Прикладная математика и механика, 2021, T. 85, № 3, стр. 277-284

1. Введение. В работе построено решение векторной граничной задачи, разложенное по упакованным блочным элементам, которые являются решениями скалярных граничных задач в неклассических областях. Решения ряда векторных дифференциальных уравнений в частных производных механики сплошных сред, электромагнитных явлений, теории поля допускают представления в виде разложений по решениям скалярных уравнений. В его основе лежит преобразование Б.Г. Галеркина [1, 2]. Этот подход удобен при решении задач во всем пространстве и в ряде классических областей. К ним относятся такие области, как полупространство, шар, цилиндр, а также в некоторые области, получаемые в результате представлений групп преобразований пространства [3]. В то же время для ряда важных областей, отличных от классических, например, клиновидных, прямоугольных, в форме полуполос и полуплит построение точных решений этим подходом пока не удавалось осуществить. Основная сложность при решении граничных задач этим подходом в неклассических областях состоит в трудности удовлетворения граничных условий.

Ранее в работе авторов [4] разложение решения векторной граничной задачи с помощью скалярных было построено интегродифференциальным методом. В настоящей работе, развит иной подход, названный координатным, также основанный на методе блочного элемента. Впервые, этим подходом строится точное решение в первом квадранте плоской граничной задачи второго рода для динамических уравнений Ламе. Известно, что неограниченность области делает неэффективным использование в этой граничной задаче численных методов. Решение строится при произвольных граничных условиях. Это открывает возможность изучить различные свойства решений, изменяя воздействия на границе. В отличие от работы авторов [5] в данном исследовании используются продольный и поперечный потенциалы, которые удовлетворяют уравнениям Гельмгольца. Построение точных решений граничных задач в практических применениях позволяет выявлять свойства и явления, которые оказывались упущенными при использовании различных приближенных подходов. Так, разработанный недавно метод блочного элемента позволил выявить условия возникновения некоторых типов землетрясений [6, 7]. Этот же метод дал возможность обнаружить существование нового типа трещин, дополняющих трещины Гриффитса [8]. Исследованию граничных задач для уравнения Ламе посвящено огромное количество работ, содержащих как аналитические, так и численные исследования, выполненные более чем за полтора века. Все публикации в этой области невозможно охватить. Отметим те из них, где удавалось построить точные аналитические решения некоторых типов граничных задач для векторных уравнений Ламе в неклассических областях. Опустим из рассмотрения многочисленные работы, посвященные граничным задачам в полупространстве и слоистой среде, где преобразование Фурье решает проблему. В сферических областях следует отметить работы, посвященные построению собственных векторных функций [3]. Этот подход развивался для применения в цилиндрических, эллиптических, клиновидных, конических областях [9, 10].

Как отмечено выше, сложность применения этого метода разложения векторных граничных задач скалярными в материалах разных реологий в неклассических областях объясняется трудностью удовлетворения граничных условий. Поэтому в работах [11–13], в которых построены важные соотношения представления решений векторных граничных задач скалярными, решения построены только для полупространства и слоя. Представление этого решения в виде разложения по блочным элементам, являющееся решениями скалярных граничных задач в неклассических областях, делает возможность углубленного исследования свойств решений векторных граничных задач выполнимым.

2. Постановка задачи. Рассмотрим плоскую граничную задачу второго рода для системы уравнений Ламе, поставленную в первом квадранте при гармонических воздействиях на границе. Ранее точное ее решение получить не удавалось, однако метод блочного элемента в настоящей работе дает возможность это сделать в форме упакованных векторных блочных элементов.

В первом квадранте динамические уравнения Ламе после исключения члена $\exp \left( { - i\omega t} \right)$ имеют вид

Здесь ${{u}_{n}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ – компоненты векторов перемещений в точке ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\Omega $ – область первого квадранта ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$, $\lambda $, μ – параметры Ламе, $\rho $ – плотность материала деформируемого тела, $\omega $ – частота внешних гармонических воздействий на границе, задаваемых комплексной функцией $\exp \left( { - i\omega t} \right)$, где $t$ – время. В задаче первого рода значения напряжений на границах квадранта обозначаются на оси абсцисс функциями ${{X}_{{11}}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$, ${{X}_{{12}}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$ и ${{Y}_{{11}}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$, ${{Y}_{{12}}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$ – на оси ординат. Нормальные к границе напряжения обозначаются символом $X$, а касательные – $Y$. В задаче второго рода на границе первого квадранта задаются компоненты векторов перемещения ${{u}_{1}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$, ${{u}_{2}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$ и ${{u}_{1}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$, ${{u}_{2}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$.

3. Метод исследования. Достаточно давно было замечено, что уравнения Ламе как в статическом, так и в динамическом случаях обладают свойством представления решения в виде сумм решений скалярных граничных задач [11–13].

Следуя [11–13], примем разложение решения уравнений Ламе в следующей форме:

Здесь приняты обозначения

Функции ${{f}_{m}}$, ${{g}_{т}}$, $m = 1,2$, в граничных условиях являются произвольными, удовлетворяющими лишь условиям корректности постановки граничной задачи. В частности, их можно брать из следов пространства медленно растущих обобщенных функций, в котором ищутся решения граничной задачи в области $\Omega $.

Далее рассматривается случай граничной задачи Ламе второго рода для области $\Omega $, в которой на границах задаются ${{u}_{n}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$, ${{u}_{n}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$, $n = 1,2$.

Таким образом, для решений уравнения Гельмгольца формируются граничные условия при ${{x}_{2}} \to 0$ вида

Аналогично при ${{x}_{1}} \to 0$

Решение граничной задачи для уравнений Ламе с граничными условиями (3.3), (3.4) требует построения решений граничных задач для уравнений Гельмгольца при произвольных граничных условиях (3.2). Это возможно сделать, используя метод блочного элемента, который описан в работах [4–7]. Примеры решения различных граничных задач с использованием решений уравнений Гельмгольца имеются в работах [14–17]. Решение граничной задачи в первом квадранте, выполненное методом блочного элемента, имеется в [14]. В упакованном виде в первом квадранте в случае граничной задачи Дирихле для уравнений Гельмгольца решения имеют вид

В результате вычислений получаем следующее представление решений каждой граничной задачи

Последние выражения представимы в виде

Вычислим преобразования Фурье

Проведя исследования построенных преобразований Фурье для $\Phi \left( {{{\alpha }_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ и $\Psi \left( {{{\alpha }_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ вблизи границы $0 < {{x}_{2}} \ll 1$ и отбросив исчезающие интегралы при ${{x}_{2}} = 0$, получим соответственно представления вида

Проделав аналогичные действия вблизи границы ${{x}_{1}} = 0$ с функциями $\Phi \left( {{{x}_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)$, $\Psi \left( {{{x}_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)$ при $0 < {{x}_{1}} \ll 1$, получаем выражения в форме

4. Полученные результаты. На основании полученных выражений, сформируем представления решений граничных задач вблизи границ ${{x}_{1}} = 0$ и ${{x}_{2}} = 0$. Имеем

Отсюда получаем

Для нахождения искомых граничных условий решений скалярных граничных задач, с целью построения решений векторных граничных задач, используем формулы (3.3), (3.4) представления решений векторных задач через скалярные. Имеем при ${{x}_{2}} \to 0$

Аналогично при ${{x}_{1}} \to 0$

В результате вычислений, находим значения граничных условий в граничных задачах для уравнений Гельмгольца, которые обеспечат выполнения граничных условий векторной граничной задачи. Эти условия имеют вид

Внеся найденные значения функций в представления внешних форм (3.5), с помощью соотношений (4.3), (4.4), имеем возможность проверить выполнение граничных условий векторной граничной задачи из разложений по решениям скалярных граничных задач. Осуществив вычисления по указанным формулам при $0 < {{x}_{2}} \ll 1$, и выполнив последующий предельный переход при ${{x}_{2}} \to 0$, имеем

Проделав аналогичные вычисления при $0 < {{x}_{1}} \ll 1$ и последующий предельный переход при ${{x}_{1}} \to 0$, получаем

Таким образом, построенные формулы (4.3), (4.4) граничных условий решений граничных задач для уравнений Гельмгольца в первом квадранте, внесенные в представление внешних форм упакованных блочных элементов (3.5), дают точное решение граничной задачи второго рода для уравнений Ламе при произвольных граничных условиях в первом квадранте.

В работе рассмотрен простейший случай неклассической области для граничной задачи для уравнения Ламе в качестве иллюстрации. Переход к более сложным областям будет зависеть от успехов построения точных решений для скалярных граничных задач. Этот подход освобождает исследователя от необходимости применения к векторным граничным задачам дифференциальной факторизации матриц-функций функциональных уравнений и построения достаточно сложных представлений их решений, пример которого дан в [18].

Выводы. Полученный результат открывает перспективу более глубокого исследования свойств векторных граничных задач, опираясь на достаточно полно изученные свойства решений граничных задач для уравнений Гельмгольца [14]. Построенное разложение решения векторной граничной задачи с помощью решений скалярных граничных задач позволяет изучить некоторые вопросы моделирования наноматериалов. Построив топологическую дискретизацию решений граничных задач для скалярных уравнений [19], оказывается возможным построить топологическую дискретизацию решений векторных граничных задач и получать их решения в более сложных неклассических областях, чем рассмотренные. Последнее открывает возможность строго математически построить механическую концепцию самоорганизации и самосборки некоторых типов наноматериалов, частицы которых могут быть наделены многокомпонентными параметрами сложной реологии. Математические модели такого материала описываются дискретными топологическими пространствами, наследующими свойства отдельных наночастиц [19].

Отдельные фрагменты работы выполнены в рамках реализации госзадания на 2021 г. Минобрнауки, проект (FZEN-2020-0020), ЮНЦ РАН проект (00-20-13) № госрег. 01201354241, и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 19-41-230003, 19-41-230004, 19-48-230014, 18-05-80008).