Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 1, стр. 66-76

1. Введение. Нанопроволоки, микро- и наноструны находят применение в электронных, оптоэлектронных и электромеханических устройствах, в литографии, в качестве химических и биологических детекторов и сенсоров и т.д. [1–4]. Изучение их эксплуатационных свойств, в частности, статической и динамической деформации под действием приложенных сил, спектра частот, устойчивости формы представляет большой интерес.

Как показано экспериментально и теоретически в работах [5, 6], а также в последующих исследованиях, при диаметрах струны порядка 10 мкм и меньше начинает влиять на деформацию поверхностный эффект, связанный с различием упругих характеристик в тонком слое около поверхности и в основном объеме тела. Влияние указанного и других эффектов объясняется тем, что с уменьшением диаметра d струны увеличивается удельная поверхность пропорционально d^–1. Укажем на исследования [7–11] в этом направлении, в которых приводится также обзор литературы. В частности, статический изгиб проволоки, устойчивость ее формы, свободные колебания рассматриваются в [9–13]. Принято, что в теории изгиба проволоки учитывается изгибающий момент, а струны – не учитывается.

Согласно указанным работам, продольная сила N выражается через деформацию ε осевой линии формулой

где Е – модуль упругости для основного объема струны, определяемый в классической теории упругости, параметр E_s относится к поверхностному слою. Размерность модуля Е в МПа, а E_s – в МПа м. Толщина приповерхностного слоя в этой модели не вводится в рассмотрение. Она неявно входит в E_s, поэтому размерности E_s и E различаются.

Второй поверхностный эффект связан с образующейся разностью площадей выпуклой и вогнутой частей боковой поверхности струны в результате ее отклонения от прямой линии. Эта разность площадей приводит к появлению распределенной поперечной силы [14, 15]

где р – равномерное давление на боковую поверхность струны, κ –кривизна осевой линии. Сила q при p > 0 направлена в сторону вогнутости осевой линии, при p < 0 – в сторону выпуклости. Равновесие тонкостенных упругих тел в предположениях, приводящих к формуле (1.2), было рассмотрено в работах [16, 17].

В [18–24] рассмотрены различные задачи поперечных линейных и нелинейных колебаний струн, тросов, в том числе в динамике космических тросовых систем. Обратная задача по определению граничных условий по собственным частотам приведена в [25, 26]. В [27, 28] изучены разрывные волновые явления в сильно деформируемых нитях. Спектр частот продольных колебаний в нанострунах и нанопленках из интерметаллидов, обладающих сложной зависимостью между напряжением и деформацией, определен в [29].

В настоящей работе одновременно учитываются указанные поверхностные эффекты при рассмотрении линейных поперечных колебаний микро- и нанострун, находящихся под давлением газа. При этом задается закон изменения давления. Непериодические колебания струны возбуждаются в начальный период приложения давления. В случае его установления на определенном уровне с течением времени колебания струны переходят на периодический режим.

При анализе не учитываются другие факторы, оказывающие влияние на колебания (внутреннее трение в материале, излучение в окружающую среду, ее присоединенная масса и т.д.) Эти факторы пропорциональны плотности. Поэтому пренебрежение ими может быть приемлемым в случае легких газов. Кроме того хорошо известно, как учитывать влияние излучения и присоединенной массы на колебания тела.

2. Постановка задачи. Струна диаметром d и длиной L закреплена неподвижно на опорах с некоторым удлинением u₀. Относительно продольной и поперечной компонент перемещения u(x, t), w(x, t) граничные и начальные условия имеют вид

Эти условия характерны для двухопорных микро- и нанорезанаторов [2, 13]. Предполагается, что опоры исключают передачу силы сжатия от возможного торцевого давления на область 0 < x < L. На рис. 1 приведены примеры таких опор, в которых торцевые площади изолированы от избыточного давления (а) или в случае его действия передача силы сжатия в область 0 < x < L не происходит из-за шарнирного закрепления (б) (то же самое в случае многоопорной струны (в)). Условия (2.2) реализуются, например, в момент наибольшего отклонения струны при ее свободных колебаниях. Этот момент принимается за начало отсчета времени.

На круговую поверхность струны действует равномерное давление газов p₀ + p(t). Под p₀ будем подразумевать постоянное давление, в частности, атмосферное давление. Струна под этим всесторонним давлением является прямой и растянутой в соответствии с первыми двумя условиями (2.1). Поэтому p₀ может быть названо давлением сборки системы струна–концевые опоры.

Малое отклонение от прямой линии струны при действии избыточного динамического давления p(t) описывается уравнением

где ρ, Е – плотность материала и модуль упругости, N – растягивающая сила (1.1). Таким образом, в уравнении (2.3) коэффициентом β в составе N учитывается первый поверхностный эффект, а распределенной поперечной силой q определяется второй поверхностный эффект.

Сила N образуется в результате указанного выше осевого растяжения, а также поперечного перемещения струны и является постоянной по всей длине L. Деформация ε осевой линии связана с компонентами перемещения формулой

Подстановка ее в выражение (1.1) и интегрирование по x от 0 до L дает

В соответствии с первыми условиями (2.1) u(L) – u(0) = u₀.

Отношение первого члена ко второму в уравнении (2.3) при функции прогиба $w = \sin ({{\pi x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi x} L}} \right. \kern-0em} L})$ равно

где напряжение растяжения σ образуется за счет предварительного растяжения на величину u₀ и натяжения за счет отклонения от прямой согласно (2.4). Если $\delta \ll 1$, то влияние первого члена на изгиб мало по сравнению со вторым. Так как $\sigma = {{E{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E{{u}_{0}}} L}} \right. \kern-0em} L}$, то, например, при ${d \mathord{\left/ {\vphantom {d L}} \right. \kern-0em} L} = {{10}^{{ - 5}}}$, ${{{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}} d}} \right. \kern-0em} d} = {{10}^{{ - 2}}}$, значение $\delta = 6 \times {{10}^{{ - 4}}}$.

В дальнейшем ограничимся законом изменения избыточного давления в виде

где t₀ некоторое характерное время, α – постоянное число (α > –1). С учетом (2.4) и выражения (1.2), где необходимо положить $\kappa \approx {{{{\partial }^{2}}w} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}w} {\partial {{x}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{x}^{2}}}}$, уравнение (2.3) приводим к виду

В уравнении (2.6) и в условиях (2.1), (2.2) прогиб w отнесен к длине L. Первый поверхностный эффект при β > 0 увеличивает упругие силы (параметры η и γ возрастают), при β < 0 – уменьшает. В качестве примера приведем данные из [9]: $\beta d = 765$ нм (железо) и $\beta d = - 4.5$ нм (железо на стеклянном субстрате). Эффект начинает проявляться при $d < {{10}^{6}}$ нм в первом случае и $d < {{10}^{2}}$нм во втором. При $E = {{10}^{5}}$ МПа, ${{p}_{0}} = 0.1$ МПа и принятом выше отношении ${{{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}} L}} \right. \kern-0em} L} = {{10}^{{ - 7}}}$ параметр $\eta = {{10}^{{ - 1}}}(1 + \beta )$.

3. Колебания предварительно слаборастянутой струны. Рассмотрим сначала решение линейного уравнения (2.6) для случая слаборастянутой струны, под которым будем подразумевать $\eta \ll {{\tau }^{\alpha }}$ в (2.6). Это условие выполняется за исключением начального момента. В интервале $0 \leqslant \tau \leqslant 0.1$ происходит малое изменение w ввиду нулевой скорости в начальных условиях (2.2) и инерционности струны. Это имеет место особенно при больших значениях показателя α, когда давление мало отличается от p₀ до $\tau = 0.1$. Это можно показать по решению уравнения ${{w}_{{\tau \tau }}} - (\eta + 0.1){{w}_{{\xi \xi }}}$ = 0, следующего из (2.6) при $\alpha = 1$. В интервале до $\tau = 0.1$ оно дает значение прогиба с превышением. Принимая в условиях (2.2) ${{w}_{0}}(\xi )$ = ${{W}_{1}}\sin \pi \xi $ и решение уравнения в виде $w = W(\tau )\sin \pi \xi $, получаем W = ${{W}_{1}}\cos \sqrt {\eta + 0.1} \tau $. При $\eta = 0.1$ и $\tau = 0.1$ находим $W = {{W}_{1}}$ × 0.999. Таким образом, нарушение условия $\eta \ll {{\tau }^{\alpha }}$ при малых значениях τ не приводит к искажению дальнейшего колебательного процесса. Тогда решение уравнения (2.6), удовлетворяющее условиям (2.1), (2.2), имеет вид [30]

где Γ – гамма функция, J_–μ – функция Бесселя.

Как видно из (2.6) и вида параметров η и γ, в данной постановке первый поверхностный эффект не оказывает влияния на решение (второй эффект выражен в члене ${{\tau }^{\alpha }}{{\partial }^{2}}w{\text{/}}\partial {{\xi }^{2}}$). Целью этой упрощенной постановки задачи является в частности анализ влияния показателя α в законе изменения давления на решение. Анализ сходимости ряда (3.1) показывает, что при плавных функциях w₀(ξ) с достаточной точностью можно ограничиться первым членом (k = 1) [31]. Решение (3.1) при k = 1, w₀(ξ) = W₁ sin πξ приводится к виду

На рис. 2 представлено изменение безразмерного прогиба w в средней точке (W₁ = 0.02, ξ = 1/2 в (3.2)) по безразмерному времени τ при различных значениях показателя α и соответственно параметра μ. Чем больше показатель α (т.е. больше давление p), тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний струны с течением времени, а частота возрастает. В начале процесса (до τ ≈ 1) наблюдается малое изменение w, особенно для больших значений α. Это объясняется тем, что при больших значениях α давление p остается малым до τ = 1.

Показателю α = 0 (p = p₀) соответствуют гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой. Амплитуда определяется первым начальным условием (2.2). При отрицательных значениях α происходит увеличение амплитуды и уменьшение частоты колебаний, что объясняется снижением давления p (рис. 3). При такой раскачке колебаний линейное решение перестает быть удовлетворительным. Становится заметной роль нелинейного члена в (2.6). Он является положительным и соответствует растягивающей силе, возникающей при отклонении струны от прямой линии. При положительном значении параметра β первого поверхностного эффекта (в составе γ) эта сила обеспечивает большее ограничение амплитуды, чем при отрицательном значении β. Однако анализ нелинейных колебаний не входит в задачу данной работы.

Ограничиваемся тремя членами ряда Стирлинга гамма-функции

Известные точные значения $\Gamma (1) = 1$, $\Gamma (1{\text{/}}2) = \sqrt \pi $ получаются из двух членов этого ряда без заметных погрешностей. Аргумент $1 - \mu = (1 + \alpha ){{(2 + \alpha )}^{{ - 1}}}$ изменяется от 1/3 до 2/3 при $ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2 < \alpha < 1}}} \right. \kern-0em} {2 < \alpha < 1}}$. Воспользуемся также асимптотическими приближениями функции Бесселя для малого и большого аргументов

4. Определение скорости изменения давления. Представляет интерес определение показателя α по известному значению периода колебаний T, который в данной задаче зависит от времени. Из равенства z = 2πτ/T с учетом значения z из (3.1) получаем T = = (2 + α)τ^–α/2. Считая, что моментам времени τ₁ и τ₂ соответствуют периоды T₁ и T₂, можно записать (из-за использования асимптотических представлений учет времени на рис. 4 начинается не с нуля)

В качестве моментов τ₁ и τ₂ принимаются значения τ при w(τ) = 0. Поскольку определение (4.1) значения α является приближенным (ввиду непериодичности процесса) целесообразно привлечь также другую процедуру. Например, можно использовать значение прогиба w(ξ, τ) в определенной точке ξ в разные моменты времени [31]. В соответствии с (3.2), (3.3) определяем амплитуду по длине струны и по времени w(ξ, τ). Моменты времени τ₁ и τ₂ соответствуют амплитудам w₁ и w₂ (рис. 4 (б)). Тогда

Из решения (3.2) прямой задачи получены: моментам τ₁ = 5.4933, τ₂ = 8.5214 соответствуют периоды Т₁ = 0.8542, Т₂ = 0.6853. По ним из (4.1) получаем α = 1.0034 (вместо точного значения α = 1). Пусть известны амплитуды w₁ = 0.0100, w₂ = 0.0089 и соответствующие моменты τ₁ = 5.2769, τ₂ = 8.3488. Тогда по формуле (4.2) α = 0.9999. Объяснение большей погрешности (4.1) по сравнению с (4.2) состоит в том, что периоды Т₁ и Т₂ являются усредненными, в то время как величины w₁ и w₂ в (4.2) определяются более точно. Для давления р = р₀τ^α при τ = 5 в первом случае имеем погрешность около 0.544% (р = 5.027р₀ вместо точного значения 5р₀), во втором случае 0.023%. Погрешность уменьшается при уменьшении непериодичности (с приближением показателя α к нулю).

5. Колебания предварительно растянутой струны. Рассмотрим случай предварительно растянутой струны при α = 1. Из уравнения (2.6) следует

Решение уравнения (5.1) имеет вид (3.2), (3.3), где вместо τ нужно подставить τ₁ (либо η + τ). Входящие в них величины при α = 1 равны: μ = 1/3, Г(2/3) = 1.354. Решение (3.2) при учете (3.3) приобретает вид:

График этого решения в точке ξ = 1/2 при W₁ = 0.02 и различных значениях η дан на рис. 5.

Для определения параметра натяжения η может быть поставлена обратная задача. Положив τ_i = τ_i + η в (5.2), находим:

По найденному значению η может быть определено либо предварительное продольное перемещение u₀ (при известных данных E, p₀, L, β)

либо параметр первого поверхностного эффекта

Как во всякой обратной задаче, предъявляются повышенные требования к точности экспериментальных данных τ₁, τ₂, T₁, T₂, w₁, w₂, входящих в (4.1), (4.2), (5.3). То же самое относится к параметрам E, p₀, L, входящим в (5.4) и (5.5). Отметим, в (5.5) имеется разность близких чисел.

Заключение. Приведенная постановка задачи отличается от обычной теории свободных колебаний струн тем, что учитываются два поверхностных эффекта. Первый из них, связанный различием упругих свойств приповерхностного слоя и основного объема, приводит к изменению эффективной жесткости струны на растяжение, модуль упругости которой определяется безразмерным параметром β в (1.1).

Второй эффект характеризируется безразмерным параметром α, данным в (2.5). В зависимости от возрастания (α > 0) или убывания (α < 0) избыточного давления происходит увеличение или уменьшение эффективной жесткости и частот поперечных колебаний струны по сравнению с частотами, возбуждаемыми при давлении сборки системы струна–опоры (α = 0). Без учета второго эффекта колебания струны могут быть только периодическими и обусловленными начальными условиями. Предложен способ определения параметра α изменения давления на поверхность струны по экспериментальным данным периодов и амплитуд колебаний в различные моменты времени. Разные формулировки соответствующей обратной задачи приводят к соотношениям (4.1), (4.2), позволяющим получать результаты с различной точностью.

Для многих материалов в литературе отсутствуют значения параметра первого поверхностного эффекта β. Их определение представляет очевидные сложности. Один из возможных способов определения параметра β (или величины E_s) состоит в решении обратной задачи для предварительно растянутой струны. Для этого служит формула (5.5). Если параметр β известен для материала, то в этом случае по формуле (5.4) может быть определена трудно измеряемая величина продольного перемещения.

Работа выполнена по государственному заданию на 2019–2022 годы (№ 0246-2019-0088).