Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 3, стр. 337-340

1. Введение. Согласно школьному учебнику “классическая механика представляет собой теорию движений тел, основанную на группе Галилея” ([1], с. 149). При теоретико-групповой формулировке задач, учитывающих гравитацию, 10-параметрическую группу Галилея приходится расширять до 13-параметрической группы Галилея–Ньютона [2]. Переход от классической механики к релятивистской связан с заменой группы Галилея на ее релятивистский аналог – группу Пуанкаре [3, 4] (“специальная теория относительности – это такая физическая теория, группой симметрии которой является группа Пуанкаре” ([1], с. 149)). При учете гравитации 10-параметрическую группу Пуанкаре приходится расширять до 15-параметрической конформной группы [5, 6]. Конформной группе и теоретико-групповому подходу в физике посвящена обширная литература [7–10]. Далее рассматривается нерелятивистский аналог конформной группы – 15-параметрическая расширенная группа Галилея–Ньютона (упомянутая в [6], см. дополнение к 3-му изданию).

2. Расширенная группа Галилея–Ньютона

2.1. Стандартное (четырехмерное) представление. Для записи генераторов в стандартном четырехмерном представлении ниже используются традиционные переменные $t$, $x$, $y$, $z$. Применяются сокращенные (по сравнению с обычно используемыми в механике [11]) обозначения: ${{\partial }_{t}} = {\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$, ${{\partial }_{x}} = {\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}}$ и так далее.

Нерелятивистский аналог конформной группы определяется следующими генераторами:

1) повороты: ${{\Theta }_{x}} = z{{\partial }_{y}} - y{{\partial }_{z}}$, ${{\Theta }_{y}} = x{{\partial }_{z}} - z{{\partial }_{x}}$, ${{\Theta }_{z}} = y{{\partial }_{x}} - x{{\partial }_{y}}$

2) нерелятивистские бусты: ${{V}_{x}} = t{{\partial }_{x}}$, ${{V}_{y}} = t{{\partial }_{y}}$, ${{V}_{z}} = t{{\partial }_{z}}$

3) пространственные переносы: ${{R}_{x}} = {{\partial }_{x}}$, ${{R}_{y}} = {{\partial }_{y}}$, ${{R}_{z}} = {{\partial }_{z}}$

4) временной перенос: $T = {{\partial }_{t}}$

5) масштабное преобразование: $\Gamma = t{{\partial }_{t}} + x{{\partial }_{x}} + y{{\partial }_{y}} + z{{\partial }_{z}}$

6) нерелятивистское w-преобразование: $W = \frac{1}{2}{{t}^{2}}{{\partial }_{t}} + tx{{\partial }_{x}} + ty{{\partial }_{y}} + tz{{\partial }_{z}}$

7) нерелятивистские g-преобразования: ${{G}_{x}} = \frac{1}{2}{{t}^{2}}{{\partial }_{x}}$, ${{G}_{y}} = \frac{1}{2}{{t}^{2}}{{\partial }_{y}}$, ${{G}_{z}} = \frac{1}{2}{{t}^{2}}{{\partial }_{z}}$

Таблица коммутаторов выписанных генераторов приведена, например, [12].

2.2. Нестандартное (шестимерное) представление. Для записи генераторов в шестимерном представлении помимо использованных в предыдущем пункте четырех переменных $t$, $x$, $y$, $z$ применяются еще $\rho $ и $\tau $.

Рассмотрим следующие генераторы:

1) повороты: ${{\Theta }_{x}} = z{{\partial }_{y}} - y{{\partial }_{z}}$, ${{\Theta }_{y}} = x{{\partial }_{z}} - z{{\partial }_{x}}$, ${{\Theta }_{z}} = y{{\partial }_{x}} - x{{\partial }_{y}}$

2) нерелятивистские бусты: ${{V}_{x}} = t{{\partial }_{x}}$, ${{V}_{y}} = t{{\partial }_{y}}$, ${{V}_{z}} = t{{\partial }_{z}}$

3) пространственные переносы: ${{R}_{x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\rho + \tau ){{\partial }_{x}}$, ${{R}_{y}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\rho + \tau ){{\partial }_{y}}$, ${{R}_{z}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\rho + \tau ){{\partial }_{z}}$

4) временной перенос: $T = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\rho {{\partial }_{t}} + t{{\partial }_{\rho }} + \tau {{\partial }_{t}} - t{{\partial }_{\tau }})$

5) масштабное преобразование: $\Gamma = - \tau {{\partial }_{\rho }} - \rho {{\partial }_{\tau }}$

6) нерелятивистское w-преобразование: $W = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\rho {{\partial }_{t}} + t{{\partial }_{\rho }} - \tau {{\partial }_{t}} + t{{\partial }_{\tau }})$

7) нерелятивистские g-преобразования:

Таблица коммутаторов перечисленных пятнадцати генераторов семи разных типов идентична таблице коммутаторов генераторов из предыдущего пункта.

Замечание. Рассмотренную систему генераторов можно дополнить линейно независимым и коммутирующим со всеми другими генератором $\Phi = t{{\partial }_{t}} + x{{\partial }_{x}} + y{{\partial }_{y}}$ + + $z{{\partial }_{z}} + \rho {{\partial }_{\rho }} + \tau {{\partial }_{\tau }}$ (в традиционной геометрической интерпретации – масштабное преобразование 6-мерного пространства).

3. Обсуждение. Исходным пунктом для построения шестимерного представления расширенной группы Галилея–Ньютона (нерелятивистского аналога конформной группы) послужил известный факт (локального) изоморфизма конформной группы и шестимерной группы вращений ([4], с. 86; [8], с. 190).

Стандартная интерпретация этого факта состоит в следующем. Есть две различные группы: конформная группа 4-мерного пространства (точнее, пространства–времени с тремя пространственными и одним временным измерениями) и группа вращений 6-мерного пространства (пространства–времени с четырьмя пространственными и двумя временными измерениями), причем у них, что нетривиально, совпадают алгебры Ли. В этой интерпретации первично пространство (4-мерное или 6-мерное), а действующая в нем группа вторична.

Автор придерживается другой интерпретации: есть конформная группа (или, как в данной статье, расширенная группа Галилея–Ньютона) и ее можно представить различными математическими способами, с использованием того или иного “пространства представления”. В этой интерпретации первична группа, а пространство, в котором она “действует”, вторично.

Первая интерпретация следует “эрлангенскому” подходу к построению геометрии и физики, который в общем виде начинается с констатации: “Дано многообразие и в нем группа преобразований” ([4], с. 8). Суть второй интерпретации можно выразить радикально: “пространство–время – это метафизический призрак, который должен быть исключен из научного описания природы” ([6], с. 47) или в более мягкой форме: приведенным на той же странице напутствием О. Блюменталя (редактора вышедшего в 1910 году сборника работ Г. Минковского) “И пусть каждый по мере своих сил способствует осуществлению смелой мечты Минковского о том, чтобы в сознании человечества для будущих поколений пространство и время низвелись до роли теней, и живым осталось бы только пространственно-временное преобразование”.