Прикладная математика и механика, 2021, T. 85, № 5, стр. 547-564

Полурегулярная прецессия несимметричного твердого тела с жидким наполнением

В. Ю. Ольшанский 1*

1 Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия

* E-mail: olshanskiy_vlad@mail.ru

Поступила в редакцию 10.01.2021
После доработки 16.02.2021
Принята к публикации 05.03.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для описания вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, используются уравнения Пуанкаре–Жуковского. Получены связи (называемые конфигурационными условиями) между моментами инерции твердого тела и полости с жидкостью, при которых твердое тело может совершать полурегулярную прецессию, когда скорость прецессии постоянна, а скорость собственного вращения изменяется со временем. При совпадении оси собственного вращения с главной осью инерции достаточно одного условия, если оси не совпадают, то конфигурационных условий два. Показано, что при выполнении конфигурационных условий полурегулярной прецессии уравнения Пуанкаре–Жуковского обладают инвариантной системой из трех линейных функций. Выполнен анализ конфигурационных условий для систем, близких к сферически симметричным.

Ключевые слова: твердое тело с жидким наполнением, уравнения Пуанкаре–Жуковского, полурегулярная прецессия

1. Введение. Известная модель Пуанкаре–Жуковского–Хафа широко применяется со времени своего создания [13] при анализе движения твердого тела с жидким наполнением из-за возможности использования системы обыкновенных дифференциальных уравнений для описания такого движения в случае эллипсоидальной полости с идеальной завихренной жидкостью.

Начиная с работ [2, 3], в которых изучены малые возмущения равномерного вращения системы “твердая мантия + жидкое ядро” в связи с задачей о свободной нутации земной оси, модель Пуанкаре–Жуковского–Хафа применялась для описания вращения Земли, некоторых других планет и спутников. Эта модель продолжает активно использоваться и в настоящее время. Изучено [4] вращение Земли и Венеры (при гравитационных возмущениях со стороны Солнца) в случае осесимметричной мантии и ядра. Рассмотрен [5] случай, когда эллипсоиды инерции мантии и ядра соосны и пропорциональны. Исследовалось [68] влияние вращения жидкого ядра на либрацию Меркурия. Выделены [9] случаи, когда трехосное жидкое ядро сильно сплющено и слабо сплющено. Модель Пуанкаре–Жуковского–Хафа использовалась также и для описания вращения твердого спутника с глобальным подповерхностным океаном [10]. При изучении состояний Кассини небесных тел [11] рассмотрен случай, когда оси эллипсоидального жидкого ядра не совпадают с главными осями инерции твердой мантии.

Важным простым и одновременно нетривиальным частным случаем, который встречается при описании движения некоторых технических объектов и естественных космических тел, является прецессия. Регулярная прецессия динамически симметричного свободного и тяжелого твердых тел хорошо изучена. Известны примеры регулярной прецессии несимметричного твердого тела в однородном поле тяжести [12], других силовых полях [13, 14].

Известно также, что осесимметричная система “тело + жидкость” может совершать прецессию как при отсутствии внешних сил, так и в однородном поле тяжести. Один частный случай регулярной прецессии неосесимметричной системы “тело + жидкость” был впервые отмечен [15] при нахождении условий существования линейной инвариантной системы уравнений Пуанкаре–Жуковского. Позже [16] были найдены конфигурационные условия, при которых несимметричная система “тело + жидкость” может совершать регулярную прецессию. Было показано [16], что если ось собственного вращения совпадает с одной из главных осей инерции, то достаточно одного конфигурационного условия, иначе число условий равно двум. Выполнено [17] упрощение конфигурационных условий и формул для вычисления скоростей прецессии и собственного вращения. Для интересного при изучении динамики планет случая, когда система мало отличается от сферически симметричной, показано [17], что отношение скоростей прецессии и собственного вращения совпадает с точностью до малых второго порядка включительно с отношением этих скоростей для прецессии соответствующего осесимметричного твердого тела с пустой (не заполненной жидкостью) полостью.

При рассмотрении нерегулярной прецессии выделяют [13] движения, когда постоянна величина либо скорости собственного вращения (полурегулярная прецессия первого рода), либо скорости прецессии (полурегулярная прецессия второго рода). Известны примеры таких прецессий твердых тел в различных силовых полях [13], твердого тела, несущего гиростаты [18].

Несколько частных случаев нерегулярной прецессии несимметричной системы “твердое тело + жидкость” отмечены при построении новых линейных инвариантных соотношений [19, 20].

Ниже решается следующая задача: определить при каких связях между коэффициентами уравнений Пуанкаре–Жуковского (т.е. при каких конфигурациях несимметричной системы “твердое тело + жидкость”) эти уравнения допускают решение, описывающее полурегулярную прецессию первого рода.

Получены конфигурационные условия; как и для регулярной прецессии [16, 17] в случае совпадения оси собственного вращения с главной осью инерции достаточно одного условия, если оси не совпадают, то условий два. Выделены периодические решения. Найдены скорости прецессии и собственного вращения. Показано, что при выполнении полученных в работе конфигурационных условий полурегулярной прецессии уравнения Пуанкаре–Жуковского обладают инвариантной системой из трех линейных функций.

Выполнен анализ конфигурационных условий для систем, близких к сферически симметричным. Доказано, что для таких систем полурегулярная прецессия, так же как и регулярная прецессия [17] возможна, только если ось собственного вращения совпадает с одной из главных осей инерции.

2. Постановка задачи. Для описания движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной невязкой несжимаемой жидкостью, используются уравнения Пуанкаре–Жуковского–Хафа [13]. При отсутствии внешних сил уравнения могут быть записаны в виде (см. [21, 22])

(2.1)
${\mathbf{\dot {K}}} = {\mathbf{K}} \times \left( {{\mathbf{A}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{K}} + {\mathbf{B}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{S}}} \right),\quad {\mathbf{\dot {S}}} = {\mathbf{S}} \times ({\mathbf{B}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{K}} + {\mathbf{C}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{S}})$

Здесь K – кинетический момент системы, вектор S пропорционален завихренности жидкости ${\mathbf{\Omega }}$; в подвижной системе отсчета $({{{\mathbf{e}}}_{1}},~{{{\mathbf{e}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{3}})$, жестко связанной с главными осями инерции твердого тела, компоненты вектора S имеют вид

${{S}_{1}} = --\frac{2}{5}{{\mu }}{{d}_{2}}{{d}_{3}}{{{{\Omega }}}_{1}}\quad \left( {1\;2\;3} \right),$
где ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ – полуоси полости и ${{\mu }}$ – масса жидкости.

Если главные центральные оси инерции твердого тела совпадают с осями эллипсоидальной полости, то элементы ${{A}_{i}},{{B}_{i}},{{a}_{i}},~{{b}_{i}},{{c}_{i}}$ диагональных матриц ${\mathbf{A}},{\mathbf{B}},{\mathbf{A}}{\kern 1pt} ',{\mathbf{B}}{\kern 1pt} ',{\mathbf{C}}{\kern 1pt} '$ задаются равенствами

(2.2)
$\begin{gathered} ~{{A}_{1}} = A_{1}^{s} + A_{{\text{1}}}^{{{\text{eq}}}},\quad A_{{\text{1}}}^{{{\text{eq}}}} = \frac{{{\mu }}}{5}\frac{{{{{(d_{2}^{2}--d_{3}^{2})}}^{2}}}}{{d_{2}^{2} + d_{3}^{2}}},\quad {{B}_{1}} = \frac{{4{{\mu }}}}{5}\frac{{d_{2}^{2}d_{3}^{2}}}{{d_{2}^{2} + d_{3}^{2}}}\quad (1\;2\;3) \\ {{a}_{i}} = \frac{1}{{{{A}_{i}}}},\quad {{b}_{i}} = {{{{\beta }}}_{i}}{{a}_{i}},\quad {{c}_{i}} = {{{{\gamma }}}_{i}} + {{\beta }}_{i}^{2}{{a}_{i}},\quad {{{{\beta }}}_{1}} = \frac{{2{{d}_{2}}{{d}_{3}}}}{{d_{2}^{2} + d_{3}^{2}}},\quad {{{{\gamma }}}_{1}} = \frac{5}{{{{\mu }}(d_{2}^{2} + d_{3}^{2})}} \\ \end{gathered} $

Здесь $A_{i}^{s}$ – главные моменты инерции твердого тела, параметры ${{A}_{i}}$ и $A_{i}^{{{\text{eq}}}}$ называют ([1], [22]) моментами инерции, соответственно, преобразованного и эквивалентного тела.

Система (2.1) при диагональных матрицах записывается в виде

(2.3)
$\begin{gathered} {{{\dot {K}}}_{1}} = --\Delta {{a}_{1}}{{K}_{2}}{{K}_{3}} + {{b}_{3}}{{S}_{3}}{{K}_{2}}--~{{b}_{2}}{{S}_{2}}{{K}_{3}},\quad \Delta {{a}_{1}} = {{a}_{2}}--{{a}_{3}} \\ {{{\dot {S}}}_{1}} = --\Delta {{c}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}} + {{b}_{3}}{{K}_{3}}{{S}_{2}}--~{{b}_{2}}{{K}_{2}}{{S}_{3}},\quad \Delta {{c}_{1}} = {{c}_{2}}--{{c}_{3}}\quad (1\;2\;3) \\ \end{gathered} $

Угловая скорость твердого тела выражается по формуле

(2.4)
${\mathbf{\omega }} = {\mathbf{A}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{K}} + {\mathbf{B}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\mathbf{S}}$

В случае прецессии угловая скорость ${\mathbf{\omega }}$ имеет два компонента, направление одного из которых постоянно в инерциальной системе отсчета, а другого – постоянно в системе отсчета, связанной с телом. В рассматриваемом случае, когда момент внешних сил равен нулю, вектор кинетического момента постоянен в инерциальном пространстве и движением тела будет прецессия, если его угловая скорость представима в виде

(2.5)
${\mathbf{\omega }} = {{{{\omega }}}_{r}}{\mathbf{m}} + {{{{\omega }}}_{p}}{{{\mathbf{K}}}^{0}}$

Здесь ${{{{\omega }}}_{{r~}}},{{{{\omega }}}_{p}}$ – скорости собственного вращения и прецессии, ${\mathbf{m}}$ – единичный вектор, фиксированный в подвижной системе, ${{{\mathbf{K}}}^{0}}$ – орт K.

Если скорости ${{{{\omega }}}_{{r~}}},{{{{\omega }}}_{p}}$ постоянны, то прецессия называется регулярной, если постоянна только одна из скоростей – полурегулярной. Если постоянна скорость прецессии ${{{{\omega }}}_{p}}$, то движение называют полурегулярной прецессией первого типа; всюду в статье рассматривается этот случай.

При условии (2.5) использование переменной φ, такой что

(2.6)
${{\dot {\varphi }}} = {{{{\omega }}}_{{r~}}}$
позволяет записать первое уравнение (2.1) как линейное

(2.7)
${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ' = {\mathbf{K}} \times {\mathbf{m}}$

Здесь и далее $(\,)' = d(\,){\text{/}}d{{\varphi }}$.

Учитывая равенства (2.4) и (2.5), компоненты вектора S можно выразить через компоненты кинетического момента и скорости ${{{{\omega }}}_{{r~}}}$ и ${{{{\omega }}}_{p}}$

(2.8)
${{S}_{i}} = {{x}_{i}}{{K}_{i}} + {{{{\omega }}}_{{r~}}}\frac{{{{m}_{i}}}}{{{{b}_{i}}}},\quad {{x}_{i}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\frac{{{{{{{\tilde {\omega }}}}}_{p}}--{{a}_{i}}}}{{{{b}_{i}}}},\quad {{{{\tilde {\omega }}}}_{p}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\frac{{{{{{\omega }}}_{p}}}}{{\left| {\mathbf{K}} \right|}},\quad i = 1,2,3$

Параметры ${{x}_{i}}$ связаны условиями

(2.9)
${{b}_{2}}{{x}_{2}}--{{b}_{3}}{{x}_{3}} = \Delta {{a}_{1}}\quad (1\;2\;3)$

Из равенств (2.6)–(2.8) получаем

(2.10)
${{\dot {S}}_{1}} = \left( {{{x}_{1}}\left( {{{m}_{3}}{{K}_{2}}--{{m}_{2}}{{K}_{3}}} \right) + \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}{{\omega }}_{{r~}}^{'}\left( {{\varphi }} \right)} \right){{{{\omega }}}_{{r~}}}\quad (1\;2\;3)$

Вторая подсистема (2.3) после подстановки в нее ${{S}_{i}}$ и ${{\dot {S}}_{i}}$ из равенств (2.8) и (2.10) принимает вид

(2.11)
$\begin{gathered} \left( {\frac{{{{m}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}\left( {{{\rho }_{{23}}}--\Delta {{c}_{1}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{3}}--\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{\rho }_{{32}}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}}} \right){{K}_{2}}} \right){{\omega }_{{r~}}} + {{\sigma }_{1}}{{K}_{2}}{{K}_{3}}--\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\omega _{{r~}}^{'}{{\omega }_{{r~}}} = \frac{{{{m}_{2}}{{m}_{3}}}}{{{{b}_{2}}{{b}_{3}}}}\Delta {{c}_{1}}\omega _{{r~}}^{2} \\ {{\rho }_{{23}}} = {{b}_{3}} + {{b}_{2}}{{x}_{1}},\quad {{\rho }_{{32}}} = {{b}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}\quad (1\;2\;3) \\ \end{gathered} $

Здесь

(2.12)
${{\sigma }_{1}} = --\Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{3}}{{x}_{2}}--{{b}_{2}}{{x}_{3}}\quad (1\;2\;3)$

Ниже определим, при каких связях между параметрами ${{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}$ и при какой функции ${{{{\omega }}}_{{r~}}}\left( {{\varphi }} \right)$ могут быть выполнены условия (2.11) для функций ${{K}_{i}}$, являющихся решением системы (2.7). После определения ${{{{\omega }}}_{{r~}}}\left( {{\varphi }} \right)$ связь между переменными $t$ и ${{\varphi }}$ находим, интегрируя равенство (2.6).

Ранее было показано [16, 17], что регулярная прецессия несимметричной системы “твердое тело + жидкость” возможна только если ${{m}_{1}}{{m}_{2}}{{m}_{3}} = 0$. Примеров полурегулярной прецессии в случае, когда все три компонента вектора ${\mathbf{m}}$ не равны нулю, также не удается построить.

3. Полурегулярная прецессия, случай ${{m}_{2}} = 1$, ${{m}_{1}} = {{m}_{3}} = 0$. Для случая, когда ось собственного вращения совпадает с главной осью инерции, определим конфигурации системы “твердое тело + жидкость”, при которых возможна полурегулярная прецессия и найдем скорости прецессии и собственного вращения.

Общее решение системы (2.7) и система (2.11) записываются в виде

(3.1)
${{K}_{1}} = {{q}_{0}}\cos \varphi ,\quad {{K}_{2}} = {{q}_{1}},\quad {{K}_{3}} = {{q}_{0}}\sin \varphi ,\quad {{q}_{0}},\;{{q}_{1}} = \operatorname{const} $
(3.2)
${{\sigma }_{i}}{{b}_{2}}{{K}_{2}} + {{\rho }_{i}}{{\omega }_{{r~}}} = 0,\quad i = 1,3,\quad {{b}_{2}}{{\sigma }_{2}}{{K}_{1}}{{K}_{3}} = {{\omega }_{{r~}}}\omega _{{r~}}^{'}$
(3.3)
${{\rho }_{1}} = --\Delta {{c}_{1}}{{x}_{3}} + {{b}_{3}} + {{b}_{2}}{{x}_{1}},\quad {{\rho }_{3}} = --\Delta {{c}_{3}}{{x}_{1}}--{{b}_{1}}--{{b}_{2}}{{x}_{3}}$

Нетрудно проверить, что условия (3.1) и (3.2) при ${{{{\omega }}}_{{r~}}} \ne {\text{const}}$ могут быть выполнены, только если ${{q}_{1}} = {{K}_{2}} = 0$ и выполнены условия ${{{{\rho }}}_{1}} = {{{{\rho }}}_{3}} = 0$. Из этих условий, учитывая формулы (3.3), получаем следующие выражения для параметров ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{3}}$

(3.4)
${{x}_{1}} = --\frac{{{{b}_{1}}\Delta {{c}_{1}} + {{b}_{2}}{{b}_{3}}}}{{b_{2}^{2} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{c}_{3}}}},\quad {{x}_{3}} = \frac{{{{b}_{3}}\Delta {{c}_{3}}--{{b}_{1}}{{b}_{2}}}}{{b_{2}^{2} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{c}_{3}}}}$

Учитывая связь (2.9), получим конфигурационное условие

(3.5)
$b_{1}^{2}\Delta {{c}_{1}} + b_{3}^{2}\Delta {{c}_{3}} + b_{2}^{2}\Delta {{a}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{2}} = 0$

Из равенств (3.1) и третьего равенства (3.2) найдем

$\omega _{{r~}}^{2} = C--\frac{1}{2}{{b}_{2}}{{\sigma }_{2}}q_{0}^{2}\cos 2\varphi $

При ${{{{\rho }}}_{1}} = {{{{\rho }}}_{3}} = 0$ имеем ${{{{\sigma }}}_{2}} = {{b}_{2}}\left( {x_{1}^{2}--x_{3}^{2}} \right)$ и формулу для скорости собственного вращения можно записать в виде

(3.6)
$\omega _{{r~}}^{2} = {{\left( {\dot {\varphi }} \right)}^{2}} = C--\frac{1}{2}b_{2}^{2}\left( {x_{1}^{2}--x_{3}^{2}} \right)q_{0}^{2}\cos 2\varphi $

Скорость прецессии выражается по формуле (2.8)

(3.7)
$\frac{{{{{{\omega }}}_{p}}}}{{{{q}_{0}}}} = {{{{\tilde {\omega }}}}_{p}} = {{a}_{1}} + {{b}_{1}}{{x}_{1}} = {{a}_{3}} + {{b}_{3}}{{x}_{3}}$

Выше показано, что для того, чтобы движением системы “твердое тело + жидкость” в случае совпадения оси собственного вращения с главной осью была полурегулярная прецессия, необходимо выполнение конфигурационного условия (3.5). Это условие дает, при учете формул (2.2), одну связь между главными моментами инерции твердого тела и моментами инерции жидкого ядра. В разделе 5 показано, что при соответствующих начальных условиях данного условия также и достаточно для полурегулярной прецессии системы.

После интегрирования уравнения (3.6) получим либо периодическое решение ${{K}_{i}}\left( t \right)$, ${{S}_{i}}\left( t \right)$, либо решение, асимптотически приближающееся при $t \to \infty $ к стационарному. Далее будем рассматривать случай периодического решения, представляющий интерес при изучении динамики естественных космических тел.

Уравнение (3.6) преобразуем к виду

${{\left( {\dot {\varphi }} \right)}^{2}} = b_{2}^{2}\left( {{{{\left( {S_{2}^{0}} \right)}}^{2}} + \left( {x_{3}^{2}--x_{1}^{2}} \right)\left( {{{{\left( {K_{3}^{0}} \right)}}^{2}}--K_{3}^{2}} \right)} \right),\quad {{K}_{3}} = {{q}_{0}}\sin \varphi $

Полагая

$\left| {{{x}_{3}}} \right| > \left| {{{x}_{1}}} \right|,\quad {{\left( {S_{2}^{0}} \right)}^{2}} > \left( {x_{3}^{2}--x_{1}^{2}} \right){{\left( {K_{1}^{0}} \right)}^{2}}$
уравнение запишем в виде

$\dot {\varphi } = \lambda \sqrt {1--{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\varphi } ,\quad 0 < {{k}^{2}} < 1$
$\lambda = \pm {{b}_{2}}\sqrt {{{{\left( {S_{2}^{0}} \right)}}^{2}} + \left( {x_{3}^{2}--x_{1}^{2}} \right){{{\left( {K_{3}^{0}} \right)}}^{2}}} ,\quad {{k}^{2}} = \frac{{\left( {x_{3}^{2}--x_{1}^{2}} \right)\left( {{{{\left( {K_{1}^{0}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {K_{3}^{0}} \right)}}^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {S_{2}^{0}} \right)}}^{2}} + \left( {x_{3}^{2}--x_{1}^{2}} \right){{{\left( {K_{3}^{0}} \right)}}^{2}}}}$

Выполнив интегрирование, запишем решение, используя эллиптические функции Якоби

${{K}_{1}} = K\operatorname{cn} t{\kern 1pt} ',\quad {{K}_{2}} = 0,~{{K}_{3}} = K\operatorname{sn} t{\kern 1pt} ',\quad {{K}^{2}} = {{\left( {K_{1}^{0}} \right)}^{2}} + {{\left( {K_{3}^{0}} \right)}^{2}}$
${{S}_{1}} = {{x}_{1}}K\operatorname{cn} t{\kern 1pt} ',\quad {{b}_{2}}{{S}_{2}} = {{\omega }_{\varphi }} = \lambda \operatorname{dn} t{\kern 1pt} ',\quad {{S}_{3}} = {{x}_{3}}K\operatorname{sn} t{\kern 1pt} '$
$\varphi = \operatorname{am} t{\kern 1pt} ',\quad \sin \varphi = \operatorname{sn} t{\kern 1pt} ',\quad \cos \varphi = \operatorname{cn} t{\kern 1pt} ',\quad \sqrt {1--{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\varphi } = \operatorname{dn} t{\kern 1pt} ',\quad t{\kern 1pt} ' = \lambda t + c$

4. Полурегулярная прецессия, случай ${{m}_{2}} = 0$, ${{m}_{1}}{{m}_{3}} \ne 0$. Найдем конфигурационные условия полурегулярной прецессии в случае, когда ось собственного вращения не совпадает с главной осью инерции.

Решение системы (2.7) записывается в виде

(4.1)
${{K}_{1}} = {{q}_{1}}{{m}_{1}}--q{{m}_{3}}\cos \varphi ,\quad {{K}_{2}} = q\sin \varphi ,\quad {{K}_{3}} = {{q}_{1}}{{m}_{3}} + q{{m}_{1}}\cos \varphi $

Получим условия, при которых могут быть выполнены уравнения (2.11) с данными функциями ${{K}_{i}}$.

Рассмотрим сначала случай ${{q}_{1}} = 0$. Обозначив $z = {{\omega }_{{r~}}}{\text{/}}\left( {q\cos \varphi } \right)$, второе уравнение (2.11) запишем в виде

(4.2)
$\begin{gathered} \left( {m_{3}^{2}{{b}_{1}}\left( {{{b}_{1}}--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}} + {{b}_{3}}{{x}_{2}}} \right) + m_{1}^{2}{{b}_{3}}\left( {{{b}_{3}} + \Delta {{c}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{1}}{{x}_{2}}} \right)} \right)z + \\ + \;{{m}_{1}}{{m}_{3}}\Delta {{c}_{2}}{{z}^{2}} + {{b}_{1}}{{b}_{3}}{{m}_{1}}{{m}_{3}}{{\sigma }_{2}} = 0 \\ \end{gathered} $

Если $z = {\text{const}}$, то ${{\omega }_{{r~}}} = \operatorname{const} \; \cdot \;\cos \varphi $. В этом случае получаемое после интегрирования уравнения (2.6) решение ${{K}_{i}}\left( t \right)$, ${{S}_{i}}\left( t \right)$ будет не периодическим, а стремящимся при $t \to \infty $ к стационарному значению. Как и выше, этот случай не будем рассматривать.

Если же $z \ne {\text{const}}$, то условие (4.2) может быть выполнено, только если все коэффициенты при $z$ равны нулю, т.е.

(4.3)
$\Delta {{c}_{2}} = 0$
(4.4)
${{b}_{3}}{{x}_{1}} = {{b}_{1}}{{x}_{3}},\quad m_{3}^{2}\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{3}}}} + m_{1}^{2}\frac{{{{b}_{3}}}}{{{{b}_{1}}}} + {{x}_{2}} = 0$

Первое и третье уравнения (2.11) записываются в виде

(4.5)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{1}}{{K}_{2}}{{K}_{3}}--\left( {\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{b}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}} \right){{K}_{2}} + \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\omega _{{r~}}^{'}} \right){{\omega }_{{r~}}} = 0 \\ {{\sigma }_{3}}{{K}_{1}}{{K}_{2}} + \left( {\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\left( {{{b}_{2}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{2}}--\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\omega _{{r~}}^{'}} \right){{\omega }_{{r~}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Если здесь первое равенство умножить на ${{m}_{3}}{{b}_{1}}$, второе – на ${{m}_{1}}{{b}_{3}}$ и сложить, то, учитывая условия (4.3) и (4.4), получим

$\left( {m_{3}^{2}\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{3}}}} + m_{1}^{2}\frac{{{{b}_{3}}}}{{{{b}_{1}}}}} \right)\left( {{{b}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}} \right){{\omega }_{{r~}}} = {{m}_{1}}{{m}_{3}}q\left( {{{b}_{1}}{{\sigma }_{1}} + {{b}_{3}}{{\sigma }_{3}}} \right)\cos \varphi $

Исключая, как и выше, случай ${{\omega }_{{r~}}} = \operatorname{const} \; \cdot \;\cos \varphi $, получим условия

(4.6)
${{b}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}} = 0,\quad {{b}_{1}}{{\sigma }_{1}} + {{b}_{3}}{{\sigma }_{3}} = 0$

Уравнения (4.5) при условиях (4.3), (4.4) и (4.6) эквивалентны и могут быть записаны в виде

(4.7)
${{\omega }_{{r~}}}\omega _{{r~}}^{'} = {{b}_{1}}{{\sigma }_{1}}{{q}^{2}}\sin \varphi \cos \varphi $

Выражения для параметров ${{x}_{i}}$ найдем, используя связи (2.9) и (4.4)

(4.8)
${{x}_{1}} = \frac{{{{b}_{1}}\Delta {{a}_{2}}}}{{b_{1}^{2}--b_{3}^{2}}},\quad {{x}_{3}} = \frac{{{{b}_{3}}\Delta {{a}_{2}}}}{{b_{1}^{2}--b_{3}^{2}}},\quad {{x}_{2}} = \frac{{b_{1}^{2}\Delta {{a}_{1}} + b_{3}^{2}\Delta {{a}_{3}}}}{{{{b}_{2}}(b_{1}^{2}--b_{3}^{2})}}$

Если найденные значения параметров ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ подставить в первое условие (4.6), то получим второе конфигурационное условие

(4.9)
$b_{2}^{2}(b_{1}^{2}--b_{3}^{2}) + {{b}_{1}}{{b}_{2}}{{b}_{3}}\Delta {{a}_{2}}--\left( {b_{1}^{2}\Delta {{a}_{1}} + b_{3}^{2}\Delta {{a}_{3}}} \right)\Delta {{c}_{1}} = 0$

Второе условие (4.6) следует из условий (4.3) и (4.4).

Таким образом, в рассматриваемом случае полурегулярная прецессия, задаваемая периодическим решением уравнений Пуанкаре–Жуковского возможна при выполнении двух условий (4.3) и (4.9). Компоненты решения выражаются через эллиптические функции Якоби, как и в разделе 3.

При учете равенств (4.6) из формулы (4.7) получим

$\omega _{{r~}}^{2} = C--\frac{1}{2}{{b}_{1}}{{b}_{3}}{{q}^{2}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)\cos 2\varphi $

Используя равенства (2.8) и (4.8), найдем скорость прецессии

${{{{\tilde {\omega }}}}_{p}} = \frac{{b_{3}^{2}{{a}_{1}}--b_{1}^{2}{{a}_{3}}}}{{b_{3}^{2}--b_{1}^{2}}}$

Из равенств (4.4) получим формулы

$m_{1}^{2} = \frac{{{{x}_{1}}\left( {{{x}_{1}} + {{x}_{2}}{{x}_{3}}} \right)}}{{x_{1}^{2}--x_{3}^{2}}},\quad m_{3}^{2} = --\frac{{{{x}_{3}}\left( {{{x}_{3}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)}}{{x_{1}^{2}--x_{3}^{2}}}$

Рассмотрим далее случай, когда ${{q}_{1}} = \left( {{\mathbf{K}},{\mathbf{m}}} \right) \ne 0$.

Из уравнений (4.5) получаем следствие

(4.10)
$L{{\omega }_{{r~}}} = \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}{{\sigma }_{1}}{{K}_{3}}--\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}{{\sigma }_{3}}{{K}_{1}}$
(4.11)
$L = \frac{{m_{1}^{2}}}{{b_{1}^{2}}}\left( {{{b}_{2}} + {{b}_{1}}{{x}_{3}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{2}}} \right) + \frac{{m_{3}^{2}}}{{b_{3}^{2}}}\left( {{{b}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}}} \right)$

Рассмотрим сначала случай $~L = 0$.

Так как заданные формулами (4.1) функции ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{3}}$ при ${{q}_{1}} \ne 0$ линейно независимы, то из условия (4.10) следует

(4.12)
${{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{3}} = 0$

Выражая $\Delta {{c}_{i}}$ через ${{\sigma }_{i}}$, условие $L = 0$ приводим к виду

(4.13)
$\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)\left( {\frac{{m_{1}^{2}}}{{{{b}_{1}}{{x}_{1}}}} + \frac{{m_{3}^{2}}}{{{{b}_{3}}{{x}_{3}}}}} \right) = 0$

Уравнения (4.5) при условии (4.12) принимают вид

(4.14)
$\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\omega _{{r~}}^{'} = --\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{x}_{3}}}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{2}},\quad \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\omega _{{r~}}^{'} = \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{x}_{1}}}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{2}}$

Два уравнения (4.14) при условии (4.13) эквивалентны. Так как $\omega _{{r~}}^{'} \ne 0$, то ${{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}} \ne 0$ и из условия (4.13) получим

(4.15)
$\frac{{m_{1}^{2}}}{{{{b}_{1}}{{x}_{1}}}} + \frac{{m_{3}^{2}}}{{{{b}_{3}}{{x}_{3}}}} = 0,\quad m_{1}^{2} = \frac{{{{b}_{1}}{{x}_{1}}}}{{\Delta {{a}_{2}}}},\quad m_{3}^{2} = --\frac{{{{b}_{3}}{{x}_{3}}}}{{\Delta {{a}_{2}}}}$

Умножая первое уравнение (4.14) на ${{m}_{1}}{{b}_{1}}$, второе – на ${{m}_{3}}{{b}_{3}}$ и складывая, получим

(4.16)
$\omega _{{r~}}^{'} = {{m}_{1}}{{m}_{3}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{2}}\left( {\frac{{{{b}_{3}}}}{{{{x}_{1}}}}--\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{x}_{3}}}}} \right) = --\frac{{{{m}_{1}}{{m}_{3}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)\Delta {{a}_{2}}}}{{{{x}_{1}}{{x}_{3}}}}{{K}_{2}}$

Из условий (2.12) и (4.12) следует ${{\sigma }_{2}} = 0$ и второе уравнение (2.11) записывается в виде

$\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{b}_{1}}--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}} + {{b}_{3}}{{x}_{2}}} \right){{K}_{1}}--\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\left( {{{b}_{3}} + \Delta {{c}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{1}}{{x}_{2}}} \right){{K}_{3}} = \frac{{{{m}_{1}}{{m}_{3}}}}{{{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}\Delta {{c}_{2}}{{\omega }_{{r~}}}$

Из равенства ${{\sigma }_{2}} = 0$ следует

${{x}_{3}}(--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}} + {{b}_{1}}) = {{b}_{3}}{{x}_{1}},\quad {{x}_{1}}(\Delta {{c}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{3}}) = {{b}_{1}}{{x}_{3}}$
и последнее равенство для ${{{{\omega }}}_{{r~}}}$ принимает вид

(4.17)
$\frac{{{{m}_{1}}{{m}_{3}}}}{{{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}\Delta {{c}_{2}}{{\omega }_{{r~}}} = \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{x}_{3}}}}\left( {{{x}_{1}} + {{x}_{2}}{{x}_{3}}} \right){{K}_{1}}--\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\left( {{{x}_{3}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right){{K}_{3}}$

Дифференцируя это равенство при учете формул (4.1), получим

$\frac{{{{m}_{1}}{{m}_{3}}}}{{{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}\Delta {{c}_{2}}\omega _{{r~}}^{'} = \left( {\frac{{m_{3}^{2}}}{{{{x}_{3}}}}\left( {{{x}_{1}} + {{x}_{2}}{{x}_{3}}} \right) + \frac{{m_{1}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}\left( {{{x}_{3}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)} \right){{K}_{2}}$

Подставляя $\omega _{{r~}}^{'}$ из формулы (4.16), получим условие

(4.18)
$--\frac{{m_{1}^{2}m_{3}^{2}}}{{{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}\Delta {{a}_{2}}\Delta {{c}_{2}}\frac{{{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}}}{{{{x}_{1}}{{x}_{3}}}} = \frac{{m_{3}^{2}}}{{{{x}_{3}}}}\left( {{{x}_{1}} + {{x}_{2}}{{x}_{3}}} \right) + \frac{{m_{1}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}\left( {{{x}_{3}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)$

Если подставить сюда $m_{i}^{2}$ из (4.15) и учесть, что при ${{{{\sigma }}}_{2}} = 0$ имеем ${{b}_{1}}{{x}_{3}}--{{b}_{3}}{{x}_{1}}$ = = $\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{3}}$, то условие (4.18) приведем к виду

(4.19)
$\Delta {{c}_{2}} = \Delta {{a}_{2}}$

Еще одно конфигурационное условие получим из условий (4.12). Используя связи (2.9), условия (4.12) запишем в виде

$\Delta {{c}_{{1,3}}}{{b}_{2}}x_{2}^{2} \pm \left( {b_{2}^{2}--b_{{3,1}}^{2} + \Delta {{c}_{{1,3}}}\Delta {{a}_{{1,3}}}} \right){{x}_{2}} + {{b}_{2}}\Delta {{a}_{{1,3}}} = 0$

Исключая из этих равенств сначала $x_{2}^{2}$, затем свободные члены, получим

(4.20)
$\begin{gathered} {{x}_{2}} = {{b}_{2}}\frac{{\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}}}}{{{{S}_{c}} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{c}_{2}}\Delta {{c}_{3}}}} = --\frac{{{{S}_{a}} + \Delta {{a}_{1}}\Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}}}}{{{{b}_{2}}\left( {\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}}} \right)}} \\ {{S}_{a}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\sum {b_{i}^{2}\Delta {{a}_{i}}} ,~~{{S}_{c}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\sum {b_{i}^{2}\Delta {{c}_{i}}} \\ \end{gathered} $

Из равенств (4.20) следует необходимость условия

(4.21)
$\left( {{{S}_{a}} + \Delta {{a}_{1}}\Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}}} \right)\left( {{{S}_{c}} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{c}_{2}}\Delta {{c}_{3}}} \right) = --b_{2}^{2}{{\left( {\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}}} \right)}^{2}}$

Учитывая условие (4.19), из равенств (2.9) и (4.20) найдем

${{x}_{1}} = --\frac{{{{S}_{a}} + \Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}}}}{{{{b}_{1}}\left( {\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}}} \right)}},\quad {{x}_{3}} = --\frac{{{{S}_{a}} + \Delta {{a}_{1}}\Delta {{a}_{2}}\Delta {{c}_{3}}}}{{{{b}_{3}}\left( {\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}}} \right)}}$

Для скоростей прецессии и собственного вращения получаем формулы

${{\tilde {\omega }}_{p}} = \frac{{\sum {\left( {{{a}_{i}}{{c}_{i}}--b_{i}^{2}} \right)\Delta {{a}_{i}}} }}{{\sum {{{c}_{i}}\Delta {{a}_{i}}} }}$
$\frac{{{{m}_{1}}{{m}_{3}}}}{{{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}\Delta {{a}_{2}}{{\omega }_{r}} = {{q}_{1}}{{m}_{1}}{{m}_{3}}\left( {\frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{3}}}}--\frac{{{{x}_{3}}}}{{{{x}_{1}}}}} \right)--q\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)\cos \varphi $

Таким образом, в рассмотренном частном случае, когда параметр L, заданный равенством (4.11), равен нулю, получены два конфигурационных условия (4.19) и (4.21) полурегулярной прецессии, формулы для скоростей и для компонент направляющего вектора оси собственного вращения.

Рассмотрим теперь случай $L \ne 0$. Из равенства (4.10) следует, что ${{{{\omega }}}_{r}}$ – линейная комбинация ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{3}}$. Учитывая формулы (4.1), запишем

${{\omega }_{r}} = {{\kappa }_{1}}{{K}_{1}} + {{\kappa }_{3}}{{K}_{3}},\quad \omega _{r}^{'} = \left( {{{m}_{3}}{{\kappa }_{1}}--{{m}_{1}}{{\kappa }_{3}}} \right){{K}_{2}}$

Уравнения (4.5) примут вид

${{\sigma }_{1}}{{K}_{3}} = \left( {{{\kappa }_{1}}{{K}_{1}} + {{\kappa }_{3}}{{K}_{3}}} \right)\left( {\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\left( {{{m}_{3}}{{\kappa }_{1}}--{{m}_{1}}{{\kappa }_{3}}} \right) + \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{b}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}} \right)} \right)$
${{\sigma }_{3}}{{K}_{1}} = \left( {{{\kappa }_{1}}{{K}_{1}} + {{\kappa }_{3}}{{K}_{3}}} \right)\left( {\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{m}_{3}}{{\kappa }_{1}}--{{m}_{1}}{{\kappa }_{3}}} \right)--\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\left( {{{b}_{2}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}{{x}_{3}}} \right)} \right)$

В случае ${{q}_{1}} \ne 0$ функции ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{3}}$ линейно независимы и, если ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{3}} \ne 0$, то для выполнения последних условий необходимо ${{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{3}} = 0$, $L = 0$ и приходим к рассмотренному выше случаю. Осталось рассмотреть вариант ${{\kappa }_{1}}{{\kappa }_{3}} = 0$. Пусть ${{\kappa }_{1}} = 0$, ${{\kappa }_{3}} = \kappa $, тогда

(4.22)
${{\omega }_{r}} = \kappa {{K}_{3}},\quad \omega _{r}^{'} = --{{m}_{3}}\kappa {{K}_{2}}$

Для выполнения уравнений (4.5) необходимы условия

${{\sigma }_{1}} = \kappa \left( {\frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {{{b}_{2}} + \Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}} \right)--\frac{{m_{1}^{2}}}{{{{b}_{1}}}}\kappa } \right),\quad {{\sigma }_{{~3}}} = 0$
(4.23)
${{b}_{3}}({{b}_{2}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}{{x}_{3}}) + {{b}_{1}}{{m}_{3}}\kappa = 0$
${{\sigma }_{2}} = \kappa \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\left( {\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}}--{{b}_{1}}--{{b}_{3}}{{x}_{2}}} \right),\quad {{b}_{3}} + \Delta {{c}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{1}}{{x}_{2}} + \kappa \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\Delta {{c}_{2}} = 0$

Умножим первое равенство полученной системы на ${{x}_{1}}$, второе – на ${{x}_{3}}$, четвертое – на ${{x}_{2}}$ и сложим. Учитывая равенство (2.12), получим условие

$\kappa \frac{{m_{1}^{2}}}{{{{b}_{1}}}}{{x}_{1}} + {{m}_{3}}\left( {x_{2}^{2}--x_{1}^{2}} \right) = 0$

Этим условием можно в системе (4.23) заменить первое условие и систему, обозначив $\alpha = \kappa {{m}_{3}}$, запишем в виде

$\alpha {{x}_{1}}m_{1}^{2} + {{b}_{1}}\left( {x_{2}^{2}--x_{1}^{2}} \right)m_{3}^{2} = 0,\quad {{b}_{2}}{{x}_{1}}--{{b}_{1}}{{x}_{2}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} = 0$
(4.24)
${{b}_{3}}\left( {{{b}_{1}}{{x}_{3}}--{{b}_{3}}{{x}_{1}}--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right) + \alpha \left( {{{b}_{1}}--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{1}} + {{b}_{3}}{{x}_{2}}} \right) = 0$
${{b}_{3}}({{b}_{2}}--\Delta {{c}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}{{x}_{3}}) + \alpha {{b}_{1}} = 0,\quad {{b}_{3}}\left( {{{b}_{3}} + \Delta {{c}_{2}}{{x}_{3}} + {{b}_{1}}{{x}_{2}}} \right) + \alpha \Delta {{c}_{2}} = 0$

Подставляя $\Delta {{c}_{3}}$ из второго условия данной системы в четвертое, найдем

(4.25)
$\alpha = --\frac{{{{b}_{3}}}}{{{{x}_{1}}}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)$

Если пятое равенство (4.24) умножить на ${{x}_{1}}$ и сложить с третьим, то получим равенство

${{b}_{1}}{{b}_{3}}\left( {{{x}_{3}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right) + \alpha \left( {{{b}_{1}} + {{b}_{3}}{{x}_{2}}} \right) = 0$

Подставив сюда $\alpha $ из формулы (4.25), получим условие

(4.26)
${{b}_{1}}\left( {x_{1}^{2}--1} \right) = {{b}_{3}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right)$

Из первого равенства (4.24) и формул (4.25), (4.26) получим

(4.27)
$m_{1}^{2}\left( {x_{1}^{2}--1} \right) = m_{3}^{2}\left( {x_{2}^{2}--x_{1}^{2}} \right),\quad m_{1}^{2} = \frac{{x_{1}^{2}--x_{2}^{2}}}{{1--x_{2}^{2}}},\quad m_{3}^{2} = \frac{{1--x_{1}^{2}}}{{1--x_{2}^{2}}}$

Пятое условие (4.24) при учете формулы (4.25) приведем к виду

(4.28)
${{b}_{3}}{{x}_{1}} + {{b}_{1}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}--\Delta {{c}_{2}}{{x}_{2}} = 0$

Таким образом, система условий (4.24) дает формулы (4.25) и (4.27) для определения величин $\alpha ,m_{1}^{2},m_{3}^{2}$ и три условия, связывающие параметры ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ – это второе условие (4.24) и условия (4.26) и (4.28). Второе равенство (4.24) и равенство (4.28) образуют систему линейных уравнений относительно $x_{1}^{{--1}},x_{2}^{{--1}}$, из которой находим

(4.29)
${{x}_{1}} = \frac{{{{b}_{2}}\Delta {{c}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}{{{{b}_{3}}\Delta {{c}_{3}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}}}},\quad {{x}_{2}} = \frac{{{{b}_{2}}\Delta {{c}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}{{b_{1}^{2} + \Delta {{c}_{2}}\Delta {{c}_{3}}}}$

Условие (4.26) при учете связи (2.9) запишем в виде ${{b}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}--\Delta {{a}_{2}}{{x}_{1}} = 0$. Так как ${{b}_{2}}{{x}_{2}}--{{b}_{1}}{{x}_{1}} = \Delta {{a}_{3}}$, то получим выражения

(4.30)
${{x}_{1}} = \frac{{{{b}_{1}}{{b}_{2}} + {{b}_{3}}\Delta {{a}_{3}}}}{{{{b}_{2}}\Delta {{a}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}}},\quad {{x}_{2}} = \frac{{b_{1}^{2} + \Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}}~}}{{{{b}_{2}}\Delta {{a}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}$

Сравнивая формулы (4.29) и (4.30), находим конфигурационные условия

(4.31)
$\begin{gathered} (b_{1}^{2} + \Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}})\left( {b_{1}^{2} + \Delta {{c}_{2}}\Delta {{c}_{3}}} \right) = \left( {{{b}_{2}}\Delta {{a}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}} \right)\left( {{{b}_{2}}\Delta {{c}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}} \right) = \\ = ({{b}_{3}}\Delta {{a}_{3}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}})\left( {{{b}_{3}}\Delta {{c}_{3}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}}} \right) \\ \end{gathered} $

Используя равенства (2.8) и (4.30), запишем скорость прецессии

${{\tilde {\omega }}_{p}} = \frac{{b_{1}^{2}{{b}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}{{a}_{2}} + {{b}_{2}}{{a}_{1}}\Delta {{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}\Delta {{a}_{2}}--{{b}_{1}}{{b}_{3}}}}$

Скорость собственного вращения, используя равенства (4.1) и (4.22), запишем в виде

${{\omega }_{r}} = \alpha \left( {{{q}_{1}} + q\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{m}_{3}}}}\cos \varphi } \right)$

Периодическое движение получим, если $\left| {{{q}_{1}}{{m}_{3}}} \right| > \left| {q{{m}_{1}}} \right|$.

После интегрирования уравнения (2.6) получим

$\cos \varphi = \frac{{--q{{m}_{1}} + {{q}_{1}}{{m}_{3}}\cos t{\kern 1pt} '}}{{{{q}_{1}}{{m}_{3}}--q{{m}_{1}}\cos t{\kern 1pt} '}},\quad \sin \varphi = \frac{{\sqrt {q_{1}^{2}m_{3}^{2}--{{q}^{2}}m_{1}^{2}} \sin t{\kern 1pt} '}}{{{{q}_{1}}{{m}_{3}}--q{{m}_{1}}\cos t{\kern 1pt} '}}$
$t{\kern 1pt} ' = \sqrt {q_{1}^{2}--{{q}^{2}}\frac{{m_{1}^{2}}}{{m_{3}^{2}}}} \left( {\alpha t + \operatorname{const} } \right)$

Периодическое решение определяется данными равенствами с учетом формул (2.8), (4.1).

5. Связь между конфигурационными условиями полурегулярной прецессии и условиями существования линейной инвариантной системы. Покажем, что если коэффициенты ${{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}$ системы уравнений Пуанкаре–Жуковского таковы, что у этой системы существует решение, называемое выше полурегулярной прецессией, то у системы уравнений существует линейная инвариантная система (${{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}}$). И наоборот – при существовании данной инвариантной системы и начальных условиях ${{F}_{i}} = 0$ движением является полурегулярная прецессия.

Рассмотрим сначала описанный в разделе 3 случай ${{m}_{2}} = 1$.

Пусть выполнено конфигурационное условие (3.5). Зададим параметры ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{3}}$ равенствами (3.4), а линейные функции ${{F}_{i}}$ равенствами

(5.1)
${{F}_{1}} = {{x}_{1}}{{K}_{1}}--{{S}_{1}},\quad {{F}_{2}} = {{K}_{2}},\quad {{F}_{3}} = {{x}_{3}}{{K}_{3}}--{{S}_{3}}$

Проверяем, что производные ${{F}_{i}}$ в силу системы (2.3) можно записать в виде

${{\dot {F}}_{i}} = (--{{x}_{i}}\Delta {{a}_{i}}{{K}_{j}} + \left( {{{x}_{i}}{{b}_{j}} + {{b}_{2}}){{S}_{j}}} \right){{F}_{2}}--~\Delta {{c}_{i}}{{S}_{2}}{{F}_{j}},\quad i \ne j,\quad i,j = 1,3$
${{\dot {F}}_{2}} = {{b}_{3}}{{K}_{1}}{{F}_{3}}--{{b}_{1}}{{K}_{3}}{{F}_{1}}$

Выполнение данных условий означает [23], что (${{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}}$) – инвариантная система уравнений (2.3); если все функции этой системы равны нулю в начальный момент времени, то они равны нулю в любой момент времени. Если преобразовать систему (2.3), полагая ${{F}_{i}} = 0$, то получим систему трех уравнений

$K_{1}^{'}\left( \varphi \right) = --{{K}_{3}},\quad K_{3}^{'}\left( \varphi \right) = {{K}_{1}},\quad {{\omega }_{r}}\omega _{r}^{'} = {{\sigma }_{2}}{{b}_{2}}{{K}_{1}}{{K}_{3}},\quad {{\omega }_{r}} = {{b}_{2}}{{S}_{2}}$

Отсюда получаем формулы (3.1) для ${{K}_{i}}\left( {{\varphi }} \right)$ (где ${{q}_{1}} = 0$) и (3.6) для скорости собственного вращения. Скорость прецессии зададим формулой (3.7). Из равенств (2.4) и (5.1) находим

${{\omega }_{1}} = ({{a}_{1}} + {{b}_{1}}{{x}_{1}}){{K}_{1}},\quad {{\omega }_{2}} = {{b}_{2}}{{S}_{2}},\quad {{\omega }_{3}} = ({{a}_{3}} + {{b}_{3}}{{x}_{3}}){{K}_{3}},$
что позволяет записать угловую скорость в виде $~{\mathbf{\omega }} = {{{{\tilde {\omega }}}}_{p}}{\mathbf{K}} + {{{{\omega }}}_{r}}{{{\mathbf{e}}}_{2}}$.

Таким образом, при конфигурационном условии (3.5) и выполнении начальных условий ${{F}_{i}} = 0$ твердое тело системы “тело + жидкость” будет совершать полурегулярную прецессию. Ось собственного вращения является одной из главных осей системы и ортогональна оси прецессии, скорость собственного вращения изменяется со временем.

Рассмотрим теперь полученные в разделе 4 при ${{m}_{2}} = 0$, ${{m}_{1}}{{m}_{3}} \ne 0$ условия (4.31) полурегулярной прецессии. Эти условия найдены для случая ${{{{\omega }}}_{r}} = \kappa {{K}_{3}}$ (формула (4.22)). В этом случае равенства (2.8) дают следующие связи между компонентами S и K

(5.2)
${{S}_{1}} = {{x}_{1}}{{K}_{1}} + \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\kappa {{K}_{3}},\quad {{S}_{2}} = {{x}_{2}}{{K}_{2}},\quad {{S}_{3}} = \left( {{{x}_{3}} + \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\kappa } \right){{K}_{3}}$

Так как $\alpha = \kappa {{m}_{3}}$, то, учитывая равенства (4.25) и (4.26), получим

${{x}_{3}} + \frac{{{{m}_{3}}}}{{{{b}_{3}}}}\kappa = --\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}}~,\quad \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\kappa = \frac{{{{m}_{1}}}}{{{{m}_{3}}}}\frac{{1--x_{1}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}$

Компоненты направляющего вектора оси собственного вращения определяются формулами (4.27) и последнее равенство запишем в виде

(5.3)
$\frac{{{{m}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}\kappa = \mp \mu ,\quad \mu \;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\frac{1}{{{{x}_{1}}}}\sqrt {\left( {1--x_{1}^{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}--x_{2}^{2}} \right)} $

Обозначим

(5.4)
$F_{1}^{ \pm } = {{S}_{1}}--{{x}_{1}}{{K}_{1}} \pm \mu {{K}_{3}},\quad {{F}_{2}} = {{S}_{2}}--{{x}_{2}}{{K}_{2}},\quad {{F}_{3}} = {{S}_{3}} + \frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}}{{K}_{3}}$

Связи (5.2) теперь можно записать следующим образом

(5.5)
${{F}_{i}} = 0,\quad i = 1,2,3$

Ранее [15] были получены условия, при которых существует линейная инвариантная система ${{\tilde {F}}_{1}},{{\tilde {F}}_{3}}$

(5.6)
${{\tilde {F}}_{1}} = {{K}_{1}} + {{\nu }_{1}}{{S}_{1}},\quad {{\tilde {F}}_{3}} = {{K}_{3}} + {{\nu }_{3}}{{S}_{3}}$

Если в конфигурационных условиях (4.31) выполнить перестановку индексов $(1\;2\;3) \to (2\;3\;1)$, то они совпадут с условиями [15] существования линейной инвариантной системы (5.6). В принятых выше обозначениях (5.4) – это система двух функций ${{F}_{2}},{{F}_{3}}$.

Существование инвариантной системы $\left( {{{F}_{2}},{{F}_{3}}} \right)$ при выполнении конфигурационных условий (4.31) нетрудно проверить непосредственно. Действительно, при выполнении этих условий зададим параметры ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ равенствами (4.30), тогда будут выполнены условия (2.8), (4.26), (4.28) и второе условие (4.24). Далее можно проверить, что производные функций ${{F}_{2}},{{F}_{3}}$ в силу системы (2.3) записываются в виде

${{\dot {F}}_{2}} = \left( {{{x}_{1}}\Delta {{a}_{1}}{{K}_{1}}--\Delta {{c}_{2}}{{S}_{1}}} \right){{F}_{3}},\quad {{\dot {F}}_{3}} = \left( {\frac{{\Delta {{a}_{3}}}}{{{{x}_{1}}}}{{K}_{1}}--\Delta {{c}_{3}}{{S}_{1}}} \right){{F}_{2}}$

Отсюда следует, что $({{F}_{2}},{{F}_{3}})$ – инвариантная система уравнений (2.3).

Покажем теперь, что при выполнении двух конфигурационных условий (4.31) у уравнений Пуанкаре–Жуковского существует не только, как показано ранее [15], инвариантная система $({{F}_{2}},{{F}_{3}})$, но и линейные инвариантные системы

(5.7)
$(F_{1}^{ + },{{F}_{2}},{{F}_{3}}),\quad (F_{1}^{--},{{F}_{2}},{{F}_{3}}),\quad (F_{1}^{ + },F_{1}^{--},{{F}_{2}},{{F}_{3}})$

Вычислим для этого производные функций $F_{1}^{ \pm }$, заданных равенством (5.4), в силу системы (2.3).

$\dot {F}_{1}^{ \pm } = --\Delta {{c}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}} + {{b}_{3}}{{K}_{3}}{{S}_{2}}--{{b}_{2}}{{K}_{2}}{{S}_{3}}--{{x}_{1}}(--\Delta {{a}_{1}}{{K}_{2}}{{K}_{3}} + {{b}_{3}}{{S}_{3}}{{K}_{2}}--{{b}_{2}}{{S}_{2}}{{K}_{3}})$
$ \pm \;{{\mu }}\left( {--\Delta {{a}_{3}}{{K}_{1}}{{K}_{2}} + {{b}_{2}}{{S}_{2}}{{K}_{1}}--{{b}_{1}}{{S}_{1}}{{K}_{2}}} \right)$

Подставляя сюда из равенств (5.4) выражения

${{S}_{1}} = F_{1}^{ \pm } + {{x}_{1}}{{K}_{1}} \mp \mu {{K}_{3}},\quad {{S}_{2}} = {{F}_{2}} + {{x}_{2}}{{K}_{2}},\quad {{S}_{3}} = {{F}_{3}}--\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}}{{K}_{3}}$
получим

(5.8)
$\begin{gathered} \dot {F}_{1}^{ \pm } = --\Delta {{c}_{1}}{{F}_{2}}{{F}_{3}} + \left( {\left( {\Delta {{c}_{1}}\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}} + {{b}_{3}} + {{b}_{2}}{{x}_{1}}} \right){{K}_{3}} \pm \mu {{b}_{2}}{{K}_{1}}} \right){{F}_{2}} \mp \mu {{b}_{1}}{{K}_{2}}F_{1}^{ \pm }-- \\ --\;(\Delta {{c}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{2}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}){{K}_{2}}{{F}_{3}} + P{{K}_{2}}{{K}_{3}} + Q{{K}_{1}}{{K}_{2}} \\ \end{gathered} $

Здесь

(5.9)
$\begin{gathered} Q = \pm {{\mu }}\left( {--\Delta {{a}_{3}} + {{b}_{2}}{{x}_{2}}--{{b}_{1}}{{x}_{1}}} \right) = 0 \\ P = \Delta {{c}_{1}}\frac{{x_{2}^{2}}}{{{{x}_{1}}}} + 2{{b}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{2}}\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}} + {{x}_{1}}\Delta {{a}_{1}} + {{b}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}{{{{\mu }}}^{2}} \\ \end{gathered} $

Используя второе равенство (4.24) и равенство (4.28), запишем

$\Delta {{c}_{1}} = --\Delta {{c}_{2}}--\Delta {{c}_{3}} = {{b}_{1}}\frac{{1--x_{1}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}--\frac{{{{b}_{2}}}}{{{{x}_{2}}}}--{{b}_{3}}\frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}$

Равенство (5.9), учитывая формулы (2.9) и (5.3), запишем в виде

$P = --{{b}_{3}}{{x}_{2}}--{{b}_{2}}\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}} + {{b}_{1}}\frac{{x_{2}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}\left( {1--x_{1}^{2}} \right) + 2{{b}_{3}}{{x}_{2}} + {{b}_{2}}\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{x}_{1}}}} + {{b}_{3}}{{x}_{1}}{{x}_{3}}--~$
$--\;{{b}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}} + {{b}_{1}}\frac{{\left( {1--x_{1}^{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}--x_{2}^{2}} \right)}}{{x_{1}^{2}}} = {{b}_{3}}\left( {{{x}_{2}} + {{x}_{1}}{{x}_{3}}} \right) + {{b}_{1}}\left( {1--x_{1}^{2}} \right)$

Учитывая равенство (4.26), получим $P = 0$.

При $P = Q = 0$ из равенств (5.8) следует, что у системы (2.3) действительно существуют инвариантные системы (5.7).

Отметим еще, что производные функций $F_{5}^{ + }$ и $F_{6}^{ + }$ в силу системы (2.3) обращаются в ноль, если $F_{1}^{ + } = {{F}_{2}} = {{F}_{3}} = 0$, и производные функций $F_{5}^{--}$ и $F_{6}^{--}$ равны нулю, если $F_{1}^{--} = {{F}_{2}} = {{F}_{3}} = 0$, где обозначено

$F_{5}^{ \pm } = {{K}_{1}} \pm \frac{{1--x_{1}^{2}}}{{\mu {{x}_{1}}}}{{K}_{3}},\quad F_{6}^{ \pm } = {{S}_{1}} \pm \frac{{{{x}_{2}}\left( {1--x_{1}^{2}} \right)}}{{\mu {{x}_{1}}}}{{S}_{3}}$

Условия $F_{{5,6}}^{ \pm } = {\text{const}}$, учитывая равенства (4.27) и (5.3), записываются в виде

${{m}_{1}}{{K}_{1}} + {{m}_{3}}{{K}_{3}} = \operatorname{const} ,\quad {{m}_{1}}{{S}_{1}} + {{x}_{2}}{{m}_{3}}{{S}_{3}} = \operatorname{const} $

Параметры ${{m}_{1}}$, ${{m}_{3}}$ заданы формулами (4.27).

Векторы K и S имеют постоянные модули; если в начальный момент ${{F}_{2}} = {{F}_{3}} = 0$ и $F_{1}^{ + } = 0$ или $F_{1}^{--} = 0$, то в системе, связанной с твердым телом эти векторы описывают круговые конусы, оси которых задаются векторами $({{m}_{1}},0,{{m}_{3}})$ и $({{m}_{1}},0,{{x}_{2}}{{m}_{3}})$. Движение твердой оболочки в инерциальном пространстве в данном случае – полурегулярная прецессия.

6. Анализ возможности полурегулярной прецессии систем, близких к сферически симметричным. Ранее [16, 17] было показано, что в случае, когда система “твердое тело + жидкость” близка к сферически симметричной (т.е. главные моменты инерции твердого тела мало отличаются друг от друга, полость мало отличается от сферы) регулярная прецессия возможна, только если ось собственного вращения является главной осью инерции. Приведены примеры [17] неосесимметричных удлиненных систем, которые могут совершать регулярную прецессию и в случае, когда ось собственного вращения отклонена от главной оси инерции.

Ниже показано, что при распределении масс, близком к сферически симметричному, полурегулярная прецессия, так же как и регулярная прецессия, возможна только в случае, когда ось собственного вращения совпадает с одной из главных осей инерции системы.

Выделим сначала случай осевой симметрии, тогда$~$

(6.1)
$\begin{gathered} {{d}_{1}} = {{d}_{3}},\quad {{\beta }_{1}} = {{\beta }_{3}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\beta ,\quad {{\beta }_{2}} = 1,\quad {{a}_{1}} = {{a}_{3}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;a,\quad {{b}_{1}} = ~\,{{b}_{3}} = \beta a\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;b \\ \Delta {{a}_{2}} = \Delta {{b}_{2}} = \Delta {{c}_{2}} = 0,\quad {{b}_{2}} = \,~{{a}_{2}} \\ \end{gathered} $

При условиях (6.1) выполнены конфигурационные условия (3.6) и условия (4.3) и (4.9). Условия (4.19) и (4.21) также выполнены, так как в случае осевой симметрии

${{S}_{a}} = {{S}_{c}} = 0,\quad \Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{1}}--\Delta {{c}_{1}}\Delta {{a}_{3}} = \Delta {{c}_{2}}\Delta {{a}_{3}}--\Delta {{c}_{3}}\Delta {{a}_{2}} = 0$

Отметим, что из формул (2.9) и (6.1) следует ${{x}_{1}} = {{x}_{3}}$ и формула (3.6) тогда дает ${{{{\omega }}}_{r}} = {\text{const}}$. Если же ось собственного вращения не совпадает с главной осью, второе уравнение (2.11) при учете формул (6.1) и (4.1) записывается в виде

$(1 + {{x}_{2}})\left( {~{{m}_{3}}~{{K}_{1}}--{{m}_{1}}~{{K}_{3}}} \right) = (1 + {{x}_{2}})q\cos \varphi = 0$

Из формулы (2.8) получаем, что при ${{b}_{2}} = {{a}_{2}}$ и ${{x}_{2}} = --1$ скорость прецессии равна нулю. Следовательно, при осевой симметрии полурегулярная прецессия невозможна.

Далее будем рассматривать случай, когда полуоси полости мало отличаются друг от друга, ${{d}_{i}} \approx d$, $i = 1,2,3$.

Для анализа полученных выше условий удобно использовать формулы, следующие из определений (2.2) используемых параметров

$\Delta {{\gamma }_{1}} = \frac{5}{\mu } \cdot \frac{{{{\delta }_{2}}--{{\delta }_{3}}}}{{\left( {{{\delta }_{1}} + {{\delta }_{2}}} \right)\left( {{{\delta }_{1}} + {{\delta }_{3}}} \right)}},\quad {{\delta }_{i}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;d_{i}^{2},\quad \Delta {{c}_{1}} = \Delta {{\gamma }_{1}} + \Delta {{a}_{1}} + {{\zeta }_{3}}{{a}_{3}}--{{\zeta }_{2}}{{a}_{2}}~$
(6.2)
${{\zeta }_{1}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;1--\beta _{1}^{2} = {{r}_{1}}{{\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}} \right)}^{2}},\quad {{\beta }_{1}}--{{\beta }_{2}}{{\beta }_{3}} = {{s}_{1}}\Delta {{\gamma }_{2}}\Delta {{\gamma }_{3}}$
${{r}_{1}} = {{\left( {\frac{\mu }{5}} \right)}^{2}}\frac{{{{{\left( {{{\delta }_{1}} + {{\delta }_{2}}} \right)}}^{2}}{{{\left( {{{\delta }_{1}} + {{\delta }_{3}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left( {{{\delta }_{2}} + {{\delta }_{3}}} \right)}}^{2}}}},\quad {{s}_{1}} = --{{\left( {\frac{\mu }{5}} \right)}^{2}}{{\beta }_{1}}{{\left( {{{\delta }_{2}} + {{\delta }_{3}}} \right)}^{2}}~\;\left( {1\;2\;3} \right)$

Рассмотрим сначала изученный в разделе 3 случай, когда ось собственного вращения совпадает с одной из главных осей.

Конфигурационное условие (3.5) после некоторых преобразований с учетом равенств (2.2) и (6.2) приводится к виду

(6.3)
$\begin{gathered} (1--{{\zeta }_{2}})\left( {{{a}_{2}}\Delta {{a}_{2}}\left( {\Delta {{\gamma }_{3}}--\Delta {{\gamma }_{1}}} \right) + {{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\left( {{{\zeta }_{3}}--{{\zeta }_{1}}} \right) + a_{2}^{2}\Delta {{a}_{2}}{{\zeta }_{2}}} \right) + \\ + \;{{a}_{1}}{{a}_{3}}\left( {(1--{{\zeta }_{1}}} \right)\Delta {{\gamma }_{1}} + (1--{{\zeta }_{3}})\Delta {{\gamma }_{3}}) + \Delta {{a}_{2}}\Delta {{\gamma }_{1}}\Delta {{\gamma }_{3}} = 0 \\ \end{gathered} $

Если теперь считать, что полость мало отличается от сферы ${{d}_{i}} \approx d$ и $\Delta {{{{\gamma }}}_{i}} = O\left( {{\varepsilon }} \right)~$, то из условия (6.3) при учете равенств (6.2) получим

${{a}_{1}}{{a}_{3}}\Delta {{\gamma }_{2}} + {{a}_{2}}\Delta {{a}_{2}}\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}--\Delta {{\gamma }_{3}}} \right)--\Delta {{a}_{2}}\Delta {{\gamma }_{1}}\Delta {{\gamma }_{3}} + {{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\left( {{{\zeta }_{1}}--{{\zeta }_{3}}} \right)--a_{2}^{2}\Delta {{a}_{2}}{{\zeta }_{2}} = O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right)$

Это условие, учитывая формулы (6.2) для параметров ${{{{\zeta }}}_{i}}$, запишем в виде

(6.4)
$\begin{gathered} {{a}_{1}}{{a}_{3}}\Delta {{\gamma }_{2}} + {{a}_{2}}\Delta {{a}_{2}}\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}--\Delta {{\gamma }_{3}}} \right)--\Delta {{a}_{2}}\Delta {{\gamma }_{1}}\Delta {{\gamma }_{3}}--a_{2}^{2}\Delta {{a}_{2}}r{{\left( {\Delta {{\gamma }_{2}}} \right)}^{2}} + \\ + \;{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}r\left( {\Delta {{\gamma }_{3}}--\Delta {{\gamma }_{1}}} \right) = O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right), \\ r = {{\left( {\frac{{2\mu {{d}^{2}}}}{5}} \right)}^{2}} \\ \end{gathered} $

Если $\Delta {{\gamma }_{{1,3}}} = O\left( \varepsilon \right)$, то в случае, когда ${{a}_{i}} \approx a$, условие (6.4) может быть выполнено, если

$\Delta {{\gamma }_{2}} = O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right),\quad \Delta {{a}_{2}} = O\left( \varepsilon \right)$

В этом случае $\Delta {{\gamma }_{1}} = --\Delta {{\gamma }_{3}} + O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right)$ и условие (6.4) принимает вид

$\Delta {{\gamma }_{2}} = 2\frac{{\Delta {{a}_{2}}}}{a}\Delta {{\gamma }_{3}} + O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right)$

Учитывая определения параметров (2.2) и формулы (6.2), последнее условие запишем в виде

$\frac{{{{A}_{3}}--{{A}_{1}}}}{{{{A}_{2}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{d}_{3}}--{{d}_{1}}}}{{{{d}_{2}}--{{d}_{1}}}} + O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right)$

Здесь ${{d}_{2}}--{{d}_{1}} = O\left( \varepsilon \right)$, ${{A}_{3}}--{{A}_{1}} = O\left( \varepsilon \right)$, ${{d}_{3}}--{{d}_{1}} = O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right)$.

Рассмотрим теперь возможность выполнения конфигурационных условий в случае несовпадения оси собственного вращения с главной осью инерции.

В разделе 4 для этого случая приведены три возможных варианта условий: 1) условия (4.3) и (4.9); 2) условия (4.19) и (4.21); 3) условия (4.31).

Рассмотрим сначала вариант 2. Из формул (4.12) и (2.12) следует равенство ${{{{\sigma }}}_{2}} = 0$. Если в это равенство подставить ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{3}}$ из формул (4.8) и учесть условие (4.19), то получим равенство

$m_{1}^{2}b_{3}^{2} + m_{3}^{2}b_{1}^{2} = m_{1}^{2}m_{3}^{2}{{\left( {\Delta {{a}_{2}}} \right)}^{2}}$

Отсюда следует, что случай, близкий к осевой симметрии, когда $\Delta {{a}_{2}} \approx 0$, ${{b}_{1}} \approx {{b}_{3}}$, здесь невозможен. Следовательно, недопустима и конфигурация, близкая к сферической.

Рассмотрим теперь вариант 3. Обозначим

${{\Psi }_{1}} = (b_{1}^{2} + \Delta {{a}_{2}}\Delta {{a}_{3}})\left( {b_{1}^{2} + \Delta {{c}_{2}}\Delta {{c}_{3}}} \right)$
${{\Psi }_{i}} = \left( {{{b}_{i}}\Delta {{a}_{i}} + {{{\left( {--1} \right)}}^{j}}{{b}_{1}}{{b}_{j}}} \right)\left( {{{b}_{i}}\Delta {{c}_{i}} + {{{\left( {--1} \right)}}^{j}}{{b}_{1}}{{b}_{j}}} \right),\quad i,j = 2,3,\quad i \ne j$

Условия (4.31) можно записать в виде

(6.5)
${{\Psi }_{2}} = {{\Psi }_{3}},\quad 2{{\Psi }_{1}} = {{\Psi }_{2}} + {{\Psi }_{3}}$

При $\Delta {{\gamma }_{i}} = O\left( \varepsilon \right)$, учитывая равенства (2.2) и (6.2), получаем оценки

${{\Psi }_{1}} = {{\varphi }^{2}} + \varphi (\Delta {{\gamma }_{3}}\Delta {{a}_{2}} + \Delta {{\gamma }_{2}}\Delta {{a}_{3}} + \Delta {{\gamma }_{2}}\Delta {{\gamma }_{3}} + r{{a}_{2}}{{a}_{3}}\left( {{{{\left( {\Delta {{\gamma }_{2}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\Delta {{\gamma }_{3}}} \right)}}^{2}}} \right)--$
$--\;r{{a}_{1}}{{a}_{3}}\left( {{{{\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\Delta {{\gamma }_{3}}} \right)}}^{2}}} \right)--r{{a}_{1}}{{a}_{2}}\left( {{{{\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\Delta {{\gamma }_{2}}} \right)}}^{2}}} \right)) + O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right)$
${{\Psi }_{i}} = \varphi (\varphi + {{\left( {--1} \right)}^{j}}{{a}_{i}}\Delta {{\gamma }_{i}} + r({{a}_{2}}{{a}_{3}}{{\left( {\Delta {{\gamma }_{j}}} \right)}^{2}}--{{a}_{1}}{{a}_{i}}{{\left( {\Delta {{\gamma }_{1}}} \right)}^{2}}--{{\left( {\Delta {{\gamma }_{i}}} \right)}^{2}} + 2{{a}_{1}}{{a}_{j}}\Delta {{\gamma }_{1}}\Delta {{\gamma }_{j}})) + O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right)$
$i,j = 2,3,\quad \varphi \;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;{{a}_{2}}\left( {{{a}_{1}} + {{a}_{3}}} \right)--{{a}_{1}}{{a}_{3}}~$

При ${{\varphi }} = 0$ получаем ${{A}_{2}} = {{A}_{1}} + {{A}_{3}}$. Если ядро близко к сферическому, то величины $A_{i}^{{{\text{eq}}}}$ малы и при ${{\varphi }} = 0$ элементы твердого тела должны быть близки к некоторой плоскости; этот случай здесь не рассматриваем.

Из условий (6.5) следует

${{a}_{1}}\Delta {{\gamma }_{1}} + {{a}_{3}}\Delta {{\gamma }_{3}} = O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right),\quad ({{a}_{1}}--2{{a}_{2}})\Delta {{\gamma }_{1}} + (2{{a}_{2}}--{{a}_{3}})\Delta {{\gamma }_{3}} = O\left( {{{\varepsilon }^{3}}} \right)$

Если ${{a}_{2}} \approx a$, то эти условия не могут быть одновременно выполнены при сделанном изначально предположении $\Delta {{\gamma }_{i}} = O\left( \varepsilon \right)$.

Рассмотрим оставшийся вариант 1. Анализ, аналогичный приведенному выше для варианта 3, показывает, что система условий (4.3), (4.9) не может быть выполнена при конфигурации системы, близкой к сферической. Кратко пояснить невозможность выполнения этих условий можно следующим образом.

Условие (4.9) при учете формулы (4.8) запишем в виде

$\Phi \;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\left( {{{b}_{2}} + {{x}_{2}}\Delta {{c}_{1}}} \right)\frac{{b_{1}^{2}--b_{3}^{2}}}{{\Delta {{a}_{2}}}} + {{b}_{1}}{{b}_{3}} = 0$

Для системы, близкой к сферической, это условие не может быть выполнено, так как в этом случае из формулы (4.4) следует ${{x}_{2}} \approx --1$, а также имеем

${{b}_{i}} \approx {{a}_{i}},\quad {{a}_{i}} \approx a,\quad b_{1}^{2}--b_{3}^{2} \approx --2a\Delta {{a}_{2}},\quad \Delta {{c}_{i}} \approx 0$

Отсюда следует ${{\Phi }} \approx --{{a}^{2}} \ne 0$.

Заключение. Классическая модель Пуанкаре–Жуковского–Хафа, описывающая движение твердого тела с наполненной жидкостью эллипсоидальной полостью, продолжает широко использоваться в настоящее время. Многие задачи, детально исследованные для твердого тела, для системы “твердое тело + жидкость” еще не решены. В настоящей работе найдены конфигурационные условия, при которых тело может совершать полурегулярную прецессию. При совпадении оси собственного вращения с главной осью инерции достаточно одного условия, если оси не совпадают, то конфигурационных условий два. Получено в эллиптических функциях периодическое решение, описывающее полурегулярную прецессию. Показано, что конфигурационных условий полурегулярной прецессии достаточно для существования у уравнений Пуанкаре–Жуковского инвариантной системы из трех линейных функций.

Рассмотрено свободное вращение близкой к сферически симметричной системы “твердое тело + жидкость”. Доказано, что для таких систем полурегулярная прецессия возможна только при совпадении оси собственного вращения с одной из главных осей инерции. Выполненное упрощение конфигурационного условия дает простую связь между разностью экваториальных моментов инерции твердой мантии и соответствующей разностью моментов жидкого ядра.

Список литературы

  1. Жуковский Н.Е. Собр. соч. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1948. С. 31–152.

  2. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1895. A 186. P. 469–506.

  3. Пуанкаре А. Последние работы. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2001. С. 74–111.

  4. Touma J., Wisdom J. Nonlinear core–mantle coupling // Astron. J. 2001. V. 122. P. 1030–1050.

  5. Henrard J. The rotation of Io with a liquid core // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2008. V. 101. Iss. 1–2. P. 1–12.

  6. Rambaux N., Hoolst Van T., Dehant V., Bois E. Internal core-mantle coupling and libration of Mercury // Astron. & Astrophys. 2007. V. 468. P. 711–719.

  7. Dufey J., Noyelles B., Rambaux N., Lemaitre A. Latitudinal librations of Mercury with a fluid core // Icarus. 2009. V. 203. P. 1–12.

  8. Noyelles B., Dufey J., Lemaitre A. Core–mantle interactions for Mercury // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2010. V. 7. P. 479–496.

  9. Noyelles B. Behavior of nearby synchronous rotations of a Poincaré–Hough satellite at low eccentricity // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2012. V. 112. Iss. 4. P. 353–383.

  10. Boué G., Rambaux N., Richard A. Rotation of a rigid satellite with a fluid component: a new light onto Titan’s obliquity // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2017. V. 129. Iss. 4. P. 449–485.

  11. Boué G. Cassini states of a rigid body with a liquid core // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2020. V. 132. Iss. 3. Article number: 21.

  12. Grioli G. Esistenza e determinazione delle prezessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. Mat. Pura e Appl. 1947. V. 26. Fasc. 3–4. P. 271–281.

  13. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связанных твердых тел. Донецк: ДонНУ, 2009. 222 с.

  14. Yehia H.M. On the regular precession of an asymmetric rigid body acted upon by uniform gravity and magnetic fields // Egyp. J. Basic & Appl. Sci. 2015. 2:3 P. 200–205.

  15. Ольшанский В.Ю. О регулярных прецессиях несимметричного твердого тела с жидким наполнением // ПММ. 2018. Т. 82. Вып. 5. С. 559–571.

  16. Ol’shanskii V.Yu. New cases of regular precession of an asymmetric liquid-filled rigid body // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2019. V. 131. Iss. 12. Art. nо. 57.

  17. Ol’shanskii V.Yu. Analysis of regular precession conditions for asymmetrical liquid-filled rigid bodies // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2020. V. 132. Iss. 9. Art. nо. 46.

  18. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два ротора // Механика твердого тела. 2014. Вып. 44. С. 16–26.

  19. Ольшанский В.Ю. Линейные инвариантные соотношения уравнений Пуанкаре–Жуковского // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 1. С. 29–45.

  20. Ольшанский В.Ю. Частные линейные интегралы уравнений Пуанкаре–Жуковского (общий случай) // ПММ. 2017. Т. 81. Вып. 4. С. 399–419.

  21. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. 928 с.

  22. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440 с.

  23. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики в 2 т. Т. 2, ч. 2. М.: Изд-во иностр. лит. 1951. 555 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.