Прикладная математика и механика, 2021, T. 85, № 6, стр. 742-747

Интегральный инвариант течений идеального газа за отошедшим скачком уплотнения

Г. Б. Сизых 1*

1 Московский авиационный институт
Москва, Россия

* E-mail: o1o2o3@yandex.ru

Поступила в редакцию 04.03.2021
После доработки 15.07.2021
Принята к публикации 25.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается стационарное течение идеального совершенного газа, сформированное в сверхзвуковом однородном набегающем потоке за отошедшим скачком уплотнения перед выпуклым телом в общем пространственном случае. Анализ проводится на основе уравнений Эйлера. Предполагается, что в области между скачком и выпуклой головной частью обтекаемого тела скорость равна нулю только в передней точке торможения. Исследуются векторные линии вектора a, представляющего собой векторное произведение скорости и градиента энтропийной функции. Исследование опирается на известное свойство этих линий, состоящее в том, что они либо начинаются и заканчиваются на скачке, либо замкнуты. В результате проведенного исследования устанавливается, что криволинейный интеграл от произведения котангенса угла φ на температуру, деленного на величину скорости газа, по любой замкнутой векторной линии a равен нулю.

Ключевые слова: критерий Гельмгольца–Зоравского, интегральный инвариант, изоэнтальпийные течения, завихренность, отошедший скачок уплотнения

При обтекании однородным сверхзвуковым потоком отошедший головной скачок уплотнения образуется около тела с затупленной головной частью или с большим углом наклона в передней угловой точке, превышающим предельный угол, до которого возможен присоединенный скачок. Поверхность этого скачка искривленная и выпуклая в сторону набегающего потока, поэтому течение за ним вихревое. Для общего пространственного случая показано [1, 2], что в течении за отошедшим скачком уплотнения вихревые линии и часть векторных линий вектора $a = V \times \nabla \sigma $, где $V$ – скорость, $\sigma $ – энтропийная функция, замкнуты и один раз охватывают линию тока, которая пересекает скачок по нормали. Следуя [1], эту линию тока будем называть лидирующей линией тока. Показано [1], что завихренность на лидирующей линии тока равна нулю. Согласно теореме Крокко [3], для течений с постоянной удельной полной энтальпией (какими являются течения за скачком при однородном сверхзвуковом набегающем потоке) вихревые линии лежат на изоэнтропийных поверхностях. Очевидно, что на таких же поверхностях лежат и векторные линии $a = V \times \nabla \sigma $. Известен интегральный инвариант [4], связанный с замкнутыми вихревыми линиями в течениях за отошедшим скачком и обобщающий инвариант Крокко [5] для незакрученных осесимметричных течений (сохранение вдоль линий тока отношения величины завихренности $\Omega = \left| \Omega \right|$, где $\Omega = \operatorname{rot} V$, к произведению давления p и расстояния до оси симметрии). Этот интегральный инвариант есть величина $\oint_{{{\gamma }_{\Omega }}} {(p{\text{/}}\Omega )dl} $, одинаковая для всех (замкнутых) вихревых линий ${{\gamma }_{\Omega }}$, лежащих на одной и той же изоэнтропийной поверхности ($l$ – переменная длина дуги на линии ${{\gamma }_{\Omega }}$).

В настоящей работе получен интегральный инвариант, связанный с семейством замкнутых линий вектора $a = V \times \nabla \sigma $. Для незакрученных осесимметричных течений эти линии совпадают с вихревыми линиями, но в общем пространственном случае они могут не совпадать с вихревыми линиями. Как и в ряде других исследований [1, 4, 6], наряду с течением газа, ниже рассматривается течение вспомогательной воображаемой среды, частицы которой, составляя в какой-то момент времени векторную линию заданного векторного поля (в данном случае речь пойдет о поле $a = V \times \nabla \sigma $), продолжают составлять векторную линию этого векторного поля во все время своего движения. Для краткости, про такие частицы будем говорить, что они переносят векторные линии этого поля. Скорость воображаемых частиц определяется с помощью критерия Гельмгольца–Зоравского [7], обобщающего известные теоремы Гельмгольца о вихрях.

1. Уравнения движения и следствие критерия Гельмгольца–Зоравского. Давление $p$ и плотность газа $\rho $ связаны соотношением $p = \sigma {{\rho }^{k}}$, где $k$ – показатель адиабаты, $\sigma $ – энтропийная функция, которая постоянна вдоль линий тока и для рассматриваемых течений может принимать (за скачком) разные значения на различных линиях тока. Поскольку набегающий сверхзвуковой поток считается однородным, то удельная полная энтальпия $k{{(k - 1)}^{{ - 1}}}p{{\rho }^{{ - 1}}}$ + ${{V}^{2}}{\text{/2}}$, где $V = \left| V \right|$, всюду одинакова (изоэнтальпийное течение). Стационарное движение газа подчиняется уравнению неразрывности $div(\rho V) = 0$ и уравнению Эйлера, которое для настоящего исследования запишем в форме Крокко [3]

(1.1)
${\mathbf{\Omega }} \times {\mathbf{V}} = {{(k - 1)}^{{ - 1}}}p{{\rho }^{{ - 1}}}{{\sigma }^{{ - 1}}}\nabla \sigma $

Функции $V$, $\rho $ и $p$ предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми по пространственным координатам. Также предполагается, что в области между скачком и головной частью обтекаемого тела скорость $V$ всюду, кроме передней точки торможения, отлична от нуля.

Сформулируем следствие из критерия Гельмгольца–Зоравского [7] для частного случая стационарного и соленоидального векторного поля $c$.

Утверждение 1. Если в области G выполнено равенство

(1.2)
$c \times rot\left( {c \times q} \right) = 0,$
где $\operatorname{div} c = 0$ и ${{\partial c} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial c} \partial }} \right. \kern-0em} \partial }t = 0$, то воображаемые частицы, составляющие в некоторый момент времени сегмент векторной линии $c$, лежащий в области $G$, двигаясь со скоростью $q$, будут составлять сегмент одной из векторных линий $c$ в каждый последующий момент времени (до тех пор, пока эти частицы находятся в области $G$). Такие воображаемые частицы будем называть q-частицами. Ниже в качестве вектора $c$ будет рассмотрен вектор $a = V \times \nabla \sigma $, который в стационарных течениях за скачком не зависит от времени. Поэтому требование ${{\partial c} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial c} \partial }} \right. \kern-0em} \partial }t = 0$ далее упоминаться не будет.

2. Интегральный инвариант. Как сказано во введении, некоторые векторные линии $a = V \times \nabla \sigma $ (расположенные ближе к скачку) могут начинаться и заканчиваться на скачке, а другие линии (расположенные ближе к головной части) – замкнуты и не имеют общих точек со скачком [2]. При этом, как следует из результата [8], в течении за отошедшим скачком модули $\left| a \right|$ и $\left| {\nabla \sigma } \right|$ отличны от нуля всюду, кроме лидирующей линии тока (где завихренность равна нулю) и точки торможения (где скорость равна нулю). Пусть ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ – одна из замкнутых линий вектора $a = V \times \nabla \sigma $, не имеющая общих точек со скачком. Пусть, далее, $A$ – произвольно выбранная точка на линии ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$, $\alpha $ – плоскость, проходящая через точку $A$ и пересекающая линию ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ по нормали (т.е. $a(A)$ – нормаль к $\alpha $). Линия ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ не имеет общих точек со скачком и, следовательно, отдалена от него на ненулевое расстояние. Поэтому на плоскости $\alpha $ существует такая (плоская) окрестность $O(A)$ точки $A$, что все векторные линии $a$ пересекают эту окрестность под острым углом к нормали и замкнуты. Гомеоморфную тору область, представляющую собой объединение всех векторных линий $a$, проходящих через $O(A)$, обозначим $G$ (рис. 1). Удалим из области $G$ точки окрестности $O(A)$, получим разрезанную область $G{\kern 1pt} ' = G{{\backslash }}O(A)$.

Рис. 1.

Точка A лежит на замкнутой векторной линии ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$. Область $G$ состоит из векторных линий a, проходящих через плоскую окрестность O(A).

Найдем скорость воображаемых ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$-частиц, переносящих векторные линии $a$ внутри разрезанной области G'. Из (1.1) следует, что $\Omega \cdot \nabla \sigma = 0$. Поэтому $div(a)$ = = $div(V \times \nabla \sigma )$ = $\Omega \cdot \nabla \sigma - V \cdot rot(\nabla \sigma )$ = 0. Следовательно, для поиска скорости ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$ можно использовать утверждение 1 (верное для соленоидальных полей). Запишем формулу (1.2), заменив в ней вектор $c$ на $a = V \times \nabla \sigma $

(2.1)
$(V \times \nabla \sigma ) \times rot\left( {(V \times \nabla \sigma ) \times {{q}_{{\mathbf{a}}}}} \right) = 0$

Будем искать скорость ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$-частиц в виде

(2.2)
${{q}_{{\mathbf{a}}}} = \lambda {{V}^{{ - 2}}}V + {{\left| {\nabla \sigma } \right|}^{{ - 2}}}\nabla \sigma ,$
где $\lambda $ – искомое гладкое скалярное поле. Заметим, что на данном этапе исследования еще не известно, существует ли поле $\lambda $, дающее решение (2.1).

Непосредственной проверкой с использованием известных формул векторного анализа и с учетом равенств $V \cdot \nabla \sigma = \Omega \cdot \nabla \sigma $ = 0 можно убедиться, что уравнение (2.1) после подстановки в него (2.2) сначала приводится к виду $(V \times \nabla \sigma )$ × $rot\left( {\lambda \nabla \sigma - V} \right)$ = = 0, а затем – к векторному равенству $\left( {(V \times \nabla \sigma ) \cdot \nabla \lambda } \right)\nabla \sigma $ + $(V \cdot \Omega )\nabla \sigma $ = 0, которое равносильно (поскольку $\nabla \sigma \ne 0$) скалярному равенству $(a \cdot \nabla \lambda ) + (V \cdot \Omega )$ = 0. Если обозначить единичный касательный вектор к векторной линии $a$ через ${{e}_{{\mathbf{a}}}} = a{\text{/}}\left| a \right|$, то последнее равенство можно записать следующим образом

(2.3)
$({{e}_{{\mathbf{a}}}} \cdot \nabla \lambda ) = - (V \cdot \Omega ){\text{/}}\left| a \right|$

Если скалярное поле $\lambda $ будет удовлетворять (2.3) в $G{\kern 1pt} '$, то скорость (2.2) будет удовлетворять (2.1) в $G{\kern 1pt} '$. Такое поле $\lambda $ существует (и не единственно). Действительно, на одной из сторон разреза области $G$ окрестностью $O(A)$ зададим $\lambda = 0$. Назовем эту сторону разреза первой, а другую – второй стороной разреза. Продолжим функцию $\lambda $ во внутренние точки области $G{\kern 1pt} '$ интегрированием уравнения (2.3) вдоль векторных линий $a$. В результате функция $\lambda $ окажется заданной и удовлетворяющей (2.3) во всех точках области $G{\kern 1pt} '$.

Теперь, когда существование функции $\lambda $ доказано, воспользуемся методом, предложенным в [9] (в отличие от [9], где рассматривались замкнутые вихревые линии, здесь рассматриваются замкнутые линии $a$). Перейдем к рассмотрению движения ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$-частиц, лежащих в начальный момент времени на линии ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ (проходящей через точку $A$) и движущихся со скоростью (2.2), где функция $\lambda $ получена описанным выше способом. Предельное значение скорости ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$ на первой стороне разреза равно ${{\left| {\nabla \sigma } \right|}^{{ - 2}}}\nabla \sigma $, а на второй стороне ${{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{a}}}} = {{\lambda }_{0}}{{V}^{{ - 2}}}{\mathbf{V}}$ + ${{\left| {\nabla \sigma } \right|}^{{ - 2}}}\nabla \sigma $, где ${{\lambda }_{0}} = - \oint_{{{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}} {(V \cdot \Omega ){\text{/}}\left| a \right|dl} $ ($l$ – переменная длина дуги на линии ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$). Но линия ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ непрерывна и при переносе ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$-частицами переходит в непрерывные векторные линии $a$. Поэтому предельные значения ${{q}_{{\mathbf{a}}}}$ должны иметь одинаковые нормальные к ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ составляющие. Отсюда получается, что ${{\lambda }_{0}} = 0$ или

(2.4)
$\oint\limits_{{{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}} {(V \cdot \Omega ){\text{/}}\left| a \right|dl} = 0$

Поскольку векторная линия ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ была выбрана произвольно, равенство (2.4) представляет собой интегральный инвариант, верный для всех замкнутых векторных линий $a = V \times \nabla \sigma $.

Исключим градиент энтропии из выражения для модуля вектора $a$. Учитывая ортогональность скорости и градиента энтропии и используя (1.1), имеем

(2.5)
$\left| {\mathbf{a}} \right| = (k - 1){{p}^{{ - 1}}}\rho \sigma \left| {\mathbf{V}} \right| \cdot \left| {{\mathbf{\Omega }} \times {\mathbf{V}}} \right| = (k - 1){{p}^{{ - 1}}}\rho \sigma {{\left| {\mathbf{V}} \right|}^{2}}\left| \Omega \right|\sin \varphi $
где $\varphi $ – угол между векторами скорости $V$ и завихренности $\Omega $. Все векторные линии $a = V \times \nabla \sigma $ лежат на изоэнтропийных поверхностях. Поэтому подынтегральная функция в (2.4) может быть умножена на любую функцию энтропии (в том числе и на константу, связывающую отношение $p{\text{/}}\rho $ с температурой $T$), и после этого интеграл (2.4) останется равным нулю. Вместе с (2.5) это позволяет утверждать, что для всех замкнутых линий ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$ вектора $a = V \times \nabla \sigma $
(2.6)
$\oint\limits_{{{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}} {\frac{{T\operatorname{ctg} \varphi }}{{\left| V \right|}}} dl = 0,$
где $T$ температура, $\varphi $ угол между векторами скорости $V$ и завихренности $\Omega $.

3. Сравнение интегральных инвариантов. В отличие от инварианта $\oint_{{{\gamma }_{\Omega }}} {(p{\text{/}}\Omega )} dl$ [4], новый инвариант (2.6) может использоваться только для анализа несимметричных течений. Действительно, в незакрученных осесимметричных течениях $\operatorname{ctg} \varphi \equiv 0$, и поэтому инвариант (2.6) дает только тривиальную информацию типа 0 = 0. Однако в несимметричных течениях инвариант (2.6) более информативен. Во-первых, в отличие от инварианта [4], значение интеграла (2.6) известно (оно равно нулю). Во-вторых, это нулевое значение интеграл (2.6) принимает на всех замкнутых линиях ${{\gamma }_{{\mathbf{a}}}}$, а неизвестное априори значение $\oint_{{{\gamma }_{\Omega }}} {(p{\text{/}}\Omega )} dl$ сохраняется только на вихревых линиях ${{\gamma }_{\Omega }}$, лежащих на одной изоэнтропийной поверхности.

Заключение. С использованием критерия Гельмгольца–Зоравского получен интегральный инвариант течений идеального газа за отошедшим скачком уплотнения (формула (2.6)). Этот инвариант может использоваться для качественного анализа несимметричных 3D-течений и для проверки численных, асимптотических и других приближенных расчетов таких течений.

Список литературы

  1. Golubkin V.N., Sizykh G.B. On the vorticity behind 3-D detached bow shock wave // Adv. in Aerodyn. 2019. V. 1. № 15.

  2. Сизых Г.Б. Система ортогональных криволинейных координат на изоэнтропийной поверхности за отошедшим скачком уплотнения // ПММ. 2020. Т. 84. Вып. 3. С. 304–310.

  3. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Иностр. лит., 1961. 588 с.

  4. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. Обобщение инварианта Крокко для 3D течений газа за отошедшим головным скачком // Изв. вузов. Матем. 2019. № 12. С. 52–56.

  5. Krocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1937. V. 17. № 1. P. 1–7.

  6. Сизых Г.Б. Значение энтропии на поверхности несимметричной выпуклой головной части при сверхзвуковом обтекании // ПММ. 2019. Т. 83. Вып. 3. С. 377–383.

  7. Truesdell C. The Kinematics of Vorticity. Indiana: Univ. Press, 1954. 232 p.

  8. Сизых Г.Б. О коллинеарности завихренности и скорости за отошедшим скачком уплотнения // Труды МФТИ. 2021. Т. 13. № 3. С. 144–147.

  9. Сизых Г.Б. Замкнутые вихревые линии в жидкости и газе // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 23. № 3. С. 407–416.

Дополнительные материалы отсутствуют.