Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 4, стр. 527-550
ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СТРУКТУРНЫЕ ДЕФЕКТЫ В НАНОПРОВОЛОКАХ
А. Е. Романов 1, *, А. Л. Колесникова 1, 2, М. Ю. Гуткин 1, 2, 3
1 Университет ИТМО
С.-Петербург, Россия
2 Институт проблем машиноведения РАН
С.-Петербург, Россия
3 СПб Политехнический университет Петра Великого
С.-Петербург, Россия
* E-mail: alexey.romanov@niuitmo.ru
Поступила в редакцию 14.03.2022
После доработки 07.05.2022
Принята к публикации 15.05.2022
- EDN: BMUHEG
- DOI: 10.31857/S0032823522040117
Аннотация
Рассматриваются источники внутренних напряжений в нанопроволоках, моделью которых служит бесконечный упругоизотропный цилиндр кругового сечения. Источниками внутренних напряжений являются дефекты, обладающие собственной дисторсией (деформацией) и локализованные или в точке, или на линии, или на поверхности, или в области внутри нанопроволоки. Приводятся соотношения для упругих полей и энергий некоторых дефектов в нанопроволоках, включая прямолинейные дислокации и дисклинации, дислокационные петли и дилатационные включения. Анализируется взаимодействие между источниками внутренних напряжений в упругом цилиндре. Обсуждается роль найденных решений задач механики деформируемого твердого тела при интерпретации релаксационных процессов в пентагональных нанопроволоках и гибридных полупроводниковых наноструктурах с радиальными и аксиальными гетерограницами.
1. Введение. Следуя установившейся терминологии, будем называть нанопроволоками твердые тела, которые в двух измерениях имеют размеры от 1 до 100 нм, а в третьем – много больше 100 нм. В зависимости от химического состава, различают органические и неорганические нанопроволоки, а также однородные и неоднородные нанопроволоки. В последнем случае в отдельный класс выделяют композитные (или гибридные) нанопроволоки, которые состоят из разных материалов (фаз), отделенных друг от друга межфазными границами. К гибридным мы также относим нанопроволоки, содержащие структурные дефекты: дислокации, дисклинации и их ансамбли.
Взрывной интерес, появившийся в последние три декады к нанопроволокам и другим нанобъектам, в первую очередь объясняется принципиально новыми функциональными (физическими и химическими) свойствами, которые возникают у кристаллов при уменьшении их размеров до длины волны де Бройля для электрона в данном материале, формируя так называемые квантово-размерные эффекты [1]. Важный пример реализации квантово-размерных объектов представляют собой полупроводниковые гибридные нанопроволоки [2, 3].
Наноматериалы, имеющие ограничения по одному из нескольких измерений, обладают рядом особенностей и с точки зрения механических свойств [4, 5]. Эти особенности могут проявляться как в упругом поведении материалов и их пластическом отклике, так и на переходе к стадии разрушения. В работах Никиты Федоровича Морозова с соавторами значительное внимание уделено различным аспектам механического поведения наноматериалов и нанообъектов: например, влияние характерного размера нанокристаллической полосы (ее ширины) на значение модулей упругости рассмотрено в [6], параметры жесткости нанообъектов исследованы в [7], а в работе [8] рассмотрены динамические свойства материала с ансамблем наноразмерных включений, наконец, упругие поля и энергии дисклинаций в полых наночастицах изучены в [9].
В настоящей работе мы анализируем механическое поведение гибридных нанопроволочных структур, содержащие дефекты: дислокации, дисклинации, упругие включения. В качестве адекватной механической модели нанопроволоки рассматривается бесконечный упругоизотропный круговой цилиндр, в котором имеются источники внутренних напряжений, что эквивалентно наличию в объеме цилиндра собственных (неупругих) деформаций – eigenstrains.
Решение упругих задач для твердых тел с геометрией кругового цилиндра важно для многих приложений в механике и физике. Начиная с классической работы Филона [10] и до недавних исследований напряженно-деформированного состояния цилиндров конечной длины [11] или полых цилиндров со сложными реологическими свойствами материала [12], опубликованы тысячи статей, посвященных анализу напряженно-деформированного состояния твердых тел с геометрией цилиндра. Существуют две возможности постановки задач теории упругости для цилиндра: (i) приложение сил и моментов на его поверхности или (ii) допущение собственной деформации в заданной области цилиндра. Решение задач первого типа для бесконечного цилиндра, нагруженного на части поверхности постоянным давлением, было в деталях рассмотрено Лурье [13]. Второй тип проблем связан с состоянием цилиндра с внутренними напряжениями без каких-либо внешних нагрузок. Известными примерами такого состояния являются дислокации Вольтерра [14], когда собственная деформация локализована на выделенной поверхности внутри полого цилиндра. Собственную деформацию можно задать в конечном объеме внутри упругого цилиндра. В результате мы приходим к задаче упругого включения аналогично случаю, рассмотренному впервые Эшелби для включений в бесконечном упругом континууме [15].
План изложения материала в статье следующий. В разделе 2 мы обсуждаем собственные дисторсии и деформации в упругом цилиндре, включая их общую классификацию по геометрическому признаку, и даем примеры собственных деформаций, относящиеся к аксиальным и радиальным включениям, а также изолированным дислокациям и дисклинациям. Раздел 3 посвящен примерам решения задач теории изотропной упругости для прямолинейных и петлевых дислокаций и дисклинаций в цилиндре (нанопроволоке) и для распределенной собственной деформации. В разделе 4 дан анализ взаимодействующих собственных деформаций, которые могут одновременно возникать в нанопроволоках. Наконец, в заключительном разделе 5 кратко обсуждаются физические эффекты в нанопроволоках, обусловленные наличием собственных деформаций и структурных дефектов.
2. Собственные деформации в цилиндре. Общий подход к внутренним источникам упругих искажений в материале – дефектам – с точки зрения механики твердого тела был развит [16, 17] как продолжение идей Вольтерры [14], Эшелби [15], Кренера [18], Де Вита [19] и Муры [20]. В этом подходе дефекты вводятся в трехмерный континуум с помощью собственных дисторсий (или собственных деформаций – eigenstrains), локализованных либо в точке, либо на линии, либо на поверхности, либо в трехмерной области.
2.1. Классификация собственных дисторсий и деформаций по геометрическому признаку. В соответствии с размерностью области задания дефекта мы имеем точечные (0D), линейные (1D), поверхностные (2D) и объемные (3D, также известные как включения) дефекты с соответствующими собственными (неупругими) дисторсиями ${}^{n}\beta _{{ij}}^{*}$ ($n$ – размерность дефекта) [21]:
(2.1)
$\begin{gathered} {}^{{\text{1}}}\beta _{{ij}}^{*} = \beta _{{ij}}^{T}s\delta {\text{(}}L{\text{)}} \hfill \\ {}^{{\text{2}}}\beta _{{ij}}^{*} = \beta _{{ij}}^{T}l\delta {\text{(}}S{\text{)}} \hfill \\ \end{gathered} $В этих соотношениях безразмерный тензор $\beta _{{ij}}^{T}$ задает характер превращений в ходе неупругого формоизменения материала; многомерные дельта-функции Дирака $\delta {\text{(}}...{\text{)}}$ указывают на область задания превращения: точку, линию, площадку и объем (первое – четвертое соотношения в формуле (2.1), соответственно). Формальные, в общем случае, коэффициенты ${v}$, $s$ и $l$ вводятся для того, чтобы собственные дисторсии ${}^{n}\beta _{{ij}}^{*}$ оставались безразмерными. В частности, трехмерная дельта функция $\delta {\text{(}}R - {{R}_{{\text{0}}}}{\text{)}}$, имеющая в декартовых координатах вид $\delta (x - {{x}_{0}})\delta (y - {{y}_{0}})\delta (z - {{z}_{0}})$, обладает размерностью ${\text{[}}\delta {\text{(}}R{\text{)]}} = {{x}^{{ - 3}}}$, значит, для того, чтобы дисторсия ${}^{{\text{0}}}\beta _{{ij}}^{*}$ оставалась безразмерной, необходим коэффициент ${v}$ размерностью ${\text{[}}{v}{\text{]}} = {{x}^{{\text{3}}}}$.
Заметим, что вместо собственных дисторсий (2.1) могут быть заданы упомянутые выше собственные деформации (eigenstrains) ${}^{n}\varepsilon _{{ij}}^{*}$ – симметричные части тензоров, задаваемых формулами (2.1). Например, дислокации удобно характеризовать собственной дисторсией, а дилатационные дефекты различной размерности – собственной деформацией.
Неупругое формоизменение материала (твердого тела) может иметь различную природу. Оно возникает в ходе фазовых превращений, например, мартенситного превращения, когда меняется симметрия и размеры элементарной ячейки кристалла [22], или в результате теплового расширения твердых тел [23]. Решеточное несоответствие на границе раздела кристаллических материалов различающегося химического состава [24] является случаем, представляющим наибольший интерес для устройств электроники и оптоэлектроники. Наконец, неоднородная пластическая деформация материала, осуществляемая за счет движения дислокаций [25], служит наиболее распространенным примером собственных деформаций.
Отметим, что дефекты большей размерности могут быть получены из дефектов меньшей размерности путем суперпозиции. Например, из 0-мерных дефектов, распределенных с некоторой плотностью вдоль линии ${{\rho }_{L}}$, или по поверхности ${{\rho }_{S}}$ или по объему ${{\rho }_{V}}$ получаются, соответственно, линейный и 2-мерный дефекты или включение:
(2.2)
${}^{{\text{2}}}\beta _{{ij}}^{*} = \int\limits_S {{}^{{\text{0}}}\beta _{{ij}}^{*}{{\rho }_{S}}{\text{(}}S_{{\text{0}}}^{{}}{\text{)}}d{{S}_{{\text{0}}}}} $2.2. Примеры собственных деформаций. Прежде чем переходить к ключевым, с точки зрения физико-технических применений, упругим задачам для микро- и нанопроволок, определим основные собственные деформации, которыми задается состояние проволоки, моделируемой бесконечно длинным упругим цилиндром.
2.2.1. Аксиальные и радиальные собственные деформации, заданные в объеме цилиндра. На рис. 1а показан цилиндр с дилатационной собственной деформацией $^{{\text{3}}}\varepsilon _{{ii}}^{*}$ ($i = x,y,z$ и $i = r,\varphi ,z$ в декартовой и цилиндрической системах координат соответственно, суммирования по повторяющемуся индексу нет), меняющейся вдоль оси цилиндра $z$ и называемой аксиальной:
(2.3)
${}^{{\text{3}}}\varepsilon _{{ij}}^{*} = \varepsilon _{{}}^{T}{\text{(}}z{\text{)}}H{\text{(}}a - r{\text{)}}H{\text{[(}}z - {{z}_{{\text{1}}}}{\text{)(}}{{z}_{{\text{2}}}} - z{\text{)]}}$Здесь $\varepsilon _{{}}^{T}{\text{(}}z{\text{)}}$ – скалярная функция, задающая изменение собственной деформации, $H{\text{(}}...{\text{)}}$ – функция Хевисайда, $a$ – радиус цилиндра, ${\text{[}}{{z}_{{\text{1}}}},{{z}_{{\text{2}}}}{\text{]}}$ – интервал задания собственной деформации по оси $z$, ${{z}_{{\text{1}}}} < z < {{z}_{{\text{2}}}}$.
На рис. 1б изображен цилиндр с радиальной собственной деформацией:
(2.4)
${}^{{\text{3}}}\varepsilon _{{ii}}^{*} = \varepsilon _{{}}^{T}{\text{(}}r{\text{)}}H{\text{(}}c - r{\text{);}}\quad i = x,y,z\quad {\text{или}}\quad i = r,\varphi ,z,$2.2.2. Янус-цилиндр. Цилиндр, на сегменте которого задана собственная деформация, относится к янус-цилиндрам. В частном случае, когда цилиндр состоит из двух одинаковых частей (рис. 1в), его дилатационная собственная деформация запишется в виде:
(2.5)
${}^{{\text{3}}}\varepsilon _{{ij}}^{*} = \varepsilon _{{}}^{T}\;H{\text{(}}\pi - \varphi {\text{)}}H{\text{(}}a - r{\text{);}}\quad i = x,y,z\quad {\text{или}}\quad i = r,\varphi ,z$2.2.3. Локализованные дефекты: дислокации и дисклинации. Собственные дисторсии линейных дефектов, дислокаций и дисклинаций, задаются площадкой разреза, на которой дефект вводится, и способом преобразования берегов разреза [14]. Это означает, что формула (2.1) собственной дисторсии ${}^{{\text{2}}}\beta _{{ij}}^{*}$ для этих дефектов может быть конкретизирована [26, 27]:
(2.6)
${}^{{\text{2}}}\beta _{{ij}}^{*} = {{\delta }_{i}}{\text{(}}S{\text{)}}\left\{ { - {{b}_{j}} - {{e}_{{jpq}}}{{\omega }_{p}}{\text{(}}{{x}_{q}} - x_{q}^{{\text{0}}}{\text{)}}} \right\}$Здесь ${{\delta }_{i}}{\text{(}}S{\text{)}}$ – векторная дельта-функция Дирака на поверхности разреза $S$ с нормалью ${{n}_{i}}$, определяемая как $\int_S {\delta {\text{(}}r - r{\kern 1pt} '{\text{)}}dS_{{ij}}^{'}} $; в фигурных скобках формализован скачок смещений берегов разреза площадки; ${{b}_{j}}$ – компоненты вектора Бюргерса дислокации; ${{\omega }_{p}}$ – компоненты аксиального вектора Франка дисклинации; $x_{q}^{{\text{0}}}$ – точка, через которую проходит ось ротации для дисклинации; ${{e}_{{jpq}}}$ – компоненты тензора Леви-Чивита.
Оказывается, что упругие поля дислокаций и дисклинаций непрерывны везде кроме линии, ограничивающей площадку задания дефекта. Более того, упругие поля не зависят от выбора площадки. Если ограничивающая линия находится в теле и не выходит на свободную поверхность, то это – линия дефекта.
На рис. 2а–в показаны прямолинейная краевая и винтовая дислокации, круговая призматическая дислокационная петля и прямолинейная клиновая дисклинация с обозначением их линий.
В цилиндре компоненты собственной дисторсии прямолинейной краевой и винтовой дислокаций (рис. 2а) с векторами Бюргерса $b = {{b}_{x}}\;{{e}_{x}}$ и $b = {{b}_{z}}\;{{e}_{z}}$ соответственно (${{e}_{x}}$, ${{e}_{y}}$ и ${{e}_{z}}$ – орты координатных осей), показывающими относительный сдвиг берегов разреза, удобно записать в виде:
(2.7)
${}^{{\text{2}}}\beta _{{yz}}^{*} = - {{b}_{x}}H{\text{(}}x - {{x}_{{\text{0}}}}{\text{)}}\delta {\text{(}}y - {{y}_{{\text{0}}}}{\text{),}}\quad {}^{{\text{2}}}\beta _{{xz}}^{*} = - {{b}_{z}}H{\text{(}}y - {{y}_{{\text{0}}}}{\text{)}}\delta {\text{(}}x{\text{)}},$Для призматической дислокационной петли (петли внедрения), изображенной на рис. 2б, собственная дисторсия определяется формулой:
(2.8)
${}^{{\text{2}}}\beta _{{zz}}^{*} = bH{\text{(}}c - r{\text{)}}\delta {\text{(}}z - {{z}_{{\text{0}}}}{\text{),}}$Собственная дисторсия соосной цилиндру клиновой дисклинации с вектором Франка $\omega = \omega \;{{e}_{z}}$ (${{e}_{z}}$ – орт оси $z$), характеризующим относительный поворот берегов разреза (рис. 2в), записывается в виде:
(2.9)
${}^{{\text{2}}}\beta _{{yy}}^{*} = \omega (x - {{x}_{{\text{0}}}}{\text{)}}H{\text{(}}x - {{x}_{{\text{0}}}}{\text{)}}\delta {\text{(}}y{\text{)}}$Заметим, что при определении дисторсий прямолинейных дислокаций (2.7) и дисклинации (2.9) в качестве области задания дефекта берется полуплоскость.
В следующем разделе рассматриваются упругие энергии, обусловленные перечисленными собственными деформациями в цилиндре.
3. Примеры решений задач теории упругости для цилиндров с собственными деформациями. В случае бесконечной упругоизотропной среды при заданной собственной деформации или дисторсии дефекта его упругие поля рассчитываются по известным формулам, в которые входит тензор Грина, имеющий аналитическое представление [20]. Для упругого цилиндра (особенно при наличие неоднородностей в распределении упругих модулей) такой подход не применим, а граничные задачи при условии отсутствия усилий на свободной поверхности цилиндра (для компонент тензора напряжений $\sigma _{{ri}}^{{}} = 0$, $i = r,\varphi ,z$) требуют индивидуального подхода для выбранного вида собственной деформации (дисторсии).
В зависимости от цели и симметрии граничной задачи, возможно определять упругие поля дефекта, пользуясь уже известными полями дефектов меньшей размерности, как это было реализовано для бесконечного континуума. В работах [16, 17, 28] показано, как из 0-мерных дефектов – бесконечно-малых призматических петель [29] получаются сначала (а) 0-мерный центр дилатации, и определяются его упругие поля, затем (б) дилатационная круговая нить, поля которой рассчитываются путем интегрирования полей центров дилатации, распределенных по окружности, далее (в) дилатационный диск, и его поля находятся интегрированием круговых дилатационных нитей, распределенных по радиусу круга, и, наконец, (г) включения в виде конечного кругового цилиндра и усеченного шара, поля которых также записываются в аналитическом виде [28]. В работах [30, 31] был продемонстрирован переход от решения граничной задачи о дилатационном диске в цилиндре к решению для дилатационного включения с собственной деформацией, зависящей от осевой координаты цилиндра.
3.1. Изолированные прямолинейные дислокации и дисклинации. Впервые упругие поля прямолинейных дислокаций и дисклинаций в цилиндре были даны Вольтеррой в 1907 г. в основополагающей статье [14] о дисторсиях в полых толстостенных трубах. Эти решения, полученные для случая, когда линии дислокаций или дисклинаций лежат на оси полого или, в пределе, сплошного бесконечно длинного цилиндра, хорошо известны и многократно цитировались, в том числе в классических учебниках по теории упругости и механике деформируемого твердого тела [32, 33].
Упругая задача для винтовой дислокации с вектором Бюргерса ${\mathbf{b}} = (0,0,b)$, смещенной с оси сплошного цилиндра радиуса $a$ на некоторое расстояние ${{y}_{{\text{0}}}} = d$ (см. рис. 2a), была рассмотрена Эшелби [34]. Решение в этом случае может быть найдено простой суперпозицией упругих полей данной дислокации и виртуальной дислокации изображения противоположного знака, расположенной на линии, проходящей через ось цилиндра и линию исходной дислокации, за пределами цилиндра на расстоянии ${{a}^{{\text{2}}}}{\text{/}}d$ от оси цилиндра. Энергия на единицу длины такой смещенной относительно оси дислокации оказывается следующей [25]:
(3.1)
$E_{{}}^{s} = \frac{{G{{b}^{{\text{2}}}}}}{{{\text{2}}\pi }}{\text{ln}}\frac{{{{a}^{{\text{2}}}} - d_{{}}^{{\text{2}}}}}{{{{r}_{c}}a}},$При этом дислокация приобретает два положения равновесия в цилиндре – устойчивое на его оси и неустойчивое на расстоянии $ \approx {\kern 1pt} 0.54a$ от нее.
Упругие поля и поведение винтовой дислокации в стенке бесконечно длинного полого цилиндра исследовались в работах [35–37]. Решения были получены с помощью двух бесконечных рядов виртуальных дислокаций изображения, расположенных внутри полости и вне цилиндра, для случаев соосной полости [35, 37] и полости [36], ось которой была смещена с оси цилиндра. В работе [37] показано, в частности, что наличие внутренней полости приводит к качественным отличиям в распределении поля напряжения дислокации: смене знака напряжений возле внутренней поверхности стенки, высокой концентрации напряжения и его градиента на этой поверхности.
Для клиновой дисклинации c вектором Франка $\omega = (0,0,\omega )$, смещенной относительно оси цилиндра вдоль оси $x$ на расстояние ${{x}_{{\text{0}}}} = d$, см. рис. 2в, решение для напряжений (случай плоской деформации) задается следующей функцией напряжений Эйри [38]:
(3.3)
$\chi _{{}}^{\Delta } = \frac{{G\omega }}{{8\pi (1 - \nu )}}\left[ {\left( {{{{(x - d)}}^{2}} + {{y}^{2}}} \right)\ln \frac{{{{a}^{2}}\left( {{{{(x - d)}}^{2}} + {{y}^{2}}} \right)}}{{{{{(xd - {{a}^{2}})}}^{2}} + {{y}^{2}}d_{{}}^{2}}} - \frac{{({{x}^{2}} + {{y}^{2}})(d_{{}}^{2} - {{a}^{2}})}}{{{{a}^{2}}}}} \right],$Погонная энергия такой дисклинации с сингулярным ядром, т.е. в случае ${{r}_{c}} \to {\text{0}}$, задается простым соотношением [38, 39]:
(3.4)
$E_{{}}^{\Delta } = \frac{{G\omega _{{}}^{2}}}{{16\pi (1 - \nu )}}\frac{{{{{({{a}^{2}} - d_{{}}^{2})}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}$Аналогичные задачи были рассмотрены для прямолинейных краевых дислокаций. Первое упоминание о решении для краевой дислокации, смещенной относительно оси цилиндра, полученном в 1949 году в дипломной работе Дитце под руководством Лейбфрида, опубликовано Зеегером [40]. Такое же решение позже было найдено предельным переходом в задаче о краевой дислокации в цилиндрической неоднородности в матрице при устремлении к нулю жесткости матрицы [41]. С другой стороны, это же решение можно найти предельным переходом от двухосного диполя клиновых дисклинаций мощности (модулем вектора Франка) $\omega $ с плечом $l$, смещенных с оси бесконечного сплошного цилиндра [42], к краевой дислокации при $l \to 0$ и $\omega {\kern 1pt} l = b \ne 0$.
Для краевой дислокации с вектором Бюргерса ${\mathbf{b}} = (b,0,0)$ и линией, проходящей через точку $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ параллельно оси $z$ цилиндра радиуса $a$ (рис. 2а), функция напряжений Эйри имеет вид [42]:
(3.5)
${{\chi }^{ \bot }} = \frac{{Gb}}{{4\pi (1 - \nu )}}\left( {(y - {{y}_{0}})\ln \frac{{{{r}^{2}}{{C}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{P}^{2}}}} + \frac{{{{y}_{0}}({{r}^{2}} - {{a}^{2}})(r_{0}^{2} - {{a}^{2}})}}{{{{a}^{2}}{{C}^{2}}}} + \frac{{y{{a}^{2}}{{P}^{2}}}}{{{{r}^{2}}{{C}^{2}}}}} \right),$Энергия краевой дислокации, смещенной относительно оси бесконечного упругоизотропного цилиндра на расстояние $c$, демонстрирует зависимость от параметров задачи, аналогичную случаю винтовой дислокации [41]:
(3.6)
${{E}^{ \bot }} = \frac{{G{{b}^{2}}}}{{4\pi (1 - \nu )}}\left( {\ln \frac{{{{a}^{2}} - {{c}^{2}} - c{{r}_{c}}}}{{a{{r}_{c}}}} + \frac{{{{c}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} - 1} \right)$В заключение этого раздела отметим, что в последние десятилетия возрос интерес к анализу упругого поведения прямолинейных краевых [43–46] и винтовых [47–50] дислокаций в трехфазных упруго-неоднородных цилиндрических системах, состоящих из цилиндрического ядра, оболочки и окружающей бесконечной матрицы.
3.2. Призматическая дислокационная петля. Для призматической дислокационной петли, соосной длинному круговому цилиндру (рис. 2б), упругая задача эффективно решается с применением общих формул для упругих полей в цилиндре, подвергнутом произвольной осесимметричной нагрузке [13]. Подробно решение этой задачи изложено в работе [51].
Для вычисления упругих энергий цилиндров (и любых других тел) с заданными собственными деформациями ${}^{n}\varepsilon _{{ij}}^{*}$ (дисторсиями ${}^{n}\beta _{{ij}}^{*}$) результативным оказывается подход, в которой энергия рассчитывается как половина работы напряжений ${{\sigma }_{{ij}}}$, вызванных собственными деформациями, при “создании” этих деформаций [26], что является следствием теоремы взаимности работ в линейной теории упругости [13, 20, 25]. В результате запасенная энергия записывается как
(3.7)
$E = - \frac{1}{2}\int\limits_V {{}^{n}\beta _{{ij}}^{*}} {{\sigma }_{{ij}}}dV\quad {\text{или}}\quad E = - \frac{1}{2}\int\limits_V {{}^{n}\varepsilon _{{ij}}^{*}} {{\sigma }_{{ij}}}dV$Здесь $V$ – объем тела. Выделенная область интегрирования по этому объему включена в формулы ${}^{n}\varepsilon _{{ij}}^{*}$ и ${}^{n}\beta _{{ij}}^{*}$.
Приведем формулу энергии призматической дислокационной петли ${{E}^{{PL}}}$ в цилиндре, найденную в работе [51] с помощью соотношения (3.7):
(3.8)
${{E}^{{PL}}} = \frac{{G{{b}^{2}}at}}{{2(1 - \nu )}}\left( {\ln \frac{{1.08at}}{{{{r}_{c}}}} - 2t\int\limits_0^\infty {\frac{{{{t}^{2}}{{\beta }^{2}}I_{0}^{{*2}} + wI_{1}^{{*2}} - 2t\beta I_{0}^{*}I_{1}^{*}(wI_{1}^{{}}{{K}_{1}} + {{\beta }^{2}}I_{0}^{{}}{{K}_{0}})}}{{{{\beta }^{2}}I_{0}^{2} - wI_{1}^{2}}}d\beta } } \right),$На рис. 3 показана зависимость энергии призматической петли от ее радиуса в цилиндре. Там же для сравнения показана аналогичная зависимость для петли в бесконечной среде.
3.3. Цилиндр с радиальным несоответствием. Напряженно-деформированное состояние, вызванное радиальным распределением собственных деформаций в цилиндре, т.е. нанопроволоки со структурой “ядро/оболочка” (см. рис. 1б), исследовалось сначала для упруго-однородного [52], а затем и для упруго-неоднородного [53] цилиндров. Например, для одинаковых значений коэффициентов Пуассона ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{2}} = \nu $ и разных значений модулей сдвига ${{G}_{1}}$ и ${{G}_{2}}$ соответственно материалов ядра и оболочки с радиусами $c$ и $a$ ненулевые компоненты тензора напряжений несоответствия в цилиндрической системе координат $(r,\varphi ,z)$ можно записать в следующем компактном виде [53]:
(3.9)
$\sigma _{{\varphi \varphi }}^{{(1)}} = - A{{\varepsilon }^{T}}(1 - {{t}^{2}}),\quad \sigma _{{\varphi \varphi }}^{{(2)}} = A{{\varepsilon }^{T}}\left( {\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} + {{t}^{2}}} \right)$Погонная упругая энергия такого цилиндра ${{E}^{m}}$ (энергия несоответствия) определяется по формуле (3.7):
(3.10)
${{E}^{m}} = \frac{{A{{{({{\varepsilon }^{T}})}}^{2}}\pi {{c}^{2}}}}{2}(1 - {{t}^{2}})\left( {3 + \frac{1}{{{{t}^{2}} + g(1 - {{t}^{2}})}}} \right)$Недавно были также выполнены исследования, в которых изучались структуры типа “ядро/оболочка” с ядрами, имеющими в сечении форму правильных многоугольников, см. например, работы [54–57]. Решения для прямоугольных и квадратных сечений получали с помощью комплексных потенциалов. Для случаев треугольного и шестиугольного сечения предварительно решалась граничная задача теории упругости для бесконечно тонкой дилатационной нити [16], параллельной оси цилиндра, а затем поля напряжений включений находили прямым интегрированием полей напряжений нити.
3.4. Цилиндр с аксиальной собственной деформацией. Задача об упругих полях цилиндра с дилатационной собственной деформацией, меняющейся вдоль оси цилиндра $z$ (рис. 1а), была решена путем интегрирования полей распределенных по $z$ дилатационных дисков [30, 31]. В свою очередь упругие поля дилатационного бесконечно тонкого диска были найдены методом Лурье [13], упоминавшимся выше при рассмотрении призматической дислокационной петли.
Приведем формулы для энергий цилиндра с дилатационными включениями с резкими границами и с границами, где дилатация линейно спадает до 0 – ${{E}^{{D{\text{I1}}}}}$ и ${{E}^{{D{\text{I2}}}}}$:
(3.11)
${{E}^{{D{\text{I2}}}}} = \tfrac{{{\text{2}}G{\text{(1}} + \nu {\text{)(}}\varepsilon _{{}}^{T}{{{\text{)}}}^{{\text{2}}}}\pi {{a}^{{\text{3}}}}}}{{{\text{1}} - \nu }} \times $На рис. 4 показана зависимость ${{E}^{{D{\text{I2}}}}}{\text{(}}{{\tilde {h}}_{{\text{0}}}}{\text{)}}$ для набора ${{h}_{{\text{1}}}}$. Пунктирной кривой обозначена зависимость ${{E}^{{D{\text{I1}}}}}{\text{(}}{{\tilde {h}}_{{\text{0}}}}{\text{)}}$.
4. Взаимодействующие собственные деформации в цилиндре. В общем случае взаимодействие источников внутренних напряжений (дефектов) описывается перекрестным членом вида [20]:
(4.1)
$W = - \int\limits_{{{V}_{{}}}}^{} {\varepsilon _{{ij}}^{{*{\text{I}}}}} \sigma _{{ij}}^{{{\text{II}}}}dV,$Ниже приводятся примеры использования соотношения (4.1) для анализа важного с точки зрения практических приложений взаимодействия источников внутренних напряжений в нанопроволоках.
4.1. Дисклинация в нанопроволоке с радиальной собственной деформацией. Проволоки и стержни с пентагональным поперечным сечением с характерным диаметром от 10 нм до 5 мкм часто наблюдаются для материалов с ГЦК кристаллической структурой [58]. Простой моделью таких нано- и микрообъектов служит круговой цилиндр с клиновой дисклинацией мощностью $\omega = {\text{2}}\pi $ – ${\text{10}}{{\sin }^{{ - {\text{1}}}}}{\text{(1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)}}$ ≈ 0.128 ≈ 7°20′, расположенной вдоль оси цилиндра [58–60]. Знание упругих полей и энергий дисклинированного цилиндра позволяет исследовать и предсказывать многие структурные особенности, свойственные пентагональным микро- и нанообъектам. Основное наблюдение, которое можно хорошо объяснить на основе дисклинационного подхода – это проявление различных релаксационных процессов в структуре пентагональных нанопроволок и микростержней, возникающих с увеличением их диаметра [61–63]. В данном разделе мы рассмотрим образование слоев c решеточным несоответствием в пентагональных нанопроволоках (рис. 5а), что с точки зрения механики материалов сводится к задаче о взаимодействии дисклинации с радиальной собственной деформацией.
Погонная энергия взаимодействия дисклинации мощностью $\omega $, расположенной в цилиндре радиуса $a$, в котором имеется ядро радиуса $c$, испытывающее собственную деформацию ${{\varepsilon }^{T}}$ (эквивалентную несоответствию) оказывается следующей [64, 65]:
(4.2)
$W = - 2\pi \int\limits_0^c {{{\varepsilon }^{T}}\operatorname{Tr} \sigma _{{ij}}^{\omega }rdr = } - \frac{{G(1 + \nu )\omega {{\varepsilon }^{T}}{{a}^{2}}}}{{1 - \nu }}{{t}^{2}}\ln t,$Энергия взаимодействия в зависимости от знака собственной деформации может оказаться отрицательной, что компенсирует или даже перекрывает увеличение энергии структуры “ядро/оболочка”, задаваемое соотношением (3.10). Суммарное изменение энергии $\Delta E$ на единицу длины дисклинированной нанопроволоки с появлением слоя с несоответствием (рис. 5a) имеет вид:
(4.3)
$\Delta E = \frac{{G(1 + \nu ){{\varepsilon }^{T}}{{a}^{2}}{{t}^{2}}}}{{1 - \nu }}\left( {2\pi {{\varepsilon }^{T}}(1 - {{t}^{2}}) - \omega \ln t} \right),$На рис. 5б, в показаны графики зависимости $\Delta E{\text{(}}t{\text{)}}$ для различных ${{\varepsilon }^{T}}$ и карта изолиний энергии $\Delta E{\text{(}}t,{{\varepsilon }^{T}}{\text{)}}$. Видно, что при ${{\varepsilon }^{T}} < {\text{0}}$ в большом диапазоне относительного размера ядра $t$ существует выигрыш в энергии дисклинированной проволоки при появлении в ней ядра с несоответствием: $\Delta E < {\text{0}}$.
4.2. Дислокации в нанопроволоке с радиальной собственной деформацией.
4.2.1. Прямолинейная краевая дислокация в нанопроволоке со структурой “ядро/оболочка”. Изучение взаимодействия прямолинейных краевых дислокаций с радиальными собственными деформациями в цилиндре важно для выявления критических условий протекания релаксационных процессов за счет возникновения дислокация несоответствия (ДН) в нанопроволоках со структурой “ядро/оболочка”, см. [52, 66, 67].
Например, в случае цилиндрического ядра погонная энергия взаимодействия краевой ДН, расположенной на границе раздела между упруго-однородными изотропными ядром и оболочкой и ориентированной таким образом, что ее вектор Бюргерса ${\mathbf{b}}$ направлен вдоль касательной ${{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$ к этой границе – ${\mathbf{b}} = b{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$ (см. рис. 6), описывается простой формулой [52]:
(4.4)
$W = - b\int\limits_c^a {\sigma _{{\varphi \varphi }}^{{(2)}}(r)dr = \frac{{G(1 + \nu )b{{\varepsilon }^{T}}a}}{{1 - \nu }}\,} t({{t}^{2}} - 1),$Просуммировав выражения (3.6) и (4.4), авторы работы [52] определили изменение полной погонной энергии нанопроволоки при образовании в ней ДН – $\Delta E$ и с его помощью нашли критическое условие начала релаксации: ${{\varepsilon }^{T}} > \varepsilon _{c}^{T}(c,a)$, где $\varepsilon _{c}^{T}$ – критическое значение параметра несоответствия. Это критическое несоответствие можно представить в виде:
(4.5)
$\begin{gathered} \varepsilon _{c}^{T}(c,a) = \frac{b}{{4\pi (1 + \nu )a(1 - {{t}^{2}})}}\left( {1 + \ln \frac{{(1 - t)(1 + t + {{{\tilde {r}}}_{c}}) - {{{\tilde {r}}}_{c}}}}{{{{{\tilde {r}}}_{c}}}}} \right. + \\ + \;\left. {\frac{{(1 - {{t}^{2}})(1 - t - {{{\tilde {r}}}_{c}})(1 + t + {{{\tilde {r}}}_{c}})[2(t - 1)(1 + t + {{{\tilde {r}}}_{c}}) - 1 + 2{{{\tilde {r}}}_{c}}]}}{{2{{{[{{{(1 - t)}}^{2}} - (2 + {{{\tilde {r}}}_{c}})(1 - t) + {{{\tilde {r}}}_{c}}]}}^{2}}}}} \right), \\ \end{gathered} $Численный анализ выражения (4.5) показал, что управляющими параметрами зарождения ДН в такой гетероструктуре могут служить как величина несоответствия, так и радиус ядра нанопроволоки, и толщина ее оболочки. Если несоответствие и радиус ядра достаточно малы, то ДН не может зародиться ни при какой, сколь угодно большой толщине оболочки.
В случае призматического ядра исследовались различные механизмы релаксации напряжений несоответствия: зарождение полных и частичных краевых дислокаций на свободной поверхности оболочки, переползание полной краевой дислокации с этой поверхности к границе раздела между ядром и оболочкой и испускание ребром ядра скользящих диполей полных и частичных краевых дислокаций [56].
4.2.2. Призматическая дислокационная петля в нанопроволоке со структурой “ядро/оболочка”. Расчет энергии упругого взаимодействия дислокаций с напряжениями несоответствия в нанопроволоках типа “ядро/оболочка” проводился также для разных петлевых конфигураций дислокаций. Большинство из этих конфигураций представляли собой призматические дислокационные петли с вектором Бюргерса, перпендикулярным к плоскости петли (рис. 7а). Образование круговых петель ДН, расположенных на границе между ядром и оболочкой в поперечном сечении нанопроволоки, анализировалось в работах [51, 53, 68, 69].
Энергия взаимодействия петли ДН с полем напряжений несоответствия в случае упруго однородной нанопроволоки определяется простой формулой [51, 53, 68]:
(4.6)
$W = - 2\pi b\int\limits_0^c {\sigma _{{zz}}^{{(1)}}rdr} = \pm \frac{{2\pi G(1 + \nu )b{{\varepsilon }^{T}}{{a}^{2}}}}{{1 - \nu }}{{t}^{2}}(1 - {{t}^{2}}),$С использованием выражения (4.6) и формулы для энергии петли в цилиндре (3.8) авторы [51, 53, 68] построили зависимость изменения энергии $\Delta E$ проволоки со структурой “ядро/оболочка” при формировании в ней петли ДН и определили критические условия образования петли ДН. На рис. 7б контур $\Delta E = {\text{0}}$ задает зависимость критического несоответствия $\varepsilon _{c}^{T}(t)$. Было показано, что $\varepsilon _{c}^{T}$ монотонно уменьшается с увеличением относительного радиуса $t = c{\text{/}}a$ и толщины оболочки $\Delta t = (a - c){\text{/}}a$. Это означает, что при заданном несоответствии $\varepsilon _{{}}^{T}$ зарождение петли ДН становится энергетически выгодно, если t и $\Delta t$ достигают некоторых критических значений. Для общего анализа ситуации особенно удобны диаграммы $\varepsilon _{c}^{T}(t)$, построенные численно для разных значений радиуса нанопроволоки $a$ [51]. Кроме того, была рассчитана равновесная плотность бесконечного периодического ряда петель ДН, распределенных вдоль границы ядра и оболочки [51]. Полученные теоретические результаты хорошо соответствуют данным экспериментальных наблюдений.
С целью изучения энергетических барьеров, возникающих в процессе образования ДН, были рассмотрены [57, 70–72] модели зарождения малых (по сравнению с радиусами ядра и оболочки) прямоугольных призматических петель в разных местах поперечных и продольных сечений композитных нанопроволок: на границе раздела между ядром и оболочкой с расширением либо в ядро, либо в оболочку, и на свободной поверхности оболочки c расширением как вдоль поверхности, так и в глубину оболочки к ее границе с ядром.
Аналогичные модели зарождения малых прямоугольных призматических петель были развиты для сплошных композитных нанопроволок с призматическими ядрами, имеющими квадратное [57, 71], треугольное [57] и шестиугольное [57, 72] сечения.
4.3. Дислокации и дилатационные включения в нанопроволоке с аксиальной собственной деформацией. В настоящее время цилиндры с аксиальной собственной деформацией являются рабочей моделью для теоретического изучения релаксационных и других механо-физических процессов в гибридных полупроводниковых структурах, которые представляют собой проволоки, составленные из кристаллических слоев разных материалов.
4.3.1. Призматическая дислокационная петля вблизи границы дилатационного включения. Анализ упругих полей цилиндра с дилатационным включением, выходящим на свободную боковую поверхность (см. рис. 1а) [31], стимулировал изучение релаксационных процессов за счет образования призматических дислокационных петель вблизи границы включения (рис. 8а). В этом случае расчет аналогичен изложенным выше: сначала находится формула для энергии взаимодействия дислокационной петли с полем включения, затем определяется полное изменение энергии гибридной проволоки с появлением в ней дислокационной петли – $\Delta E$.
Приведем формулу $\Delta E$, когда размер включения настолько велик по сравнению с радиусом цилиндра, что дислокационная петля взаимодействует только с одной границей включения, находясь на расстоянии $L$ от нее:
(4.7)
$\begin{gathered} \Delta E = \frac{{G{{b}^{2}}at}}{{2(1 - \nu )}}\left( {\ln \frac{{1.08at}}{{{{r}_{c}}}} - 2t\int\limits_0^\infty {\frac{{{{t}^{2}}{{\beta }^{2}}I_{0}^{{*2}} + w{\kern 1pt} I_{1}^{{*2}} - 2t\beta I_{0}^{*}I_{1}^{*}(wI_{1}^{{}}{{K}_{1}} + {{\beta }^{2}}I_{0}^{{}}{{K}_{0}})}}{{{{\beta }^{2}}I_{0}^{2} - w{\kern 1pt} I_{1}^{2}}}d\beta + } } \right. \\ + \;\left. {\frac{{8(1 + \nu )\varepsilon {\kern 1pt} *{\kern 1pt} a}}{b}\int\limits_0^\infty {\frac{{tI_{0}^{*}I_{1}^{{}} - I_{0}^{{}}I_{1}^{*}}}{{{{\beta }^{2}}I_{0}^{2} - w{\kern 1pt} I_{1}^{2}}}\sin } \frac{{L\beta }}{a}d\beta } \right) \\ \end{gathered} $Здесь первые два слагаемых – это энергия дислокационной петли в цилиндре (3.8), последнее слагаемое – энергия взаимодействия петли с полем включения. Как и в формуле (3.8), здесь введены следующие обозначения $w = {{\beta }^{2}} - 2\nu + 2$, ${{I}_{{0,1}}} = {{I}_{{0,1}}}(\beta )$, $I_{{0,1}}^{*} = {{I}_{{0,1}}}(t\beta )$, ${{I}_{{0,1}}}(\beta )$ и ${{I}_{{0,1}}}(t\beta )$ – модифицированные функции Бесселя 1-го рода, ${{K}_{{0,1}}} = {{K}_{{0,1}}}(\beta )$ – функция Макдональда, $t = c{\text{/}}a$, $c$ – радиус петли, $a$ – радиус цилиндра, ${{r}_{c}}$ – радиус ядра дислокации.
На основании кривых $\Delta E = {\text{0}}$ в координатах ${\text{(}}t,{{\varepsilon }^{T}}{\text{)}}$ (см. подобный график на рис. 7б) для различных расстояний петли от границы включения $L$ при фиксированном радиусе цилиндра $a$ определяется минимальное значение $\varepsilon _{c}^{T}$, при котором петле энергетически выгодно появиться в цилиндре. Далее строится зависимость $\varepsilon _{c}^{T}{\text{(}}a{\text{)}}$ и на ее основании обратная зависимость ${{a}_{c}}{\text{(}}\varepsilon _{{}}^{T}{\text{)}}$ (рис. 8б).
4.3.2. Взаимодействующие аксиальные дилатационные области. Упругая энергия цилиндра с двумя и более аксиальными областями исследовалась в работах [73, 74]. Было рассчитано взаимодействие дилатационных включений в цилиндре (в бесконечной упругой среде дилатационные включения не взаимодействуют) и энергии цилиндрической системы в целом при всех возможных позициях включений, в том числе и при наложении их друг на друга [74]. В статье [74] от перекрывающихся включений был сделан переход к гетерофазной границе, в которой параметр несоответствия $\varepsilon _{{}}^{T}$ ступенчато меняется вдоль оси цилиндра.
На рис. 9а показана цилиндрическая проволока с двумя равновеликими дилатационными включениями ${{h}_{1}} = {{h}_{2}} = h$, находящимися на расстоянии $L$ друг от друга. Серия кривых взаимодействия таких включений, рассчитанная для различных размеров $h$ и представленная на рис. 9б, демонстрирует притяжение включений при уменьшении дистанции между ними.
Заключение. Мы рассмотрели механические модели нанопроволок, содержащих дефекты – источники внутренних напряжений. Основной составной частью этих моделей является упругоизотропный бесконечный цилиндр из материала с линейным законом состояния Гука. Источники внутренних напряжений в цилиндре задаются с помощью тензора собственной дисторсии (или собственной деформации), локализованной на некоторой поверхности (в случае дислокаций и дисклинаций) или в некоторой области (в случае нанопроволок с радиальными или аксиальными дилатационными включениями).
Для прямолинейных дислокаций и дисклинаций, соосных оси цилиндра, приведены классические аналитические решения для функции напряжений и энергий. Для призматической дислокационной петли решение для энергии дано в виде интегралов от цилиндрических функций. Представлены результаты общего аналитического подхода для определения упругого поля и связанной с ним энергии деформации в упругоизотропном круговом цилиндре с аксиально-неоднородной собственной деформацией, характеризующей дилатационные включения. Приведены формулы для энергий дилатационных включений конечного размера в цилиндре со скачкообразно и плавно меняющейся вдоль оси собственной деформацией. Показано, что для всех рассмотренных типов осевого распределения собственных деформаций энергия деформации в системе имеет максимум на зависимости от осевого размера (высоты) включения.
Исследовано взаимодействие источников собственной деформации в упругом цилиндре для физически мотивированных задач механики: дисклинаций, взаимодействующих с радиальными собственными деформациями в пентагональных нанопроволоках, прямолинейных дислокаций и призматических петель – с ядрами с несоответствием в нанопроволоках со структурой “ядро/оболочка”. Во всех этих случаях определены критические параметры: диаметр нанопроволоки и толщина оболочки, а также несоответствие, отвечающие выигрышу в упругой энергии в результате взаимодействия.
Решена задача об упругом взаимодействии дилатационных включений в гибридных нанопроволочных структурах, в которых материал включений обладает решеточным несоответствием по отношению к материалу нанопроволоки. В результате предсказан неизвестный ранее эффект притяжения квантовых дисков с дилатацией одного знака и показано, что величина этого эффекта определяется приведенной (по отношению к радиусу нанопроволоки) толщиной взаимодействующих включений.
В заключение отметим, что постановка обсуждаемых задач механики деформируемого твердого тела имеет смысл для любого диаметра цилиндра, но, однако, приобретает особое значение для нанопроволок с диаметром $a$ в диапазоне от 10 до 100 нм. Такое значение диаметра возникает из простого соотношения $a = b{\text{/}}{{\varepsilon }^{T}}$, где $b$ есть величина вектора Бюргерса дислокаций в кристаллической решетке (для оценок обычно принимается $b \approx 0.3$ нм), а ${{\varepsilon }^{T}} = {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - {\text{3}}}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - 1}}}$ – типичная величина собственных деформаций, вызываемых решеточным несоответствием в полупроводниковых гетероструктурах [24] или возникающих в результате фазовых превращений [22].
А.Л. Колесникова и М.Ю. Гуткин благодарят за поддержку Министерство науки и высшего образования РФ (проект тематики научных исследований № 2019-1442) в рамках выполнения работ по изучению взаимодействия аксиальных неоднородностей в гибридных нанопроволочных структурах. А.Е. Романов благодарит программу “Приоритет 2030”, реализуемую Университетом ИТМО, за финансирование работ по теоретическому исследованию структурных дефектов в нанопроволоках.
Список литературы
Родунер Э. Размерные эффекты в наноматериалах. М.: Техносфера, 2010. 352 с.
Jia Ch., Lin Zh., Huang Y., Duan X. Nanowire electronics: from nanoscale to macroscale // Chem. Rev. 2019. V. 119. № 15. P. 9074–9135.
Quan L.N., Kang J., Ning C.-Zh., Yang P. Nanowires for photonics // Chem. Rev. 2019. V. 119. № 15. P. 9153–9169.
Gryaznov V.G., Trusov L.I. Size effects in micromechanics of nanocrystals // Progress Mater. Sci. 1993. V. 37. № 4. P. 289–401.
Goldstein R.V., Morozov N.F. Fundamental problems of solid mechanics in high technologies // Phys. Mesomech. 2012. V. 15. № 3–4. P. 224–231.
Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // ФТТ. 2002. Т. 44. № 12. С. 2158–2163.
Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // ЖТФ. 2006. Т. 51. № 10. С. 74–80.
Еремеев В.А., Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. Некоторые задачи наномеханики // Физ. Мезомех. 2013. V. 16. № 4. P. 67–73.
Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Proskura A.V., Morozov N.F., Romanov A.E. Elastic fields of straight wedge disclinations axially piercing bodies with spherical free surfaces // Int. J. Sol. Struct. 2016. V. 99. № 1. P. 82–96.
Filon L.N.G. On the elastic equilibrium of circular cylinder under certain practical systems of load // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1902. V. 198. № 300–311. P. 147–233.
Rahnama H., Shokrieh M.M. Axisymmetric equilibrium of an isotropic elastic solid circular finite cylinder // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24. № 4. P. 996–1029.
Liu X., Zhang H., Xia M. et al. A closed-form solution for stress analysis of hollow cylinder structure under non-uniform external load and its engineering application // J. Eng. Res. 2020. V. 8. № 1. P. 72–88.
Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГТТЛ, 1955. 491 с.
Volterra V. Sur l'équilibre des corps élastiques multiplies // Annales Scientifique de l’École Normale Supérieure. 1907. V. 24. № 4. P. 401–517.
Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. R. Soc. A. 1957. V. 241. № 1226. P. 376–396.
Колесникова А.Л., Сорока Р.М., Романов А.Е. Дефекты в континуальной упругой среде: классификация, поля и физические аналоги // Mater. Phys. Mech. 2013. V. 17. № 1. P. 71–91.
Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Elastic models of defects in 3D and 2D crystals // Rev. Adv. Mater. Sci. 2017. V. 51. № 2. P. 130–148.
Кренер Е. Общая континуальная теория дислокаций и внутренних напряжений. М.: Мир, 1965. 104 с.
Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.
Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Dordrecht; Boston; Lancaster: Martinus Nijhoff Publ., 1987. 587 p.
Romanov A.E., Kolesnikova A.L. Micromechanics of defects in functional materials // Acta Mech. 2021. V. 232. № 5. P. 1901–1915.
Лободюк В.А., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. М.: Физматлит, 2009. 352 с.
Nowacki W. Thermoelasticity. Elsevier Ltd., 1986. 578 p.
Freund L.B., Suresh S. Thin Film Materials: Stress, Defect Formation and Surface Evolution. Cambridge: Univ. Press, 2004. 750 p.
Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.
Mura T. The continuum theory of dislocations // in: Adv. in Mater. Res. / Ed. by Herman H. New York: Intersci. Publ., 1968. V. 3. P. 1–108.
Mura T. Semi-microscopic plastic distortion and disclinations // Arch. Mech. 1972. V. 24. № 3. P. 449–456.
Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Analytical elastic models of finite cylindrical and truncated spherical inclusions // Int. J. Sol. Struct. 2018. V. 143. P. 59–72.
Kroupa F. Dislocation loops // in: Theory of Crystal Defects. Proc. Summer School Held in Hrazany in Sept. 1964. Prague: Czechosl. Acad. Sci., 1966. P. 275–316.
Romanov A.E., Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Dubrovskii V.G. Elasticity of axial nanowire heterostructures with sharp and diffuse interfaces // Scripta Mater. 2020. V. 176. P. 42–46.
Romanov A.E., Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu. Elasticity of a cylinder with axially varying dilatational eigenstrain // Int. J. Sol. Struct. 2021. V. 213. P. 121–134.
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
Eshelby J.D. Screw dislocations in thin rods // J. Appl. Phys. 1953. V. 24. № 2. P. 176–179.
Lubarda V.A. On the non-uniqueness of solution for screw dislocations in multiply connected regions // J. Elasticity. 1998. V. 52. № 3. P. 289–292.
Lubarda V.A., Markenscoff X. The stress field for a screw dislocation near cavities and straight boundaries // Mater. Sci. Eng. A. 2003. V. 349. № 1. P. 327–334.
Гуткин М.Ю., Шейнерман А.Г. Упругое поведение винтовой дислокации в стенке полой нанотрубки // ФТТ. 2007. Т. 49. № 9. С. 1595–1602.
Романов А.Е. Граничные задачи теории упругости для дисклинаций. // в кн.: Экспериментальное исследование и теоретическое описание дисклинаций. Л.: ФТИ, 1984. С. 110–135.
Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.
Seeger A. Theorie der Gitterfehlstellen. In: Handbuch der Physik, V. VII, Part 2. Berlin: Springer, 1955. P. 383–665.
Dundurs J., Sendeckyj G.P. Edge dislocation inside a circular inclusion // J. Mech. Phys. Solids. 1965. V. 13. № 1. P. 141–147.
Eshelby J.D. A simple derivation of the elastic filed of an edge dislocation // Brit. J. Appl. Phys. 1966. V. 17. № 9. P. 1131–1135.
Luo H.A., Chen Y. An edge dislocation in a three-phase composite cylinder model // J. Appl. Mech. 1991. V. 58. № 1. P. 75–86.
Qaissaunee M.T., Santare M.H. Edge dislocation interacting with an elliptical inclusion surrounded by an interfacial zone // J. Mech. Appl. Math. 1995. V. 48. P. 465–482.
Moeini-Ardakani S.S., Gutkin M.Yu., Shodja H.M. Elastic behavior of an edge dislocation inside the wall of a nanotube // Scripta Mater. 2011. V. 64. № 8. P. 709–712.
Chen F.M., Chao C.K., Chen C.K. Interaction of an edge dislocation with a coated elliptic inclusion // Int. J. Solids Struct. 2011. V. 48. P. 1451–1465.
Jiang C.-P., Liu Y.-W., Xu Y.-L. Interaction of a screw dislocation in the interphase layer with the inclusion and matrix // Appl. Math. Mech. 2003. V. 24. P. 979–988.
Liu Y.W., Jiang C.P., Cheung Y.K. A screw dislocation interacting with an interphase layer between a circular inhomogeneity and the matrix // Int. J. Eng. Sci. 2003. V. 41. P. 1883–1898.
Honein E., Rai H., Najjar M.I. The material force acting on a screw dislocation in the presence of a multi-layered circular inclusion // Int. J. Solids Struct. 2006. V. 43. P. 2422–2440.
Wang X., Pan E., Roy A.K. New phenomena concerning a screw dislocation interacting with two imperfect interfaces // J. Mech. Phys. Solids. 2007. V. 55. P. 2717–2734.
Chernakov A.P., Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Periodic array of misfit dislocation loops and stress relaxation in core-shell nanowires // Int. J. Eng. Sci. 2020. V. 156. № 10. Art. 103367.
Gutkin M.Yu., Ovid’ko I.A., Sheinerman A.G. Misfit dislocations in wire composite solids // J. Phys. Condens. Matter. 2000. V. 12. № 25. P. 5391–5401.
Aifantis K.E., Kolesnikova A.L., Romanov A.E. Nucleation of misfit dislocations and plastic deformation in core/shell nanowires // Phil. Mag. 2007. V. 87. № 30. P. 4731–4757.
Zou W.N., He Q.C., Zheng Q.S. Inclusions in a finite elastic body // Int. J. Sol. Struct. 2012. V. 49. № 13. P. 1627–1636.
Krasnitckii S.A., Smirnov A.M., Gutkin M.Yu. Misfit stresses in a core-shell nanowire with core in the form of long parallelepiped // J. Phys. Conf. Ser. 2016. V. 690. Art. 012022.
Smirnov A.M., Krasnitckii S.A., Gutkin M.Yu. Generation of misfit dislocations in a core-shell nanowire near the edge of prismatic core // Acta Mater. 2020. V. 186. P. 494–510.
Krasnitckii S.A., Smirnov A.M., Gutkin M.Yu. Axial misfit stress relaxation in core-shell nanowires with polyhedral cores through the nucleation of misfit prismatic dislocation loops // J. Mater. Sci. 2020. V. 55. № 22. P. 9198–9210.
Gryaznov V.G., Heydenreich J., Kaprelov A.M. et al. Pentagonal symmetry and disclinations in small particles // Cryst. Res. Techn. 1999. V. 34. № 9. P. 1091–1119.
De Wit R. Partial disclinations // J. Phys. C. 1972. V. 5. № 5. P. 529–534.
Galligan J.M. Fivefold symmetry and disclinations // Scripta Met. 1972. V. 6. № 1. P. 161–144.
Trusov L.I., Tanakov M.Yu., Gryaznov V.G. et al. Relaxation of elastic stresses in overlayed microcrystals // J. Cryst. Growth. 1991. V. 114. № 1–2. P. 133–140.
Gryaznov V.G., Kaprelov A.M., Romanov A.E., Polonsky I.A. Channels of relaxation of elastic stresses in pentagonal nanoparticles // Phys. Stat. Sol. (b). 1991. V. 167. № 2. P. 441–450.
Romanov A.E., Kolesnikova A.L., Yasnikov I.S. et al. Relaxation phenomena in disclinated microcrystals // Rev. Adv. Mater. Sci. 2017. V. 48. № 2. P. 170–178.
Kolesnikova A.L., Romanov A.E. Formation of mismatched layers in pentagonal nanorods // Phys. Stat. Sol. RRL. 2007. V. 1. № 6. P. 271–273.
Dorogin L.M., Vlassov S., Kolesnikova A.L. et al. Pentagonal nanorods and nanoparticles with mismatched shell layers // J. Nanosci. Nanotechn. 2010. V. 10. № 9. P. 6136–6143.
Raychaudhuri S., Yu E.T. Critical dimensions in coherently strained coaxial nanowire heterostructures // J. Appl. Phys. 2006. V. 99. № 11. P. 114308 (1–7).
Kavanagh K.L. Misfit dislocations in nanowire heterostructures // Semic. Sci. Techn. 2006. V. 25. № 2. P. 024006 (1–7).
Ovid’ko I.A., Sheinerman A.G. Misfit dislocation loops in composite nanowires // Phil. Mag. 2004. V. 84. № 20. P. 2103–2118.
Colin J. Prismatic dislocation loops in strained core-shell nanowire heterostructures // Phys. Rev. B. 2010. V. 82. № 5. Art. 054118.
Gutkin M.Yu., Smirnov A.M. Initial stages of misfit stress relaxation in composite nanostructures through generation of rectangular prismatic dislocation loops // Acta Mater. 2015. V. 88. P. 91–101.
Krasnitckii S.A., Kolomoetc D.R., Smirnov A.M., Gutkin M.Yu. Misfit stress relaxation in composite core-shell nanowires with parallelepipedal cores by rectangular prismatic dislocation loops // J. Phys. Conf. Ser. 2018. V. 993. Art. 012021.
Krasnitckii S.A., Smirnov A.M., Mynbaev K.D. et al. Axial misfit stress relaxation in core-shell nanowires with hexagonal core via nucleation of rectangular prismatic dislocation loops // Mater. Phys. Mech. 2019. V. 42. № 6. P. 776–783.
Романов А.Е., Колесникова А.Л., Гуткин М.Ю., Бугров В.Е. Упругое взаимодействие квантовых дисков в гибридных QD/NW-структурах // ПЖТФ. 2022. Т. 48. Вып. 1. С. 39–42.
Kolesnikova A.L., Romanov A.E., Gutkin M.Yu., Bougrov V.E. Multi-step dilatational inclusion in an elastically isotropic cylinder // Mater. Phys. Mech. 2021. V. 47. № 5. P. 697–705.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика