \lambda = \frac{1}{\kappa }[r_{0}^{2}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1]$

Нелинейная краевая задача для уравнения (1.12), (1.13) решается с учетом граничных условий

(1.14)
${{\left( w \right)}_{{x = \pm 1}}} = {{\left( {\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0,$
определенных на краях панели ($x = \pm 1$).

2. Применение метода возмущений. Принимая во внимание малость параметра $\varepsilon $ $\left( {\varepsilon = \frac{{c\ell }}{{4D}} < 1} \right)$, представим искомую функцию перемещений $w$ и критическую величину параметра неустойчивости $\lambda $, зависящую от величины критической скорости ${{V}_{0}}$, в виде степенных рядов по малому параметру $\varepsilon $:

(2.1)
$\begin{gathered} w = {{w}^{{\left( 0 \right)}}} + \varepsilon {{w}^{{\left( 1 \right)}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{w}^{{\left( 2 \right)}}} + ... \\ \lambda = {{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}} + \varepsilon {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}} + ..., \\ \end{gathered} $
в которых величины ${{w}^{{\left( i \right)}}}$ и ${{\lambda }^{{\left( i \right)}}}$ $(i = 0,1,2,...)$ не зависят от $\varepsilon $, а ${{w}^{{\left( 0 \right)}}}$ и ${{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}}$ являются решением краевой задачи в нулевом приближении, т.е. при $\varepsilon = 0$. Для получения соотношений, которые используются для определения ${{w}^{{\left( i \right)}}}$ и ${{\lambda }^{{\left( i \right)}}}$, подставим степенные ряды (2.1) в уравнение (1.12). Будем иметь

(2.2)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + \varepsilon \frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{(1)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{(2)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + \\ + \;({{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}} + \varepsilon {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}})\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + \varepsilon \frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(1)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(2)}}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right) - \\ - \;\varepsilon \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{{d{{w}^{{(0)}}}}}{{dx}} + \varepsilon \frac{{d{{w}^{{(1)}}}}}{{dx}} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d{{w}^{{(2)}}}}}{{dx}}} \right)} dx\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + \varepsilon \frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(1)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(2)}}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Следующий шаг состоит в группировании членов с одинаковыми степенями $\varepsilon $. Далее, используя классический метод возмущений (метод малого параметра), приравниваем к нулю соответствующие выражения, определяющие последовательно величины ${{w}^{{\left( i \right)}}}$ и ${{\lambda }^{{\left( i \right)}}}$. Таким образом, исходная нелинейная краевая задача (1.12)–(1.14) сводится к последовательности линейных задач. Решая эти задачи, можно определить решения с требуемой точностью. Аппроксимация нулевого порядка определяется соотношениями

(2.3)
$\frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + {{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} = 0,\quad {{({{w}^{{(0)}}})}_{{x = \pm 1}}} = {{\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0$

Решение линейной краевой задачи нулевого приближения (2.3) не представляет сложностей и записывается в виде

(2.4)
${{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}} = {{\left( {k\pi } \right)}^{2}},\quad {{w}^{{\left( 0 \right)}}} = - \frac{A}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}\sin k\pi x,\quad x \in [ - 1,1]$

Здесь $A$ – произвольная константа, $k = 1,2,...$

Далее с использованием аппроксимации нулевого порядка (${{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}}$, ${{w}^{{\left( 0 \right)}}}$) уравнение для первого приближения

$\frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} - \left( {\int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left( {\frac{{d{{w}^{{(0)}}}}}{{dx}}} \right)}}^{2}}dx} } \right)\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{(0)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} = 0$
записывается в следующем виде:
(2.5)
${{\frac{{{{d}^{4}}w}}{{d{{x}^{4}}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{\left( {k\pi } \right)}^{2}}{{\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}A\sin k\pi x - \frac{A}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}\sin k\pi x = 0,$
где

(2.6)
${{\left( {{{w}^{{\left( 1 \right)}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = {{\left( {{{{\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}}}^{{\left( 1 \right)}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0$

Введем новую переменную ${{u}^{{\left( 1 \right)}}}$, удовлетворяющую соотношениям

(2.7)
${{u}^{{\left( 1 \right)}}} = {{\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}}^{{\left( 1 \right)}}},\quad {{\left( {{{u}^{{\left( 1 \right)}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0$
и сведем исходное дифференциальное уравнение (2.5) четвертого порядка к соответствующему дифференциальному уравнению второго порядка:

(2.8)
${{\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{x}^{2}}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{\left( {k\pi } \right)}^{2}}{{u}^{{\left( 1 \right)}}} + \left( {{{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}} - \frac{{{{A}^{2}}}}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}} \right)A\sin k\pi x = 0$

Решая уравнение (2.8) с граничными условиями (2.7), будем иметь (${{B}_{1}}$ – произвольная постоянная)

(2.9)
${{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}} = \frac{A}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}},\quad {{u}^{{\left( 1 \right)}}} = {{B}_{1}}\sin k\pi x,\quad x \in [ - 1,1],$
причем, как это следует из (2.6), (2.7) и (2.9), справедливо равенство

(2.10)
${{w}^{{\left( 1 \right)}}} = - \frac{{{{B}_{1}}}}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}\sin k\pi x,\quad x \in [ - 1,1]$

В результате получаем поправки (2.9), (2.10) первого приближения, корректирующие искомое решение краевой задачи.

Аппроксимация второго порядка находится на основе решения следующей краевой задачи:

(2.11)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{4}}{{w}^{{\left( 2 \right)}}}}}{{d{{x}^{4}}}} + {{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 0 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 2 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 1 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} - \\ - \;\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {{{{\left( {\frac{{d{{w}^{{\left( 0 \right)}}}}}{{dx}}} \right)}}^{2}}dx} } \right)\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 1 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} - 2\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{d{{w}^{{\left( 0 \right)}}}}}{{dx}}\frac{{d{{w}^{{\left( 1 \right)}}}}}{{dx}}dx} } \right)\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 0 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} = 0 \\ {{\left( {{{w}^{{\left( 2 \right)}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = {{\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 2 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Подставляя найденные величины нулевого и первого приближений и новую переменную ${{u}^{{\left( 2 \right)}}}$, определяемую равенствами

(2.12)
${{u}^{{\left( 2 \right)}}} = \frac{{{{d}^{2}}{{w}^{{\left( 2 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}},\quad {{\left( {{{u}^{{\left( 2 \right)}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0$
в уравнение (2.11), сводим дифференциальное уравнение четвертого порядка к дифференциальному уравнению второго порядка

(2.13)
$\frac{{{{d}^{2}}{{u}^{{\left( 2 \right)}}}}}{{d{{x}^{2}}}} + {{\left( {k\pi } \right)}^{2}}{{u}^{{\left( 2 \right)}}} + A\sin k\pi x\left( {{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}} - 2\frac{{A{{B}_{1}}}}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}} \right) = 0$

Решение уравнений (2.11)–(2.13) определяет корректирующие поправки второго приближения

(2.14)
${{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}} = \frac{{2A{{B}_{1}}}}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}},\quad {{u}^{{\left( 2 \right)}}} = {{C}_{1}}\sin k\pi x,\quad {{w}^{{\left( 2 \right)}}} = - \frac{{{{C}_{1}}}}{{{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}\sin k\pi x,$
где ${{C}_{1}}$ – произвольная константа.

Из выражения для параметра $\lambda $

(2.15)
$\lambda = \frac{1}{\kappa }[r_{0}^{2}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1] = \frac{{{{\ell }^{2}}T}}{D}\left[ {\frac{m}{T}V_{0}^{2} + \frac{{{{m}_{a}}}}{T}v_{\infty }^{2} - 1} \right]$
вытекает следующая формула:

(2.16)
$V_{0}^{2} = \lambda \frac{D}{{m{{\ell }^{2}}}} + \frac{T}{m} - \frac{{{{m}_{a}}}}{m}v_{\infty }^{2}$

Используя полученные выражения для параметра $\lambda $ в нулевом, первом и втором приближениях, будем иметь

(2.17)
$\lambda = {{\lambda }^{{\left( 0 \right)}}} + \varepsilon {{\lambda }^{{\left( 1 \right)}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }^{{\left( 2 \right)}}} = {{\left( {k\pi } \right)}^{2}} + \frac{{Ac}}{{D{{{\left( {k\pi } \right)}}^{2}}}}\left( {\frac{{A\ell }}{4} + \frac{{{{B}_{1}}c}}{{8T}}} \right)$

Подставляя разложение (2.17) в формулу (2.16), находим в случае, когда $k = A = {{B}_{1}}$ = 1, следующее выражение для квадратичной критической скорости дивергенции (неустойчивости):

(2.18)
$V_{0}^{2} = {{\pi }^{2}}\frac{D}{{m{{\ell }^{2}}}} + \frac{c}{{4{{\pi }^{2}}m\ell }} + \frac{{{{c}^{2}}}}{{8{{\pi }^{2}}m{{\ell }^{2}}T}} + \frac{{{{T}_{0}}}}{m} - \frac{{Eh}}{{1 - \nu }}{{\alpha }_{\theta }}\frac{\theta }{m} - \frac{{\pi \ell }}{4}{{\rho }_{f}}\frac{{v_{\infty }^{2}}}{m}$

3. Линейный анализ устойчивости. Рассмотрим линейный случай, когда $\varepsilon = 0$. Тогда, используя (1.12)–(1.14), будем иметь

(3.1)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{4}}w}}{{d{{x}^{4}}}} + \lambda \frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}} = 0,\quad \lambda = \frac{1}{\kappa }(r_{0}^{2}(1 + {{r}_{m}}r_{v}^{2}) - 1) \\ {{\left( w \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0,\quad {{\left( {\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Вводя новую переменную $u = \frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}$ и подставляя ее в равенства (3.1), получим

(3.2)
$\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{x}^{2}}}} + \lambda u = 0,\quad {{\left( u \right)}_{{x = \pm 1}}} = 0$

Решение краевой задачи (3.2) дается формулами ($A$ – произвольная постоянная)

(3.3)
$\lambda = \frac{1}{\kappa }\left[ {\frac{{{{V}_{0}}}}{{{{S}^{2}}}}\left( {1 + {{r}_{m}}\frac{{v_{\infty }^{2}}}{{V_{0}^{2}}}} \right) - 1} \right],\quad u = A\sin k\pi x,\quad k = 1,2,...$

Как результат, из краевой задачи (3.1) и формулы (3.3) получим соотношение

(3.4)
${{\left( {k\pi } \right)}^{2}} = \frac{1}{\kappa }\left[ {\frac{{{{V}_{0}}}}{{{{S}^{2}}}}\left( {1 + {{r}_{m}}\frac{{v_{\infty }^{2}}}{{V_{0}^{2}}}} \right) - 1} \right]$

Учитывая, как следует из соотношения (3.4), что минимум величины $V_{0}^{2}$ (критической скорости дивергенции) реализуется при $k = 1$, находим

(3.5)
${{\left( {V_{0}^{2}} \right)}_{{\operatorname{div} }}} = \frac{1}{m}\left\{ {\frac{D}{{{{\ell }^{2}}}}{{\pi }^{2}} - {{m}_{a}}{v}_{\infty }^{2} + T} \right\}$

Таким образом, статическая устойчивость (критическая скорость дивергенции) возрастает, когда увеличиваются значения изгибной жесткости $D$ и плоскостного натяжения $T$, и уменьшается при возрастании длины половины пролета $\ell $, присоединенной массы ${{m}_{a}}$, массы $m$ на единицу площади панели и скорости жидкости ${{{v}}_{\infty }}$.

Заключение. В нелинейной постановке сформулирована задача статической устойчивости (дивергенции) нагретой панели, обтекаемой идеальной жидкостью. Для эффективного анализа устойчивости в нелинейной постановке развивается метод возмущений. Применение процедуры малого параметра обеспечивает возможность сведения рассматриваемой нелинейной проблемы к системе линейных краевых задач, последовательное решение которых реализуется в аналитической форме. В результате найденные аппроксимации нулевого, первого и второго порядка точности позволяют выявить зависимость критической скорости дивергенции от таких параметров задачи, как скорость жидкости, присоединенная масса жидкости, изгибная жесткость, величина температуры нагретой панели и геометрические параметры панели. Аналитический подход к анализу устойчивости движущейся панели, обтекаемой потоком идеальной жидкости, применен также в частном случае линейной постановки проблемы.

Работа выполнена по теме Госзадания (номер госрегистрации АААА-А20-120011690132-4) и при частичной финансовой поддержке Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 20-08-00082а).

Список литературы

  1. Banichuk N., Jeronen J., Neittaanmäki P., Saksa T., Tuovinen T. Mechanics of Moving Materials. Cham: Springer, 2014. 253 p.

  2. Vetyukov Y., Gruber P., Krommer M. Nonlinear model of an axially moving plate in a mixed Eulerian–Lagrangian framework // Acta Mech. 2016. V. 227. № 10. P. 2831–2842.

  3. Ghayech M.H., Amabili M. Nonlinear stability and bifurcations of an axially moving beam in thermal environment // J. Vibr.&Control. 2015. V. 21. № 15. P. 2981–2984.

  4. Marynowski K. Non-linear vibrations of an axially moving viscoelastic web with time-dependent tension // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. V. 21. P. 481–490.

  5. Pramila A. Sheet flutter and the interaction between sheet and air // TAPPI J. 1986. V. 68. № 7. P. 70–74.

  6. Pramila A. Natural frequencies of a submerged axially moving band // J. Sound&Vibr. 1987. V. 113. № 1. P. 198–203.

  7. Kornecki A., Dowell E.H., O’Brien J. On the aeroelastic instability of two-dimensional panels in uniform incompressible flow // J. Sound&Vibr. 1976. V. 47. № 2. P. 163–178.

  8. Chang Y.B., Moretti P.M. Interaction of fluttering webs with surrounding air // TAPPI J. 1991. V. 74. № 3. P. 231–236.

  9. Frondelius T., Koivurova H., Pramila A. Interaction of an axially moving band and surrounding fluid by boundary layer theory // J. Fluids&Struct. 2006. V. 22. № 8. P. 1047–1056.

  10. Баничук Н.В., Миронов А.А. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 5. С. 889–899.

  11. Баничук Н.В., Миронов А.А. Задачи оптимизации для пластин, колеблющихся в идеальной жидкости // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 3. С. 520–527.

  12. Баничук Н.В., Миронов А.А. Схема струйного обтекания для исследования равновесных форм упругих пластин в потоке жидкости и задачи оптимизации // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 1. С. 83–90.

  13. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. 256 с.

  14. Banichuk N., Jeronen J., Neittaanmäki P., Tuovinen T. Dynamical behavior of an axially moving plate undergoing small cylindrical deformation submerged in axially flowing ideal fluid // J. Fluids&Struct. 2011. V. 27. № 7. P. 985–1005.

  15. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Исследование устойчивости продольного движения панели с учетом гидротермоупругого взаимодействия // Проблемы прочности и пластичности. 2018. Т. 80. № 4. С. 456–465.

  16. Bisplinghoff R.L., Ashley H. Principles of Aeroelasticity. New York: Dover Publ., 1962. 527 p.

  17. Ashley H., Landahl M. Aerodynamics of Wings and Bodies. New York: Dover Publ., 1965. 304 p.

  18. Ashley H., McIntosh S.C. Applications of aeroelastic constraints on structural optimization // In: Proc. 12th Intern. Congr. Theor.&Appl. Mech. Berlin: Springer, 1969. P. 100–113.

  19. Andersen J.D.Jr. Fundamentals of Aerodynamics. New York: McGraw-Hill, 1985. 760 p.

  20. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев: Вища школа. 1975. 216с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал