Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 5, стр. 625-639

Дифракция звука на шаре с неоднородным покрытием в плоском волноводе

С. А. Скобельцын 1*, Л. А. Толоконников 1**

1 Тульский государственный университет
Тула, Россия

* E-mail: skbl@rambler.ru
** E-mail: tolokonnikovla@mail.ru

Поступила в редакцию 23.05.2020
После доработки 23.06.2020
Принята к публикации 11.07.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получено аналитическое решение задачи дифракции сферических звуковых волн на шаре с упругим радиально-неоднородным покрытием в плоском волноводе. Представлены результаты расчетов акустического поля в волноводе. Проведено сравнение результатов расчета с результатами моделирования дифракции в волноводе в системе компьютерного моделирования физических процессов COMSOL на основе метода конечных элементов.

Ключевые слова: дифракция звука, плоский волновод, шар с неоднородным упругим покрытием

Введение. Для обеспечения требуемых звукоотражающих свойств тела можно использовать неоднородное упругое покрытие при соответствующем подборе законов неоднородности для его механических параметров. В частности это было показано для упругого тела сферической формы [1], где на основе полученного [2] решения прямой задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с непрерывно-неоднородным покрытием, найдены функциональные зависимости для плотности и модулей упругости материала покрытия, обеспечивающие наименьшее отражение звука в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот. Была показана [3] возможность математического моделирования непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев. Решены задачи [4, 5] дифракции цилиндрических и сферических звуковых волн на упругом шаре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием в предположении, что тела находятся в безграничном пространстве.

Исследованию рассеяния звука телами, помещенными в плоский волновод, посвящен ряд работ. Изучено [6] рассеяние звуковых волн, излучаемых точечным источником, упругой сферической оболочкой в однородном волноводе с абсолютно жестким дном и акустически мягкой верхней границей. Решена [7] задача дифракции сферической волны на жесткой сфере в волноводе с жидким дном и мягкой верхней границей. Исследовано [8] акустическое рассеяние на упругой сферической оболочке, помещенной в волновод с жидким поглощающим дном и акустически мягкой верхней границей. Проведено моделирование акустического поля, рассеянного акустически жесткой или мягкой сферой, помещенной в однородный волновод с жидкими границами [9]. Исследована дифракция звука [10], излучаемого точечным источником, на жесткой сфере, находящейся в однородном слое жидкости, граничащем со слоем, скорость звука в котором возрастает с глубиной. Рассмотрено [1114] рассеяние звуковых волн на теле произвольной формы в плоскослоистом волноводе с учетом многократных переотражений.

В настоящей работе решается задача дифракции сферических звуковых волн на жестком шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе.

1. Постановка задачи. Рассмотрим абсолютно жесткий шар радиуса ${{r}_{1}}$ с покрытием в виде непрерывно-неоднородного упругого сферического слоя, внешний радиус которого равен ${{r}_{2}}$. Толщина слоя – $h = {{r}_{2}} - {{r}_{1}}$. Шар помещен в плоский волновод, заполненный идеальной жидкостью с плотностью ${{\rho }_{1}}$ и скоростью звука $c$. Полагаем, что каждая граница волновода является либо абсолютно жесткой, либо акустически мягкой.

Введем прямоугольную декартову систему координат $x,\;y,\;z$ с началом в центре шара. Схема волноводной системы изображена на рис. 1. В системе координат $x,\;y,\;z$ нижняя граница волновода определяется уравнением $z = - a$, верхняя граница – уравнением $z = b$. С прямоугольной системой координат свяжем сферическую и цилиндрическую системы координат $r$, $\theta $, $\varphi $ и $R$, $\varphi $, $z$.

Рис. 1.

Полагаем, что плотность материала покрытия $\rho $ является непрерывной функцией радиальной координаты $r$, а модули упругости материала покрытия $\lambda $ и $\mu $ – дифференцируемыми функциями координаты $r$.

В волноводе находится точечный источник, излучающий сферическую монохроматическую волну с круговой частотой $\omega $ и амплитудой $A$. Положение источника определяется точкой ${{M}_{0}}$, имеющей декартовы, сферические и цилиндрические координаты $\left( {{{x}_{0}},0,{{z}_{0}}} \right)$, $\left( {{{r}_{0}},{{\theta }_{0}},{{\varphi }_{0}}} \right)$ и $({{R}_{0}},\;{{\varphi }_{0}}\,,{{z}_{0}})$. При этом ${{\varphi }_{0}} = 0$, если ${{x}_{0}} > 0$ и ${{\varphi }_{0}} = \,\pi $, если ${{x}_{0}} < 0$. Точка наблюдения $M$ имеет координаты $\left( {x,y,z} \right)$, $\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ и $\left( {R,\varphi ,z} \right)$.

Определим акустическое поле в волноводе.

2. Дифракция сферической звуковой волны на шаре с неоднородным покрытием в свободном пространстве. Вначале рассмотрим задачу о дифракции сферической звуковой волны на жестком шаре с радиально-неоднородным покрытием, находящемся в безграничном пространстве.

Потенциал скорости сферической волны в свободном пространстве представляется в виде

${{\Psi }_{0}} = A\frac{{{{e}^{{ikl}}}}}{l}\exp \left( { - i\omega t} \right);\quad l = \left| {{\mathbf{r}} - {{{\mathbf{r}}}_{0}}} \right|,$
где $k = \omega {\text{/}}c$ – волновое число в жидкости, ${\mathbf{r}}$ и ${{{\mathbf{r}}}_{0}}$ – радиус-векторы точек $M$ и ${{M}_{0}}$ соответственно, $t$ – время. В дальнейшем временной множитель $\exp \left( { - i\omega t} \right)$ будем опускать.

Представим потенциал скорости падающей волны в сферических координатах в виде разложения [15]

${{\Psi }_{0}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\sum\limits_{m = 0}^n \,{{\gamma }_{{mn}}}P_{n}^{m}(cos\theta )cosm(\varphi - {{\varphi }_{0}})\left\{ \begin{gathered} {{j}_{n}}(kr){{h}_{n}}(k{{r}_{0}}),\quad {{r}_{0}} > r \hfill \\ {{j}_{n}}(k{{r}_{0}}){{h}_{n}}(kr),\quad r > {{r}_{0}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,$
где ${{\gamma }_{{mn}}} = Aik(2 - {{\delta }_{{0m}}})(2n + 1)\frac{{(n - m)!}}{{(n + m)!}}P_{n}^{m}(cos{{\theta }_{0}})$, ${{j}_{n}}(x)$ и ${{h}_{n}}(x)$ – сферические функции Бесселя и Ганкеля порядка $n$; $P_{n}^{m}(x)$ – присоединенный многочлен Лежандра степени $n$ порядка $m$; ${{\delta }_{{0m}}}$ – символ Кронекера.

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [16]

$\Delta \Psi + {{k}^{2}}\Psi = 0,$
где $\Psi = {{\Psi }_{0}} + {{\Psi }_{s}}$ – потенциал скорости полного акустического поля во внешней области, ${{\Psi }_{s}}$ – потенциал скорости рассеянной волны. При этом скорость частиц ${\mathbf{v}}$ и акустическое давление $p$ в жидкости определяются по формулам ${\mathbf{v}} = \operatorname{grad} \Psi $, $p = i\rho \omega \Psi $.

Учитывая условия излучения на бесконечности [16], потенциал скорости рассеянной волны будем искать в виде

(2.1)
${{\Psi }_{s}}(r,\theta ) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^n {{{A}_{{mn}}}{{h}_{n}}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos (\varphi - {{\varphi }_{0}})} } ,$
где ${{h}_{n}}(x)$ – сферическая функция Ганкеля первого рода порядка $n$.

Распространение упругих волн в неоднородном покрытии шара описывается общими уравнениями движения упругой среды [17], которые для установившегося режима движения в сферической системе координат имеют вид

$\frac{{\partial \sigma {}_{{rr}}}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\sigma }_{{r\theta }}}}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{{rsin\theta }}\frac{{\partial {{\sigma }_{{r\varphi }}}}}{{\partial \varphi }} + \frac{1}{r}\left( {2{{\sigma }_{{rr}}} - {{\sigma }_{{\theta \theta }}} - {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}} + {{\sigma }_{{r\theta }}}\,{\text{ctg}}\,\theta } \right) = - \rho (r){{\omega }^{2}}{{u}_{r}}$
(2.2)
$\frac{{\partial {{\sigma }_{{r\theta }}}}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\sigma }_{{\theta \theta }}}}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{{rsin\theta }}\frac{{\partial {{\sigma }_{{\theta \varphi }}}}}{{\partial \varphi }} + \frac{1}{r}[({{\sigma }_{{\theta \theta }}} - \sigma {}_{{\varphi \varphi }}){\text{ctg}}\,\theta + 3\sigma {}_{{r\theta }}] = - \rho (r){{\omega }^{2}}{{u}_{\theta }}$
$\frac{{\partial {{\sigma }_{{r\varphi }}}}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\sigma }_{{\theta \varphi }}}}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{{rsin\theta }}\frac{{\partial {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}}}{{\partial \varphi }} + \frac{1}{r}(3{{\sigma }_{{r\varphi }}} + 2{{\sigma }_{{\theta \varphi }}}{\text{ctg}}\,\theta ) = - \rho (r){{\omega }^{2}}{{u}_{\varphi }},$
где ${{u}_{r}}$, ${{u}_{\theta }}$, ${{u}_{\varphi }}$ и ${{\sigma }_{{ij}}}$ – компоненты вектора смещения ${\mathbf{u}}$ и тензора напряжений в покрытии шара.

Введем функции ${{u}_{2}}$ и ${{u}_{3}}$ с помощью соотношений

${{u}_{\theta }} = \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{{sin\theta }}\frac{{\partial {{u}_{3}}}}{{\partial \varphi }},\quad {{u}_{\phi }} = \frac{1}{{sin\theta }}\frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial \varphi }} - \frac{{\partial {{u}_{3}}}}{{\partial \theta }}$
и воспользуемся связью компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука), а также выражениями компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [17]. В результате приходим от (2.2) к системе уравнений, записанных относительно функций ${{u}_{r}}$, ${{u}_{2}}$ и ${{u}_{3}}$, которая после преобразований, указанных в [4], принимает вид
$(\lambda + 2\mu )\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{r}}}}{{\partial {{r}^{2}}}} + \left[ {\lambda {\kern 1pt} '\; + 2\mu {\kern 1pt} '\; + \frac{{2(\lambda + 2\mu )}}{r}} \right]\frac{{\partial u{}_{r}}}{{\partial r}} + \frac{\mu }{{{{r}^{2}}}}L[{{u}_{r}}] + $
$ + \;\left[ {\frac{2}{r}\left( {\lambda {\kern 1pt} '\; - \frac{{\lambda + 2\mu }}{r}} \right) + \rho {{\omega }^{2}}} \right]{{u}_{r}} + \frac{1}{r}\left[ {(\lambda + \mu )\frac{\partial }{{\partial r}} + \lambda {\kern 1pt} '\; - \frac{{\lambda + 3\mu }}{r}} \right]L[{{u}_{2}}] = 0$
(2.3)
$\frac{1}{r}\left[ {(\lambda + \mu )\frac{\partial }{{\partial r}} + \mu {\kern 1pt} '\; + \frac{{2(\lambda + 2\mu )}}{r}} \right]L[{{u}_{r}}] + $
$ + \;\left[ {\mu \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{r}^{2}}}} + \left( {\mu {\kern 1pt} '\; + \frac{{2\mu }}{r}} \right)\frac{\partial }{{\partial r}} - \frac{{\mu {\kern 1pt} '}}{r} + \rho {{\omega }^{2}} + \frac{{\lambda + 2\mu }}{{{{r}^{2}}}}L[\;]} \right]L[{{u}_{2}}] = 0$
$\left[ {\mu \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{r}^{2}}}} + \left( {\mu {\kern 1pt} '\; + \frac{{2\mu }}{r}} \right)\frac{\partial }{{\partial r}} - \frac{{\mu {\kern 1pt} '}}{r} + \rho {{\omega }^{2}} + \frac{\mu }{{{{r}^{2}}}}L[\;]} \right]L[{{u}_{3}}] = 0,$
где

$L[\;] = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\theta }^{2}}}} + {\text{ctg}}\,\theta \frac{\partial }{{\partial \theta }} + \frac{1}{{si{{n}^{2}}\theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}$

Штрихами обозначено дифференцирование по радиальной координате $r$.

Функции ${{u}_{r}}$, ${{u}_{2}}$, ${{u}_{3}}$ будем искать в виде

${{u}_{r}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\sum\limits_{m = 0}^n \,U{}_{{1mn}}(r)P_{n}^{m}(cos\theta )cosm(\varphi - {{\varphi }_{0}})$
(2.4)
${{u}_{2}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\sum\limits_{m = 0}^n \,{{U}_{{2mn}}}(r)P_{n}^{m}(cos\theta )cosm(\varphi - {{\varphi }_{0}})$
${{u}_{3}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\sum\limits_{m = 0}^n \,U{}_{{3mn}}(r)P_{n}^{m}(cos\theta )sinm(\varphi - {{\varphi }_{0}})$

Вид зависимостей от $\varphi $ в этих разложениях определяется соображениями симметрии вектора смещения ${\mathbf{u}}$ относительно плоскости $\varphi = {{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{0}} + \pi $.

Подставим разложения (2.4) в уравнения системы (2.3). Воспользовавшись уравнением для присоединенных многочленов Лежандра и свойством ортогональности сферических гармоник [18], получим для каждой пары индексов m, n $(n = 0,1, \ldots $; $m \leqslant n)$ систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций ${{U}_{{jmn}}}(r)$ $(j = 1,2,3)$

$(\lambda + 2\mu )U_{{1mn}}^{{''}} + {{b}_{{11}}}U_{{1mn}}^{'} + {{b}_{{12}}}U_{{2mn}}^{'} + {{c}_{{11}}}{{U}_{{1mn}}} + {{c}_{{12}}}{{U}_{{2mn}}} = 0$
(2.5)
$\mu U_{{2mn}}^{{''}} + {{b}_{{21}}}U_{{1mn}}^{'} + {{b}_{{22}}}U_{{2mn}}^{'} + {{c}_{{21}}}{{U}_{{1mn}}} + {{c}_{{22}}}{{U}_{{2mn}}} = 0$
$\mu U_{{3mn}}^{{''}} + {{b}_{{33}}}U_{{3mn}}^{'} + {{c}_{{33}}}{{U}_{{3mn}}} = 0,$
где

${{b}_{{11}}} = \lambda {\kern 1pt} '\; + 2\mu {\kern 1pt} '\; + 2(\lambda + 2\mu ){\text{/}}r,\quad {{b}_{{12}}} = - n(n + 1)(\lambda + \mu ){\text{/}}r$
${{b}_{{21}}} = (\lambda + \mu ){\text{/}}r,\quad {{b}_{{22}}} = {{b}_{{33}}} = (r\mu {\kern 1pt} '\; + 2\mu ){\text{/}}r$
${{c}_{{11}}} = \rho {{\omega }^{2}} + [2\lambda {\kern 1pt} 'r - 2(\lambda + 2\mu ) - n(n + 1)\mu ]{\text{/}}{{r}^{2}}$
${{c}_{{12}}} = n(n + 1)(\lambda + 3\mu - r\lambda {\kern 1pt} '){\text{/}}{{r}^{2}}$
${{c}_{{21}}} = [r\mu {\kern 1pt} '\; + 2(\lambda + 2\mu )]{\text{/}}{{r}^{2}},\quad {{c}_{{22}}} = \rho {{\omega }^{2}} - [r\mu {\kern 1pt} '\; + n(n + 1)(\lambda + 2\mu )]{\text{/}}r{}^{2}$
${{c}_{{33}}} = \rho {{\omega }^{2}} - [r\mu {\kern 1pt} '\; + n(n + 1)\mu ]{\text{/}}{{r}^{2}}$

Искомые функции ${{\Psi }_{s}}$, ${{u}_{r}}$, $u{}_{2}$ и ${{u}_{3}}$ должны удовлетворять граничным условиям. Граничные условия на внешней поверхности неоднородного покрытия шара (при $r = {{r}_{2}}$) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений

$\begin{array}{*{20}{c}} { - i\omega {{u}_{r}} = {{{v}}_{{1r}}},\quad {{\sigma }_{{rr}}} = - p,\quad {{\sigma }_{{r\theta }}} = 0,\quad {{\sigma }_{{r\varphi }}} = 0} \end{array},$
а на внутренней поверхности покрытия (при $r = {{r}_{1}}$) должен быть равен нулю вектор смещения частиц упругой среды

${{u}_{r}} = 0,\quad {{u}_{\theta }} = 0,\quad {{u}_{\varphi }} = 0$

Из условия равенства нормальных скоростей при $r = {{r}_{2}}$ находим коэффициенты ${{A}_{{mn}}}$, выраженные через величины ${{U}_{{1mn}}}({{r}_{1}})$

${{A}_{{mn}}} = - \frac{{{{\gamma }_{{mn}}}k{{h}_{n}}(k{{r}_{0}})j_{n}^{'}(k{{r}_{2}}) + i\omega {{U}_{{1mn}}}({{r}_{2}})}}{{kh_{n}^{'}(k{{r}_{2}})}}$

Из оставшихся неиспользованными граничных условий с применением преобразований, аналогичных [4], получим шесть краевых условий, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (2.5).

$(\lambda + 2\mu )U_{{1mn}}^{'}({{r}_{2}}) + \left[ {\frac{{2\lambda ({{r}_{2}})}}{{{{r}_{2}}}} + \frac{{{{\omega }^{2}}{{\rho }_{1}}{{h}_{n}}(k{{r}_{2}})}}{{kh_{n}^{'}(k{{r}_{2}})}}} \right]{{U}_{{1mn}}}({{r}_{2}}) - \frac{{\lambda ({{r}_{2}})}}{{{{r}_{2}}}}n(n + 1){{U}_{{2mn}}}({{r}_{2}}) = \frac{{\omega {{\rho }_{1}}{{\gamma }_{{mn}}}{{h}_{n}}(k{{r}_{0}})}}{{{{{(k{{r}_{2}})}}^{2}}h_{n}^{'}(k{{r}_{2}})}}$
(2.6)
$\begin{gathered} U_{{2mn}}^{'}({{r}_{2}}) + \frac{1}{{{{r}_{2}}}}[{{U}_{{1mn}}}({{r}_{2}}) - U{}_{{2mn}}({{r}_{2}})] = 0 \\ U_{{3mn}}^{'}({{r}_{2}}) + \frac{1}{{{{r}_{2}}}}{{U}_{{3mn}}}({{r}_{2}}) = 0 \\ \end{gathered} $
${{U}_{{1mn}}}({{r}_{1}}) = 0,\quad {{U}_{{2mn}}}({{r}_{1}}) = 0,\quad {{U}_{{3mn}}}({{r}_{1}}) = 0$

Анализ краевой задачи (2.5), (2.6) показывает, что функция ${{U}_{{3mn}}}(r)$ не связана с функциями ${{U}_{{1mn}}}(r)$ и ${{U}_{{2mn}}}(r)$ не только в уравнениях системы (2.5), но и в краевых условиях (2.6). Так как дифференциальное уравнение и краевое условие для нахождения функции ${{U}_{{3mn}}}(r)$ однородны, то можно утверждать, что ${{U}_{{3mn}}}(r) \equiv 0$. Поэтому ${{u}_{3}}(r,\theta ,\varphi ) \equiv 0$.

Все коэффициенты системы (2.5) и краевых условий (2.6) не зависят от индекса $m$. Индекс $m$ присутствует только в правой части первого краевого условия (2.6), причем он входит в виде множителя ${{\gamma }_{{mn}}}$.

Введем новые неизвестные функции ${{U}_{{1n}}}(r)$ и ${{U}_{{2n}}}(r)$ по формулам

${{U}_{{1mn}}}(r) = {{\gamma }_{{mn}}}{{U}_{{1n}}},\quad {{U}_{{2mn}}}(r) = {{\gamma }_{{mn}}}{{U}_{{2n}}}$

Тогда для нахождения функций ${{U}_{{1n}}}(r)$ и ${{U}_{{2n}}}(r)$ при каждом значении $n = 0,\,1,\,2,\,...$ следует решить краевую задачу для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на отрезке $[{{r}_{1}},\,\,{{r}_{2}}]$. При этом следует исключить множитель ${{\gamma }_{{mn}}}$ из правой части первого краевого условия.

При проведении расчетов краевая задача (2.5), (2.6) решена методом сведения ее к задачам с начальными условиями [2].

После определения ${{U}_{{1mn}}}({{r}_{2}})$ вычисляем коэффициенты ${{A}_{{mn}}}$, и получаем согласно (2.2) аналитическое описание акустического поля, рассеянного шаром с радиально-неоднородным упругим покрытием в свободном пространстве.

3. Дифракция сферической звуковой волны на шаре с неоднородным покрытием в плоском волноводе. Теперь рассмотрим задачу дифракции сферических звуковых волн на жестком шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе с идеальными границами, воспользовавшись методом, предложенным в [12].

Согласно методу потенциал скорости полного акустического поля в волноводе $\Psi $ будем искать в виде суммы вклада от источника ${{\Psi }^{0}}$ и вклада от рассеивателя ${{\Psi }^{s}}$: $\Psi = {{\Psi }^{0}} + {{\Psi }^{s}}$, где

(3.1)
${{\Psi }^{0}} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^4 {\Psi _{{jm}}^{0}} } ,\quad {{\Psi }^{s}} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^4 {\Psi _{{jm}}^{s}} } $

Оценим вклад от источника в акустическое поле, рассматривая слагаемые в первом выражении (3.1).

Слагаемое $\Psi _{{01}}^{0} = {{\Psi }_{0}}$ характеризует вклад в акустическое поле при прямом распространении сферической волны в свободном пространстве от точки источника ${{M}_{0}}$ до точки наблюдения $M$.

Воспользуемся интегральным представлением сферической волны [12]

(3.2)
${{\Psi }_{0}} = A\frac{{{{e}^{{ikl}}}}}{l} = Ai\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }{{J}_{0}}(\xi \left| {{\mathbf{R}} - {{{\mathbf{R}}}_{0}}} \right|){{e}^{{i\eta \,\left| {z - {{z}_{0}}} \right|}}}d\xi } ,\quad \eta = {{\left( {{{k}^{2}} - {{\xi }^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$
получаемым из разложения сферической волны по плоским волнам [19]. Направление распространения плоской волны задается горизонтальной $\xi $ и вертикальной $\eta $ компонентами падающего волнового вектора ${\mathbf{k}}$. Здесь ${{J}_{0}}$ – цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, ${\mathbf{R}}$ и ${{{\mathbf{R}}}_{0}}$ – радиус-векторы проекций точек $M$ и ${{M}_{0}}$ на плоскость $xOy$ соответственно.

Выполнение условия $\operatorname{Im} \eta \geqslant 0$ обеспечивает ограниченность ${{\Psi }_{0}}$. Таким образом, когда $\xi > k$ следует выбрать $\eta = i{{\left( {{{\xi }^{2}} - {{k}^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$.

Пусть точка наблюдения $M$ имеет координаты $\left( {x,0,z} \right)$, $\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ и $\left( {R,\varphi ,z} \right)$, где $\varphi $ принимает значение 0 или π. Тогда $\left| {{\mathbf{R}} - {{{\mathbf{R}}}_{0}}} \right| = \left| {x - {{x}_{0}}} \right|$.

Отраженная от границ волновода сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, возникающих при отражении плоских волн, на которые раскладывается сферическая волна. При оценке вклада источника в акустическое поле будем учитывать многократное отражение плоских волн от границ волновода.

Пусть коэффициенты отражения плоской волны от нижней границы волновода и верхней границы равны ${{V}_{a}}$ и ${{V}_{b}}$ соответственно.

Сначала рассмотрим случай $z > {{z}_{0}}$. Слагаемое $\Psi _{{02}}^{0}$ учитывает единственное отражение от нижней границы волновода, что соответствует распространению волны от точки ${{M}_{0}}$ до точки нижней границы с последующим отражением и распространением до точки наблюдения $M$. При этом проекции пути, проходимой плоской волной, по осям координат $x$ и $z$ равны ($x - {{x}_{0}}$) и $ - ( - a - {{z}_{0}}) + (z + a)$ соответственно. Будем иметь

$\Psi _{{02}}^{0} = Ai\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }{{J}_{0}}(\xi \left| {x - {{x}_{0}}} \right|)\left[ {{{e}^{{ - i\eta ( - a - {{z}_{0}})}}}{{V}_{a}}{{e}^{{i\eta (z + a)}}}} \right]d\xi } $

Слагаемое $\Psi _{{03}}^{0}$ описывает единственное отражение от верхней границы волновода, что соответствует распространению волны от точки ${{M}_{0}}$ до верхней границы с отражением от нее и распространением до точки $M$. Тогда

$\Psi _{{03}}^{0} = Ai\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }{{J}_{0}}(\xi \left| {x - {{x}_{0}}} \right|)\left[ {{{e}^{{i\eta (b - {{z}_{0}})}}}{{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta (z - b)}}}} \right]d\xi } $

Для волны, распространяющейся по пути от точки ${{M}_{0}}$ до нижней границы, затем после отражения до верхней границы и, наконец, после повторного отражения до точки $M$, получаем следующее выражение

$\Psi _{{04}}^{0} = Ai\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }{{J}_{0}}(\xi \left| {x - {{x}_{0}}} \right|)\left[ {{{e}^{{ - i\eta ( - a - {{z}_{0}})}}}{{V}_{a}}{{e}^{{i\eta (b + a)}}}{{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta (z - b)}}}} \right]d\xi } $

Вариант, когда волна сначала отражается от верхней границы, а затем от нижней, при $j = 0$ не рассматривается, так как этот вариант будет учитываться при $j = 1$ и $m = 1$.

При $j = 1,\,2, \ldots $ каждое слагаемое $\Psi _{{jm}}^{0}$ ($m = 1,2,3,4$) учитывает два дополнительных отражения от верхней и нижней границ волновода. Поэтому выражения для $\Psi _{{jm}}^{0}$ получаются из выражений для $\Psi _{{j - 1,m}}^{0}$ умножением на коэффициент ${{V}_{a}}{{V}_{b}}{{e}^{{2i\eta \,(a + b)}}}$, т.к. дополнительный набег фазы составляет $2i\eta \left( {a + b} \right)$.

В результате после суммирования слагаемых $\Psi _{{jm}}^{0}$ выражение для ${{\Psi }^{0}}$ принимает вид геометрической прогрессии. Полагая, что ${\text{|}}{{V}_{a}}{{V}_{b}}{\text{|}} < 1$ и суммируя прогрессию, получаем

(3.3)
$\begin{gathered} {{\Psi }^{0}} = Ai\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }{{J}_{0}}(\xi \left| {x - {{x}_{0}}} \right|)\frac{1}{{1 - {{V}_{a}}{{V}_{b}}{{e}^{{2i\eta (a + b)}}}}} \times } \\ \times \;\left( {{{e}^{{i\eta (z - {{z}_{0}})}}} + {{V}_{a}}{{e}^{{i\eta (z + {{z}_{0}} + 2a)}}} + {{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta (z + {{z}_{0}} - 2b)}}} + {{V}_{a}}{{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta \left( {(z - {{z}_{0}} - 2(a + b)} \right)}}}} \right)d\xi \\ \end{gathered} $

Будем считать, что условие ${\text{|}}{{V}_{a}}{{V}_{b}}{\text{|}} < 1$ выполняется даже в случае идеальных границ (для жесткой границы $V = 1$, а для мягкой $V = - 1$), так как всегда имеет место хотя бы малое отличие ${\text{|}}{{V}_{a}}{\text{|}}$ или ${\text{|}}{{V}_{b}}{\text{|}}$ от единицы.

В случае $z < {{z}_{0}}$ выражение для вклада от источника получаем из (3.3) перестановкой $z$ и ${{z}_{0}}$.

Рассмотрим вклад в акустическое поле от рассеивателя. Слагаемое $\Psi _{{01}}^{s}$ в выражении (3.2) для ${{\Psi }^{s}}$ описывает вклад прямого распространения рассеянной телом волны в свободном пространстве до точки наблюдения $M$, то есть $\Psi _{{01}}^{s} = {{\Psi }_{s}}$, где ${{\Psi }_{s}}$ определяется выражением (2.1).

Воспользуемся интегральным представлением сферических базисных решений уравнения Гельмгольца через цилиндрические базисные решения [20]

(3.4)
${{h}_{n}}(kr)P_{n}^{m}(\cos \,\theta ){{e}^{{im\varphi }}} = {\text{ }}\frac{{{{\alpha }_{{mn}}}}}{k}{{i}^{{m - n}}}\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }P_{n}^{m}\left( {\frac{\eta }{k}} \right){{J}_{m}}(\xi R)} \,{{e}^{{i\eta \left| z \right|}}}{{e}^{{im\varphi }}}d\xi ,$
где ${{\alpha }_{{mn}}} = 1$ при $z > 0$ и ${{\alpha }_{{mn}}} = {{( - 1)}^{{n + m}}}$при $z < 0$, ${{J}_{m}}$ – цилиндрическая функция Бесселя порядка $m$.

Тогда с учетом (3.4) для точек наблюдения, лежащих за пределами сферы радиуса ${{r}_{2}}$, $\Psi _{{01}}^{s}$ запишется в виде

$\Psi _{{01}}^{s} = {\text{ }}{{k}^{{ - 1}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^n {{{A}_{{mn}}}{{\alpha }_{{mn}}}{{i}^{{m - n}}}\cos m(\varphi - {{\varphi }_{0}})\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }P_{n}^{m}\left( {\frac{\eta }{k}} \right){{J}_{m}}(\xi \left| x \right|)} \,{{e}^{{i\eta \left| z \right|}}}d\xi } } $

Волна ${{\Psi }_{s}}$, отраженная от плоской границы, может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, возникающих при отражении плоских волн, на которые раскладывается рассеянная шаром волна.

Рассматривая те же варианты отражения, что и при определении вклада от источника, получим выражения для слагаемых $\Psi _{{jm}}^{s}$. В результате суммирования выражение для ${{\Psi }^{s}}$ принимает вид

(3.5)
$\begin{gathered} {{\Psi }^{S}} = {\text{ }}{{k}^{{ - 1}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^n {{{A}_{{mn}}}{{\alpha }_{{mn}}}{{i}^{{m - n}}}\cos m(\varphi - {{\varphi }_{0}})\int\limits_0^\infty {\frac{\xi }{\eta }P_{n}^{m}\left( {\frac{\eta }{k}} \right){{J}_{m}}(\xi \left| x \right|)} {{e}^{{i\eta \left| z \right|}}} \times } } \\ \times \;\frac{1}{{1 - {{V}_{a}}{{V}_{b}}{{e}^{{2i\eta (a + b)}}}}}\left( {{{e}^{{i\eta \left| z \right|}}} + {{V}_{a}}{{e}^{{i\eta (z + 2a)}}} + {{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta (z - 2b)}}} + {{V}_{a}}{{V}_{b}}{{e}^{{ - i\eta \,\left( {\left| z \right| - 2(a + b)} \right)}}}} \right)d\xi \\ \end{gathered} $

Отметим, что при рассмотрении вклада в акустическое поле от рассеивателя пренебрегаем рассеянием телом волн, отраженных от границ волновода, а учитываем только рассеяние шаром волны, идущей непосредственно от источника.

4. Результаты расчетов. На основе полученного аналитического решения задачи были проведены численные расчеты акустического поля в волноводе. Рассматривалась волноводная система с геометрическими параметрами: $a + b = 8{{r}_{2}}$, $h{\text{/}}{{r}_{1}} = 0.2$. Положение источника фиксировалось в сечении ${{x}_{0}} = - 5{{r}_{2}}$. Полагалось, что частота излучения источника $\omega $ соответствует волновому размеру тела $k{{r}_{2}} = 5$, а плотность и скорость звука в акустической среде, заполняющей волновод, равны ${{\rho }_{1}} = 1000$ кг/м3, $c = 1485$ м/с (вода).

Плотность и модули упругости покрытия шара задавались соотношениями

(4.1)
$\rho = {{\rho }_{0}}f(r;\alpha ),\quad \lambda = {{\lambda }_{0}}f(r;\beta ),\quad \mu = {{\mu }_{0}}f(r;\beta ),$
где $f(r;q) = 1 + q((r - {{r}_{1}}){\text{/}}h - 1{\text{/}}2)$ – линейная функция координаты $r$, коэффициент наклона которой равен $q{\text{/}}h$; ${{\rho }_{0}} = {\text{1488}}$ кг/м3, ${{\lambda }_{0}} = {\text{7}}{\text{.695}} \times {{10}^{9}}$ Н/м2, ${{\mu }_{0}} = {\text{2}}{\text{.918}} \times {{10}^{9}}$ Н/м2 – средние значения плотности и модулей упругости по толщине покрытия (полиамид), например, ${{\lambda }_{0}} = 1{\text{/}}h\int_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\lambda (r)dr} $.

Акустическое поле рассчитывалось на двух множествах точек: $L$ и $C$. Оба множества находятся в окрестности шара в плоскости $y = 0$, содержащей точки источника ${{M}_{0}}$ и центра шара $O$. Множество $L$ – отрезок с координатами $x = - {{r}_{2}} - h$, $y = 0$, $ - a \leqslant z \leqslant b$. Множество $C$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = {{r}_{2}} + h$. Таким образом, отрезок $L$ и окружность $C$ отстоят от поверхности шара на толщину покрытия $h$. Иллюстрация положения источника ${{M}_{0}}$ и размещения точек расчета давления представлена на рис. 2. Множества точек $L$ и $C$ представлены тонкими штриховыми линиями.

Рис. 2.

Для точек множества $C$ рассчитывалась зависимость ${\text{|}}\Psi _{s}^{'}{\text{|}}$ от координаты $\theta $, а для точек множества $L$ рассчитывалась зависимость ${\text{|}}\Psi {\kern 1pt} '{\text{|}}$ от безразмерной координаты $z{\kern 1pt} ' = z{\text{/}}{{r}_{2}}$, где величины ${\text{|}}\Psi _{s}^{'}{\text{|}}$ и ${\text{|}}\Psi {\kern 1pt} '{\text{|}}$ получены нормировкой соответствующих величин ${\text{|}}{{\Psi }_{s}}{\text{|}}$ и ${\text{|}}\Psi {\text{|}}$ значением амплитуды потенциала источника ${{\Psi }_{0}}$ в точке $O$.

При вычислении несобственных интегралов (3.3), (3.5) бесконечный верхний предел заменялся конечным ${{\xi }_{\infty }}$ таким, чтобы для всех значений координаты $x$, используемых в расчетах, выполнялось условие ${{\xi }_{\infty }}{\text{|}}x - {{x}_{0}}{\text{|}} \geqslant 1000$.

На рис. 3 и 4 представлены зависимости ${\text{|}}\Psi {\kern 1pt} '(z{\kern 1pt} '){\text{|}}$ и ${\text{|}}\Psi _{s}^{'}(\theta ){\text{|}}$ для случая, когда обе поверхности волновода – акустически мягкие (${{V}_{a}} = {{V}_{b}} = - 0.99$), $b = a = 4{{r}_{2}}$, ${{z}_{0}} = 0$. Штриховые линии соответствуют однородному покрытию ($\beta = \alpha = 0$), а сплошные – покрытию с неоднородными модулями упругости ($\alpha = 0$, $\beta = 1$). Окружность, изображенная тонкой линией на рис. 4, соответствует значению ${\text{|}}{{\Psi }_{0}}(O){\text{|}}$.

Рис. 3.
Рис. 4.

Графики показывают, что неоднородность покрытия изменяет величину акустического давления в окрестности шара на 10–20%.

Результаты расчета ${\text{|}}\Psi {\kern 1pt} '{\text{|}}$, ${\text{|}}\Psi _{s}^{'}{\text{|}}$ показаны на рис. 5 и 6 для аналогичных условий, отличающихся только величиной $\beta $, которая в этом случае равна –1 (величина модулей упругости в покрытии убывает с ростом $r$); на рис. 7 и 8 – результаты расчета потенциалов акустического поля для случая, когда источник смещен к верхней поверхности волновода (${{z}_{0}} = {{r}_{2}}$) при неоднородности материала покрытия, задаваемой параметрами $\alpha = 0$, $\beta = 1$.

Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.

Видно, что смещение источника приводит к заметной асимметрии в распределении давления. Неоднородность материала покрытия и в этом случае изменяет давление в окрестности шара до 40% по сравнению со случаем однородного покрытия.

Было проведено сравнение результатов расчета на основе приближенного аналитического решения задачи с результатами моделирования дифракции в волноводе в системе компьютерного моделирования физических процессов COMSOL [21] на основе метода конечных элементов. Использовалась конечно-элементная модель участка волновода, включающего источник, препятствие и области в их окрестности с горизонтальным размером, равным удвоенному расстоянию между ними. Условия излучения на боковых поверхностях участка обеспечивались так называемым идеально согласованным слоем (PML) [22]. Характерный размер тетраэдральных конечных элементов полагался равным $0.1\lambda $, где $\lambda $ – длина звуковой волны в жидкости, заполняющей волновод.

Результаты расчета давления в рассеянной волне для случая однородного покрытия, представленные на рис. 3 и 4 (сплошные линии), сопоставляются на рис. 9 и 10 с соответствующими зависимостями, полученными в COMSOL (штриховые линии).

Рис. 9.
Рис. 10.

Анализ полученных результатов показывает, что при рассматриваемых геометрических параметрах волновода и свойствах источника и препятствия различие в значениях потенциалов акустического поля, полученных по построенному в работе приближенному аналитическому решению и определенному по конечно-элементной модели, составляет 5–7%.

Полученное приближенное аналитическое решение задачи справедливо тогда, когда параметры $a$, $b$ существенно превышают радиус шара ${{r}_{2}}$. Проведенные исследования показали, что, например, при частоте источника, соответствующей волновому размеру шара $k{{r}_{2}} \leqslant 5$, наблюдается хорошее совпадение аналитического решения с результатами моделирования, когда параметры $a$, $b$ превышают радиус шара ${{r}_{2}}$ в 4 и более раз.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Список литературы

  1. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами // Матем. модел. 2017. Т. 29. № 11. С. 89–98.

  2. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519–526.

  3. Толоконников Л.А. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев в задаче рассеяния звука // ПММ. 2017. Т. 81. Вып. 6. С. 699–707.

  4. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663–673.

  5. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. 2014. Вып. 3. С. 131–137.

  6. Sammelman G.S., Hackman R.H. Acoustic scattering in a homogeneous waveguide // J. Acoust. Soc. Amer. 1987. V. 82. № 1. P. 324–336.

  7. Ingenito F. Scattering from an object in a stratified medium // J. Acoust. Soc. Amer. 1987. V. 82 № 6. P. 2051–2059.

  8. Григорьева Н.С., Фридман Г.М. Рассеяние звука сферической оболочкой, помещенной в волновод с жидким дном // Акуст. ж. 2013. Т. 59. № 4. С. 424–432.

  9. Григорьева Н.С., Михайлова Д.А., Островский Д.Б. Эхосигнал от рассеивателя, находящегося в покрытом льдом волноводе // Акуст. ж. 2015. Т. 61. № 2. С. 143–151.

  10. Григорьева Н.С., Кадыров С.Г., Куприянов М.С. Дифракция звуковых импульсов на сфере в плоскослоистом волноводе с градиентным слоем // Акуст. ж. 2018. Т. 64. № 3. С. 275–282.

  11. Hackman R.H., Sammelman G.S. Acoustic scattering in an inhomogeneous waveguide: Theory // J. Acoust. Soc. Amer. 1986. V. 80. № 5. P. 1447–1458.

  12. Hackman R.H., Sammelman G.S. Multiple-scattering analysis for a target in oceanic waveguide // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 84. № 5. P. 1813–1825.

  13. Кузькин В.М. Рассеяние звуковых волн на теле в плоскослоистом волноводе // Акуст. ж. 2003. Т. 49. № 1. С. 77–84.

  14. Шарфарец Б.П. Метод расчета поля излучателя и поля рассеяния неоднородного включения в плоскослоистых волноводах // Акуст. ж. 2004. Т. 50. № 1. С. 123–128.

  15. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

  16. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

  17. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

  18. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

  19. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

  20. Ерофеенко В.Т. Решение одной краевой задачи для уравнения Гельмгольца в слоистом пространстве с шаровым включением // Дифф. ур. 1978. Т. 14. № 8. С. 1439–1447.

  21. Pryor R.W. Multiphysics Modeling Using COMSOL: A First Principles Approach. Burlington: Jones & Bartlett Publishers, 2009. 852 p.

  22. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer, 2013. 226 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.