Прикладная математика и механика, 2021, T. 85, № 6, стр. 772-778

В конце 80-х годов прошлого столетия в связи с интенсивным развитием теории определяющих соотношений в сверхпластичности и образованием в Уфе Института проблем сверхпластичности металлов А.А. Ильюшин обратил внимание на ряд важных технологических задач обработки материалов с деформациями от нескольких сот до тысячи процентов, в которых моделирование могло бы проводиться на основе деформационного подхода в рамках лагранжева описания. За последующие десятилетия в разных научных группах и школах были достигнуты большие успехи на пути такого моделирования [1–5]. К числу упомянутых задач относилось последовательное многократное обжатие параллелепипеда в разных ортогональных направлениях с целью придания ему наперед заданной формы.

Ниже такая задача исследуется в динамической постановке как обратная задача механики. По заданной кинематике, соответствующей на каждом временно́м этапе сжатию в одном направлении и растеканию в двух других, в рамках широкого класса определяющих соотношений (тензорно линейные среды) находятся силы, которые необходимо приложить к граням параллелепипеда для реализации процесса.

1. Кинематика, соответствующая последовательному трехосному растяжению–сжатию пространства. Рассмотрим течение несжимаемой однородной плотности $\rho $ среды во всем трехмерном пространстве с декартовой системой координат ($O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$) на отрезке времени $0 \leqslant t \leqslant T$, состоящем из трех частей:

Пусть в рамках эйлерова описания движения декартовы компоненты вектора скорости являются следующими функциями координат и времени:

где ${{c}_{1}}(t)$, ${{c}_{2}}(t)$ и ${{c}_{3}}(t)$ – некоторые положительные непрерывно-дифференцируемые функции времени, определенные каждая на своем отрезке. Как видно, несжимаемость в соотношениях (1.2) соблюдена. Трехстрочную запись (1.2) можно представить одной строкой:

Здесь и далее принимаются следующие соглашения в обозначениях: а) по повторяющимся греческим индексам суммирование не производится; б) разные греческие индексы соответствуют разным числовым значениям; в) тройки индексов ($\alpha $, $\beta $, $\gamma $) в одной группе соотношений, как в (1.3), – три четные подстановки набора (1, 2, 3); г) запятая в индексе означает частное дифференцирование по соответствующей пространственной координате.

Из эйлерова поля скорости (1.2), начальных условий ${{x}_{i}}(0) = {{\xi }_{i}}$ и требования непрерывности траекторий частиц при $0 \leqslant t \leqslant T$ можно вывести закон движения лагранжевых частиц во всем пространстве:

где $\xi _{i}^{'} = {{x}_{i}}({{t}_{1}})$, $\xi _{i}^{{''}} = {{x}_{i}}({{t}_{1}} + {{t}_{2}})$,

Отметим, что поле скорости (1.2) разрывно в моменты времени ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{1}} + {{t}_{2}}$, при этом фазами торможений и перестроек с одной строки (1.2) на следующую пренебрегается. Соответственно траектории частиц (1.4) непрерывны, но имеют изломы в два указанных момента времени.

Согласно закону движения (1.4) состоящие из лагранжевых частиц плоскости, которые были параллельны координатным плоскостям в начальный момент времени, движутся параллельно самим себе и, следовательно, остаются параллельны координатным плоскостям неподвижной системы координат $(O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}})$. Это, в частности, означает, что частицы, принадлежавшие при $t = 0$ параллелепипеду ${{\Omega }_{0}}$ со сторонами $2{{l}_{{10}}} \times 2{{l}_{{20}}} \times 2{{l}_{{30}}}$ (линейные размеры ${{l}_{{10}}}$, ${{l}_{{20}}}$ и ${{l}_{{30}}}$ произвольны):

остаются в процессе деформирования внутри параллелепипеда ${{\Omega }_{t}}$ со сторонами $2{{l}_{1}}(t) \times 2{{l}_{2}}(t) \times 2{{l}_{3}}(t)$: вплоть до $t = T$, когда

В силу непрерывности траекторий функции ${{l}_{1}}(t)$, ${{l}_{2}}(t)$ и ${{l}_{3}}(t)$ непрерывны по $t$ и ${{l}_{i}}(0) = {{l}_{{i0}}}$, ${{l}_{i}}(T) = {{l}_{{iT}}}$, $i = 1,\;2,\;3$. Постоянство объема ${{\Omega }_{t}}$, следующее из несжимаемости среды, приводит к равенствам

Можно ли так подобрать функции ${{c}_{1}}(t)$, ${{c}_{2}}(t)$ и ${{c}_{3}}(t)$ и моменты времени ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{1}} + {{t}_{2}}$ из интервала (0, $T$), чтобы в результате последовательных обжатий в трех направлениях параллелепипед ${{\Omega }_{0}}$ (1.6) деформировался в ${{\Omega }_{T}}$ (1.8) к моменту $T$? Используя закон движения (1.4), можно утверждать, что для этого необходимо и достаточно выполнение системы неоднородных линейных уравнений относительно ${{C}_{1}}({{t}_{1}})$, ${{C}_{2}}({{t}_{1}} + {{t}_{2}})$, ${{C}_{3}}(T)$:

Данная система вырождена, но совместна благодаря условиям (1.9). Ее общее решение выглядит следующим образом:

или с учетом (1.5) в терминах функций ${{c}_{1}}(t)$, ${{c}_{2}}(t)$ и ${{c}_{3}}(t)$:

Тензор скоростей деформаций ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} } = (\operatorname{Grad} {\mathbf{v}} + {{(\operatorname{Grad} {\mathbf{v}})}^{\operatorname{T} }})){\text{/}}2$, построенный по полю вектора ${\mathbf{v}}$ (1.2), на всем временно́м отрезке $[0;T]$ диагонален, явно зависит от $t$ и не зависит от $x$, что говорит о существенной нестационарности и однородности по пространству деформационной картины:

Интенсивность скоростей деформаций

с точностью до коэффициента на каждом отрезке времени ${{\Delta }_{\alpha }}$ совпадает с функциями ${{c}_{\alpha }}(t)$, входящими в эйлеров закон движения (1.2). Это указывает на их физический смысл. Условия (1.12) означают, что проинтегрированные интенсивности скоростей деформаций на трех рассматриваемых временны́х промежутках должны отличаться друг от друга на известные величины, определяемые лишь размерами параллелепипедов ${{\Omega }_{0}}$ и ${{\Omega }_{T}}$.

2. Уравнения движения и напряженное состояние. Будем считать, что равенства (1.12) выполнены, т.е. остановимся на имеющей важное значение в технологии обработки материалов задаче о последовательном обжатии тела в разных направлениях. При этом вместо всего пространства ограничимся областью ${{\Omega }_{t}}$ (1.7) с неизвестными границами ${{l}_{1}}(t)$, ${{l}_{2}}(t)$ и ${{l}_{3}}(t)$ (известны их начальные и конечные значения, т.е. области ${{\Omega }_{0}}$ (1.6) и ${{\Omega }_{T}}$ (1.8)). Как это принято в механике, окружающую параллелепипед ${{\Omega }_{t}}$ среду заменим силами (также пока неизвестными), действующими на его шести гранях со стороны среды.

Остановимся на силовых режимах, обеспечивающих описанную в разд. 1 кинематику деформирования параллелепипеда ${{\Omega }_{t}}$, и в первую очередь на сопровождающем такую кинематику напряженном состоянии. Представим компоненты ${{\sigma }_{{ij}}}(x,t)$ тензора напряжений Коши в виде суммы девиаторной и шаровой частей:

где $p(x,t)$ – давление в несжимаемой среде, а ${{s}_{{ij}}}(x,t)$ – компоненты девиатора, выражающиеся с помощью выбранных тем или иным способом определяющих соотношений через компоненты тензора ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }(x,t)$. Сохраняя общность в выборе этих соотношений и не конкретизируя тем самым среду, заметим, что поскольку ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$ не зависит от координат, то $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $ также от них не зависит, т.е. $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} \equiv 0$. Уравнения движения, таким образом, значительно упрощаются:

Подстановка в (2.2) скоростей (1.3) приводит к системе уравнений для давления $p(x,t)$, имеющей общее решение:

Оно включает произвольную функцию времени ${{p}_{0}}(t)$, по смыслу представляющую собой давление в центре деформируемого параллелепипеда.

Кинематика (1.3) такова, что на каждом из трех этапов в одном из направлений происходит сжатие параллелепипеда, а в двух других растекание. Из технологических соображений, вызванных стремлением к равнонапряженности состояния по отношению к пространственным координатам, исследуем подробно режим, при котором в каждый момент времени давление на двух противоположных сжимаемых гранях постоянно на всей поверхности этих граней. Из (2.3) следует, что тогда функции ${{c}_{1}}(t)$, ${{c}_{2}}(t)$ и ${{c}_{3}}(t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

с решениями которые содержат произвольные постоянные ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$ и ${{\tau }_{3}}$, удовлетворяющие выписанным неравенствам. Согласно (1.5)

Из условия (1.11) находится связь ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$ и ${{\tau }_{3}}$:

Подставляя (2.5) в выражение (2.3) для давления, получим

Действительно, на каждом из этапов обжатия давление на обеих сжимаемых гранях параллелепипеда не зависит от координат точек на этих гранях. Функция ${{p}_{0}}(t)$, единая для всех точек среды, остается произвольной. Ее выбор может обуславливаться особенностями технологического процесса обжатия.

Выпишем также конкретизированный с учетом (2.6) закон движения (1.4):

где, как и ранее, $\xi _{i}^{'} = {{x}_{i}}({{t}_{1}})$, $\xi _{i}^{{''}} = {{x}_{i}}({{t}_{1}} + {{t}_{2}})$. Из (2.9) можно убедиться, что

Это и необходимо было достичь в результате последовательного обжатия в трех ортогональных направлениях тела ${{\Omega }_{0}}$ (1.6).

3. Суммарные силы, приложенные к граням. Обозначим шесть движущихся граней параллелепипеда ${{\Omega }_{t}}$ (1.7) следующим образом:

причем функции ${{l}_{1}}(t)$, ${{l}_{2}}(t)$ и ${{l}_{3}}(t)$ известны из закона движения (2.9) при подстановке в него ${{\xi }_{1}} = {{l}_{{10}}}$, ${{\xi }_{2}} = {{l}_{{20}}}$ и ${{\xi }_{3}} = {{l}_{{30}}}$. Начальное $\Sigma _{{\alpha 0}}^{ \pm }$ и конечное $\Sigma _{{\alpha T}}^{ \pm }$ положения граней известны.

Из разд. 2 следует, что при $t \in {{\Delta }_{\alpha }}$ на движущихся навстречу друг другу двух параллельных прямоугольных гранях $\Sigma _{{\alpha t}}^{ + }$ и $\Sigma _{{\alpha t}}^{ - }$ компонента ${{\sigma }_{{\alpha \alpha }}}$ тензора напряжений не зависит от ${{x}_{\beta }}$ и ${{x}_{\gamma }}$. Поэтому суммарные силы $R_{{\alpha t}}^{ \pm }$, приложенные к каждой из этих граней, равны $ \pm {{\sigma }_{{\alpha \alpha }}}\left| {\Sigma _{{\alpha t}}^{ \pm }} \right|$. Так как площади $\left| {\Sigma _{{\alpha t}}^{ \pm }} \right|$ равны $4{{l}_{\beta }}(t){{l}_{\gamma }}(t)$, то

где $l_{i}^{'} = {{l}_{i}}({{t}_{1}})$, $l_{i}^{{''}} = {{l}_{i}}({{t}_{1}} + {{t}_{2}})$, $i = 1,2,3$.

В выражениях (3.2) для сил входят диагональные компоненты девиатора ${{s}_{{\alpha \alpha }}}(t)$, $t \in {{\Delta }_{\alpha }}$, которые посредством выбранных определяющих соотношений выражаются через скорости деформаций (1.13), а следовательно, через функции ${{c}_{1}}(t)$, ${{c}_{2}}(t)$ и ${{c}_{3}}(t)$, которые имеют вид (2.5). Выпишем эти связи для довольно обширного класса сред, представляющего собой изотропные тензорно линейные среды [6]. В их определяющих соотношениях тензоры $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $ и ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$ пропорциональны:

где ${{\sigma }_{u}} = {{\sigma }_{s}} + \Phi ({{{v}}_{u}})$ – универсальная кривая материала, расположенная в первом квадранте плоскости интенсивностей $({{{v}}_{u}},{{\sigma }_{u}})$; ${{\sigma }_{s}} \geqslant 0$ – предел текучести; $\Phi ({{{v}}_{u}})$ – неубывающая неотрицательная функция, такая что $\mathop {lim}\limits_{{{{v}}_{u}} \to {{0}^{ + }}} \Phi ({{{v}}_{u}}) = 0$. Деформационное упрочнение и упругая податливость материала не учитываются.

Для диагональных компонент (3.3), входящих в (3.2), с учетом (1.14) имеем

После конкретизации зависимости $\Phi ({{{v}}_{u}})$ компонента (3.4) становится известной функцией времени, которую можно подставить в (3.2).

К классу сред с определяющими соотношениями (3.3) принадлежат, например: а) неньютоновские вязкие среды (${{\sigma }_{s}} = 0$); б) вязкопластические среды Бингама ($\Phi ({{{v}}_{u}}) = 2\mu {{{v}}_{u}}$, где $\mu $ – динамическая вязкость); в) ньютоновские жидкости (${{\sigma }_{s}} = 0$ и $\Phi ({{{v}}_{u}}) = 2\mu {{{v}}_{u}}$); г) идеальножесткопластические материалы ($\Phi ({{{v}}_{u}}) \equiv 0$).

Заключение. При осуществлении трехэтапного процесса обжатия параллелепипеда и перевода его из положения ${{\Omega }_{0}}$ (1.6) в ${{\Omega }_{T}}$ (1.8) в результате движения частиц по закону (2.9) остается несколько степеней свободы в выборе параметров ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$, ${{\tau }_{3}}$. Эти пять времен должны удовлетворять всего двум условиям (2.7). Для реализации закона движения (2.9) на каждом из этапов обжатия на паре сближающихся параллельных граней необходимо приложить силы (3.2), тогда как на двух других удаляющихся друг от друга парах граней достаточно обеспечить их прямолинейность (во избежание выпучивания), т.е. задать кинематические условия. Технология реализации таких условий достаточно сложна [7], и здесь останавливаться на этом не будем.

Возвращаясь к остающейся свободе выбора времен ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$, ${{\tau }_{3}}$, представляет практический интерес в дальнейшем исследовать задачу оптимизации описываемого процесса в смысле силового режима, а именно минимизации суммарной мощности

Работа выполнена в рамках госзадания АААА-А20-120011690136-2 при поддержке РФФИ (гранты 18-29-10085мк, 19-01-00016а).