Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 4, стр. 481-499

1. Введение. При рассмотрении длинных волн в пластине естественно использовать двухмерные модели, ибо напряженное состояние в ней близко к плоскому напряженному состоянию. Вывод двухмерных приближенных моделей тонких пластин и оболочек – это одна из классических задач механики. Классическая модель Кирхгофа–Лява (КЛ) может быть получена из трехмерных уравнений теории упругости с использованием гипотез о прямой нормали [1, 2]. Более сложная и в ряде случаев более точная модель Тимошенко–Рейсснера (ТР) для описания деформаций тонкостенных конструкций с учетом поперечного сдвига была предложена первоначально для балок [3] и оболочек [4], соответственно. Для пластин эта модель была впервые применена в работах [5, 6].

Ряд уточненных моделей основан на разложении неизвестных функций по полиномам Лежандра [7, 8]. В последнее время широко используются модели [9], связанные с разложением перемещений в ряд по степеням толщины $z$ с подлежащими определению коэффициентами. В результате получаются модели первого, второго, третьего и т.д. порядка. В частности, классическая модель КЛ имеет первый порядок, а модель ТР – третий. Кроме того, область применимости этих моделей ограничена однородными ортотропными пластинами. Для функционально градиентных и многослойных пластин эти модели напрямую неприменимы. Приходится вводить однородные пластины с эквивалентными упругими свойствами или (для многослойных пластин) осуществлять стыковку слоев [8].

Многочисленные исследования посвящены выводу двухмерных уравнений с использованием асимптотических разложений по степеням малого параметра толщины $\mu = h{\text{/}}L$, где $h$ – толщина, $L$ – характерная длина волны в тангенциальных направлениях (см. [10–14] и др.).

Асимптотическое разложение используется и в данной работе [15, 16]. Нулевое приближение соответствует гипотезам о прямой нормали и приводит к модели Кирхгофа–Лява. Первое приближение, появляется лишь для анизотропных пластин с наклонной анизотропией. В остальных случаях (для изотропных, ортотропных и моноклинных пластин, однородных и неоднородных по толщине) первое приближение отсутствует, и внимание было сосредоточено на построении второго приближения – на уточненных моделях второго порядка точности. Преимущество асимптотического разложения по сравнению с разложением по степеням $z$ заключается в том, что в одном приближении асимптотического разложения собираются члены одного порядка малости в то время, как в разложении по степеням $z$ члены различных порядков перемешаны. В то же время последние разложения приводят к более простым моделям.

Были построены уравнения второго порядка точности, как для изотропных однородных по толщине пластин [13, 14], так и для многослойных трансверсально изотропных пластин [16]. Найденный при этом эквивалентный модуль поперечного сдвига [17–19] был использован для построения обобщенной модели Тимошенко–Рейсснера и для решения частных задач [20, 21]. Для многослойной пластины из моноклинного материала построены модели второго порядка точности [22, 23]. Эффекты второго порядка малости для моноклинных материалов – это поперечный сдвиг и деформация растяжения (сжатия) нормальных волокон, а для задач динамики к ним добавляются силы инерции вращательного движения нормальных волокон и силы инерции их растяжения. Модель ТР для однородного материала учитывает эффект поперечного сдвига и инерцию вращательного движения, а (как правило, малые) эффекты, связанные с растяжением нормального волокна, моделью ТР не описываются.

Рассмотрен [24] пример анизотропного материала общего вида (с 21 модулем упругости). В нем изотропная матрица армирована системой жестких нитей, ориентированных под углом к плоскости пластины. Поэтому такую анизотропию называют наклонной. Асимптотическое интегрирование при такой анизотропии вызывает дополнительные трудности. Было построено [25] нулевое приближение, которое имеет ту же точность, а система уравнений имеет тот же порядок, что и в модели КЛ. Модель второго порядка точности [26, 27], завершает построение таких моделей для пластин из анизотропных неоднородных материалов. Она приводит к весьма громоздкой системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В данной работе модель [26, 27] используется для анализа длинноволновых колебаний и длинных плоских волн в анизотропной неоднородной бесконечной пластине. При этом задача существенно упрощается, ибо ищется гармоническое по тангенциальным координатам решение, в результате чего система дифференциальных уравнений сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Отдельно рассмотрены тенгенциальные и изгибные колебания и волны. Рассмотрены частные виды анизотропии.

Следует назвать монографии [28–31], в которых рассматриваются различные вопросы колебаний и распространения волн в пластинах, оболочках и трехмерных телах и которые способствовали написанию данной работы.

2. Основные предположения и уравнения. В линейном приближении динамические уравнения упругой анизотропной пластины постоянной толщины $h$ в декартовой системе координат ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ имеют вид:

где ${{\sigma }_{{ij}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ – напряжения, ${{u}_{i}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ – проекции перемещения, $\rho ({{x}_{3}})$ – плотность материала. Тензорные обозначения не используются. Деформации ε_ij выражаются через перемещения по формулам:

Деформации и напряжения будем записывать как 6-мерные векторы. Тогда соотношения упругости принимают вид [9]:

Здесь и в дальнейшем $^{T}$ означает транспонирование, для векторов и матриц используются жирные буквы, точкой $( \cdot )$ обозначается произведение векторов и матриц. Матрица ${\mathbf{E}}$ модулей упругости в рассматриваемом случае анизотропии общего вида содержит 21 независимый упругий модуль, она симметричная и положительно определенная. Предполагается, что модули упругости ${{E}_{{ij}}}$ и плотность $\rho $ не зависят от тангенциальных координат ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, но могут зависеть от координаты ${{x}_{3}} = z$. Зависимость модулей упругости и плотности от координаты $z$ имеет место для функционально градиентных пластин, а для многослойных пластин эти величины являются кусочно-постоянными функциями $z$.

Лицевые поверхности пластины предполагаются свободными, что дает граничные условия

Удобно разделить напряжения и деформации на группы тангенциальных ${{\sigma }_{t}}$, ${{\varepsilon }_{t}}$ и трансверсальных ${{\sigma }_{n}}$, ${{\varepsilon }_{n}}$ напряжений и деформаций [18, 19]:

Тогда соотношения упругости (2.3) запишутся в виде:

где

Как показывает последующий анализ, особого рассмотрения заслуживает моноклинный материал, для которого модули упругости сохраняют свое значение при замене $\tilde {z} = - z$ направления оси $z$. Для этого материала ${{E}_{{4i}}} = {{E}_{{5i}}} = 0$ при $i = 1,2,3,6$.

Исключение трансверсальных деформаций ${{\varepsilon }_{n}}$ из соотношений (2.6) дает

где

Пренебрегая малыми напряжениями ${{\sigma }_{n}}$, получаем приближенные соотношения упругости

связывающие тангенциальные напряжения и деформации. Эти соотношения соответствуют классической модели Кирхгофа–Лява. Матрицу ${\mathbf{A}}{\text{*}}$ назовем матрицей тангенциальных упругих модулей.

3. Уравнения распространения плоских волн и свободных колебаний. При сделанных предположениях система уравнений (2.1)–(2.3) имеет решение вида

где $i = \sqrt { - 1} $, $\Phi $ – любая из неизвестных функций системы, описывающей распространение плоской гармонической волны, движущейся со скоростью ${v}$ = $\lambda {\text{/}}\sqrt {q_{1}^{2} + q_{2}^{2}} $ в направлении, определяемом вектором ${\mathbf{n}} = {{q}_{1}}{{{\mathbf{i}}}_{1}}$ + ${{q}_{2}}{{{\mathbf{i}}}_{2}}$. Здесь ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ – вещественные волновые числа, характерная длина волны равна $L = 2\pi {\text{/}}\sqrt {q_{1}^{2} + q_{2}^{2}} $.

Введем безразмерные величины (со значком ${\tilde { }}$) по формулам:

где ${{E}_{*}}$, ${{\rho }_{*}}$ – характерные значения модулей упругости и плотности. Формулы (3.1) станут безразмерными причем $\tilde {q}_{1}^{2} + \tilde {q}_{2}^{2} = 1$, $0 \leqslant \tilde {z} \leqslant 1$. В безразмерных переменных скорость волны равна $\tilde {v} = \tilde {\lambda }$, а ее длина равна $2\pi $. В дальнейшем значок ${\tilde { }}$ опускаем.

Уравнения (2.1)–(2.3) в результате подстановки (3.1) приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

В системе (3.4) основные неизвестные функции – функции $w$, ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, ${{\sigma }_{{13}}}$, ${{\sigma }_{{23}}}$, ${{\sigma }_{{33}}}$. При рассмотрении многослойных пластин предполагается, что имеется полный контакт между слоями, следовательно, основные неизвестные функции непрерывны. Деформации ${{\varepsilon }_{{k3}}}$, $k = 1,2,3$, и напряжения ${{\sigma }_{{ij}}}$, $i,j = 1,2$, входящие в систему (3.4), выражаются через основные неизвестные по формулам (2.2) и (2.8).

Запишем краевую задачу (3.4), (2.4) в виде

где ${\mathbf{M}}(z)$ – дифференциальный оператор с комплексно-значными коэффициентами, определяемыми из системы (3.4).

Справедливо следующее утверждение (см. также [30]).

При сделанных выше предположениях относительно матрицы модулей упругости ${\mathbf{E}}(z)$ для фиксированных волновых чисел ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ краевая задача (3.5) является самосопряженной и имеет дискретный неотрицательный спектр ${{\Lambda }_{1}}$, ${{\Lambda }_{2}}$… с точкой сгущения на бесконечности. Собственные функции ${{\Phi }_{n}}(z)$ удовлетворяют условию ортогональности

где $^{T}$ означает транспонирование, а черта сверху – комплексное сопряжение.

Для доказательства рассмотрим систему уравнений (3.5) при $\Lambda = {{\Lambda }_{n}}$ с собственными функциями ${{\Phi }_{n}}(z)$, ${{{\mathbf{U}}}_{n}}(z)$. Третье уравнение (3.4) умножим на функции $\overline {{{u}_{{km}}}(z)} $, $k = 1,2$, четвертое – на $\overline {{{w}_{m}}(z)} $, сложим и проинтегрируем по $z \in [0,1]$. Тогда после интегрирования по частям и преобразований с использованием первых двух уравнений (3.4) получим

где $\sigma $ и $\varepsilon $ – шестимерные векторы (2.3). В силу равенства (2.3) $\sigma = {\mathbf{E}} \cdot \varepsilon $ при $m = n$ из соотношения (3.7) следует неотрицательность собственных значений (положительность, если исключить движения пластины как твердого тела): а при ${{\Lambda }_{m}} \ne {{\Lambda }_{n}}$ – ортогональность собственных функций (3.6). В силу (3.8) собственное значение ${{\Lambda }_{n}}$ равно отношению плотностей потенциальной и кинетической энергии пластины.

Представим комплексные функции $\Phi (z)$ в виде:

Тогда при фиксированных волновых числах ${{q}_{1}}$, q₂ для каждого номера $n$ функции (3.1) описывают две плоских волны

распространяющихся в направлении ${\mathbf{n}} = {{q}_{1}}{{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{q}_{2}}{{{\mathbf{i}}}_{2}}$ и в противоположном направлении $ - {\mathbf{n}}$ с равными по модулю скоростями.

Рассмотрим свободные установившиеся колебания пластины.

При фиксированных волновых числах ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ спектр частот колебаний пластины суть ${{\omega }_{n}} = \sqrt {{{\Lambda }_{n}}} $, где ${{\Lambda }_{n}}$ – собственные числа задачи (3.5).

Действительно, функции

удовлетворяют той же системе уравнений (3.4) или (3.5).

Формы колебаний пластины

где $C$ и $\alpha $ – произвольные постоянные, вытянуты в направлении, перпендикулярном ${\mathbf{n}}$, и имеют характер “стиральной доски”. Привычные “шахматные” формы колебаний вида $w({{x}_{1}},{{x}_{2}},z)$ = $w(z)sin({{q}_{1}}{{x}_{1}}$ + ${{\alpha }_{1}})sin({{q}_{2}}{{x}_{2}}$ + ${{\alpha }_{2}})$ возможны лишь, если волновым числам p, q и p, –q отвечает одна и та же частота колебаний $\omega $. Последнее условие выполнено для ортотропных пластин.

4. Преобразование системы (3.4). В п. 3 рассмотрена общая задача о распространении плоских волн в пластине и о ее свободных колебаниях. Ниже рассматриваются длинные волны в тонкой пластине в предположении, что длина волны много больше ее толщины, т.е. $h \ll L$. Тогда $\mu $ (см. (3.2)) становится малым параметром, который будет использоваться для построения приближенного решения. Приводимое ниже исследование для пластин в определенном смысле дополняет исследование работы [30], посвященной анализу коротких волн в трехмерном упругом теле. Для длинных волн деформации охватывают всю толщину пластины и выпадают из рассмотрения волны Релея и волны Стоунли, локализующиеся, соответственно, вблизи поверхности пластины или вблизи плоскостей контакта слоев в многослойной пластине.

Для удобства последующего асимптотического анализа преобразуем систему (3.4), подставив в нее трансверсальные деформации ${{\varepsilon }_{{k3}}}$, $k = 1,2,3$, и тангенциальные напряжения ${{\sigma }_{{ij}}}$, $i,j = 1,2$ по формулам (2.8) и (2.6), соответственно. Введем двухмерные векторы перемещений и трансверсальных деформаций и напряжений сдвига

и дифференциальные операторы

Матрицы ${{{\mathbf{C}}}^{{ - 1}}} = \{ {{G}_{{ij}}}\} $ и ${{{\mathbf{C}}}^{{ - 1}}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{T}} = \{ {{S}_{{ij}}}\} $, входящие в формулы (2.8), разобьем на блоки

Для моноклинного материала будет ${\mathbf{g}} = {\mathbf{0}}$, ${\mathbf{S}} = {\mathbf{0}}$.

Теперь соотношения (2.8) дают

и уравнения (3.4) принимают вид

При рассмотрении длинных волн и длинноволновых колебаний параметр $\mu = 2\pi h{\text{/}}L$ является малым. Предположим, что все модули упругости имеют один и тот же порядок, а неизвестные функции сохраняют свой порядок при дифференцировании по ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ (в безразмерном виде ${{E}_{{ij}}}\sim 1$, $\{ {\mathbf{P}},{\mathbf{p}}\} \sim 1$).

Асимптотическое решение системы (4.5) строим методом итераций. При интегрировании первых двух уравнений вводим произвольные, не зависящие от $z$, функции ${{w}^{{(0)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и ${{{\mathbf{u}}}^{{(0)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, которые находим из условия совместности двух последних уравнений:

Соотношение порядков неизвестных функций в системах (3.4) и (4.5) для тангенциальных и изгибных колебаний оказывается различным, поэтому рассматриваем их по отдельности.

5. Тангенциальные колебания и волны. Для тангенциальных колебаний примем ${\mathbf{u}}\sim 1$. Тогда порядки остальных неизвестных в системе (4.5) будут

При фиксированных волновых числах ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ ищем двоякопериодическое решение системы (4.5) в виде

где $k = 0,1,...$ – номер итерации

Здесь ${\mathbf{N}}$ – оператор правых частей системы (4.5).

Введем интегральный оператор ${\mathbf{I}}$ и оператор осреднения ${{{\mathbf{I}}}_{a}}$ по формулам

Положим в системе (4.5) ${\mathbf{P}} = iQ$, ${\mathbf{p}} = i{\mathbf{q}}$ и перепишем ее в виде

В нулевом приближении имеем ${{{\mathbf{u}}}^{{(0)}}}(z) = {{{\mathbf{u}}}_{0}}$, а остальные неизвестные равны нулю. Условие совместности (4.6) третьего уравнения (5.5) дает

откуда следует квадратное уравнение для ${{\Lambda }^{{(0)}}}$где ${\mathbf{E}}$ – единичная матрица второго порядка. Два корня $\Lambda _{k}^{{(0)}}$, $k = 1,2$ уравнения (5.7) дают две тангенциальных волны (или формы колебаний) и им соответствуют амплитудные векторы ${{{\mathbf{u}}}_{{0k}}}$, ${\text{|}}{{{\mathbf{u}}}_{{0k}}}{\text{|}} = 1$, $k = 1,2$. Последующие вычисления проводятся для каждого из них, причем индекс $k$ опускаем.

В первом приближении из уравнений (5.5), считая ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$ и ${{\Lambda }^{{(0)}}}$ известными, находим

Условие совместности четвертого уравнения (5.5) дает уравнение для величины ${{w}_{1}}$:

Для повторных интегралов типа ${{{\mathbf{I}}}_{a}}(Y(z){\mathbf{I}}(Z(z)))$ имеют место тождества:

В частности, если функция $Z(z) = Z$ постоянна, то ${{{\mathbf{I}}}_{a}}{\mathbf{I}}(Z) = Z{\text{/}}2$.

Функция ${{w}^{{(1)}}}(z)$ описывает в первом приближении распределение нормальных перемещений по толщине пластины. В частности, для однородной по толщине пластины будет ${{w}^{{(1)}}}(1{\text{/}}2) = 0$ (что может служить для контроля приведенных выше формул). Функция ${{{\mathbf{u}}}^{{(1)}}}(z)$ описывает в первом приближении изгиб нормального волокна. Для моноклинного материала (${\mathbf{S}} = 0$) нормальное волокно остается прямым.

Величины ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$ и ${{\Lambda }^{{(1)}}}$ определяются из условия совместности третьего уравнения (5.5) в первом приближении

С учетом (5.6) слагаемые порядка $\mu $ в уравнении (5.11) дают уравнение для вектора ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$:

где

В силу (5.7) определитель системы (5.12) обращается в нуль, и из условия ее совместности

находим величину ${{\Lambda }_{1}}$. Для моноклинного материала (${\mathbf{S}} = {\mathbf{0}}$) отсюда сразу следует, что ${{\Lambda }_{1}} = 0$. Однако и для анизотропного материала общего вида (при S ≠ 0) будет ${{\Lambda }_{1}} = 0$, ибо имеет место равенство ${\mathbf{u}}_{0}^{T} \cdot {\mathbf{F}} = 0$, выполняющееся в силу соотношений (5.6) и (5.10). Кстати, мнимое значение ${{\Lambda }_{1}}$ противоречит установленной выше вещественности спектра.

Следовательно, для длинных ($\mu \ll 1$) плоских тангенциальных волн в анизотропных пластинах дисперсия проявляется лишь во втором приближении ${{\Lambda }^{{(2)}}}$ = ${{\Lambda }^{{(0)}}}$ + + ${{\mu }^{2}}{{\Lambda }_{2}}$, ${{\Lambda }_{2}} \ne 0$. Скорость распространения волны $v$ = $\sqrt \Lambda $ в общем случае сильно зависит от направления ее распространения ${\mathbf{n}} = {{q}_{1}}{{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{q}_{2}}{{{\mathbf{i}}}_{2}}$, что следует из уравнения (5.7), и слабо зависит от ее длины $L = 2\pi h{{\mu }^{{ - 1}}}$. Для трансверсально изотропного материала скорость $v$ не зависит от направления ${\mathbf{n}}$. Для сравнения напомним (см. [30]), что в трехмерной анизотропной однородной упругой среде в каждом направлении без дисперсии могут распространяться три плоских волны, скорости которых зависят от направления.

Для вычисления ${{\Lambda }_{2}}$ построим второе приближение

Теперь условие совместности третьего уравнения (5.5) во втором приближении имеет вид

Слагаемые порядка ${{\mu }^{2}}$ в уравнении (5.16) суть

откуда, как и в (5.14), находим

Громоздкую величину ${{{\mathbf{F}}}_{2}}$ получаем в результате подстановок (5.15) и (5.8).

Для пластины из однородного изотропного материала корни уравнения (5.7) не зависят от направления распространения волны и равны

Им соответствуют волны растяжения и сдвига, а соответствующие собственные функции равны $({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ и $({{q}_{2}}, - {{q}_{1}})$. Скорость волны сдвига в пластине совпадает со скоростью плоской волны в однородном изотропном пространстве, а скорость продольной волны в пространстве больше и равна ${v}$, причем

где ${{\lambda }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$ – параметры Ламе, $E$, ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Не трудно проверить, что ${{v}^{2}} > \Lambda _{p}^{{(0)}}$ (за исключением случая $\nu = 0$).

Вычисление по формуле (5.18) дает поправку ${{\Lambda }_{2}}$ и

Иными словами, длинные волны растяжения (расширения) в пластине из однородного изотропного материала распространяются с малой дисперсией ($L$ – длина волны), а волны сдвига – без дисперсии (для них поправка ${{\Lambda }_{2}} = 0$; и равенство ${{\Lambda }_{s}} = \Lambda _{s}^{{(0)}}$ является точным).

Для сравнения укажем, что первоначально была установлена малая дисперсия при распространении продольных волн в однородном изотропном цилиндрическом стержне [33, 34] (см. также [35]). В дальнейшем исследование было дополнено анализом дисперсионного уравнения для неоднородного аксиально-симметричного стержня [36].

6. Изгибные колебания и волны. Для изгибных колебаний примем $w\sim 1$. Тогда порядки остальных неизвестных функций в системе (4.5) будут:

Из оценки $\Lambda \sim {{\mu }^{2}}$ следует, что для длинных изгибных колебаний и волн (при $\mu \ll 1$) их частота и скорость распространения существенно меньше, чем для тангенциальных колебаний и волн.

В соответствии с оценками (6.1) проведем изменение масштаба неизвестных функций в системе (4.5), положив

Опуская значок ${\hat { }}$, перепишем систему (4.5) в виде:

Краевая задача (6.3) ранее неоднократно анализировалась [18, 19, 26, 27]. Приведем некоторые результаты. С учетом характера зависимости правых частей от малого параметра $\mu $ будем искать ее решение в виде рядов:

В системе (6.3) все основные неизвестные функции имеют порядок единицы. Система (6.3) является точной и удобна для построения решения методом итераций. Ниже будет построена модель второго порядка точности по отношению к малому параметру $\mu $. Поэтому слагаемые с множителями ${{\mu }^{3}}$ и ${{\mu }^{4}}$ в первых двух уравнениях (6.3) могут быть опущены.

Нулевое приближение получаем, полагая $\mu = 0$ в системе (6.3). Находим последовательно (см. также [18, 19])

где ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$ – перемещение слоя $z = a$. Для симметричной по толщине пластины при $a = 1{\text{/}}2$ будет ${{{\mathbf{u}}}_{0}} = 0$. Это же равенство имеет место, если у пластины существует нейтральный слой $z = a$. В частности, нейтральный слой существует для пластины из неоднородного по толщине трансверсально изотропного материала [18]. В общем случае вектор ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$ находим из условия совместности третьего уравнения (6.3) при $\mu = 0$:

Далее находим

Условие совместности четвертого уравнения (6.3) дает ${{{\mathbf{I}}}_{a}}{\mathbf{I}}({{{\mathbf{q}}}^{T}} \cdot {{{\mathbf{L}}}_{0}}(z) \cdot {{{\mathbf{u}}}^{{(0)}}})$ – ${{\Lambda }_{0}}{{w}^{{(0)}}}$ = 0, и после преобразований получаем систему для определения ${{\Lambda }_{0}}$:

в которой а ${{{\mathbf{M}}}_{k}} = {{{\mathbf{I}}}_{a}}({{(z - a)}^{k}}{{{\mathbf{A}}}_{*}}(z)),$ k = 0, 1, 2, – моменты нулевого, первого и второго порядков матрицы ${{{\mathbf{A}}}_{*}}$ тангенциальных упругих модулей. Заметим, что нулевое приближение зависит только от них. Развернутые выражения операторов в (6.9) приведены в [25]. В частности, где ${{a}_{{ij}}}$ – элементы матрицы ${{{\mathbf{M}}}_{2}} = {{{\mathbf{I}}}_{a}}({{(z - a)}^{2}}{{{\mathbf{A}}}_{*}}(z))$.

Для симметричной по толщине пластины и для пластины из трансверсально изотропного материала ${{{\mathbf{u}}}_{0}} = 0$ и ${{\Lambda }_{0}} = {{Q}_{2}}$. В общем случае ${{\Lambda }_{0}} = {{Q}_{2}}$ – ${\mathbf{N}}_{1}^{T} \cdot {\mathbf{\tilde {L}}}_{0}^{T} \cdot {{{\mathbf{N}}}_{1}}$.

Нулевое приближение в силу формул (6.5) соответствует гипотезам КЛ о прямой недеформируемой нормали. Некоторое обобщение по сравнению с однородным изотропным материалом заключается в том, что дополнительно учитывается зависимость нормальных напряжений ${{\sigma }_{{11}}}$ и ${{\sigma }_{{22}}}$ oт деформаций сдвига ${{\varepsilon }_{{12}}}$ и зависимость напряжений сдвига ${{\sigma }_{{12}}}$ от нормальных деформаций ${{\varepsilon }_{{11}}}$ и ${{\varepsilon }_{{22}}}$.

Из нулевого приближения следует, что скорость распространения изгибной волны $v(\mu ,{{q}_{1}},{{q}_{2}})$ = $\mu \sqrt \Lambda $ по анизотропной пластине зависит как от ее длины $L$, так и от направления распространения, определяемого вектором ${\mathbf{n}} = ({{q}_{1}},{{q}_{2}})$, ${\text{|}}{\mathbf{n}}{\text{|}} = 1$ (см. формулу (6.10), а также работу [32], в которой приведен пример). В нулевом приближении скорость изгибной волны $v$ обратно пропорциональна ее длине $L$, ибо $\mu = 2\pi {\text{/}}L$.

Приближенные решения (6.4) сравнивались с точными решениями, полученными при численном интегрировании системы (6.3). Расчеты показали [18, 19], что если все элементы матрицы упругих модулей ${\mathbf{E}}$ (см. (2.3)) имеют один порядок, то нулевое приближение имеет удовлетворительную точность. Если же элементы матрицы ${\mathbf{C}}$, стоящей в формулах (4.3) в знаменателе, малы, точность нулевого приближения недостаточна, что стимулирует построение старших приближений. Как правило, поправки старших приближений связаны с учетом влияния поперечного сдвига, которое не учитывается нулевым приближением. В частности, анализ колебаний многослойных пластин с чередующимися мягкими и жесткими слоями приводит к необходимости рассмотрения старших приближений.

7. Старшие приближения. Первое приближение вносит поправку порядка $\mu $ в нулевое приближение. Отметим, что для моноклинного материала (при ${\mathbf{S}} = {\mathbf{0}}$) в системе (6.3) слагаемые порядка $\mu $ исчезают и можно сразу переходить ко второму приближению. Многослойную пластину, состоящую из системы ортотропных слоев с произвольно ориентированными направлениями ортотропии, можно рассматривать как моноклинную пластину с кусочно-постоянными модулями упругости [9, 23].

Построим первое приближение при ${\mathbf{S}} \ne {\mathbf{0}}$. Такую анизотропию будем называть наклонной, ибо она получается у композитной пластины, состоящей из ортотропной матрицы, подкрепленной системой нитей, наклоненных к плоскости пластины [24]. Слагаемые порядка $\mu $ в системе (6.3) дают:

где ${\mathbf{S}}_{Q}^{T} = {{{\mathbf{S}}}^{T}} \cdot {\mathbf{Q}}$, вектор ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$ и величина ${{\Lambda }_{1}}$ определяются из условий совместности третьего и четвертого уравнений (7.1). Как и для тангенциальных колебаний и волн, имеем ${{\Lambda }_{1}} = 0$, что следует из вещественности величины $\Lambda $, а также подтверждается вычислениями. Следовательно, для изгибных колебаний и волн величина $\Lambda $ в исходных обозначениях (см.(6.2)) представима в виде:

При построении второго приближения в рядах (6.4) ограничимся вычислением величины ${{\Lambda }_{2}}$. Последовательно находим

Теперь граничное условие $\sigma _{{33}}^{{(2)}}(1) = 0$ дает (${{{\mathbf{I}}}_{a}}(\rho ) = 1$)

Чтобы воспользоваться формулой (7.4), представим величину $F$ в виде $F = {{F}_{1}}{{w}_{0}}$ (тогда будет ${{\Lambda }_{2}} = {{F}_{1}}$). Для вычисления величины ${{F}_{1}}$ последовательно используем формулы (6.5), (6.7), (7.1) и (7.3) и выражаем неизвестные функции через ранее найденные вплоть до вычисления функции $\sigma _{s}^{{(2)}}$, входящей в уравнение (7.4). При интегрировании второго уравнения (6.3) вводятся постоянные векторы ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$, ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{u}}}_{2}}$, которые определяются из условия совместности третьего уравнения (6.3) в соответствующем приближении:

Развернутая запись формулы (7.4) весьма громоздка. В случае переменных по $z$ модулей упругости для определения коэффициентов нужно вычислять повторные интегралы. Для моноклинного материала формула (7.4) упрощается. Упрощения также имеют место, если у пластины при изгибе имеется нейтральный слой.

8. Изгибные колебания и волны в многослойной пластине. Рассмотрим многослойную пластину с чередующимися мягкими и жесткими слоями. Наиболее просто решается задача для трансверсально изотропного материала. В этом случае система уравнений (6.3) шестого порядка после введения вспомогательных неизвестных функций [18, 19]

приводится к системе четвертого порядка для неизвестных функций $u,w,\sigma $, ${{\sigma }_{{33}}}$:

Аналогичной системой описывается уравнение изгибных колебаний неоднородной по толщине балки-полоски из трансверсально изотропного материала [18].

Асимптотическое интегрирование, подобное изложенному в пп. 6, 7, дает формулу для параметра частоты $\Lambda $:

где величина $g = {{A}_{g}} + {{A}_{\nu }} + J + {{J}_{\nu }}$ учитывает эффекты второго порядка, причем слагаемые ${{A}_{g}}$, ${{A}_{\nu }}$, J, ${{J}_{\nu }}$ учитывают, соответственно, влияние поперечного сдвига, обжатие нормального волокна, инерцию его вращательного движения и инерцию, связанную с растяжением нормального волокна. В качестве характерного модуля упругости принята величина ${{E}_{*}}$ = ${{{\mathbf{I}}}_{a}}({{E}_{0}}(z))$, ${{E}_{0}} = E{\text{/}}(1 - {{\nu }^{2}})$, где $E$, ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона. В формуле (8.3)где $D$ – изгибная жесткость эквивалентной однородной пластины, $a$ – координата нейтрального слоя (который при изгибе неоднородных трансверсально изотропных пластин всегда существует), ${{G}_{{13}}}$ – модуль упругости поперечного сдвига. Использование формулы (8.3) для многослойных пластин с чередующимися жесткими и мягкими слоями показало [18, 19], что если слои незначительно различаются по жесткости, то все слагаемые второго порядка в сумме $g$ имеют одинаковый порядок, а сама формула (8.3) имеет высокую точность. Если же отношение $\eta $ модулей упругости слоев растет, то сдвиговой параметр ${{A}_{g}}$ также растет (ибо в знаменателе интеграла для ${{A}_{g}}$ стоит величина ${{G}_{{13}}}$, которая мала для мягких слоев), а остальные параметры второго порядка малости практически не меняются и ими можно пренебречь, т.е. из эффектов второго порядка малости можно учитывать только поперечный сдвиг и считать $g = {{A}_{g}}$. В результате приходим к эквивалентной однослойной пластине Тимошенко–Рейсснера. Расчеты [18, 19] показали, что при $\eta \leqslant 1000$ погрешность этой модели имеет порядок 1%.

Формула (8.3) становится неприменимой при $g \geqslant 1$. Полученная ранее формула [19]

эквивалентная по точности формуле (8.3) при малых $g$ и достаточно точная при $g\sim 1$.

Как следует из (8.3), (8.5), для трансверсально изотропной пластины частотный параметр $\Lambda $ не зависит от волновых чисел ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ по отдельности, а зависит только от величины $q = \sqrt {q_{1}^{2} + q_{2}^{2}} $. Скорость распространения изгибной волны зависит от ее длины, но не зависит от направления распространения.

Ранее (см. [18, 19] и др.) для оценки погрешности асимптотических формул использовалось численное интегрирование уравнений (8.2), (6.3). При этом количество и расположение слоев является несущественным. Для трехслойной симметричной по толщине балки [37] построено точное аналитическое (весьма громоздкое) дисперсионное уравнение. Был дан исчерпывающий анализ дисперсионного уравнения без предположения о длинноволновом характере волн [38]. Этот анализ опирается на предыдущие исследования [37] и на упрощенные модели при частных предположениях о параметрах задачи.

Рассмотрим многослойную пластину симметричного по толщине строения с изотропными мягкими слоями и жесткими слоями из моноклинного материала. Из эффектов второго порядка малости будем учитывать только влияние поперечного сдвига, пренебрегая растяжением нормального волокна и силами инерции второго порядка малости. Тогда формула (8.4) для сдвигового параметра ${{A}_{g}}$ допускает обобщение

где $D = {{Q}_{2}}$ – изгибная жесткость пластины, вычисляемая по формуле (6.10), $a = 1{\text{/}}2$ – координата нейтрального слоя, ${\mathbf{G}}$ – матрица упругих податливостей на поперечный сдвиг (с большими элементами для мягких слоев). Как главный член ${{\mu }^{2}}{{Q}_{2}}$ параметра частоты, так и поправка ${{A}_{g}}$ зависят от волновых чисел ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$.

Формула (8.3) для такой пластины допускает погрешность того же порядка, что и для пластины из трансверсально изотропного материала. Это обстоятельство было проверено [23] путем сравнения с точным решением трехмерной задачи. Рассмотрение более общего случая (несимметричной по толщине пластины либо пластины с наклонной анизотропией) приводит к существенно более громоздким формулам и здесь не приводится.

Заметим, что для многослойной пластины упругие модули и толщина являются кусочно-постоянными функциями, однако это обстоятельство не является препятствием при вычислении интегралов в (7.3), (8.3) и др. и при численном интегрировании системы (6.3).

Обсуждение. Исходя из трехмерных динамических уравнений теории упругости методом асимптотического интегрирования получены двухмерные модели для описания длинноволновых колебаний и длинных волн в тонкой анизотропной неоднородной по толщине пластине со свободными лицевыми плоскостями (предполагается, что упругие модули и плотность не зависят от тангенциальных координат, но могут зависеть от координаты в направлении нормали к пластине). В каждом из тангенциальных направлений длинноволновые модели описывают три плоских гармонических по тангенциальным направлениям волны: медленную (низкочастотную) изгибную волну и две тангенциальных волны. Для изгибной волны (подобно волнам в балке Бернулли–Эйлера) характерна сильная дисперсия (сильная зависимость скорости распространения волны или частоты колебаний от длины волны). Для тангенциальных волн характерна слабая дисперсия, убывающая пропорционально квадрату отношения $h{\text{/}}L$ (для продольных волн в круглом стержне слабая дисперсия была впервые установлена в [33, 34]). Для сравнения укажем, что в однородном анизотропном линейно упругом пространстве в каждом направлении могут распространяться без дисперсии три плоских (не обязательно гармонических) волны, скорости этих волн зависят от направления распространения (в изотропном пространстве – это продольная волна сжатия и две поперечных волны сдвига).

Данная статья в некотором смысле является дополнением к монографии [30], в которой рассматривается асимптотика коротких волн в трехмерном анизотропном упругом теле. Рассмотрены длинные волны в пластине со свободными лицевыми плоскостями, при этом предполагается, что деформации охватывают всю толщину пластины. В результате волны Релея, локализующиеся вблизи свободной поверхности, и волны Стоунли, локализующиеся вблизи плоскости раздела слоев в многослойной пластине, не описываются длинноволновой асимптотикой и хорошо описываются коротковолновой асимптотикой [30]. Что касается волны Лява для пластины, лежащей на упругом или жидком полупространстве, то для ее исследования вполне может быть использована и длинноволновая асимптотика. Для этого на одной из лицевых плоскостей пластины следует задать условия контакта с полупространством.

Обращаясь к задачам свободных колебаний, отметим, что для тангенциальных колебаний найденное выше при учете эффектов второго порядка малости уточнение спектра мало и не является существенным для приложений. Для изгибных колебаний неоднородных по толщине пластин (особенно для многослойных пластин с чередующимися мягкими и жесткими слоями) указанное уточнение весьма существенно. Для многослойных пластин из трансверсально изотропного материала возможно введение эквивалентной однородной пластины, и влияние эффектов второго порядка изучено достаточно полно [13, 16–21, 38]. В меньшей степени исследованы колебания ортотропных и моноклинных пластин [9, 22, 23], и практически отсутствуют численные результаты для анизотропных пластин с наклонной анизотропией [24]. Хотя общие формулы второго порядка точности здесь приведены, но они слишком громоздки. Желательно построить более простые модели для описания эффектов, связанных с наклонной анизотропией.

В работе рассмотрены свободные колебания и волны в бесконечной пластине. Исследование колебаний анизотропной неоднородной пластины конечных размеров (например, прямоугольной пластины) существенно сложнее, ибо гармоническое решение, как правило, недостаточно и приходится обращаться к интегрированию громоздкой системы дифференциальных уравнений (см. [26, 27]). Некоторые результаты были получены для частных вариантов граничных условий [9, 19, 21]. Как правило разделение переменных оказывается невозможным и трудности построения решений можно преодолеть, прибегая к вариационной постановке задачи [39–41].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 18-01-00884а, 19-01-00208a, 20-51-52001 MHT-a.