Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 3, стр. 370-380

Стоячие гравитационные волны на поверхности вязкой жидкости

В. А. Калиниченко 1*

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: kalin@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 10.03.2022
После доработки 02.04.2022
Принята к публикации 05.04.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Обобщены теоретические и численные результаты анализа дисперсионного уравнения стоячих волн на поверхности вязкой жидкости, опубликованные Л.Н. Сретенским в 1941 г. Предложен механизм вязкой регуляризации волнового движения, согласно которому наблюдаемые в эксперименте эффекты связаны с наличием области коротковолновой отсечки, где вязкая диссипация становится доминирующим фактором и происходит подавление коротковолновых возмущений, ответственных за разрушение стоячей волны.

Ключевые слова: стоячая волна, вязкая жидкость, дисперсионное уравнение, затухающие колебания, апериодическое затухание

1. Введение. Задача затухания гравитационно-капиллярных волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости впервые сформулирована в работах [1, 2] более столетия назад; классические решения для малой и большой вязкости обобщены в монографии Ламба [3].

В 1941 г. Л.Н. Сретенский опубликовал результаты исследования стоячих волн на поверхности тяжелой вязкой жидкости [4]. Приведенное в [4] решение дисперсионного уравнения справедливо для жидкости произвольной вязкости и имело целый ряд весьма интересных следствий. Как подчеркивается в [5], “значение этой работы не только в получении ряда интересных результатов физического характера. Еще в XIX веке Г. Ламб обратил внимание на возможность представить поле скоростей в виде суперпозиции потенциального и чисто соленоидального полей. В работе Сретенского эта точка зрения проводится последовательно, показана эффективность такого представления и дано его обоснование”.

Разделение поля скоростей жидкости на потенциальную и вихревую части использовалось в [6, 7] при решении задач о волнах в вязкой жидкости, ограниченном рассмотрением предельных по вязкости случаев.

Следует особо отметить работы [8, 9], в которых при рассмотрении гравитационно-капиллярных волн учитывалась конечная глубина вязкой жидкости. Это приводит к двухпараметрическому дисперсионному уравнению.

В [10] для описания пространственных стоячих волн в вязкой жидкости бесконечной глубины используются переменные Лагранжа, и приведены асимптотики дисперсионного уравнения.

Далее как обобщение результатов [4] рассматриваются дисперсионные свойства линейных гравитационных стоячих волн на поверхности вязкой жидкости бесконечной глубины; приводятся данные эксперимента [11, 12] качественно подтверждающие основные положения [4].

2. Дисперсионное уравнение. Ставится задача исследования малых волновых движений тяжелой вязкой жидкости бесконечной глубины при отсутствии каких-либо напряжений на свободной поверхности. Двумерные колебания жидкости описываются в декартовой системе координат ($x,y$) с началом на невозмущенной поверхности; ось $y$ – вертикальна.

Линеаризованные уравнения Навье–Стокса и уравнение неразрывности имеют вид

(2.1)
$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \nu \Delta u,\quad \frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \nu \Delta {v} - g,\quad \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} = 0$

Здесь $\rho ,\nu ,g$ – плотность, кинематическая вязкость и ускорение силы тяжести.

Если движение вязкой жидкости представить в виде

(2.2)
$u = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}},\quad v = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}},\quad \frac{p}{\rho } = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} - gy,$
то из (2.1) следует, что функция $\varphi \,$ удовлетворяет уравнению Лапласа, и $\psi \,$ – уравнению теплопроводности

(2.3)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{y}^{2}}}} = 0$
(2.4)
$\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}} - \nu \Delta \psi = 0$

В этом случае потенциальная часть $\varphi \,$ движения жидкости полностью отделена от вихревой его части $\psi \,$.

Пусть малые смещения свободной поверхности задаются функцией

$y = \eta (x,t)$

Тогда задача (2.3), (2.4) замыкается граничными условиями на свободной поверхности $y = 0$: кинематическим условием и условиями равенства нулю тангенциального и нормального напряжений

${v} = \frac{{\partial \eta }}{{\partial t}},\quad \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0,\quad - \frac{p}{\rho } + 2\nu \frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} = 0$

Учитывая соотношения (2.2), получаем следующие граничные условия задачи (2.3), (2.4)

(2.5)
${{\left. {\frac{1}{g}\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left\{ {\psi + \frac{{2\nu }}{g}\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)} \right\}} \right|}_{{y = 0}}}$
(2.6)
${{\left. {\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}} = 2\nu \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)} \right|}_{{y = 0}}}$

Для свободной поверхности справедливо следующее выражение

(2.7)
${{\left. {\eta = \left\{ {\frac{1}{g}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + \frac{{2\nu }}{g}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}}} \right)} \right\}} \right|}_{{y = 0}}}$

Таким образом, задача об определении стоячих волн на поверхности безграничной вязкой жидкости приводится к решению граничной задачи (2.3–2.6). Ищем решения в следующем виде

(2.8)
$\varphi = A{{e}^{{ky}}}\cos kx,\quad \psi = B{{e}^{{my}}}\sin kx,$
где $k,m$ – некоторые константы, $A,B$ – неизвестные функции времени.

Поскольку $\psi $ удовлетворяет уравнению теплопроводности (2.4), то

$\frac{{dB}}{{dt}} = \nu ({{m}^{2}} - {{k}^{2}})B$

Интегрируя последнее уравнение, получим

(2.9)
$B = {{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t}}},\quad \psi = {{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t + my}}}\sin kx,$
где $\omega {\kern 1pt} * = \nu ({{k}^{2}} - {{m}^{2}}) = b + i\omega $ – комплексная частота колебаний жидкости; ${{B}_{0}}$ – постоянная интегрирования.

Функцию $A(t)$ находим при подстановке $\varphi ,\psi $ в граничное условие (2.6)

$\begin{gathered} - \omega {\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t}}}\sin kx = 2\nu [ - {{k}^{2}}{{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t}}}\sin kx - {{k}^{2}}A\sin kx] \\ A = - \frac{{\omega {\kern 1pt} * - \;2\nu {{k}^{2}}}}{{2\nu {{k}^{2}}}}{{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t}}} \\ \end{gathered} $

Итак

(2.10)
$\varphi = - \frac{{\omega {\kern 1pt} * - \;2\nu {{k}^{2}}}}{{2\nu {{k}^{2}}}}{{B}_{0}}{{e}^{{ - \omega *t + ky}}}\cos kx$

Подставляя (2.9), (2.10) в граничное условие (2.5), получим

(2.11)
${{(\omega {\kern 1pt} * - \;2\nu {{k}^{2}})}^{2}} + gk = 4{{\nu }^{2}}m{{k}^{3}}$

Если ввести новые переменные $(\vartheta ,\zeta )$ по формулам

(2.12)
$\vartheta = \frac{{\nu {{k}^{2}}}}{{{{\omega }_{0}}}},\quad \zeta = - \frac{{\omega {\kern 1pt} * - \;2\nu {{k}^{2}}}}{{{{\omega }_{0}}}};\quad {{\omega }_{0}} = {{(gk)}^{{1/2}}}$
то (2.10) принимает вид

(2.13)
${{[1 + {{\zeta }^{2}}]}^{2}} = 16{{\vartheta }^{3}}(\zeta - \vartheta )$

Уравнение (2.13) связывает переменные $(\vartheta ,\zeta )$, устанавливая зависимость между длиной стоячей волны и ее частотой. Если известна пара значений $(\vartheta ,\zeta )$, то длина $\lambda $ стоячей волны и величина $\omega {\kern 1pt} *$, характеризующая временные изменения волнового процесса, находятся следующим образом

(2.14)
$\lambda = 2\pi {{\left( {\frac{{{{\nu }^{2}}}}{g}} \right)}^{{1/3}}}{{\vartheta }^{{ - 2/3}}},\quad \omega {\kern 1pt} * = {{\left( {\frac{{{{g}^{2}}}}{\nu }} \right)}^{{1/3}}}(2\vartheta - \zeta ){{\theta }^{{1/3}}}$,

Отметим, что рассматриваемая задача характеризуется двумя пространственными масштабами – длиной стоячей волны $\lambda = 2\pi {\text{/}}k$ и стоксовым вязким масштабом ${{\delta }_{\nu }} = \sqrt {\nu {\text{/}}{{\omega }_{0}}} $. Именно соотношением этих масштабов $\vartheta = 4\pi {}^{2}{{({{\delta }_{\nu }}{\text{/}}\lambda )}^{2}}$ определяются различные режимы волнового движения вязкой жидкости.

3. Решение дисперсионного уравнения. В работе [4] дисперсионное уравнение (2.13) решалось численно методом Греффа (квадрирование корней многочлена). Для диапазона значений 0.06 ≤ $\vartheta $ ≤ 10 приведены [4] таблицы, содержащие значения комплексных корней уравнения (2.13) и соответствующие оценки для частоты и коэффициента затухания стоячих волн. В настоящей работе численное решение (2.13) проводилось с использованием стандартных процедур пакета Mathematica. Отметим высокую точность проведенных [4] расчетов – сравнение вычисленных величин показало совпадение с точностью до 10–3.

Для каждого конкретного значения $\theta $ можно определить корни ${{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}},{{\zeta }_{3}}$, ${{\zeta }_{4}}$ уравнения (2.13). Из этих четырех корней два корня отбрасывались, поскольку соответствующая им величина $m$

$m = \frac{1}{4}{{\left( {\frac{g}{{{{\nu }^{2}}}}} \right)}^{{1/3}}}\frac{{1 + {{\zeta }^{2}}}}{{{{\vartheta }^{{4/3}}}}}$
имеет отрицательную действительную часть, что противоречит экспоненциальному затуханию завихренности с глубиной.

Имеющие физический смысл корни уравнения (2.13) при 0.0001 ≤ $\vartheta $ ≤ 1.7 показаны на рис. 1. Зависимости $\zeta (\vartheta )$ представлены на рис. 2, на котором стрелками отмечено значение $\vartheta $ = 1.31. Ниже этого значения имеем пару комплексно сопряженных корней, отвечающих затухающему колебательному режиму; выше ($\vartheta $ > 1.31) – движение жидкости носит затухающий апериодический характер.

Рис. 1.

Корни уравнения (2.13) на комплексной $\zeta $-плоскости при 0.0001 $ \leqslant \vartheta \leqslant $ 1.7.

Рис. 2.

Зависимость комплексного корня $\zeta $ дисперсионного уравнения от параметра $\vartheta $: а – $\operatorname{Im} \zeta $, б – $\operatorname{Re} \zeta $. Стрелкой отмечено значение $\vartheta $ = 1.31.

Проведем анализ данных на рис. 2 в соответствии с предельными оценками [3, 8].

В случае длинных волн, т.е. при $\vartheta \ll 1$ правую часть (2.13) можно приравнять нулю, и соответствующие корни равны

$\zeta = \pm \,i$
или с учетом (2.12)

$\omega {\kern 1pt} * = \pm i{{\omega }_{0}} - 2\nu {{k}^{2}}$

Знак для корня или частоты может быть выбран любым, поскольку он влияет только на фазу волны. Таким образом, в длинноволновом пределе вязкость жидкости на частоту волны не влияет.

При $\vartheta $ > 1.31 имеем два корня ${{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}}$, отвечающие апериодическому затуханию – ветви 1, 2 на рис. 2б. Их приближенные значения

${{\zeta }_{1}} = 2\vartheta - \frac{1}{{2\vartheta }},\quad {{\zeta }_{2}} = 1.09\vartheta $

Соответствующие коэффициенты затухания равны

${{b}_{1}} = \frac{g}{{2\nu k}},\quad {{b}_{2}} = 0.91\nu {{k}^{2}}$

Проведенные оценки [8] показывают для ${{\zeta }_{1}}\,$ равные вклады потенциальной $\varphi \,$ и вихревой $\psi \,$ частей движения жидкости в апериодическое затухание. В целом движение вязкой жидкости определяется начальной деформацией ее свободной поверхности и медленным возращением к горизонтальному невозмущенному состоянию.

В случае второго корня ${{\zeta }_{2}}\,$ быстрое затухание начальных возмущений связано с преобладанием вихревой части движения [8].

Для представления дисперсионных зависимостей $\omega {\kern 1pt} *(\lambda )$ стоячих волн на поверхности жидкости различной вязкости введем безразмерную комплексную частоту и безразмерную длину волны

$\Omega {\kern 1pt} * = \omega {\kern 1pt} *{{\left( {\frac{\nu }{{{{g}^{2}}}}} \right)}^{{1/3}}} = (2\vartheta - \zeta ){{\vartheta }^{{1/3}}},\quad \lambda {\kern 1pt} * = \frac{\lambda }{{2\pi }}{{\left( {\frac{g}{{{{\nu }^{2}}}}} \right)}^{{1/3}}} = {{\vartheta }^{{ - 2/3}}}$

В этих переменных дисперсионные кривые представлены на рис. 3.

Рис. 3.

а – зависимости безразмерных частоты (1) и коэффициента затухания (2) от длины стоячей волны. б – коэффициент затухания в окрестности критического значения параметра $\vartheta $ = 1.31 – переход от затухающих колебаний (2) к апериодическому режиму (3, 4).

Кривая 1 на рис. 3а соответствует зависимости частоты $\operatorname{Im} \,\Omega {\kern 1pt} *$ стоячей волны от ее длины $\lambda {\kern 1pt} *$. Видно, что частота монотонно растет с уменьшением длины, достигает максимума $\operatorname{Im} \Omega {\kern 1pt} *$ = 0.546 при $\lambda {\kern 1pt} *$ = 1.898 и затем быстро уменьшается до нуля при $\lambda {\kern 1pt} *$ = = 0.833. Ниже этого значения периодических движений вязкой жидкости не существует. Таким образом, критическое значение длины волны $\lambda _{{\operatorname{cr} }}^{*}$ = 0.833 устанавливает коротковолновый предел существования гравитационных волн на свободной поверхности жидкости, ниже которого стоячие волны отсутствуют.

Кривые 2 на рис. 3а и б соответствуют зависимости коэффициента затухания $\operatorname{Re} \Omega {\kern 1pt} *$ стоячей волны от ее длины $\lambda {\kern 1pt} *$. Для него характерен монотонный рост, и при $\lambda _{{\operatorname{cr} }}^{*}$ = 0.833 безразмерный коэффициент затухания составляет величину $\operatorname{Re} \Omega {\kern 1pt} *$ = 0.758. Кривые 3 и 4 на рис. 3б определяют апериодическое затухание – соответствующие корни ${{\zeta }_{1}}$ и ${{\zeta }_{2}}$ дисперсионного уравнения (2.13). С уменьшением $\lambda {\kern 1pt} *$ < < 0.833 безразмерный коэффициент затухания $\operatorname{Re} \Omega {\kern 1pt} *$ или спадает до нуля (кривая 3), или растет до бесконечности (кривая 4).

4. Применение результатов анализа в эксперименте. В экспериментах [11, 12] обнаружено, что увеличение кинематической вязкости жидкости в 50 раз по сравнению с водой кардинально изменяет динамику волнового движения – наблюдается регуляризация стоячих гравитационных волн с полным подавлением процесса их разрушения в виде струйного выброса из гребня и последующего его распада, рис. 4.

Рис. 4.

a – Разрушающаяся волна на свободной поверхности воды (ν = 1 cСт); б – регулярная волна высоты Н = 12.6 см на поверхности водного раствора сахара (ν = 85.97 cСт): частоты волн ω = 10.10 с–1; скорость съемки 30 к/с; огибающие получены при наложении 60 кадров (три периода волны).

В экспериментах [11, 12] по изучению влияния вязкости на интенсивные колебания жидкости использовался режим параметрического возбуждения второй моды ($n$ = 2) стоячих гравитационных волн на свободной поверхности жидкости глубиной $h$ = 15 см в вертикально колеблющемся прямоугольном сосуде длиной $L$ = 50 см, шириной $W$ = 4 см и высотой 50 см. Наблюдаемые двумерные волновые движения могут рассматриваться как волны на поверхности глубокой воды, поскольку $\omega _{0}^{2} = gk\operatorname{th} kh\sim gk$; здесь $\lambda \,$ = 50 см, $k = 2\pi {\text{/}}\lambda $.

Механизм регуляризации разрушающихся волн (рис. 4) нельзя объяснить простым увеличением вязкости на два порядка. Действительно, эксперименты показали пятикратное увеличение коэффициента затухания – ${{b}_{{\exp }}}$ = 0.157 c–1 для воды и 0.752 c–1 для раствора сахара. Однако показанная на рис. 4 волновая картина наблюдалась в стационарном режиме колебаний воды и раствора сахара.

Рассмотрим влияние вязкости жидкости на динамику нерегулярных и разрушающихся волн – рис. 5.

Рис. 5.

Последовательности видеокадров, иллюстрирующих (а) процесс разрушения гравитационных волн Фарадея на свободной поверхности воды и (б) регулярную волновую моду на поверхности водного раствора сахара (ν = 85.97 cСт) в течение половины периода волны; момент времени указан в верхнем левом углу кадра.

Для воды последовательность кадров, отображающих зарождение, развитие и схлопывание каверны на стадии формирования гребня в центральной части сосуда приведена на рис. 5а. При переходе впадина–гребень центральная часть жидкости перемещается вверх, и в интервале 0.096–0.160 с на волновом профиле видны мелкомасштабные возмущения размерами не более 5 см. При $t$ = 0.200 с в середине профиля волны наблюдается сформировавшаяся каверна, последующее схлопывание которой приводит к струйному всплеску с отрывом капель.

При $\nu $ = 85.97 cСт профили волн на поверхности раствора сахара – абсолютно гладкие для всего полупериода – рис. 5б. Видно, что волна нелинейная, но регулярная, ее профиль – без каких-либо мелкомасштабных возмущений и признаков разрушения.

Единственной причиной отличия волновых картин на рис. 5 является вязкость рабочей жидкости. Увеличение вязкости колеблющейся жидкости до 85.97 cСт приводит к полному подавлению процесса разрушения и регуляризации стоячей волны: исчезают мелкомасштабные возмущения, приводящие к образованию коллапсирующей каверны. Таким образом, вязкость жидкости является своеобразным фильтром короткомасштабных возмущений.

Для интерпретации полученных экспериментальных результатов используем результаты численного анализа дисперсионного уравнения (2.13) в виде зависимостей $\omega (\lambda )$ и $b(\lambda )$рис. 6. Частота свободных стоячих гравитационных волн на поверхности бесконечно глубокой идеальной жидкости (ν = 0) определяется соотношением ${{\omega }_{0}} = {{(gk)}^{{1/2}}}$ и возрастает до бесконечности при уменьшении длины волны – кривая 1 на рис. 6а. Если учесть вязкость колеблющейся жидкости, то частота волны принимает нулевое значение $\omega $ = 0 при некоторой критической длине волны ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$. Для воды (кривая 2) эта величина равна ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ = 0.02 см. При увеличении вязкости до 16.24 сСт (52% раствор сахара) имеем ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ = 0.15 см (кривая 3). Для 63% раствора сахара (кривая 4) критическая длина волны оценивается как ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ = 0.44 см.

Рис. 6.

Зависимости $\omega (\lambda )$ и $b(\lambda )$: кривые 14$\nu $ = 0, 1, 16.24, и 85.97 сСт.

Следовательно, имеются критические значения длины волны ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$, устанавливающие коротковолновый предел возбуждения гравитационных волн. При $\lambda < {{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ вязкость жидкости полностью подавляет всякое волновое движение. Увеличение вязкости приводит к возрастанию этого предела. Этот результат подтверждает данные эксперимента о вязкой регуляризации разрушающихся стоячих волн и позволяет объяснить коротковолновой отсечкой отсутствие мелкомасштабных возмущений на профилях волн вязкой жидкости. Заниженные (по сравнению с экспериментальными) расчетные значения ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ можно объяснить тем, что в дисперсионном соотношении (2.13) не учтены конечная глубина жидкости, а также вязкие потери на боковых стенках и дне сосуда.

Если учесть поверхностное натяжение жидкостей $\sigma $ и рассмотреть гравитационно-капиллярные волны, для которых ${{\omega }_{0}} = {{(gk + \sigma {{k}^{3}}{\text{/}}\rho )}^{{1/2}}}$, то дисперсионное уравнение (2.13) не изменится, а значения критической длины волны для воды, и 63% раствора сахара ${{\lambda }_{{\operatorname{cr} }}}$ = 4.8 10–6, 0.04 см оказываются существенно меньше соответствующих величин для гравитационных волн.

На рис. 6б для воды (кривая 2) и раствора сахара (кривая 4) представлены зависимости коэффициента затухания от длины волны, полученные при численном решении (2.13). Для этих жидкостей для второй волновой моды ($\lambda $ = 50 см) имеем 0.0003 и 0.0246 с–1 соответственно. Пунктирные зависимости на рис. 6б рассчитаны по формуле $b = 2\nu {{k}^{2}}$ без учета дна и боковых стенок. Именно по этой причине расчетные значения коэффициента затухания существенно меньше экспериментальных.

Таким образом, из (2.13) следует, что именно вязкость жидкости обеспечивает отсечку коротковолновых возмущений, ответственных за разрушение волн.

Заключение. Обобщены теоретические и численные результаты анализа дисперсионного уравнения стоячих волн на поверхности вязкой жидкости, опубликованные Л.Н. Сретенским в 1941 г.

Предложен механизм вязкой регуляризации волнового движения, согласно которому наблюдаемые в эксперименте эффекты связаны с наличием области коротковолновой отсечки, где вязкая диссипация становится доминирующим фактором и происходит подавление коротковолновых возмущений, ответственных за разрушение стоячей волны.

Работа выполнена по теме государственного задания № AAAA-A20-120011690131-7.

Список литературы

  1. Bassett A.B. A Treatise on Hydrodynamics. Vol. 2, Art. 519. London: Deighton, Bell and Co. 1888. 362 P. (Reprinted by Dover, New York, N.Y. 1961.)

  2. Tait P.G. Note on ripples in a viscous liquid // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1890. V. 17. P. 110–114.

  3. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

  4. Сретенский Л.Н. О волнах на поверхности вязкой жидкости // Тр. ЦАГИ. 1941. № 541. С. 1–34.

  5. Моисеев Н.Н. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн // Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. С. 55–78.

  6. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ГИФМЛ. 1959. 700 с.

  7. Wehausen J.V., Laitone E.V. Surface waves // in: Encyclopedia of Physics. Springer, 1960. V. IX. P. 446–778.

  8. LeBlond H.H., Mainardi F. The viscous damping of capillary-gravity waves // Acta Mech. 1987. V. 68. № 3–4. P. 203–222.

  9. Саночкин Ю.В. Влияние вязкости на свободные поверхностные волны в жидкостях // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 4. С. 156–164.

  10. Абрашкин А.А., Бодунова Ю.П. Пространственные стоячие волны на поверхности вязкой жидкости // Тр. НГТУ им. Р.Е. Алексеева. МЖГ. 2011. № 2(87). С. 49–54.

  11. Базилевский А.В., Калиниченко В.А., Рожков А.Н. Влияние вязкости жидкости на поверхностные волны Фарадея в журнале // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 6. С. 30–42.

  12. Базилевский А.В., Калиниченко В.А., Рожков А.Н. Вязкая регуляризация разрушающихся волн Фарадея // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107. Вып. 11. С. 716–721.

Дополнительные материалы отсутствуют.