Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 4, стр. 470-476

О сильной эллиптичности и устойчивости в малом в нелинейной градиентной теории упругости третьего порядка

В. А. Еремеев^1, 2, *

¹ Университет Кальяри
Кальяри, Италия

² Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Нижний Новгород, Россия

^* E-mail: eremeyev.victor@gmail.com

Поступила в редакцию 21.02.2022
После доработки 06.05.2022
Принята к публикации 18.05.2022

EDN: DHHMDV
DOI: 10.31857/S0032823522040063

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках нелинейной градиентной теории упругости третьего порядка сформулированы достаточные условия устойчивости в малом аффинной деформации для краевых условий типа Дирихле. Условия состоят в выполнении трех неравенств, связанных с сильной эллиптичностью уравнений равновесия.

Ключевые слова: градиентная теория упругости, сильная эллиптичность, устойчивость в малом

1. Введение. Модель градиентной теории упругости основана на предположении о зависимости плотности энергии деформации не только от градиента деформации, фактически первого градиента вектора перемещений, как в случае так называемых простых материалов или материалов в смысле Коши, но и от следующих градиентов деформаций [1–3]. В настоящее время этот подход получил распространение для моделирования некоторых композиционных материалов с существенными различиями в механических свойствах их компонент [4], а также для описания масштабных эффектов на наноуровне [5, 6]. Нужно отметить, что используются не только модели Тупина–Миндлина [7–10] или Айфантиса [6, 11], в которых предполагается зависимость энергии деформации от первого и второго градиентов перемещений, но и более сложные модели, учитывающие градиенты более высоких порядков [1, 12–15]. В частности, градиентная теория упругости третьего порядка допускает в уравнениях состояния градиенты перемещений до третьего порядка включительно. Миндлин [12] использовал эту модель для описания поверхностных напряжений в твердых телах, см. также [14, 15], где рассматриваются вопросы термоупругости и введено понятие группы симметрии.

Рассматривая уравнения равновесия градиентно-упругого материала, можно привлечь для анализа свойств их решений условие сильной эллиптичности, которое является наиболее употребительным определяющим неравенством в нелинейной теории упругости [16, 17]. В частности, для простых материалов установлена связь условия сильной эллиптичности и устойчивости в малом. В случае градиентных моделей материала эта связь, вообще говоря, является более сложной, см. [18].

Целью данной работы является анализ связи условий сильной эллиптичности и устойчивости в малом в рамках модели градиентно-упругого континуума третьего порядка при конечных деформациях. Отметим, что в дальнейшем будут использоваться обозначения прямого (безиндексного) тензорного исчисления [16, 19].

2. Основные соотношения. Пусть $B$ – ограниченное упругое тело, которое занимает в отсчетной конфигурации объем $V$ с достаточно гладкой поверхностью $S = \partial B$. В качестве модели материала воспользуемся уравнениями градиентного упругого тела третьего порядка [12, 14, 15]. В рамках этой модели плотность потенциальной энергии деформации представляется как функция градиентов деформации

(2.1)

$W = W\left( {{\mathbf{F}},~{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right),\quad {\mathbf{F}} = \nabla {\mathbf{x}},\quad {\mathbf{G}} = \nabla {\mathbf{F}},\quad {\mathbf{H}} = \nabla {\mathbf{G}},$

где ${\mathbf{F}}$ – градиент деформации, $\nabla $ – трехмерный набла-оператор в отсчетной конфигурации, ${\mathbf{G}}$ и ${\mathbf{H}}$ – соответственно второй и третий градиенты деформации, ${\mathbf{x}}$ – радиус-вектор места в актуальной конфигурации. С использованием принципа материальной индифферентности [16, 19] функция $W$ приводится к виду [15]

(2.2)

$W = W\left( {{\mathbf{C}},{{{\mathbf{K}}}_{1}},{{{\mathbf{K}}}_{2}}} \right),\quad {\mathbf{C}} = {\mathbf{F}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},\quad {{{\mathbf{K}}}_{1}} = {\mathbf{G}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},\quad {{{\mathbf{K}}}_{2}} = {\mathbf{H}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},~$

где ${\mathbf{C}}$ – мера деформации Коши–Грина, ${{{\mathbf{K}}}_{1}},{{{\mathbf{K}}}_{2}}$ – лагранжевы меры деформации, которые представляют собой соответственно тензоры третьего и четвертого рангов.

В отсутствие массовых сил уравнения равновесия в метрике отсчетной конфигурации принимают вид

(2.3)

$\nabla \cdot {\mathbf{T}} = 0,$

где ${\mathbf{T}}$ – тензор напряжений типа Пиолы, который дается формулами

(2.4)

${\mathbf{T}} = {\mathbf{P}} - \nabla \cdot {{{\mathbf{P}}}_{1}} + \nabla \cdot \left( {\nabla \cdot {{{\mathbf{P}}}_{2}}} \right)$

В (2.4) ${\mathbf{P}},{{{\mathbf{P}}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$ – тензоры напряжений и гипернапряжений типа Пиолы, причем два последних являются тензорами третьего и четвертого ранга. Эти тензоры выражается через плотность энергии деформации формулами

(2.5)

${\mathbf{P}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{F}}}},\quad {{{\mathbf{P}}}_{1}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{G}}}},\quad {{{\mathbf{P}}}_{2}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{H}}}}~$

В дальнейшем для простоты выкладок вместо (2.2) будем рассматривать энергию деформации в форме (2.1). Также ограничимся рассмотрением первой краевой задачи – на границе $S$ предполагаются заданными перемещения и нормальные производные

Уравнение (2.3) представляет собой систему трех скалярных уравнений в частных производных шестого порядка относительно вектора места ${\mathbf{x}}$. Условие равномерной сильной эллиптичности (SE) для этой системы может быть записано следующим образом

(2.6)

$\left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \sim \sim \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{{\mathbf{H}}}^{2}}}} \sim \sim \left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \geqslant C~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{6}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}},$

где ${\mathbf{k}}$ и ${\mathbf{a}}$ – произвольные векторы, $C$ – положительная постоянная, не зависящая от ${\mathbf{k}}$ и ${\mathbf{a}}$, “:” – двойное скалярное произведение [19].

Отметим, что (2.6) не налагает требований на зависимость $W$ от ${\mathbf{F}}$ и ${\mathbf{G}}$. Представим зависимость (2.1) следующим образом

$W \equiv W\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right) = {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) + {{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right)$

где

${{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) = {{\left. {W\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right)} \right|}_{{{\mathbf{H}} = 0}}},\quad {{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right) = W\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right) - {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right)$

Здесь и далее 0 – нулевой вектор или тензор произвольного ранга. Таким образом, имеем ${{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},0} \right) = 0$. В дополнение примем естественное предположение, что

${{\left. {\frac{{\partial {{W}_{2}}}}{{\partial {\mathbf{H}}}}} \right|}_{{{\mathbf{H}} = {\mathbf{0}}}}} = 0,$

которое в силу (2.5) означает, что соответствующий тензор гипернапряжений обращается в нуль, если ${\mathbf{H}} = {{{\mathbf{K}}}_{2}} = {\mathbf{0}}$.

С функцией ${{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right)$ поступим аналогично, представим в виде суммы

(2.7)

$\begin{gathered} {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) = U\left( {\mathbf{F}} \right) + V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) \\ U\left( {\mathbf{F}} \right) = {{\left. {{{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right)} \right|}_{{{\mathbf{G}} = {\mathbf{0}}}}},\quad V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) = {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) - U\left( {\mathbf{F}} \right) \\ \end{gathered} $

При этом также примем предположение об отсутствии гипернапряжений ${{{\mathbf{P}}}_{1}}$, если второй градиент деформации обращается в нуль:

${{\left. {\frac{{\partial V}}{{\partial {\mathbf{G}}}}} \right|}_{{{\mathbf{G}} = {\mathbf{0}}}}} = {\mathbf{0}}$

Таким образом, приходим к представлению энергии деформации градиентно-упругого материала третьего порядка в виде суммы

(2.8)

$W = U\left( {\mathbf{F}} \right) + V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) + {{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right)$

Уравнение состояния (2.7) можно рассматривать как градиентную регуляризацию простого нелинейно-упругого материала с энергией деформации $U$. Тогда, в свою очередь, определяющие соотношения (2.8) представляют собой следующую градиентную регуляризацию градиентно-упругого материала первого порядка с энергией деформации ${{W}_{1}}$.

Другими словами, наряду с градиентно-упругим материалом третьего порядка можно рассматривать два других материала – простой нелинейно упругий материал с энергией деформации $U$ и градиентно-упругий материал с уравнением состояния ${{W}_{1}}$. Для каждого из этих материалов можно сформулировать условия сильной эллиптичности

(2.9)

$\left( {{\mathbf{kka}}} \right)\; \vdots \;\frac{{{{\partial }^{2}}V}}{{\partial {{{\mathbf{G}}}^{2}}}}\; \vdots \;\left( {{\mathbf{kka}}} \right) \geqslant {{C}_{1}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{4}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$

(2.10)

$\left( {{\mathbf{ka}}} \right):\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{{\mathbf{H}}}^{2}}}}:\left( {{\mathbf{ka}}} \right) \geqslant {{C}_{2}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{2}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}},$

где “$ \vdots $” – тройное произведение [19], ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ – положительные постоянные.

Для краткости назовем неравенства (2.9) и (2.10) соответственно условиями сильной эллиптичности первого (SE1) и нулевого (SE0) порядков.

3. Устойчивость в малом. Пусть ${\mathbf{\tilde {x}}}$ – некоторое решение нелинейной краевой задачи. Его устойчивость в малом можно исследовать методом линеаризации [16, 17]. Рассмотрим малое добавочное перемещение ${\mathbf{w}}$, так что возмущенное решение можно представить в виде

${\mathbf{x}} = {\mathbf{\tilde {x}}} + \tau {\mathbf{w}},$

где $\tau $ – малый параметр. Следуя [16, 17], будем говорить, что решение ${\mathbf{\tilde {x}}}$ устойчиво в малом, если вторая вариация функционала полной энергии положительна для любых ${\mathbf{w}} \ne 0$

${{\delta }^{2}}E > 0$

(3.1)

$E = \iiint\limits_V {W~dV},\quad {{\delta }^{2}}E = \iiint\limits_V {w~dV}~$

$w = \frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{\tau }^{2}}}}{{\left. {W\left( {{\mathbf{\tilde {F}}} + {{\tau }}\nabla {\mathbf{w}},{\mathbf{\tilde {G}}} + {{\tau }}\nabla \nabla {\mathbf{w}},{\mathbf{\tilde {H}}} + {{\tau }}\nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}}} \right)} \right|}_{{\tau = 0}}},$

где ${\mathbf{\tilde {F}}} = \nabla {\mathbf{\tilde {x}}}$, ${\mathbf{\tilde {G}}} = \nabla {\mathbf{\tilde {F}}}$, ${\mathbf{\tilde {H}}} = \nabla {\mathbf{\tilde {G}}}$.

Равенство ${{\delta }^{2}}E = 0$ для каких-то векторов ${\mathbf{w}}$, не равных нулю, означает существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи и соответствует бифуркации равновесия.

4. Устойчивость в малом аффинной деформации. Назовем деформацию аффинной, если ${\mathbf{C}} = {\mathbf{const}}$, а ${\mathbf{G}}$ и ${\mathbf{H}}$ обращаются в нуль. С учетом принятых предположений относительно формы $W$ это означает, что для аффинной деформации гипернапряжения отсутствуют: ${{{\mathbf{P}}}_{1}} = {\mathbf{0}}$, ${{{\mathbf{P}}}_{2}} = {\mathbf{0}}$.

Пусть решение ${\mathbf{\tilde {x}}}$ соответствует аффинной деформации. Тогда можно показать, что функцию $w~$можно представить в виде

$2w = \nabla {\mathbf{w}}:{\mathbf{C}}:\nabla {\mathbf{w}} + \nabla \nabla {\mathbf{w}}\; \vdots \;{\mathbf{D}}\; \vdots \;\nabla \nabla {\mathbf{w}} + \nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}}::{\mathbf{E}}::\nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}},$

где ${\mathbf{C}},{\mathbf{D}}$, E – тензоры касательных модулей, которые даются формулами

${\mathbf{C}} = {{\left. {\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{{\mathbf{F}}}^{2}}}}} \right|}_{{{\mathbf{F}} = {\mathbf{\tilde {F}}}}}},\quad {\mathbf{D}} = {{\left. {\frac{{{{\partial }^{2}}V}}{{\partial {{{\mathbf{G}}}^{2}}}}} \right|}_{{{\mathbf{F}} = {\mathbf{\tilde {F}}},~{\mathbf{G}} = {\mathbf{\tilde {G}}}}}},\quad {\mathbf{E}} = {{\left. {\frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{{\mathbf{H}}}^{2}}}}} \right|}_{{{\mathbf{F}} = {\mathbf{\tilde {F}}},~{\mathbf{G}} = {\mathbf{\tilde {G}}},{\mathbf{H}} = {\mathbf{\tilde {H}}}}}}$

Неравенства сильной эллиптичности (2.6), (2.9) и (2.10) сводятся к соотношениям для ${\mathbf{C}},{\mathbf{D}}$, E

(4.1)

$\left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \sim \sim {\mathbf{E}} \sim \sim \left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \geqslant C~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{6}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$

(4.2)

$\left( {{\mathbf{kka}}} \right)\; \vdots \;{\mathbf{D}}\; \vdots \;\left( {{\mathbf{kka}}} \right) \geqslant {{C}_{1}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{4}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$

(4.3)

$\left( {{\mathbf{ka}}} \right):{\mathbf{C}}:\left( {{\mathbf{ka}}} \right) \geqslant {{C}_{2}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{2}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$

Используя подход [16, 18], можно показать, что выполнение всех условий эллиптичности (4.1)–(4.3) влечет положительность второй вариации потенциальной энергии деформации (3.1), т.е. устойчивость в малом. Действительно, с использованием преобразования Фурье и теоремы Планшереля для произвольного вектора ${\mathbf{w}}$, обращающегося в нуль на границе вместе со своими первой и второй нормальной производными,

${{\left. {\mathbf{w}} \right|}_{S}} = {\mathbf{0}},\quad {{\left. {\frac{{\partial {\mathbf{w}}}}{{\partial n}}} \right|}_{S}} = {\mathbf{0}},\quad {{\left. {\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{w}}}}{{\partial {{n}^{2}}}}} \right|}_{S}} = {\mathbf{0}},$

получаем серию формул

${{\delta }^{2}}E = \iiint\limits_V {w~dV} = ~$

$ = \frac{1}{2}\iiint\limits_V {\left( {\nabla {\mathbf{w}}:{\mathbf{C}}:\nabla {\mathbf{w}} + \nabla \nabla {\mathbf{w}}\; \vdots \;{\mathbf{D}}\; \vdots \;\nabla \nabla {\mathbf{w}} + \nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}}::{\mathbf{E}}::\nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}}} \right)}~dV = ~$

$ = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \left[ {\left( {{\mathbf{ka}}} \right):{\mathbf{C}}:\left( {{\mathbf{ka}}} \right) + \left( {{\mathbf{kka}}} \right)\; \vdots \;{\mathbf{D}}\; \vdots \;\left( {{\mathbf{kka}}} \right) + \left( {{\mathbf{kkka}}} \right)::{\mathbf{E}}::\left( {{\mathbf{kkka}}} \right)} \right]~d{{V}_{k}} \geqslant $

$ \geqslant \;\frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \left[ {{{C}_{2}}~{{{\left| {\mathbf{k}} \right|}}^{2}} + {{C}_{1}}~{{{\left| {\mathbf{k}} \right|}}^{4}} + C~{{{\left| {\mathbf{k}} \right|}}^{6}}} \right]~{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}d{{V}_{k}} = $

$ = \frac{1}{2}\iiint\limits_V {\left[ {{{C}_{2}}~{{{\left| {\nabla {\mathbf{w}}} \right|}}^{2}} + {{C}_{1}}~{{{\left| {\nabla \nabla {\mathbf{w}}} \right|}}^{2}} + C~{{{\left| {\nabla \nabla \nabla {\mathbf{w}}} \right|}}^{2}}} \right]}dV,$

из которых следует положительная определенность второй вариации функционала энергии.

Таким образом, в отличие от нелинейной теории упругости простых материалов [16, 17], одного условия сильной эллиптичности (2.6) недостаточно для устойчивости в малом аффинной деформации. В совокупности неравенства (2.6), (2.9) и (2.10) представляют собой достаточные условия устойчивости в малом в случае первой краевой задачи.

Заключение. В рамках градиентной теории упругости третьего порядка при конечных деформациях показано, что сильная эллиптичность (2.6) вместе с неравенствами сильной эллиптичности нулевого и первого порядков являются достаточными условиями устойчивости аффинной деформации в случае первой краевой задачи. Можно также показать, что устойчивость в малом влечет выполнение слабой формы неравенства (2.6), т.е. при $C = 0$. Нарушение условий (2.9) и (2.10), вообще говоря, может приводить к неустойчивости в малом и будет более подробно рассмотрено в последующих работах.

Автор благодарен академику Н.Ф. Морозову за привлечение внимания автора к задачам наномеханики, которые являются широким полем приложения обобщенных моделей сплошной среды, и, в частности, градиентной теории упругости.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 20-08-00450.

Список литературы

Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations: Including Gradient Materials. 4th edition. Berlin: Springer Nature, 2021. 410 p.
Mechanics of Strain Gradient Materials. Ser. CISM International Centre for Mechanical Sciences. V. 600 / Ed. by Bertram A., Forest S. Cham: Springer, 2020.VIII+171 p.
dell’Isola F., Corte A.D., Giorgio I. Higher-gradient continua: The legacy of Piola, Mindlin, Sedov and Toupin and some future research perspectives // Math.&Mech. Solids. 2017. V. 22. № 4. P. 852–872.
Discrete and Continuum Models for Complex Metamaterials / Ed by dell’Isola F., Steigmann D.J. Cambridge: Univ. Press, 2020. 398 p.
Cordero N.M., Forest S., Busso E.P. Second strain gradient elasticity of nano-objects // J. Mech.&Phys. Solids. 2016. V. 97. P. 92–124.
Aifantis E.C. Internal length gradient (ILG) material mechanics across scales and disciplines // Adv. in Appl. Mech. 2016. V. 49. P. 1–110.
Toupin R. Elastic materials with couple-stresses // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1962. V. 11. № 1. P. 385–414.
Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1964. V. 17. № 2. P. 85–112.
Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1964. V. 16. № 1. P. 51–78.
Mindlin R.D., Eshel N. On first strain-gradient theories in linear elasticity // Int. J. Solids&Struct. 1968. V. 4. № 1. P. 109–124.
Aifantis E.C. Update on a class of gradient theories // Mech. Mater. 2003. V. 35. № 3–6. P. 259–280.
Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity // Int. J. Solids&Struct. 1965. V. 1. № 4. P. 417–438.
dell’Isola F., Seppecher P., Madeo A. How contact interactions may depend on the shape of Cauchy cuts in Nth gradient continua: approach “à la D’Alembert”// Z. Angew. Math. Phys. 2012. V. 63. P. 1119–1141.
Reiher J.C., Bertram A. Finite third-order gradient elasticity and thermoelasticity// J. Elasticity. 2018. V. 133 № 2. P. 223–252.
Eremeyev V.A. Local material symmetry group for first-and second-order strain gradient fluids // Math.&Mech. Solids. 2021. V. 26. № 8. P. 1173–1190.
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.
Ogden R.W. Non-Linear Elastic Deformations. Mineola: Dover, 1997. 532 p.
Eremeyev V.A. Strong ellipticity conditions and infinitesimal stability within nonlinear strain gradient elasticity // Mech. Res. Comm, 2021. V. 117, art no. 103782.
Eremeyev V.A., Cloud M.J., Lebedev L.P. Applications of Tensor Analysis in Continuum Mechanics. New Jersey: World Scientific, 2018. 498 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал