Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 2, стр. 186-205

1. Введение. Рассматривается нелинейная управляемая система в конечномерном евклидовом пространстве и на конечном промежутке времени, зависящая от параметра. Изучаются множества достижимости и интегральные воронки дифференциального включения, соответствующего системе. Проблематика, связанная с изучением множеств достижимости и интегральных воронок динамических систем, тесно переплетена с многочисленными задачами теории динамических систем и, в том числе, с теми, которые возникают в теории управления и теории дифференциальных игр [1–8]. При исследовании множеств достижимости, их конструировании и оценивании применяются различные теоретические подходы и ассоциированные с ними вычислительные методы [1–19]. К упомянутым задачам управления и дифференциальных игр принадлежат, например, различного рода задачи о сближении, разрешающие конструкции которых включают в себя одним из основных компонентов так называемые множества разрешимости – множества тех позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении [1–4]. Во многих задачах эти множества могут быть описаны достаточно просто в терминах множеств достижимости и интегральных воронок [1–19]. Некоторые задачи могут быть сформулированы как задачи теории управляемости динамических систем [17].

В настоящей работе изучается зависимость множеств достижимости и интегральных воронок от параметра: оценивается степень этой зависимости от параметра при определенных условиях на управляемую систему. Для оценки этой зависимости вводятся системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующие множества достижимости и интегральные воронки на заданном промежутке времени, отвечающие конечному разбиению этого промежутка. При этом сначала оценивается степень зависимости аппроксимирующей системы множеств от параметра и затем эта оценка используется при оценке зависимости от параметра множеств достижимости и интегральных воронок дифференциального включения. Такой подход естественен и особенно полезен при изучении конкретных прикладных задач управления, при решении которых в конечном итоге приходится иметь дело не с идеальными множествами достижимости и интегральными воронками, а с их аппроксимациями, отвечающими дискретному представлению временного промежутка.

2. Оценки множеств достижимости и интегральных воронок дифференциальных включений. На промежутке времени $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{t}_{0}} < \vartheta < \infty $ задана управляемая система $\Sigma $

здесь $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ – фазовый вектор системы $\Sigma $, $u$ – управляющее воздействие из множества $P \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{p}})$, $\alpha $ – параметр из множества $\mathcal{L} \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{l}})$; $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{k}})$ – пространство компактов в ${{\mathbb{R}}^{k}}$ с хаусдорфовой метрикой $d({{X}^{{(1)}}},{{X}^{{(2)}}})$ = $\max (h({{X}^{{(1)}}},{{X}^{{(2)}}})$, $h({{X}^{{(2)}}},{{X}^{{(1)}}}))$, $h({{X}^{{(1)}}},{{X}^{{(2)}}})$ = $\mathop {\max }\limits_{{{x}^{{(1)}}} \in {{X}^{{(1)}}}} {{\rho }}({{x}^{{(1)}}},{{X}^{{(2)}}})$ – хаусдорфово отклонение ${{X}^{{(1)}}}$ от ${{X}^{{(2)}}}$, где ${{\rho }}({{x}^{{(1)}}},{{X}^{{(2)}}})$ = = $\mathop {\min }\limits_{{{x}^{{(2)}}} \in {{X}^{{(2)}}}} \left\| {{{x}^{{(1)}}} - {{x}^{{(2)}}}} \right\|$.

Предполагается, что система $\Sigma $ удовлетворяет условиям.

A. Функция ${{f}_{\alpha }}(t,x,u)$ определена и непрерывна на $[{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}} \times P \times \mathcal{L}$ и для любой ограниченной и замкнутой области $D \subset [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ найдутся функция $\omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r)$, $r \in (0,\infty )$ ($\omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r) \downarrow 0$, $r \downarrow 0$) и непрерывная функция $L(t) \in (0,\infty )$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, удовлетворяющие соотношениям

B. Найдется такое ${{\gamma }} \in (0,\infty )$, что

Введем многозначное отображение

Отображение $(t,x) \mapsto {{F}_{\alpha }}(t,x)$ удовлетворяет следующим условиям.

A*. Для любой ограниченной и замкнутой области $D \subset [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ найдутся функция $\omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r)$, $r \in (0,\infty )$ ($\omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r) \downarrow 0$, $r \downarrow 0$) и непрерывная функция $L(t) \in (0,\infty )$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, удовлетворяющие соотношениям

B*. Найдется такое $\gamma \in (0,\infty )$, что

здесь $0$ – нуль-вектор в ${{\mathbb{R}}^{n}}$.

Введем на $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ д.в. (дифференциальное включение)

отвечающее системе $\Sigma $.

Пусть ${{t}_{*}}$ и $t{\kern 1pt} *$ (${{t}_{*}} < t{\kern 1pt} *$) из $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, $x* \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $X* \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$.

Введем обозначения

${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{x}_{*}})$ – множество достижимости д.в. (2.5) в момент $t{\kern 1pt} *$ с начальной точкой $x({{t}_{*}}) = {{x}_{*}}$;

${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ – множество достижимости д.в. (2.5) в момент $t{\kern 1pt} *$ с начальным множеством ${{X}_{*}}$:

Известно, что ${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}}) \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$, отображение $(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ $ \mapsto $ ${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ непрерывно по $t{\kern 1pt} *$ на $[{{t}_{*}},\vartheta ]$ при фиксированных $({{t}_{*}},{{X}_{*}})$ ∈ $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ × $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$ в хаусдорфовой метрике, а также ${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ непрерывно зависит от ${{X}_{*}}$ при фиксированных ${{t}_{*}}$, $t{\kern 1pt} *$, $\alpha $.

Отображение $\alpha \mapsto {{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ непрерывно также на $\mathcal{L}$ при фиксированных $(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$, ${{t}_{0}} \leqslant {{t}_{*}} < t* \leqslant \vartheta $, ${{X}_{*}} \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$.

Уточним непрерывную зависимость $\alpha \mapsto {{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ на множестве $\mathcal{L}$. Для этого выведем оценку сверху хаусдорфова расстояния

которую представим в виде функции от $\left\| {\alpha - \beta } \right\|$.

Известно, что при условиях A*, B* множество достижимости ${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ удовлетворяет равенству

Здесь $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }(t*) \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, $\alpha \in \mathcal{L}$ – множества, отвечающие разбиениям Γ = $\{ {{\tau }_{0}} = {{t}_{*}}$, ${{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{i}}, \ldots ,{{\tau }_{N}}$ = $t*\} $ (${{\tau }_{{i + 1}}} - {{\tau }_{i}} = \Delta $ = $\Delta (\Gamma )$ = ${{N}^{{ - 1}}}(t{\kern 1pt} * - \;{{t}_{*}})$, $i = \overline {0,N - 1} $) промежутка $[{{t}_{*}},t*]$, задаются равенством $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }(t*)$ = $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{N}})$ при помощи соотношений

где обозначено

Принимая во внимание условие B* и размеры компакта ${{X}_{*}}$, можем указать ограниченную и замкнутую область $D \subset [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$, содержащую все возникающие в последующих рассуждениях и оценках множества в пространстве $[{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$. Считаем, что ниже в оценках применены функции $\omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r)$, $r \in (0,\infty )$ и $L(t)$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, отвечающие этой области $D$.

Вывод оценки величины

проведем сначала для одноточечного множества ${{X}_{*}} = \{ {{x}_{*}}\} $, $({{t}_{*}},{{x}_{*}}) \in D$.

При выводе оценки (2.6) применим так называемую “пошаговую” схему рассуждений и “пошаговые” оценки, то есть при выводе оценки величины (2.6) будем продвигаться по шагам $[{{{{\tau }}}_{i}},{{{{\tau }}}_{{i + 1}}}]$, $i = \overline {0,N - 1} $ разбиения $\Gamma $.

Вывод оценки начинаем с промежутка $[{{{{\tau }}}_{0}},{{{{\tau }}}_{1}}]$ разбиения $\Gamma $. Оценим сверху хаусдорфово отклонение

здесь $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}) = {{\tilde {X}}_{\alpha }}({{\tau }_{1}},{{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}) = {{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{1}},{{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$.

В $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ выберем точку $x({{\tau }_{1}})$, где $\rho \left( {x({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})} \right)$ = $h\left( {\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})} \right)$. Точка $x({{\tau }_{1}})$ представима в виде

Выберем в ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$ вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{0}})$, ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{0}})$. Справедливо соотношение

В $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ рассмотрим точку $y({{\tau }_{1}}) = {{x}_{*}} + \Delta {{f}_{\beta }}({{\tau }_{0}})$, $\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = \Delta {\kern 1pt} (\Gamma )$. Имеет место оценка

Из определения точки $x({{{{\tau }}}_{1}})$ и включения $y({{\tau }_{1}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ следует оценка:

здесь обозначено $h({{\tau }_{1}}) = h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$.

Обратимся к следующему промежутку $[{{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}]$ разбиения $\Gamma $ и рассмотрим множества $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ = ${{\tilde {X}}_{\alpha }}({{\tau }_{2}},{{\tau }_{1}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ = ${{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{2}},{{\tau }_{1}},\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$.

В $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ выберем точку $x({{{{\tau }}}_{2}})$, где

Точка $x({{{{\tau }}}_{2}})$представима в виде

Выберем в $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ ближайшую к ${{x}_{*}}({{\tau }_{1}})$ точку ${{y}_{*}}({{\tau }_{1}})$:

Справедлива оценка

Выберем в ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{1}},{{y}_{*}}({{\tau }_{1}}))$ ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{1}})$ вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{1}})$. Выполняется неравенство

согласно (2.3) и (2.4).

Введем в рассмотрение точку

Точки $x({{{{\tau }}}_{2}})$ и $y({{{{\tau }}}_{2}})$ стеснены неравенством

где ${{\Delta }_{1}} = \Delta = \Delta (\Gamma )$.

Принимая во внимание (2.8) и включение $y({{\tau }_{2}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ = ${{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{2}},{{\tau }_{1}}$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$, получаем

Из оценок (2.10), (2.11) следует

Рассмотрим следующий промежуток $[{{{{\tau }}}_{2}},{{{{\tau }}}_{3}}]$ разбиения $\Gamma $ и множества $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$ = = ${{\tilde {X}}_{\alpha }}({{\tau }_{3}},{{\tau }_{2}}$, $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}))$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$ = ${{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{3}},{{\tau }_{2}}$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}))$.

Оценим сверху хаусдорфово отклонение

Выберем для этого в $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$ точку $x({{{{\tau }}}_{3}})$, где

Точка $x{\text{(}}{{{{\tau }}}_{3}})$ представима в виде

Выберем в $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ ближайшую к ${{x}_{*}}({{{{\tau }}}_{2}})$ точку ${{y}_{*}}({{{{\tau }}}_{2}})$:

Справедливо неравенство

Выберем в ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{2}},y({{\tau }_{2}}))$ ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{2}})$ вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{2}})$. Получаем оценку

Рассмотрим точку $y({{\tau }_{3}}) = {{y}_{*}}({{\tau }_{2}}) + \Delta {{f}_{\beta }}({{\tau }_{2}})$ в $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$. Точки $x({{{{\tau }}}_{3}})$ и $y({{{{\tau }}}_{3}})$ удовлетворяют неравенству

где ${{\Delta }_{2}} = \Delta = \Delta (\Gamma )$.

В итоге получаем

Учитывая (2.13) и включение $y({{\tau }_{3}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$, получаем

Из (2.14), (2.15) следует

Для окончательного уяснения структуры оценки величины $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$, $i = \overline {0,N - 1} $ рассмотрим следующий промежуток $[{{{{\tau }}}_{3}},{{{{\tau }}}_{4}}]$ разбиения $\Gamma $ и множества $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{4}})$ = ${{\tilde {X}}_{\alpha }}({{\tau }_{4}},{{\tau }_{3}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{3}}))$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{4}})$ = ${{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{4}},{{\tau }_{3}},\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}}))$.

Оценим сверху величину

Для этого выберем в $\tilde {X}_{{{\alpha }}}^{\Gamma }({{{{\tau }}}_{4}})$ точку $x({{{{\tau }}}_{4}})$, где

Точка $x({{{{\tau }}}_{4}})$ представима в виде

Выберем в $\tilde {X}_{{{\beta }}}^{\Gamma }({{{{\tau }}}_{3}})$ ближайшую к ${{x}_{*}}({{{{\tau }}}_{3}})$ точку ${{y}_{*}}({{{{\tau }}}_{3}})$:

Справедливо неравенство

Выберем в ${{F}_{{{\beta }}}}({{{{\tau }}}_{3}},{{y}_{*}}({{{{\tau }}}_{3}}))$ вектор ${{f}_{{{\beta }}}}({{{{\tau }}}_{3}})$, ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{3}})$. Справедлива оценка

согласно соотношениям (2.3), (2.4).

Выделим в $\tilde {X}_{{{\beta }}}^{\Gamma }({{{{\tau }}}_{4}})$ точку $y({{{{\tau }}}_{4}}) = {{y}_{*}}({{{{\tau }}}_{3}}) + \Delta {{f}_{{{\beta }}}}({{{{\tau }}}_{3}})$.

Принимая во внимание (2.16), (2.18), получаем

В итоге получаем оценку

Далее, учитывая выбор точек $x({{{{\tau }}}_{4}})$ и $y({{{{\tau }}}_{4}})$, имеем

Из последних двух неравенств следует оценка

Анализируя оценки (2.12), (2.16), (2.19), заключаем, что промежутку $[{{{{\tau }}}_{3}},{{{{\tau }}}_{4}}]$, $i = \overline {0,N - 1} $ разбиения $\Gamma $ отвечает следующая оценка хаусдорфова отклонения $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$ множества $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$ = ${{\tilde {X}}_{\alpha }}({{\tau }_{{i + 1}}},{{\tau }_{i}}$, $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{i}}))$ от множества $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$ = ${{\tilde {X}}_{\beta }}({{\tau }_{{i + 1}}},{{\tau }_{i}}$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{i}}))$:

Далее, учитывая, что $h({{\tau }_{1}}) = h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$ удовлетворяет (2.7), получаем из (2.20) следующую оценку

Дополним оценку (2.21) комментарием, относящимся к введенной в условие B непрерывной функции $L(t)$ на промежутке $[{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$.

Замечание 2.1. В многочисленных работах, посвященных нелинейным управляемым системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями, в качестве одного из основных условий, налагаемых на систему, вводится условие локальной липшицевости ее правой части по фазовой переменной.

При этом достаточно часто при исследовании и решении задач управления такими системами возникает потребность в выделении в пространстве позиций управляемой системы области $D$, которая бы заведомо содержала все компоненты разрешающей конструкции (разрешающие множества, траектории систем, фазовые ограничения и т.д.). Иными словами, довольно часто при исследовании и решении задач управления возникает потребность в выделении в пространстве позиций системы сцены $D$, на которой разворачивается процесс решения задачи. При этом при конструировании решения и обосновании его корректности употребляется константа Липшица $L$, отвечающая этой области $D$. Однако, введенная область $D$ может оказаться большой и соответствующая ей константа $L$ может также оказаться большой. В таком случае оценки, обосновывающие корректность решения задачи управления, в которых участвует эта константа $L$, могут оказаться грубыми. По разным соображениям эти оценки в конкретной задаче управления (с конкретной управляемой системой) могут быть неудовлетворительными с точки зрения лица, решающего задачу и рассчитывающего на более тонкие оценки. В связи с этим в условия, налагаемые на нелинейную управляемую систему (2.1), в настоящей работе вместо традиционного условия локальной липшицевости с константой Липшица $L$ введена непрерывная функция $L(t) \in (0,\infty )$ на $[{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$, более адекватная динамике системы (2.1). Оценка (2.21) величины $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$ является более точной в том смысле, что для каждого промежутка $[{{{{\tau }}}_{i}},{{{{\tau }}}_{{i + 1}}}]$ разбиения $\Gamma $ участвует в пошаговых оценках свое значение $L({{{{\tau }}}_{i}}) \in (0,\infty )$, близкое при малых $\Delta = \Delta (\Gamma )$ к $L(t)$, $t \in [{{{{\tau }}}_{i}},{{{{\tau }}}_{{i + 1}}}]$, а не какая-либо константа $L \in (0,\infty )$, общая для всех $[{{{{\tau }}}_{i}},{{{{\tau }}}_{{i + 1}}}]$ из промежутка $[{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$. Отметим, однако, что эти рассуждения предполагают, что область $D$ в пространстве позиций системы и отвечающая ей функция $L(t)$ на $[{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$ выбраны достаточно адекватно динамике управляемой системы. Так, например, в задачах управления, связанных с исследованием множеств достижимости и интегральных воронок, желательно, чтобы область $D$ отслеживала более менее точно динамику множеств достижимости и, стало быть, – пространственную структуру интегральной воронки.

Таким образом, во многих конкретных задачах управления проблема выбора области $D$ и соответствующей ей функции $L(t)$, $t \in [{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$ является, на наш взгляд, весьма значимой, ибо от этого зависит точность оценок, связанных с решением задач.

Очевидно, что один из путей решения этой проблемы в каждой конкретной задаче, связанной с исследованием множеств достижимости и интегальных воронок, состоит в пошаговом (по временным слоям $[{{{{\tau }}}_{i}},{{{{\tau }}}_{{i + 1}}}] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$, $i = 0,1, \ldots ,N - 1$) формировании области $D$ и функции $L(t)$, $t \in [{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$, осуществляемых параллельно с конструированием множеств достижимости.

Вернемся теперь к оценке (2.21) и представим некоторые загрубления этой оценки, имеющие более простую форму.

Заменив в (2.21) единицу и экспоненты $\exp [\sum\nolimits_{k = r}^i {L({{{{\tau }}}_{k}}){{\Delta }_{k}}} ]$, $r = \overline {1,i} $ экспонентой $\exp [\sum\nolimits_{k = r}^i {L({{{{\tau }}}_{k}}){{\Delta }_{k}}} ]$, получаем оценку

то есть

В частности, справедлива оценка

Заменив в оценках (2.21)–(2.23) числа $L({{{{\tau }}}_{k}})$, $k = \overline {0,N - 1} $ каким-либо $L$, удовлетворяющим неравенству $0 < \mathop {\max }\limits_{t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]} L(t) \leqslant L < \infty $, получаем соответственно оценки при $i \in \overline {0,N - 1} $ и ${{\alpha }}$, ${{\beta }}$ из $\mathcal{L}$:

Рассуждения, аналогичные приведенным выше относительно $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$ дают оценки величины $h(\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$, аналогичные оценкам (2.21)–(2.26). Учитывая это, получаем в итоге следующие оценки хаусдорфова расстояния $d(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$, $i \in \overline {0,N - 1} $.

Мы рассмотрели случай, когда ${{X}_{*}} = \{ {{x}_{*}}\} $, $({{t}_{*}},{{x}_{*}}) \in D$ и для него получили оценки (2.27)–(2.32). Оценки (2.27)–(2.32) справедливы и в общем случае ${{X}_{*}}$ ∈ $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$, $({{t}_{*}},{{X}_{*}}) \subset D$.

Имея ввиду общий случай, выделим из (2.27)–(2.32) оценку (2.29) для последующих рассуждений. Наряду с множествами $\tilde {X}_{{{\alpha }}}^{\Gamma }(t*)$ и $\tilde {X}_{{{\beta }}}^{\Gamma }(t*)$, входящими в (2.29), рассмотрим множества достижимости ${{X}_{\alpha }}(t*)$ = ${{X}_{\alpha }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$, ${{X}_{\beta }}(t*)$ = ${{X}_{\beta }}(t*,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ д.в. (2.5).

Нас интересуют оценки сверху величин $d({{X}_{\alpha }}(t*)$, $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }(t*))$ и $d({{X}_{\beta }}(t*)$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }(t*))$, ${{\alpha }}$ и ${{\beta }}$ из $\mathcal{L}$. Известно, что при условиях A и B на систему (2.1) эти оценки имеют вид

здесь $L \in (0,\infty )$ неравенством, следующим после формулы (2.23), а $K$ = = $\mathop {\max }\limits_{(t,x,u,\alpha ) \in D \times P \times L} \left\| {{{f}_{\alpha }}(t,x,u)} \right\|$ ∈ $(0,\infty )$, $\Delta = \Delta (\Gamma )$.

Замечание 2.2. Можно показать, что, наряду с оценками (2.33), выполняются более тонкие оценки

Принимая во внимание (2.29) и (2.33), получаем

${{\alpha }}$ и ${{\beta }}$ из $\mathcal{L}$.

Так как эта оценка имеет место при любых разбиениях $\Gamma $ промежутка $[{{{{\tau }}}_{0}},\vartheta ]$, то устремив диаметр $\Delta = \Delta (\Gamma )$ разбиения $\Gamma $ к нулю, получаем

здесь $\int_{{{t}_{*}}}^{t*} {L(t)dt} $ – интеграл Римана функции $L(t)$ на отрезке $[t*,{{t}_{*}}] \subset [{{t}_{0}},\vartheta ]$.

Теперь обратимся к промежутку $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, на котором изначально рассматриваются управляемая система (2.1) и д.в. (2.5).

Полагаем в предыдущих выкладках ${{t}_{*}} = {{t}_{0}}$, $t* = t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{X}_{*}} = {{X}^{{(0)}}}$ ∈ $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{n}})$, $({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}}) \subset D$, где ${{X}^{{(0)}}}$ – начальное множество для системы (2.1) и д.в. (2.5), так что множества достижимости ${{X}_{\alpha }}(t)$ и ${{X}_{{{\beta }}}}(t)$ д.в. (2.5) принимают вид ${{X}_{\alpha }}(t)$ = ${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, ${{X}_{\beta }}(t)$ = ${{X}_{\beta }}(t,{{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$.

Запишем для этих множеств оценку (2.34)

$t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, $\alpha $ и ${{\beta }}$ из $\mathcal{L}$.

Введем также разбиение $\Gamma = \{ {{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{i}}, \ldots ,{{t}_{N}} = \vartheta \} $ промежутка $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ с диаметром $\Delta = \Delta (\Gamma )$ = ${{t}_{{i + 1}}} - {{t}_{i}}$ = ${{N}^{{ - 1}}}(\vartheta - {{t}_{0}})$.

Наряду с множеством достижимости ${{X}_{\alpha }}(t)$, $\alpha \in \mathcal{L}$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$ рассмотрим интегральные воронки

дифференциального включения (2.5).

Полагаем $X_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}}) = \bigcup\nolimits_{{{t}_{i}} \in \Gamma } {\left( {{{t}_{i}},{{X}_{\alpha }}({{t}_{i}})} \right)} $, $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ = $\bigcup\nolimits_{{{t}_{i}} \in \Gamma } {({{t}_{i}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}}))} $ – множества в $D$, а согласно рекуррентным соотношениям для $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}})$, в которых положено ${{{{\tau }}}_{0}} = {{t}_{0}}$ имеем $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}})$ = $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{0}})$ = ${{X}^{{(0)}}}$.

Множества $X_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ и $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ есть некоторые аппроксимации интегральной воронки ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, дискретные по переменной $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$.

Из оценки

следует оценка здесь $L$ определено неравенством после формулы (2.23), $K$ – равенством следующим за формулой (2.33).

Учитывая, что для любого промежутка $[{{t}_{i}},{{t}_{{i + 1}}}]$ разбиения $\Gamma $ и любого $t \in [{{t}_{i}},{{t}_{{i + 1}}}]$ имеют место

получаем

Принимая во внимание оценки (2.36), (2.37), получаем

Очевидно, что используя описанную выше в этой работе технику вывода оценок, можем заменить оценку (2.38) более точной оценкой

Для интегральных воронок ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ и ${{X}_{\beta }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, ${{\alpha }}$ и ${{\beta }}$ из $\mathcal{L}$ также имеет место важная оценка, очевидным образом вытекающая из (2.35)

3. Задачи о наведении интегральных воронок дифференциальных включений на целевое множество в пространстве ${{\mathbb{R}}^{2}}$. В этом параграфе ограничимся рассмотрением системы (2.1) и д.в. (2.5) в пространстве ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Изучим задачи о наведении интегральных воронок ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$ и их аппроксимаций $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{x}_{0}})$ на целевые множества в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Некоторые из этих задач сформулируем с привлечением понятия площади множества в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. В связи с этим изучим вопросы, затрагивающие приближенное вычисление площадей множеств достижимости ${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$ ∈ $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$ и ассоциированных с ${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})$ множеств. При этом воспользуемся оценками хаусдорфовых расстояний, полученными в § 2.

Начнем изучение задач о наведении с рассмотрения отдельных интегральных воронок ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, ${{X}^{{(0)}}} \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$. К классу этих воронок принадлежат, разумеется, и воронки ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$, так что оценки хаусдорфовых расстояний, полученные для интегральных воронок ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, имеют место и для воронок ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$.

Возьмем произвольную воронку ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{X}^{{(0)}}}$ ∈ $\operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$ и аппроксимирующее ее множество $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ = $\bigcup\nolimits_{{{t}_{i}} \in \Gamma } {({{t}_{i}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}}))} $ в $D$, отвечающее разбиению $\Gamma $ = $\{ {{t}_{0}}$, ${{t}_{1}}$, …, ${{t}_{i}}$, …, ${{t}_{N}} = \vartheta \} $ (${{t}_{{i + 1}}} - {{t}_{i}} = {{\Delta }_{i}} = \Delta $ = $\Delta (\Gamma )$, $i = \overline {0,N - 1} $).

Рассогласование между временны́ми сечениями ${{X}_{\alpha }}({{t}_{i}})$ и $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}})$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $ множеств ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ и $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ стеснено оценкой

Наряду с множеством $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ и его сечениями $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}})$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $ рассматриваем множество $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$, ${{\beta }} \in \mathcal{L}$ и его сечения $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{t}_{i}})$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $.

Справедлива оценка

Из оценок (3.1) и (3.2) вытекает

где обозначено

Оценки (3.1)–(3.3) применим при изучении задач о наведении интегральных воронок на целевые множества. Также они будут учтены при оценке рассогласования множеств типа множеств достижимости в ${{\mathbb{R}}^{2}}$.

Сформулируем эти задачи о наведении.

Считаем, что задано конечное множество $\mathcal{T}$ моментов ${{{{\tau }}}_{1}}$, ${{{{\tau }}}_{2}}$, …, ${{{{\tau }}}_{{{{N}_{*}}}}}$ в промежутке $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ и что рассмотренные нами разбиения $\Gamma = \{ {{t}_{0}},{{t}_{1}}$, …, ${{t}_{i}}$, …, ${{t}_{N}} = \vartheta \} $ содержат это множество $\mathcal{T}$.

Считаем, что в ${{\mathbb{R}}^{2}}$ заданы компакты ${{X}^{{(0)}}}$, ${{X}^{{(\vartheta )}}}$, ${{\Phi }^{{(k)}}}$, где каждое множество ${{\Phi }^{{(k)}}}$ отвечает своему моменту ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$; при этом множества ${{X}^{{(0)}}}$, ${{X}^{{(\vartheta )}}}$, ${{\Phi }^{{(k)}}}$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$ имеют спрямляемые границы $\partial {{X}^{{(0)}}}$, $\partial {{X}^{{(\vartheta )}}}$, $\partial {\kern 1pt} {{\Phi }^{{(k)}}}$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$.

Задача 1. О наведении интегральной воронки (жесткая постановка). Требуется определить такую пару $({{\alpha }_{*}},{{x}_{*}})$ ∈ $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$, что выполняются соотношения

Точное вычисление множеств ${{X}_{{{{\alpha }_{*}}}}}({{t}_{i}},{{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$ невозможно из-за сложности динамики системы (2.1).

В частности, невозможно вычисление множеств ${{X}_{{{{\alpha }_{*}}}}}(\vartheta ,{{t}_{0}},{{x}_{*}})$, ${{X}_{{{{\alpha }_{*}}}}}({{\tau }_{k}},{{t}_{0}},{{x}_{*}})$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$. Также в случае, когда, например, одно из множеств $\mathcal{L}$, ${{X}^{{(0)}}}$ бесконечно, невозможен полный перебор всех пар $(\alpha ,x)$ ∈ $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$.

Поэтому имеет смысл перейти от формулировки задачи 1 к формулировке в терминах множеств $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}},{{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$. При этом под множествами $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{i}},{{t}_{0}},{{x}_{0}})$ мы понимаем временны́е сечения множеств $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$, отвечающие моментам ${{t}_{i}} \in \Gamma $.

А именно, полагаем, что заданы ${{\varepsilon }}$, ${{\rho }}$, ${{\sigma }}$ из $(0,\infty )$ и отвечающие числам ${{\rho }}$ и ${{\sigma }}$ конечные множества ${{\rho }}$-сеть ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}}$ = $\{ {{\alpha }^{{(r)}}}:r = \overline {1,{{r}_{*}}} \} $ и ${{\sigma }}$-сеть ${{X}^{{(\sigma )}}}$ = $\{ {{x}^{{(s)}}}:s = \overline {1,{{s}_{*}}} \} $ в множествах $\mathcal{L}$ и ${{X}^{{(0)}}}$.

Задача 1(ε)_о наведении интегральных воронок. Требуется определить такую пару $({{\alpha }^{{(r)}}},{{x}^{{(s)}}})$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$, что выполняются соотношения

Для задач 1 или 1(ε), сформулированных для конкретной системы (2.1), может статься, что решения не существует. Учитывая такие ситуации, мы сформулируем задачу о наведении в менее жесткой постановке с привлечением понятия площади множества в ${{\mathbb{R}}^{2}}$.

При этом мы предполагаем, что такая постановка не противоречит смыслу исходной реальной задачи о наведении.

Сначала дадим формулировку в терминах идеальных множеств достижимости ${{X}_{\alpha }}({{t}_{i}},{{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$.

Предварительно введем обозначения

здесь $s(Y)$ – площадь множества $Y \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$.

Зафиксируем ${{{{\lambda }}}_{1}}$ и ${{{{\lambda }}}_{2}}$ из [0, 1], ${{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} = 1$.

Полагаем $J(\alpha ,x) = {{\lambda }_{1}}{{J}^{{(1)}}}(\alpha ,x) + {{\lambda }_{2}}{{J}^{{(2)}}}(\alpha ,x)$.

Задача 2. О наведении интегральных воронок (мягкая постановка). Требуется определить такую пару $(\alpha *,x*)$ ∈ $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$, что выполняется соотношение

Поскольку точно решить задачу 2 мы не в состоянии, в силу тех же причин, что и задачу 1, то сформулируем и будем искать решение некоторой аппроксимационной задачи, в которой вместо множеств $\mathcal{L}$ и ${{X}^{{(0)}}}$, в случаях, когда они не являются конечными, вписаны их конечные сети ${{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}}$ и ${{X}^{{({{\sigma }})}}}$, а вместо (идеальных) множеств достижимости ${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$ вписаны их аппроксимции $\tilde {X}_{{{{\alpha }^{{(r)}}}}}^{\Gamma }({{t}_{i}},{{t}_{0}},{{x}^{{(s)}}})$, $({{\alpha }^{{(r)}}},{{x}^{{(s)}}})$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$.

Введем обозначения

Полагаем ${{\tilde {J}}_{\Gamma }}(\beta ,y) = {{\lambda }_{1}}\tilde {J}_{\Gamma }^{{(1)}}(\beta ,y) + {{\lambda }_{2}}\tilde {J}_{\Gamma }^{{(2)}}(\beta ,y)$.

Задача 3. О наведении интегральных воронок (мягкая постановка). Требуется определить такую пару $(\beta *,y*)$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$, что выполняется соотношение

Покажем, что при малых ${{\rho }}$, ${{\sigma }}$ из $(0,\infty )$ решение аппроксимационной задачи 3 близко к решению задачи 2. Это обстоятельство оправдывает подмену задачи 2 задачей 3. При этом под близостью решений мы понимаем как близость оптимальных значений (3.6) и (3.7) в задачах 2 и 3, так и близость оптимальных пар в $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ и ${{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$.

Итак, рассмотрим сначала пары $(\alpha ,x)$ и $({{\beta }},y)$, где $(\alpha ,x)$ выбрана в $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ произвольно, а пара $(\beta ,y)$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$ такова, что $\left\| {\alpha - \beta } \right\| \leqslant \rho $, $\left\| {x - y} \right\| \leqslant {{\sigma }}$.

Оценим сверху хаусдорфово расстояние

Учитывая (3.3) и оценку

получаем

Введем для упрощения обозначение

В итоге для пар $(\alpha ,x) \in \mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ и $(\beta ,y) \in {{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$, $\left\| {\alpha - \beta } \right\| \leqslant \rho $, $\left\| {x - y} \right\| \leqslant {{\sigma }}$ имеем оценку

Распишем подробнее функцию ${{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$ и оценим ее сверху.

Справедливо представление

Так как, согласно условию A, функция $L(t) \in (0,\infty )$ непрерывна на $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, то при $L \in \left( {\mathop {\max }\limits_{t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]} L(t),\infty } \right)$ справедлива оценка

Из этой оценки вытекает предельное равенство $\mathop {\lim }\limits_{\Delta \downarrow 0,\rho \downarrow 0,\sigma \downarrow 0} {{\varkappa }^{\Delta }}(\rho ,\sigma )$ = 0.

Условия A и B дополним следующим условием.

C. Границы $\partial {{X}^{{(0)}}}$, $\partial {{X}^{{(\vartheta )}}}$, $\partial {{\Phi }^{{(k)}}}$, $\partial {{X}_{\alpha }}({{t}_{i}},{{t}_{0}},x)$, $\partial{ \tilde {X}}_{\beta }^{\Gamma }({{t}_{i}},{{t}_{0}},y)$ ($(\alpha ,x)$ ∈ $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$, $(\beta ,y)$ ∈ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$, ${{\tau }_{k}} \in \mathcal{T}$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $) ограничены сверху по длине некоторым $l{\kern 1pt} * \in (0,\infty )$.

Условие С выполнимо для многих задач о наведении интегральных воронок, поскольку длины границ $\partial {{X}^{{(0)}}}$, $\partial {{X}^{{(\vartheta )}}}$, $\partial {{\Phi }^{{(k)}}}$ (${{\tau }_{k}} \in \mathcal{T}$) ограничены, а длина границ $\partial {{X}_{\alpha }}({{t}_{i}},{{t}_{0}},x)$ и $\partial{ \tilde {X}}_{\beta }^{\Gamma }({{t}_{i}},{{t}_{0}},y)$, ${{t}_{i}} \in \Gamma $ не возрастает скачкообразно с возрастанием моментов ${{t}_{i}}$. Так, например, множество${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},x)$, $\alpha \in \mathcal{L}$, ${{x}_{0}} \in {{X}^{{(0)}}}$ непрерывно зависит от $t$ на $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ (см. разд. 2) и во многих задачах управления вместе с ним непрерывно зависит от $t$ на $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ множество $\partial {{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},x)$. В этих задачах непрерывно зависит от $t$ и длина границы $\partial {{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},x)$.

Полагаем

${{U}_{{{\alpha }}}}({{{{\tau }}}_{k}}) = \operatorname{cl} \left( {{{X}_{{{\alpha }}}}{{{({{{{\tau }}}_{k}},{{t}_{0}},x)}}_{{{{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})}}}\backslash {{X}_{{{\alpha }}}}({{{{\tau }}}_{k}},{{t}_{0}},x)} \right)$ – ${{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$-слой вокруг множества ${{X}_{\alpha }}({{\tau }_{k}},{{t}_{0}},x)$;

$\tilde {U}_{{{\beta }}}^{{{\Gamma }}}({{{{\tau }}}_{k}}) = \operatorname{cl} (\tilde {X}_{{{\beta }}}^{{{\Gamma }}}{{({{{{\tau }}}_{k}},{{t}_{0}},y)}_{{{{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})}}}{{\backslash }}\tilde {X}_{{{\beta }}}^{{{\Gamma }}}({{{{\tau }}}_{k}},{{t}_{0}},y))$ – ${{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$-слой вокруг множества ${{X}_{\alpha }}({{\tau }_{k}},{{t}_{0}},x)$.

Из оценки (3.9) следуют включения

Из включений (3.10) получаем

Из (3.11) вытекают неравенства для площадей

Из неравенств (3.12) следует оценка

Сделаем краткое замечание относительно слоев, окружающих компактные множества в ${{\mathbb{R}}^{2}}$; к таким слоям принадлежат множества ${{U}_{\alpha }}({{\tau }_{k}})$ и $\tilde {U}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{k}})$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$.

Известно (см., например, [20]), что если $X \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$ – выпуклое множество, то площадь $s({{U}_{{{\varepsilon }}}})$ ${{\varepsilon }}$-слоя ${{U}_{{{\varepsilon }}}} = \operatorname{cl} ({{X}_{{{\varepsilon }}}}{{\backslash }}X)$, окружающего множество $X$ и длина $l(\partial X)$ границы $\partial X$ множества $X$ связаны равенством

Если же множество $X \in \operatorname{comp} ({{\mathbb{R}}^{2}})$ невыпукло, то площадь $s({{U}_{{{\varepsilon }}}})$ может быть меньше, чем $l(\partial X)\varepsilon + \pi {{\varepsilon }^{2}}$. В этом случае справедливо неравенство

которым мы воспользуемся при оценке площадей ${{U}_{\alpha }}({{\tau }_{k}})$, $\tilde {U}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{k}})$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$.

А именно, принимая во внимание определение множеств ${{U}_{\alpha }}({{\tau }_{k}})$, $\tilde {U}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{k}})$, ${{{{\tau }}}_{k}} \in \mathcal{T}$ и учитывая (3.14), получаем

Из (3.13), (3.15) следует

Из (3.16) следует оценка

Из (3.17) получаем оценку

которую запишем в виде

По аналогичной схеме выводится оценка

Из оценок (3.18) и (3.19) получаем

где введено обозначение

Опираясь на оценку (3.20), покажем, что при малых $\Delta $, ${{\rho }}$ и ${{\sigma }}$ решения задач 2 и 3 близки, и оценим эту близость.

Действительно, согласно (3.20), для любой пары $(\beta ,y) \in {{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}}$ × ${{X}^{{(\sigma )}}}$ ⊂ $\mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ выполняется неравенство

поскольку пара $({{\beta }},y) \in \mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ является ближайшей парой в ${{\mathcal{L}}^{{\,({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$ к самой себе и, стало быть, удовлетворяет неравенствам $\left\| {\beta - \beta } \right\| \leqslant \rho $, $\left\| {y - y} \right\| \leqslant {{\sigma }}$.

Отсюда для любой пары $({{\beta }},y) \in {{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$ верно неравенство

из которого следует

С другой стороны, согласно (3.20), справедливо неравенство

для любых $(\alpha ,x) \in \mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ и $(\beta ,y) \in {{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$, $\left\| {\alpha - \beta } \right\| \leqslant \rho $, $\left\| {x - y} \right\| \leqslant {{\sigma }}$.

Отсюда следует, что для любой пары $(\alpha ,x) \in \mathcal{L} \times {{X}^{{(0)}}}$ справедливо неравенство

из которого, в свою очередь, следует

Из неравенств (3.21), (3.22) следует

т.е. имеет место оценка

Допустим, пара $({{\beta *}},y*) \in {{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$ – оптимальная в задаче 3, т.е. ${{\tilde {J}}_{\Gamma }}(\beta *,y*)$ = = $\mathop {\max }\limits_{(\beta ,y) \in {{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}} {{\tilde {J}}_{\Gamma }}(\beta ,y)$.

Тогда справедлива оценка

Кроме того, как показано выше, пара $({{\beta *}},y*)$, как и любая пара $(\beta ,y)$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{(\rho )}}} \times {{X}^{{(\sigma )}}}$ удовлетворяет неравенству

Из (3.24) и (3.25) получаем

Неравенство (3.26) устанавливает, что любая оптимальная пара $({{\beta *}},y*)$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$ в задаче 3 является $2{{{{\zeta }}}^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$-оптимальной в задаче 2.

Принимая во внимание квадратичную зависимость функции ${{{{\zeta }}}^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$ от функции ${{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$ и учитывая равенство $\mathop {\lim }\limits_{\Delta \downarrow 0,{{\rho }} \downarrow 0,{{\sigma }} \downarrow 0} {{\varkappa }^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$ = 0, получаем $\mathop {\lim }\limits_{\Delta \downarrow 0,{{\rho }} \downarrow 0,{{\sigma }} \downarrow 0} {{{{\zeta }}}^{\Delta }}({{\rho }},{{\sigma }})$ = 0.

Отсюда следует, что для наперед заданного ${{\varepsilon }} > 0$ можно выбрать $\Delta = \Delta (\Gamma )$, ${{\rho }}$ и ${{\sigma }}$ из $(0,\infty )$ так, чтобы выполнялось неравенство

По ${{\rho }}$ и ${{\sigma }}$, удовлетворяющим (3.27), находим пару $({{\beta *}},y*)$ ∈ ${{\mathcal{L}}^{{({{\rho }})}}} \times {{X}^{{({{\sigma }})}}}$ – оптимальную в задаче 3.

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2021-1383).