Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 4, стр. 529-539
Контактные задачи для пористоупругого композита при наличии сил трения
Т. В. Суворова 1, *, О. А. Беляк 1, **
1 Ростовский государственный университет путей сообщения
Ростов-на-Дону, Россия
* E-mail: suvorova_tv111@mail.ru
** E-mail: o_bels@mail.ru
Поступила в редакцию 05.07.2019
После доработки 10.05.2020
Принята к публикации 25.05.2020
Аннотация
Рассматривается контактная задача для гетерогенного флюидонасыщенного полупространства при учете сил трения в области контакта, возникающих при движении штампа с плоским или параболическим основанием. Для учета внутренней микроструктуры основания используется модель Био. Краевая задача с помощью преобразования Фурье сведена к интегральному уравнению 1-го рода с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Решение интегрального уравнения построено методом коллокации. Исследовано влияние пористости, коэффициента трения на контактные напряжения маслонаполненного композита на основе фенилона, механические модули которого определены с помощью методов микромеханики, конечно-элементного моделирования и сопоставлены с экспериментальными результатами.
1. Введение. Контактные задачи и их приложения к трибологии достаточно давно привлекают внимание многих исследователей [1–5]. Сложности постановок и подходов, возникающих при решении контактных задач, подробно изложены в фундаментальной монографии [1]. Контактные задачи в квазистатической постановке для однородных вязкоупругих сред рассмотрены в работах [1–5]. Надо отметить, что свойства контактирующих поверхностей в значительной степени влияют на силу трения. Влияние микрогеометрии контактирующих поверхностей на силу трения исследовано в работах [4, 5]. В настоящей работе рассматривается контактная задача в квазистатической постановке о движении жесткого штампа с трением по основанию при учете его микроструктуры. Внутренняя микроструктура основания, состоящего из вязкоупругого скелета и флюида-наполнителя, учитывается использованием, как определяющих, уравнений гетерогенной двухфазной среды Био [6–9]. Определение механических модулей среды Био, является отдельной весьма важной задачей. Модули объемного сжатия насыщенной и дренированной среды были определены экспериментально, в том числе и методом наноиндентирования [10–12], а также на основе методов микромеханики и конечно-элементного моделирования. Рассмотрены случаи штампов с плоским и параболическим основанием.
Проблемы определения сил трения актуальны при конструировании композитов антифрикционного назначения на основе вязкоупругой матрицы и флюидного наполнителя [11–13].
2. Постановка задач. Рассмотрим плоскую область $ - \infty < {{x}_{1}} < \infty $, ${{x}_{2}} \leqslant 0$, занятую двухфазной средой, состоящей из вязкоупругой пористой матрицы-скелета и флюида, заполняющего поры. По лицевой непроницаемой поверхности гетерогенной среды скользит жесткий штамп со скоростью $V$ под действием силы ${\mathbf{P}} = \{ {{P}_{1}},{{P}_{2}}\} $, которая приложена к штампу так, чтобы обеспечить полный контакт с поверхностью при равномерном движении. Рассматривается диапазон скоростей, намного меньших скорости поверхностных волн типа Релея. Для учета внутренней микроструктуры основания используем, как наиболее апробированную, модель, описываемую уравнениями гетерогенной двухфазной среды Био–Френкеля [6, 7]:
(2.1)
$\begin{gathered} A\nabla \cdot \nabla {\mathbf{u}} + 2N\nabla \nabla \cdot {\mathbf{u}} + Q\nabla \nabla \cdot {\mathbf{v}} = {{\rho }_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{u}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + {{\rho }_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{v}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + b\left( {\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}}} \right) \\ Q\nabla \nabla \cdot {\mathbf{u}} + R\nabla \nabla \cdot {\mathbf{v}} = {{\rho }_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{u}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + {{\rho }_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{v}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} - b\left( {\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}}} \right) \\ \sigma _{{ij}}^{s} = Ae{{\delta }_{{ij}}} + 2N{{e}_{{ij}}} + Q\varepsilon {{\delta }_{{ij}}} \\ {{\sigma }^{f}} = Qe + R\varepsilon ,\quad i,j = 1,2, \\ \end{gathered} $В области контакта $\,\Omega $ нормальные и касательные напряжения связаны законом Амонтона–Кулона, $\Gamma _{{12}}^{{}} = {{k}_{{tr}}}\Gamma _{{22}}^{{}}$, где ${{k}_{{tr}}}$ – коэффициент трения. Полагаем, что силы межфазного взаимодействия пренебрежимо малы, $b = 0$. Под действием нормальной составляющей силы ${\mathbf{P}}$, приложенной с эксцентриситетом, возникает только осадка штампа $\delta $, параллельно оси $O{{x}_{2}}$. Граничные условия задачи имеют вид:
(2.2)
$\begin{gathered} {{x}_{2}} = 0{\kern 1pt} :\;{{u}_{2}} = {{v}_{2}} \\ {{\Gamma }_{{12}}} = {{\Gamma }_{{22}}} = 0;\quad \left| {{{x}_{1}} - Vt} \right| \notin \Omega \\ {{\Gamma }_{{12}}} = {{k}_{{tr}}}{{\Gamma }_{{22}}},\quad {{u}_{2}} = \delta - \eta x_{1}^{2},\quad {{\Gamma }_{{22}}} = - q({{x}_{1}}) \\ \left| {{{x}_{1}} - Vt} \right| \in \Omega ,\quad \Omega = ({{a}_{1}},{{a}_{2}}) \\ \end{gathered} $Область контакта $\Omega = ({{a}_{1}},{{a}_{2}})$ для штампа с параболическим основанием и контактные напряжения $q({{x}_{1}})$ неизвестны. Для штампа с плоским основанием ${{a}_{1}} = - 1$, ${{a}_{2}} = 1$. Параметр $\eta $ связан с кривизной штампа с параболическим основанием.
Рассматривались [1–5, 15, 16] задачи о давлении штампа на упругое основание различного строения с учетом сил трения, изучалось [17–19] действие движущейся осциллирующей нагрузки на гетерогенное основание.
3. Построение решения интегрального уравнения. Применим к формулам (2.1)–(2.2) для установившегося режима колебаний [20] преобразование Фурье, затем перейдем в подвижную систему координат с началом в центре штампа, устремив частоту колебаний к нулю [21]. Формулы (2.1)–(2.2) далее будем рассматривать в подвижной системе координат $(x = {{x}_{1}} - Vt,{{x}_{2}})$ в безразмерном виде, при этом линейные размеры отнесены к характерной линейной единице, а напряжения – к модулю сдвига матрицы. Перемещения представляются в виде трех потенциалов, соответствующих трем типам волн, распространяющихся в гетерогенной среде. После удовлетворения граничных условий в результате преобразований, подробнее описанных в [22] приходим к интегральному уравнению относительно нормальных контактных давлений $q(\xi )$:
Для штампа с плоским основанием в интегральном уравнении (3.1) следует положить ${{a}_{1}} = - 1$, ${{a}_{2}} = 1$, $\eta \equiv 0$, для штампа с параболическим основанием учитываем, что $q({{a}_{1}}) = q({{a}_{2}}) = 0$.
Ядро интегрального уравнения (3.1) имеет вид
Рассмотрим квазистатический процесс, наиболее востребованный в трибологических испытаниях, при скорости движения штампа, удовлетворяющей соотношению $V \ll {{V}_{R}}$, где ${{V}_{R}}$ – скорость поверхностных волн типа Релея в пористоупругом полупространстве. В соответствии с этим преобразуем формулы (3.1), осуществляя разложение в ряд по малым параметрам $V{\text{/}}{{V}_{i}}$, $i = 1,2,3$. Ядро интегрального уравнения, отвечающее квазистатическому процессу, имеет вид:
(3.2)
$\begin{gathered} {{\Theta }_{{20}}}({{q}_{{ij}}},{{\gamma }_{{ij}}},m) = \left( {{{m}_{1}} - {{m}_{2}}} \right){\text{/}}{{c}_{{01}}} \\ {{\Theta }_{{21}}}({{q}_{{ij}}},{{\gamma }_{{ij}}},m) = - \left( {{{m}_{1}} - {{m}_{2}}} \right)\left( {0.5\left( {1 + {{\zeta }_{2}}{\text{/}}{{\zeta }_{1}}} \right) + {{c}_{{02}}}{\text{/}}{{c}_{{01}}}} \right){\text{/}}{{c}_{{01}}} \\ \end{gathered} $Отметим, что для малой скорости движения штампа при трибологических испытаниях [10] ядро интегрального уравнения (3.2), отвечающее квазистатическому процессу имеет слабую зависимость от скорости.
Для регуляризации интегрального уравнения (3.1) необходимо в выражении ядра (3.2) выделить логарифмическую особенность, при этом используем значения интегралов [23]:
(3.3)
$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{e}^{{iy\alpha }}}}}{\alpha }} d\alpha = i\pi \operatorname{sgn} y,\quad \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{e}^{{iy\alpha }}}}}{{\left| \alpha \right|}}} d\alpha = - 2(C + \ln \left| y \right|),$С учетом формул (3.3) выражение (3.2) преобразуем к виду:
(3.4)
$\begin{gathered} \hfill \\ k(x - \xi ) = - 0.5\operatorname{sgn} (x - \xi ){{k}_{{tr}}}{{K}_{1}}(V) - (C + \ln \left| {x - \xi } \right|){{K}_{2}}(V){\text{/}}\pi \hfill \\ \end{gathered} $Применим метод коллокации для решения интегрального уравнения (3.1) с ядром (3.4). Проведем дискретизацию области контакта $\tilde {\Omega }$ для штампа с плоским основанием, выбрав точки коллокации ${{x}_{i}},{{\xi }_{i}}$, равномерно распределенными, с шагом $h = 2{\text{/}}N$ на отрезке $[ - 1 + h{\text{/}}2,1 - h{\text{/}}2]$, ${{\xi }_{k}} = - 1 + h(k - 0.5)$, $k = 1,2,...,N$.
При этом полагаем ${{\left. {q(x)} \right|}_{{{{x}_{i}} < x < {{x}_{{i + 1}}}}}}$ = $q({{x}_{i}}) = {{q}_{i}}$, $i = 1,2,...,N$. В случае штампа с параболическим основанием определение области контакта и контактного давления осуществляется согласно алгоритму, подробно описанному в фундаментальной работе [16]. При этом для дискретизации выбирается область $\,\Omega \subset \tilde {\Omega }$, заведомо большая, чем истинная область контакта $\,\Omega $ и учитывается, что $q({{a}_{1}}) = q({{a}_{2}}) = 0$.
В результате, решение интегрального уравнения (3.1) сводится к конечной системе линейных уравнений:
(3.5)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^N {{{r}_{{ik}}}} {{q}_{k}} = f({{x}_{k}}){\text{/}}h \\ {{r}_{{ik}}} = k(h({{x}_{k}} - {{\xi }_{i}})),\quad i \ne k,i,\quad i,k = 1,2,...,N \\ {{r}_{{kk}}} = - {{k}_{{tr}}}{{K}_{1}}(V){\text{/}}2 - {{K}_{2}}(V)(C + \ln (h{\text{/}}e)){\text{/}}\pi \\ \end{gathered} $Элементы матрицы системы (3.5) имеют максимальное значение на главной диагонали и быстро убывают по мере удаления от нее. Сила и ее момент, действующие на штамп, определяются через решения системы (3.5).
Отметим, что для анализа скорости сходимости процесса оценивались элементы невязки для количества разбиений N и $3N$. Измельчение сетки производилось до относительного значения невязки, меньшего чем ${{10}^{{ - 5}}}$.
Поскольку штамп движется без поворота за счет эксцентричного приложения силы, величина эксцентриситета определяется численно через решение системы (3.5) $e = \sum\nolimits_{i = 1}^{{{N}_{1}}} {{{x}_{i}}{{q}_{i}}} {\text{/}}\sum\nolimits_{i = 1}^{{{N}_{1}}} {{{q}_{i}}} $.
4. Результаты численного анализа. В соответствии с изложенным способом были построены нормальные и касательные контактные напряжения для штампов с плоским и параболическим основанием, а также, определена область контакта в случае параболического штампа. Расчеты проводились для механических характеристик, соответствующих двухкомпонентному композиционному материалу с матрицей на основе ароматического полиамида фенилона с нанодобавками и содержанием наполнителя – цилиндрового масла [10–12]. Корректное определение механических характеристик A, R, Q, N среды Био для гетерогенного композита является многоступенчатой задачей. Значения модуля Юнга ${{E}_{s}}$ и коэффициента Пуассона ${{\nu }_{s}}$ были определены при проведении натурных экспериментов при сжатии и растяжении образца из фенилона без наполнителя в режиме нагружения, обеспечивающего чисто упругие деформации образца [10]. Далее, с известным коэффициентом Пуассона на основе метода наноиндентирования были определены механические свойства фенилона и композитов на его основе [10, 12]. Эксперименты по растяжению–сжатию были верифицированы с помощью конечно-элементного пакета ANSYS, где фенилон моделировался изотропным материалом, с константами $E,\nu $, которые в свою очередь определялись с погрешностью менее 1% из минимизации невязки диаграмм “σ–ε”, полученных в рамках натурного эксперимента [10]. Следующим этапом изучалось влияние пористости на модуль объемного сжатия пористой среды с незаполненными порами ${{K}_{b}}$. Сопоставлены результаты, полученные на основе методов микромеханики и конечно-элементного моделирования в ANSYS представительного объема композита со сферическими порами [24]. Таким образом, коэффициенты уравнений (2.1) по известным модулям объемного сжатия вязкоупругой матрицы ${{K}_{s}}$, пористой среды с незаполненными порами ${{K}_{b}}$, флюида ${{K}_{f}}$, пористости $m$ вычислялись по формулам [25]:
Расчеты проводились при следующих данных: ${{K}_{s}}$ = 5.2 ГПа, ${{K}_{f}}$ = 2 ГПа, $N$ = 1.85 ГПа, ${{\rho }_{s}} = 1.2 \times {{10}^{3}}$ кг/м3, ${{\rho }_{f}} = 0.93 \times {{10}^{3}}$ кг/м3, ${{K}_{b}}(m = 5\% )$ = 4.38 ГПа, ${{K}_{b}}(m = 10\% )$ = = 3.58 ГПа, ${{K}_{b}}(m = 15\% )$ = 2.78 ГПа, ${{K}_{b}}(m = 20\% )$ = 2.21 ГПа [24].
Поскольку фенилон отличается малой склонностью к ползучести под действием напряжений [26] вязкость матрицы композита была учтена в рамках модели частотно-независимого внутреннего трения. Расчеты проводились для диапазона ${{10}^{{ - 3}}} < \beta < 0.5 \times {{10}^{{ - 1}}}$ [14, 26, 27]. На основании численных экспериментов было установлено, что на скорость сходимости процесса решения параметр $\beta $ влияние не оказывает, при этом $\operatorname{Im} q(x){\text{/}}\operatorname{Re} q(x)$ ~ O(β). В указанных пределах варьирования $\beta $ изменение результатов вычислений ${{q}_{i}}\,$ не превышают 1.3%.
Особое внимание было уделено анализу влияния пористости на величину контактных напряжений. Распределение действительных частей нормальных напряжений ${{\sigma }_{{22}}} = \operatorname{Re} {{\Gamma }_{{22}}}$ при изменении пористости $m$ и флюидонасыщенности основания приведено для штампа с плоским основанием (рис. 1) и для штампа с параболическим основанием (рис. 2) при значениях $\delta = {{10}^{{ - 2}}}$, $\eta = 0.025$. Графики построены в подвижной системе координат, скорость движения штампов V = 1.5 м/с.
Заметим, что для рассматриваемых здесь механических характеристик материала основания безразмерные величины ${{\Theta }_{{ij}}}$ в формуле (3.2) имеют значения: $\left| {{{\Theta }_{{10}}}} \right| = {\text{0}}{\text{.3582}}$, $\left| {{{\Theta }_{{20}}}} \right| = {\text{0}}{\text{.2731}}$, $\left| {{{\Theta }_{{11}}}} \right| = 0.{\text{8848}}$, $\left| {{{\Theta }_{{21}}}} \right| = {\text{0}}{\text{.1043}}$ при $\beta = 0.05$, $m = 0.2$. Для скорости движения штампа V = 1.5 м/с, т.к. $\zeta = 0.6510 \times {{10}^{{ - 3}}}$, решение задачи практически определяется величинами ${{\Theta }_{{i0}}}$, $i = 1,2$ в выражении ядра интегрального уравнения (3.2).
Отметим, что контактные нормальные и касательные напряжения в значительной мере зависят от пористости и массовой доли флюида-наполнителя. При этом, распределение напряжений по области контакта несимметрично, что характерно и для контактных задач теории упругости при учете сил трения [1, 15]. Также, с увеличением пористости эксцентриситет приложения силы, обеспечивающей движение штампа без перекоса, увеличивается, в диапазоне 10–12% при изменении пористости с шагом 0.05, $0.05 \leqslant m \leqslant 0.2$. Увеличение пористости вызывает смещение области контакта для штампа с параболическим основанием. Установлено, что зависимость контактных напряжений от пористости нелинейная. В таблице 1 приведены значения левой и правой границы контактной области, нормальной силы $P$ и эксцентриситета $e$ для штампа с параболическим основанием при возрастании пористости для значений $\delta = {{10}^{{ - 2}}}$, $\eta = 0.025$.
Таблица 1.
$m = 0$ | $m = 0.05$ | $m = 0.1$ | $m = 0.15$ | $m = 0.2$ | |
---|---|---|---|---|---|
$P$ | 4.77172 | 4.60683 | 4.36794 | 4.05438 | 3.63227 |
$e$ | 0.02868 | 0.03155 | 0.03567 | 0.04107 | 0.04832 |
$a$ | –0.64575 | –0.64575 | –0.65025 | –0.65250 | –0.65701 |
$b$ | 0.60300 | 0.60075 | 0.59625 | 0.59175 | 0.58500 |
Зависимость контактных напряжений от коэффициента трения и скорости движения штампа по поверхности гетерогенной полуплоскости имеет более выраженный характер при увеличении пористости основания. Результаты численных расчетов качественно согласуются с результатами натурных экспериментов для маслонаполненного композита [10], а также с решением контактной задачи при учете трения для движущегося штампа по упругой среде [1].
На рис. 3 приведены касательные контактные напряжения для штампа с параболическим основанием для различных значений коэффициента трения для значений $\delta = {{10}^{{ - 3}}}$, $\eta = 0.025$, $m = 0.1$. При увеличении коэффициента трения модули нормальных и касательных контактных напряжений возрастают в значительной степени, область контакта при этом приобретает ярко выраженную асимметрию, левая и правая границы области контакта показаны на рис. 4.
Заключение. Представлена математическая модель, позволяющая прогнозировать трибологические характеристики для маслосодержащего композита, описанная контактной задачей для гетерогенной полуплоскости Био при учете сил трения в области контакта. Построено аналитико-численное решение краевой задачи, исследованы зависимости контактных напряжений от параметров среды Био. На основании численных экспериментов установлено, что процентное содержание флюида в порах композита, учет трения в области контакта оказывает существенное влияние на контактные напряжения при движении с трением штампов с плоской и параболической формой подошвы по поверхности композита, причем с возрастанием пористости эта зависимость носит нелинейный характер. Результаты численных расчетов качественно согласуются с известными результатами натурных экспериментов для маслонаполненного композита, а также с решением контактной задачи при учете трения для движущегося штампа по упругой среде.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 18-08-00260-а, 20-08-00614-а.
Список литературы
Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.
Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 253 с.
Chen W., Wang Q., Huan Z., Luo X. Semi analytical viscoelastic contact modeling of polymer based materials // J. Tribology. 2011. V. 133. № 4. P. 041404.
Горячева И.Г. Роль микрогеометрии поверхности при фрикционном взаимодействии вязкоупругих тел // Проблемы прочности и пластичности. 2015. Т. 77. № 1. С. 49–59.
Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Упругий контакт номинально плоских поверхностей при наличии шероховатости и адгезии // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 4. С. 101–111.
Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Сб. пер. иностр. статей. 1963. № 82. Вып. 6. С. 103–134.
Ковтун А.А. Об уравнениях Био и их модификациях // Уч. зап. СПбГУ. 2011. № 444. Вып. 44. С. 3–26.
Degrande G., De Roeck G., Van Den Breck P., Smeulders D. Wave propagation in layered dry, saturated and unsaturated poroelastic media // Intern. J. Solids & Struct. 1998. V. 35 (34–35). P. 4753–4778.
Guyer R.A., Alicia Kim H., Derome D. et al. Hysteresis in modeling of poroelastic systems: Quasistatic equilibrium // Phys. Rev. E. 2011. V. 83. P. 061408.
Иваночкин П.Г., Суворова Т.В., Данильченко С.А. и др. Комплексное исследование полимерных композитов с матрицей на основе фенилона С-2 // Вестн. РГУПС. 2018. Вып. 4. С. 18–25.
Колесников И.В. Системный анализ и синтез процессов, происходящих в металлополимерных узлах трения фрикционного и антифрикционного назначения. М.: ВИНИТИ, 2017. 384 с.
Долгополов К.Н., Колесников И.В., Мельников Э.Л. Применение антифрикционных полимерных самосмазывающихся материалов класса “Масляниты” в узлах трения скольжения // Ремонт. Восстановление. Модернизация. 2018. № 4. С. 23–26.
Kolesnikov I.V., Bardushkin V.V., Myasnikov Ph.V. Calculation of stress-deformed condition in polymer nanocomposites filled with microcapsules with lubricant // J. Theor. & Appl. Mech. 2017. V. 47. № 4. P. 37–47.
Демешкин А.Г., Козенко М.Е., Корнев В.М., Кургузов В.Д. Демпфирующие характеристики композиционных конструкционных материалов, изготовленных намоткой // ПМТФ. 2001. Т. 42. № 1. С. 190–195.
Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Блочные элементы в контактных задачах с переменным коэффициентом трения // Докл. РАН. 2018. Т. 480. № 5. С. 537–541.
Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю., Морозов А.В. и др. Трение эластомеров. М.: Изд-во ИПМ, 2017. 203 с.
Беляк О.А., Суворова Т.В., Усошин С.А. Волновое поле, генерируемое в слоистом пористоупругом полупространстве движущейся осциллирующей нагрузкой // Экол. вестн. научн. центров ЧЭС. 2008. № 1. С. 53–61.
Беляк О.А., Суворова Т.В., Усошина Е.А. Математическое моделирование задачи о динамическом воздействии массивного объекта на неоднородное гетерогенное основание // Экол. вестн. научн. центров ЧЭС. 2014. № 1. С. 93–99.
Suvorova T.V., Dobrynin N.F., Ermakov V.M. et al. The impact of structure and water saturation of the subgrade of the railway on its deformation during high-speed movement // Intern. J. Appl. Engng. Res. 2016. V. 11. № 23. P. 11448–11453.
Колесников В.И., Беляк О.А., Колесников И.В., Суворова Т.В. О математической модели для прогнозирования трибологических свойств маслонаполненных композитов при вибрации// Докл. РАН. 2020. Т. 491. С. 44–47.
Колесников В.И., Суворова Т.В. Моделирование динамического поведения системы “верхнее строение железнодорожного пути – слоистая грунтовая среда”. М.: ВИНИТИ, 2003. 232 с.
Беляк О.А., Суворова Т.В. Влияние микроструктуры основания на силы трения при движении плоского штампа // Экол. вестн. научн. центров ЧЭС. 2018. № 3. С. 25–31.
Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.
Belyak O.A., Suvorova T.V. Modeling Stress Deformed State Upon Contact with the Bodies of Two-Phase Microstructure // Solid State Phenom. 2020. V. 299. P. 124–129.
Chao-Lung Yeh, Lo Wei-Cheng, Jan Chyan-Deng An assessment of characteristics of acoustic wave propagation and attenuation trough eleven different saturated soils // Amer. Geophys. Union. Fall Meeting. 2006. № 12. P. 31.
Абакумова Н.М., Гудимов М.М., Финогенов Г.Н. и др. Физико-механические свойства ароматических полиамидов марки фенилон // Пластические массы. 1973. № 9. С. 30–32.
Старцев О.В., Каблов Е.Н., Махоньков А.Ю. Закономерности α-перехода эпоксидных связующих композиционных материалов по данным динамического механического анализа // Вест. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № S2. С. 104–113.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика