Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 2, стр. 153-168

1. Введение. В [1–3] были обнаружены достаточно неожиданные динамические свойства твердого тела в форме правильного тетраэдра и других платоновых тел, совершающих движение в центральном ньютоновском поле притяжения.

Исследование “чувствительности” динамических свойств платоновых тел восходит к публикации [4], в которой предложен оригинальный подход, опирающийся на эффективное использование симметрий в распределении масс при изучении стационарных движений в задачах динамики твердого тела (см. также [5–10]). Другое направление исследований динамики тетраэдральных тел, обусловленное потребностями механики космического полета, связано с предположением о наличии в них роторов [11–13].

2. Постановка задачи и основные обозначения. Рассмотрим движение твердого тела $\mathcal{T}$ вокруг неподвижной точки $O$ в поле сил ньютоновского притяжения с центром в точке $N$. Пусть $\gamma = {{({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})}^{T}}$ – единичный вектор, направленный от $N$ к $O$, ${\mathbf{I}} = {\text{diag}}\left( {{{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}}} \right)$ – тензор инерции тела относительно точки $O$, ${\mathbf{\omega }} = {{({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}})}^{T}}$ – вектор угловой скорости тела. Здесь и далее все векторы и тензорные величины задаются в подвижной системе отсчета $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела, задаваемых собственными векторами тензора инерции ${\mathbf{I}}$.

Если ${{U}_{N}} = {{U}_{N}}\left( {\mathbf{\gamma }} \right)$ – потенциал силового поля, то описывающие движение уравнения Эйлера–Пуассона можно записать в виде

Помимо интеграла энергии ${{\mathcal{J}}_{0}} = \frac{1}{2}\left( {{\mathbf{I\omega }},{\mathbf{\omega }}} \right) + {{U}_{N}}\left( {\mathbf{\gamma }} \right) = h$ и интеграла площадей ${{\mathcal{J}}_{1}} = \left( {{\mathbf{I\omega }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$ = ${{p}_{\psi }}$, уравнения (2.1) допускают геометрический интеграл

задающий в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}\left( {\mathbf{\gamma }} \right)$ т.н. сферу Пуассона $\mathcal{S}$.

Как известно (см., например, [14]), система (2.1) может обладать перманентными вращениями вокруг оси $NO$ с постоянной по величине угловой скоростью ω. Положение оси перманентного вращения в теле согласно (2.1) задаются уравнениями

Замечание. Согласно теории Рауса ([15, 16], см. также [17]) эти вращения могут быть найдены как критические точки приведенного (amended) потенциала

рассмотренного как функция на сфере (2.2). Здесь $I\left( {\mathbf{\gamma }} \right) = \left( {{\mathbf{I\gamma }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$ – момент инерции тела относительно оси вращения. При этом постоянная интеграла площадей ${{p}_{\psi }}$ и величина угловой скорости оказываются связанными соотношением ${{p}_{\psi }} = I\left( {\mathbf{\gamma }} \right)\omega $.

Хорошо известно, что при описании движения твердого тела в центральном поле ньютоновского притяжения, как правило, достаточно воспользоваться разложением до слагаемых первого или второго порядка малости по параметру, характеризующему отношение размеров тела к его расстоянию до притягивающего центра. Однако, в случае, когда тензор инерции тела близок к шаровому, такие приближения, вообще говоря, оказываются недостаточными. В дальнейшем в качестве примера рассмотрим движение твердого тела $\mathcal{T}$ в виде равногранного тетраэдра с равными массами в вершинах.

3. Равногранный тетраэдр. Согласно [18], тетраэдр называется равногранным, если все грани – равные между собой треугольники. Как известно, у равногранного тетраэдра бимедианы попарно перпендикулярны и являются общими серединными перпендикулярами соответствующих скрещивающихся ребер. Пусть $\mathcal{T}$ – тело в форме равногранного тетраэдра с равными массами $m$ в вершинах. Будем считать, что оно совершает вращение вокруг неподвижной точки $O$, совпадающей с точкой пересечения бимедиан. Зададим жестко связанную с тетраэдром правую систему отсчета $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ с началом в точке $O$ и осями, направленными вдоль бимедиан. Если длины бимедиан равны $2r{{a}_{1}}$, $2r{{a}_{2}}$, $2r{{a}_{3}}$ соответственно, то вершины $A$, $B$, $C$ и $D$ тетраэдра $\mathcal{T}$ в этой системе отсчета задаются радиус-векторами

причем длины этих векторов равны и имеет место связь

Оси $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ являются главными центральными осями инерции тела $\mathcal{T}$, в них главные центральные моменты $\mathcal{T}$ записываются как

4. Приближенное представление потенциала поля притяжения. Пусть $N$ – притягивающий центр, в котором сосредоточена масса $M$, $\left| {{\mathbf{NO}}} \right| = d$. Пусть единицы размерности выбраны так, что гравитационная постоянная, масса $M$, а также величина ${{r}_{ \star }}$ = = $\sqrt {{{d}^{2}} + {{r}^{2}}} $ равны единице (ср. [19]). Тогда потенциал притяжения имеет вид

где $\left( {A,\,B,\,C,\,D} \right)$ – циклическая перестановка индексов. Его разложение с точностью до членов четвертого порядка по параметру ${{\varepsilon }}$ принимает вид

Постоянная ${{U}_{0}}$ несущественная, она не играет роли в дальнейшем рассмотрении.

Замечание. Параметр разложения $\varepsilon $, предложенный ранее [19], удобно применять и в настоящем исследовании, поскольку он позволяет одновременно описывать случаи, когда тетраэдр располагается очень далеко от притягивающего центра $N$, и когда, наоборот, центр масс тетраэдра очень близок к притягивающему центру $N$.

5. Существование равновесий. Прежде всего, рассмотрим вопрос о существовании и устойчивости равновесий $\left( {{{p}_{\psi }} = 0} \right)$. Если ограничиться приближением потенциала (3.2) с точностью до членов третьего порядка с потенциалом U ' = $ - \frac{1}{2}((a_{1}^{2}\gamma _{1}^{2} + a_{2}^{2}\gamma _{2}^{2} + a_{3}^{2}\gamma _{3}^{2})$ – – $5\varepsilon {{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{2}}{{\gamma }_{3}})$, то уравнения равновесий после преобразований примут вид

где и имеют место ограничения вида

Соотношение (3.1) в параметрах ${{b}_{i}}$, $i = 1,2,3$, записывается как

Уравнения (5.1) вместе с уравнением (2.2), выражающим единичность вектора ${\mathbf{\gamma }}$, станут основным предметом дальнейшего рассмотрения.

Эти уравнения всегда обладают решениями

Этим шести решениям отвечают перманентные вращения, на которых тетраэдр “смотрит” на притягивающий центр серединой одного из своих ребер.

Пусть все ${{b}_{k}}$ различны (случай, когда две из трех величин ${{b}_{k}}$ равны, рассмотрен ранее [20]). Если на искомом решении ${{\gamma }_{1}} = 0$, тогда в силу первого уравнения (5.1) либо ${{\gamma }_{2}} = 0$, либо ${{\gamma }_{3}} = 0$, т.е. имеют место, либо решения ${{\mathcal{I}}_{3}}$, либо решения ${{\mathcal{I}}_{2}}$.

Далее, в предположении, что все ${{\gamma }_{k}} \ne 0$, систему (5.1) можно представить в виде

или в виде

На соотношения (5.6) можно смотреть как на уравнения относительно ${{b}_{k}}$. В этом случае говорят об обратной задаче. С другой стороны, на эти же соотношения можно смотреть как на уравнения относительно ${{\gamma }_{k}}$. В этом случае говорят о прямой задаче.

5.1. Решение обратной задачи. Если рассмотреть соотношения (5.6) как уравнения относительно b_k, то их решение запишется как

или в векторном виде, причем значение вещественного параметра $\nu '$ должно быть таким, чтобы правые части всех трех соотношений (5.7) одновременно были неотрицательны. Иными словами, параметр $\nu '$ должен отвечать той части прямой которая расположена в первом октанте пространства $\left( {{{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}} \right)$ или на его границах. Это соотношение определяет однопараметрическое семейство рассматриваемых тел, для которых существует данное, наперед заданное равновесие.

5.2. Решение прямой задачи. Если рассмотреть соотношения (4.6) как уравнения относительно ${{\gamma }_{k}}$, то их удобно представить как

Прежде всего заметим, что если, например, $\nu = - {{b}_{1}}$, то правая часть первого из уравнений (5.8) обращается в нуль, и должны обратиться в нуль левые части всех трех уравнений. В рамках сделанного предположения первое уравнение выполнено тождественно, а оставшиеся два уравнения примут вид

Но тогда, принимая во внимание предположение о том, что все ${{b}_{k}}$ различны, из соотношения (5.9) также имеем ${{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0$, и в силу геометрического интеграла (2.2) имеет место единственное решение вида ${{\mathcal{I}}_{1}}$.

В дальнейшем будем считать, что $\nu \notin \left\{ { - {{b}_{1}}, - {{b}_{2}}, - {{b}_{3}}} \right\}$. Перемножая левые и правые части равенств (5.8), имеем

откуда находим

Подстановка найденного произведения в (5.8) позволяет представить ответ задачи в виде:

причем, знаки ${{\gamma }_{k}}$, $k = 1,2,3$ при извлечении квадратных корней должны удовлетворять области определения системы (5.8), то есть знаки выражений $\left( {{{b}_{1}} + \nu } \right)$, $\left( {{{b}_{2}} + \nu } \right)$, $\left( {{{b}_{3}} + \nu } \right)$ и ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{2}}{{\gamma }_{3}}$ должны быть одинаковыми.

В силу (2.2) с учетом сделанных предположений относительно параметра $\nu $ он должен удовлетворять уравнению

эквивалентному квадратному относительно $\nu $ уравнению представимому в виде

Дискриминант $D$ многочлена в (5.12) всегда строго положителен:

Таким образом, уравнение (5.11) имеет два вещественных корня

Подставляя эти значения в (5.10), в итоге имеем

Эти равновесия в дальнейшем обозначаются $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ \pm }}$.

Замечание. Общее решение прямой задачи о перманентных вращениях также имеет вид (5.13) с той лишь разницей, что в нем

В этом случае наличие дополнительного параметра делает параметрическое исследование решений (5.13) гораздо более сложным. Такое исследование, равно как и исследование устойчивости перманентных вращений, в работе не осуществляется.

Для определения множества значений параметров, при которых решения (5.13) существуют, выполним переход к новым параметрам

Замечание. Переход от параметров ${{b}_{i}}$, $i = 1,2,3$, к параметрам ${{\delta }_{i}}$, $i = 1,2,3$, инспирирован следующими обстоятельствами. Поверхность, задаваемая соотношением (4.4) в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}\left( {{{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}} \right)$ с ограничением (5.3), обладает осью симметрии с направляющим вектором ${{(1,1,1)}^{T}}$. В параметрах ${{\delta }_{i}}$, $i = 1,2,3$ ось симметрии рассматриваемой поверхности будет иметь направляющий вектор ${{(0,0,1)}^{T}}$, а ограничение (5.3) примет простейший вид ${{\delta }_{1}} > 0$. Кроме того, множества значений параметров, при которых решения (5.13) существуют, будет описываться лишь в терминах ${{\delta }_{2}}$ и ${{\delta }_{3}}$, что позволяет иллюстрировать эти множества на плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$.

Во введенных параметрах $b = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\;\sqrt {\delta _{2}^{2} + \delta _{3}^{2} + 2} $, и соотношение (5.13) принимает вид

Для решения $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ - }}$ правые части соотношений (5.16) неотрицательны, если выполнены неравенства

Параметр ${{\delta }_{1}}$ не входит в эти условия, в то время как на плоскости параметров $\Delta = {{R}^{2}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ условия (5.17) выполняются в области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$, изображенной слева на рис. 1.

Граница области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$ представима в виде $\partial {{\mathcal{N}}_{ - }}$ = $\partial {{\mathcal{N}}^{1}} \cup \partial{ \mathcal{N}}_{ - }^{2} \cup \partial{ \mathcal{N}}_{ - }^{3}$. В этой области произведение ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{2}}{{\gamma }_{3}}$ положительно и тройке $\left( {\gamma _{1}^{2},\gamma _{2}^{2},\gamma _{3}^{2}} \right)$ отвечают четыре решения $\left( {{{\gamma }_{1}}, - {{\gamma }_{2}}, - {{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( { - {{\gamma }_{1}}, - {{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( { - {{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}, - {{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( {{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$.

Аналогично для решения $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ + }}$ правые части соотношений (5.16) неотрицательны, если параметры ${{\delta }_{k}}$, $k = 1,2,3$ удовлетворяют неравенствам

На том же рис. 1 область ${{\mathcal{N}}_{ + }}$ изображена справа. Граница области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$ представима в виде $\partial {{\mathcal{N}}_{ + }}$ = $\partial {{\mathcal{N}}^{1}} \cup \partial{ \mathcal{N}}_{ + }^{2} \cup \partial{ \mathcal{N}}_{ + }^{3}$. В этой области ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{2}}{{\gamma }_{3}} < 0$ и тройке $\left( {\gamma _{1}^{2},\gamma _{2}^{2},\gamma _{3}^{2}} \right)$ отвечают четыре решения $\left( { - {{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( {{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}, - {{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( {{{\gamma }_{1}}, - {{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$, $\left( { - {{\gamma }_{1}}, - {{\gamma }_{2}}, - {{\gamma }_{3}}} \right)$.

Замечание. Отметим, что границы области (5.17) переходят друг в друга при повороте на 120° около точки (0, 0). Это же верно и для границ области (5.18). Сами же области (5.17) и (5.18) переходят друг в друга при отражении координат относительно оси ${{\delta }_{2}} = 0$.

6. Устойчивость равновесий. Для исследования достаточных условий устойчивости равновесий, следуя методу Рауса ([15, 16], см. также [17]), выпишем функцию

и исследуем знакоопределенность ограничения ее второй вариации на линейное многообразие

Неопределенный множитель Лагранжа ${{\lambda }}$ в общем случае имеет вид

Вторые производные

имеют вид

6.1. Тривиальные решения. Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесий ${{\mathcal{I}}_{{\mathbf{k}}}}$ из (5.5).

На равновесии ${{\mathcal{I}}_{1}}$ неопределенный множитель $\lambda = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {{{\delta }_{1}} + \sqrt 2 {{\delta }_{2}}} \right)$, а линейное многообразие (6.3) имеет вид $\delta {{\gamma }_{1}} = 0$. Ограничение квадратичной формы на это линейное многообразие записывается как

Если ${{\delta }_{2}} > 0$ и $3\delta _{2}^{2} - \delta _{3}^{2} - 2 > 0$, то квадратичная форма (5.4) положительно определена, степень неустойчивости $\chi = 0$ и равновесие ${{\mathcal{I}}_{1}}$ устойчиво. Если $3\delta _{2}^{2} - \delta _{3}^{2}$ – 2 < 0, то квадратичная форма (6.4) знакопеременна, $\chi = 1$, и равновесие неустойчиво. Если ${{\delta }_{2}} < 0$ и $3\delta _{2}^{2} - \delta _{3}^{2}$ – 2 > 0, то квадратичная форма (6.4) отрицательно определена, степень неустойчивости $\chi = 2$ и равновесие ${{\mathcal{I}}_{1}}$ неустойчиво.

На равновесии ${{\mathcal{I}}_{2}}$ неопределенный множитель $\lambda = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$ $(\sqrt 2 {{\delta }_{1}} - {{\delta }_{2}}$ + $\sqrt 3 {{\delta }_{3}})$, а линейное многообразие (6.3) имеет вид $\delta {{\gamma }_{2}} = 0$. Ограничение квадратичной формы на это линейное многообразие записывается как

Если $ - {{\delta }_{2}} + \sqrt 3 {{\delta }_{3}} > 0$ и $ - \sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2} > 1$, то квадратичная форма (6.5) положительно определена, степень неустойчивости $\chi = 0$ и равновесие ${{\mathcal{I}}_{2}}$ устойчиво. Если $ - \sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2}$ < 1, то квадратичная форма (5.5) знакопеременна, $\chi = 1$, и равновесие неустойчиво. Если $ - {{\delta }_{2}} + \sqrt 3 {{\delta }_{3}} < 0$ и $ - \sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2} > 1$, то квадратичная форма (6.5) отрицательно определена, степень неустойчивости $\chi = 2$ и равновесие ${{\mathcal{I}}_{2}}$ неустойчиво.

На равновесии ${{\mathcal{I}}_{3}}$ неопределенный множитель $\lambda = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 3 {{\delta }_{2}} + {{\delta }_{3}}} \right)$, а линейное многообразие (6.3) имеет вид $\delta {{\gamma }_{3}} = 0$. Ограничение квадратичной формы на это линейное многообразие записывается как

Если ${{\delta }_{2}} + \sqrt 3 {{\delta }_{3}} < 0$ и $\sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2} > 1$, то квадратичная форма (6.6) положительно определена, степень неустойчивости $\chi = 0$ и равновесие ${{\mathcal{I}}_{3}}$ устойчиво. Если $\sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2}$ < 1, то квадратичная форма (6.6) знакопеременна, χ = 1, и равновесие неустойчиво. Если ${{\delta }_{2}} + \sqrt 3 {{\delta }_{3}} > 0$ и $\sqrt 3 {{\delta }_{2}}{{\delta }_{3}} + \delta _{3}^{2} > 1$, то квадратичная форма (6.6) отрицательно определена, степень неустойчивости χ = 2 и равновесие ${{\mathcal{I}}_{3}}$ неустойчиво.

Замечание. Имеет место следующая связь между устойчивостью решений и порядком в неравенстве на моменты инерции тела. Если решение устойчиво, то момент инерции, соответствующий оси $O{{\gamma }_{i}}$ является наименьшим – или в терминах бимедиан – бимедиана ${{a}_{i}}$ — наибольшая. Если решение неустойчиво со степенью неустойчивости $\chi = 2$, то соответствующий момент инерции наибольший, и соответствующая бимедиана наименьшая. Обратное неверно, см. рис. 2, где плоскость ${{\mathbb{R}}^{2}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ с областями различных свойств устойчивости решения ${{\mathcal{I}}_{1}}$ приведена слева; для решения ${{\mathcal{I}}_{2}}$ аналогичная плоскость приведена по центру; для решения ${{\mathcal{I}}_{3}}$ – справа. Белым цветом изображены области, соответствующие устойчивому решению, светло-серым – неустойчивому решению со степенью неустойчивости $\chi = 1$ и серым – неустойчивому решению со степенью неустойчивости $\chi = 2$. Пунктирные линии разделяют области с различным порядком моментов инерции ${{I}_{k}}$, k = 1, 2, 3.

Замечание. Отметим, что решения $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ - }}$ и $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ + }}$ существуют одновременно лишь для тех значений параметров, при которых все три решения ${{\mathcal{I}}_{k}}$, $k = 1,2,3$, неустойчивы со степенью неустойчивости $\chi = 1$.

6.2. Общий случай. В общем случае изучения достаточных условий устойчивости во избежание громоздкости воспользуемся восходящим к Вейерштрассу подходом, опирающимся на рассмотрение окаймленной матрицы (ср. [21–26])

Коэффициенты Пуанкаре ${{\sigma }_{1}}$ и ${{\sigma }_{2}}$, определяющие знакоопределенность ограничения второй вариации (6.2) функции Рауса (6.1) на линейное многообразие (6.3), находятся из уравнения

где

Выражения для ${{p}_{1}} = {{p}_{1}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ и ${{p}_{0}} = {{p}_{0}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ весьма громоздки и здесь не приводятся.

Оба корня многочлена (6.7) вещественны. При этом, если ${{p}_{0}} > 0$, ${{p}_{1}} < 0$, то эти корни положительны, степень неустойчивости равна нулю, и равновесие устойчиво по Ляпунову. Если ${{p}_{0}} < 0$, то эти корни имеют разные знаки, степень неустойчивости равна единице, и равновесие неустойчиво. Наконец, если ${{p}_{0}} > 0$, ${{p}_{1}} > 0$, то эти корни отрицательны, степень неустойчивости равна двум, и равновесие неустойчиво.

Для решения $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ - }}$ коэффициенты многочлена ${{P}_{2}}\left( \sigma \right)$ имеют вид

Покажем, что неравенство ${{p}_{0}} > 0$ выполнено в области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$. Выражение в скобках, определяющее знак ${{p}_{0}}$, положительно тогда и только тогда, когда выполнена совокупность трех систем:

На плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ системы 1, 2, 3 выделяют области, изображенные на рис. 3 слева. Решениям первой системы отвечают светло-серые области, второй системы – серые и третьей системы – темно-серые области. Таким образом, совокупность систем выполнена для любых $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ из внутренних точек области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$. На границе области коэффициент ${{p}_{0}}$ обращается в нуль.

Для определения знака коэффициента ${{p}_{1}}$ заметим, что

Из этого представления понятно, что ${{p}_{1}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right) > 0$ для любых $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ из области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$.

Итак, внутри области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$ оба коэффициента ${{p}_{0}}$ и ${{p}_{1}}$ положительны, следовательно решение $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ - }}$ при этих значениях параметров $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ неустойчиво со степенью неустойчивости $\chi = 2$. Для граничных точек области ${{\mathcal{N}}_{ - }}$ требуется дополнительное исследование устойчивости.

Для решения $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ + }}$ коэффициенты многочлена ${{P}_{2}}\left( \sigma \right)$ имеют вид

Покажем, что неравенство ${{p}_{0}} > 0$ выполнено в области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$. Выражение в скобках, определяющее знак ${{p}_{0}}$, положительно, тогда и только тогда когда выполнена совокупность трех систем:

На плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ системы 1, 2, 3 выделяют области, проиллюстрированные на рис. 3 справа. Решениям первой системы отвечают светло-серые области, второй системы – серые и третьей системы – темно-серые области. Таким образом, совокупность систем выполнена для любых $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ из внутренних точек области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$. На границе области коэффициент ${{p}_{0}}$ обращается в нуль.

Для определения знака коэффициента ${{p}_{1}}$ заметим, что

Из этого представления понятно, что ${{p}_{1}}\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right) < 0$ для любых $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$ из области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$.

Итак, внутри области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$ коэффициент ${{p}_{0}}$ положительный, а ${{p}_{1}}$ – отрицательный, следовательно решение $\mathcal{I}{{\mathcal{I}}_{ + }}$ устойчиво при этих значениях параметров $\left( {{{\delta }_{2}},{{\delta }_{3}}} \right)$, степень неустойчивости $\chi = 0$. Для граничных точек области ${{\mathcal{N}}_{ + }}$ требуется дополнительное исследование устойчивости.

Замечание. Общие методы, касающиеся распределения свойств устойчивости вдоль ветвей стационарного движения, а также устойчивости стационарных движений, отвечающих точкам бифуркации, разработаны в [27, 28].

Замечание. Задача о существовании равновесий и перманентных вращений решается единообразно. Этого нельзя сказать о задаче устойчивости, которая сводится к анализу второй вариации приведенного потенциала (2.4), рассмотренного как функция на сфере (2.2). Исключение составляют перманентные вращения ${{\mathcal{I}}_{k}}$, $k = 1,2,3$, вокруг бимедиан из (6.5). В этом случае согласно теории, развитой в [29], рассуждение из разд. 6.1 остаются справедливыми и для перманентных вращений. При этом коэффициенты ${{b}_{k}}$ в условиях устойчивости определяются соотношениями (5.14).

7. О чувствительности равновесий к степени приближения гравитационного потенциала. К отысканию равновесий можно подходить, опираясь на введение новых переменных (ср. [30, 31]). Так если в качестве таких переменных использовать величины

“обязанные” своим происхождением геометрическому интегралу и первым двум нетривиальным слагаемым в разложении потенциала, то сам потенциал примет вид

Пусть

Тогда уравнения равновесий примут вид

Эти уравнения несовместны при достаточно малых значениях $\varepsilon \ne 0$, так как при выполнении этого условия уравнение (7.3) решения не имеет. Таким образом, равновесия имеют место лишь там, где замена $\left( {{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}}} \right)$ $ \to $ $\left( {{{g}_{1}},{{g}_{2}},{{g}_{3}}} \right)$ вырождена, т.е. в тех точках, для которых якобиан

равен нулю, т.е. выполнено условие.

Нетрудно убедиться, что все найденные выше решения удовлетворяют равенству (7.4), определяющему поверхность в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}\left( \gamma \right)$.

Замечание. При доказательстве данного утверждения явный вид зависимости u₄ = = ${{u}_{4}}\left( {{{g}_{1}},{{g}_{2}},{{g}_{3}}} \right)$ не понадобился.

Выводы. Для твердого тела в форме равногранного тетраэдра, подвешенного в центре масс, выполнен параметрический анализ существования и устойчивости равновесий в центральном ньютоновском поле сил. Таким образом, прояснены вопросы, касающиеся установленных ранее [1, 2] свойств равновесий правильного тетраэдра, для которого равногранный тетраэдр является естественным обобщением, наследующим некоторые из дискретных симметрий. В дальнейшем естественно ставить вопрос о свойствах относительных равновесий равногранных тетраэдров на круговой орбите и о свойствах точек либрации равномерно вращающихся равногранных тетраэдров.

Выполнение аналогичного анализа равновесий для тетраэдров общего вида, вероятно, потребует разработки иных подходов, не опирающихся на использованные в работе свойства симметрии равногранных тетраэдров.