Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 4, стр. 649-660

1. Введение. Применение различных стержневых систем в строительстве, машиностроении и прочих отраслях настолько широко и многообразно, что обсуждение этого вопроса излишне. В большинстве случаев системы стержней выполняют функции несущих конструкций, воспринимающих как статическую, так и динамическую нагрузки. Последняя возникает при внезапном приложении внешней силы, например при ударном нагружении.

Ударная нагрузка может возникать как в процессе эксплуатации конструкции, так и при возникновении аварийной ситуации, например при взрыве, сейсмической активности, дорожно-транспортном происшествии, и т.д.

Решение задач расчета механических систем на динамическую нагрузку имеет важнейшее значение, поскольку неучет динамического характера взаимодействия элементов конструкций существенно сказывается на точности проводимых расчетов, а нередко приводит и к неверному результату [1–5].

Как уже отмечалось в предыдущих работах [2–6], основную сложность решения динамических задач представляет их нелинейность. Решение поставленной задачи усложняется, если кроме возникающих сил инерции при динамическом нагружении, дополнительно учитываются упругие или пластические деформации в области ударного взаимодействия тех или иных элементов.

В известных исследованиях [2–6] динамический расчет реализовывался для идеальных прямолинейных стержневых элементов, не имеющих дефектов в виде кривизны, трещин в материале и т.д., и при отсутствии начальных внешних воздействий в виде изгибающего момента и поперечной силы, углового перемещения начального сечения. Однако, в реальных конструкциях практически всегда присутствуют те или иные дефекты или несовершенства в виде кривизны, различных эксцентриситетов, неоднородности материала, и прочее. В задачах для многоэлементных стержневых систем возникает дополнительная начальная нагрузка в жестких узлах соединений стержневых элементов.

Вследствие упругой деформации в зоне контакта процесс удара усложняется и возникает несколько повторных соударений. Впервые учет местных деформаций в области контакта для стержня был осуществлен С.П. Тимошенко [7]. В дальнейшем его теория была использована другими исследователями, в частности Б.М. Абрамовым и А.Б. Абрамовым [8]. В своей работе они рассматривают колебания и усилия, возникающие от удара упругого стержня о середину двухопорной балки [8]. Частным случаем является удар твердого тела о балку и продольный удар упругого стержня о жесткую преграду.

Учет пластической деформации при соударении тел требует задействия общирной теории пластичности, что дополнительным образом усложняет решение поставленной задачи.

В современных научных работах обсуждается решение задач устойчивости упругих арок при наличии стягивающих нитей [9], исследуются изгибные волны в балке, имеющей повреждения в материале [10], разрабатываются модели изгиба упругих тонких стержней с применением метода конечных элементов [11]. Исследованию колебаний и устойчивости плоских рам посвящены иностранные работы [12–15]. Как отмечено авторами работ [9–15], намеченные подходы к решению поставленных задач актуальны для повышения точности соответствующих технических расчетов.

Таким образом, проблема учета влияния тех или иных внешних воздействий, в том числе и динамических на дальнейшее поведение различного рода стержневых систем, имеющих широкое распространение, на сегодняшний день довольно ярко выражена, несмотря на нередко кажущееся ее отсутствие или несущественность.

2. Постановка задачи и методика решения. В настоящей работе разрабатывается модель расчета амплитуды поперечных колебаний стержневой системы, содержащей n жестко или шарнирно соединенных стержневых элементов длиной l_i, один из которых воспринимает ударное воздействие падающего груза массой m (рис. 1).

Вначале известными методами [1] вычисляется циклическая частота колебаний рассматриваемой стержневой системы. Далее, стержневой элемент, воспринимающий ударную нагрузку, представляется в виде жестко или шарнирно соединенной балки определенной длины, частота свободных поперечных колебаний которой $\omega $ совпадает с частотой собственных колебаний исходной стержневой системы. Для построения модели взаимодействия падающего груза с рассматриваемой балкой, груз, имеющий предударную скорость V₀, представляется в виде цилиндра с длиной образующей L, массой m₂ (рис. 2), что позволяет использовать линеаризацию зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей [8].

Следующий этап – это решение уравнения Релея поперечных колебаний балки с учетом инерции поворота (рис. 2), но без учета поперечных сдвигов и продольных колебаний [8]:

Для ударного груза (стержня) справедливо волновое уравнение

где $E_{2}^{{}}$ – модуль упругости материала груза; r – радиус инерции сечения балки; ρ – плотность материала падающего груза (стержня), m₁ – единичная масса балки, ${{E}_{1}}I{}_{1}$ – изгибная жесткость балки, равная изгибной жесткости стержневого элемента исходной системы (рис. 1), воспринимающего удар.

Задавая соответствующие начальные и граничные условия в зависимости от предударного состояния балки (рис. 2), а также, опуская математические преобразования [8], и вводя обозначения ${{\delta }_{1}} = \left( {{{{{{m{}_{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m{}_{2}} {2{{m}_{1}}l}}} \right. \kern-0em} {2{{m}_{1}}l}}}}_{1}}} \right)$, ${{\delta }_{2}} = \left( {{{cl_{1}^{3}} \mathord{\left/ {\vphantom {{cl_{1}^{3}} {6{{E}_{1}}{{I}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {6{{E}_{1}}{{I}_{1}}}}} \right)$, $\left( {{{\sqrt[{}]{{{{\omega }_{k}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt[{}]{{{{\omega }_{k}}}}} \phi }} \right. \kern-0em} \phi }} \right){{l}_{1}} = \varphi {}_{k}$, получаем выражение для расчета ударной силы P:

где $c$ – коэффициент пропорциональности между силой удара и местной деформацией. В дальнейшем, при известном значении ударной силы в зависимости от постановки задачи можно рассчитать различные параметры колебательного процесса рассматриваемой исходной стержневой системы (рис. 1).

На практике наиболее часто имеет место нецентральное ударное взаимодействие груза и балки со смещением от ее середины на расстояние $x$. Воспользуемся приближенным условием равенства максимальных прогибов ${{\left( {{{y}_{{\max }}}} \right)}_{1}}$ при падении груза на первоначальную балку при имеющемся смещении ударного взаимодействия $x$ от ее середины (рис. 3, а), и прогиба ${{\left( {{{y}_{{\max }}}} \right)}_{2}}$ при падении груза в среднем сечении балки большей изгибной жесткости ${{E}_{1}}I_{1}^{'}$ (рис. 3, б), методика расчета ударной силы для которой известна [8].

При одинаковом материале обеих балок (${{E}_{1}} = {\text{const}}$), опуская ряд преобразований [20], можно рассчитать момент инерции поперечного сечения $I_{1}^{'}$ по формуле:

при $0 \leqslant \,x\, \leqslant \,{{l}_{1}}$.

3. Пример. Рассмотрим колебательный процесс, возникающий при ударном взаимодействии падающего груза массой ${{m}_{2}} = 10$ кг и имеющего предударную скорость V₀ = 1 м/с , с жестко заделанной П-образной статически неопределимой плоской рамой (рис. 4).

Длина ригеля 2l и высота стоек h равны 2 м, размер сечения стоек и ригеля 0.03 × × 0.03 м², материал – сталь СТ-5. Груз имеет форму цилиндра с длиной образующей L и падает строго в среднем сечении ригеля (х = 0, рис. 4). Координата $x$ точки приложения ударной силы отсчитывается от середины ригеля рамы в направлении исследуемой стойки (рис. 4). Рассматривается случай прямолинейной стойки рамы и случай начального прогиба стойки y₀ = 5 мм.

Для вычисления циклической частоты собственных колебаний рассматриваемой плоской рамы при внезапно приложенной силе P применяется метод Релея [1]:

где $s = \frac{h}{{2l}}$; $\beta = \frac{{{{A}_{2}}h}}{{2{{A}_{1}}{{l}_{{}}}}}$; $k = \frac{{{{I}_{1}}h}}{{2{{I}_{2}}l}}$; ${{I}_{1}},\,{{I}_{2}}$ – моменты инерции сечений ригеля и стойки относительно их продольных осей, ${{m}_{1}}$ – масса единицы длины ригеля, ${{A}_{1}}$ – площадь сечения ригеля, $A{}_{2}$ – площадь сечения стойки, $E{}_{1}$ – модуль упругости материала ригеля и стоек рамы. После подстановки исходных данных в формулу (3.1) получим значение $\omega = 149$ р/с.

Далее, реализуется замена ригеля жестко заделанной по обоим торцам балкой (рис. 2), имеющей ту же частоту собственных колебаний $\omega $, что и исходная рама (рис. 4). Изгибная жесткость и единичная масса балки и ригеля рамы совпадают. Длина $2{{l}_{1}}$ балки будет в этом случае отличаться от длины ригеля 2l. Для вычисления длины балки воспользуемся зависимостью, приведенной в [20]:

в соответствии с которой получим 2l₁ = 2.56 м.

Введение множителя 2 при ${{l}_{1}}$ удобно для последующей процедуры моделирования. Для решения уравнений продольных и поперечных колебаний (2.1), (2.2) груза задаются соответствующие начальные и граничные условия [8]:

где $f({{x}_{1}}) = \,0$ при $0 \leqslant {{x}_{1}} \leqslant {{l}_{1}} - 0$ и $f({{x}_{1}}) = {v}$ при ${{l}_{1}} + 0 \leqslant {{x}_{1}} \leqslant {{l}_{1}} + \alpha L$, $\alpha = \frac{{m{}_{2}}}{{2L{{m}_{1}}}}$условия для функции $y$ и каждой функции ${{X}_{k}}$ [8]: где $c$ – коэффициент пропорциональности между силой удара и местной деформацией; $A{}_{3}$ – площадь сечения падающего груза [8]. Условие г) получено из выражения для скачка $\frac{{{{\partial }^{3}}y}}{{\partial x_{1}^{3}}}$ в точке приложения сосредоточенной силы, которая равна $c[y({{l}_{1}} + 0) - y({{l}_{1}}$ – 0)]. Условие д) учитывает, что $\frac{{\partial y(l + 0)}}{{\partial x}} = \alpha \frac{{\partial y(l + 0)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ [8].

Далее, в соответствии с зависимостью (2.3), вычисляется ударная сила P в области контакта ригеля рамы и падающего груза. При дальнейших расчетах максимального прогиба стойки рамы, мы используем полученное значение величины ударной силы, возникающей при ударном взаимодействии груза и балки (рис. 2).

В результате падения груза на ригель рамы вертикальная стойка (рис. 5), являющаяся жестко заделанным стержнем по обоим торцам, будет испытывать воздействие продольной и поперечной нагрузки, изгибающего момента, вследствие чего возникнут поперечные колебания. Амплитуда колебаний будет рассчитана методом начальных параметров с применением волновой модели продольного удара, учитывая, что указанные выше нагрузки являются кратковременными [16–19].

Осуществляя переход к исходной раме, и учитывая вид закрепления ее ригеля, будем иметь значение продольной нагрузки, действующей на вертикальную стойку рамы $N$, зависящую при этом и от координаты х сечения ударного взаимодействия с грузом (рис. 4).

Применительно к стойке рамы используется новая система координат y, x (рис. 5), и задавая соответствующие граничные условия, решается дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня постоянного поперечного сечения, несущего равномерно распределенную массу [16]:

где $y$ – прогиб оси стержня (стойки), ξ = x/h относительная координата, ${{\nu }^{2}} = {{N{{h}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{N{{h}^{2}}} {{{E}_{1}}{{I}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{1}}{{I}_{2}}}}$; ${{u}^{4}}\, = \,\left( {{{m_{3}^{{}}\omega _{{}}^{2}{{h}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m_{3}^{{}}\omega _{{}}^{2}{{h}^{4}}} {E{}_{1}I_{2}^{{}}}}} \right. \kern-0em} {E{}_{1}I_{2}^{{}}}}} \right)$, $N$ – продольная сила (положительная при сжатии), h – высота стойки, E₁I₂ – изгибная жесткость стойки, $m{}_{3}$ – масса единицы длины стойки, $\omega $ – частота свободных колебаний рамы.

После ряда преобразований [16] применительно к рассматриваемой плоской раме (рис. 4), для обоих случаев соответственно, будем иметь:

где ${{F}_{\xi }}$ – функция, зависящая от корней уравнения (3.6) и параметра ξ; $F_{\xi }^{'}$, $F_{\xi }^{{''}}$, $F_{\xi }^{{{\text{III}}}}$, $F_{\xi }^{{{\text{IV}}}}$, $F_{\xi }^{{\text{V}}}$, $F_{\xi }^{{{\text{VI}}}}$ – производные этой функции.

После проведения расчетов, получим при y₀ = 5 мм искомую максимальную амплитуду колебаний стойки рамы $y_{{\max }}^{*} = 0.29$ мм и при y₀ равным нулю (прямолинейная стойка) $y_{{\max }}^{*} = 0.12$ мм.

4. Анализ результатов и выводы. В работе осуществлялось моделирование максимальной амплитуды поперечных колебаний стойки рамы в зависимости от различных значений начального прогиба левой стойки $y{}_{0}$ (рис. 4, 5), массы падающего груза ${{m}_{2}}$, предударной скорости груза $V{}_{0}$ и координаты падения груза x. Высота стойки рамы, длина ригеля, размеры сечения и материал остаются без изменений.

Результаты моделирования иллюстрированы на графиках (рис. 6, а–г). Цифрой 1 обозначена зависимость $y_{{\max }}^{*}$ для стойки рамы, имеющей постоянный начальный прогиб ${{y}_{0}} = 5$ мм, цифрой 2 – для прямолинейной стойки, при различных ${{m}_{2}}$ и ${{V}_{0}}$.

Зависимость $y_{{\max }}^{*}$ от начального прогиба y₀ стойки (рис. 6, а) представлена для интервала изменения y₀ от 0 до 10 мм при ${{m}_{2}}\, = 10$ кг и V₀ = 3 м/с.

График изменения $y_{{\max }}^{*}$ на рис. 6, б представлен в зависимости от массы груза, падающего в среднем сечении ригеля рамы (х = 0, рис. 4), при ${{V}_{0}}$ = 3 м/с.

Зависимость $y_{{\max }}^{*}$ от предударной скорости ${{V}_{0}}$ груза ${{m}_{2}}\, = 10$ кг, падающего на ригель в его среднем сечении (рис. 6, в) представлена для интервала изменения от 1 м/с до 10 м/с.

Зависимость $y_{{\max }}^{*}$ от координаты падения груза на ригель представлена для интервала изменения x от 0 до 0.81 в направлении исследуемой стойки рамы от среднего сечения ригеля (рис. 4). Результаты получены при ${{m}_{2}} = 10$ кг и ${{V}_{0}} = 1$ м/с (рис. 6, г).

На основании полученных результатов можно сформулировать следующие выводы:

1. Во всех случаях изменение амплитуды поперечных колебаний стойки $y_{{\max }}^{*}$ в зависимости от тех или иных параметров динамического процесса, имеет нелинейный характер (рис. 6, а–г).

2. При возрастании координаты х падения груза на ригель рамы амплитуда поперечных колебаний стойки, имеющей начальный прогиб, возрастает многократно быстрее в сравнении с амплитудой колебаний прямолинейной стойки, (рис. 6, г). Схожая картина имеет место и при возрастающей массе падающего груза (рис. 6, б), что вызывает немалый научный интерес.

3. С ростом предударной скорости груза амплитуды поперечных колебаний стойки в обоих исследуемых случаях возрастают практически одинаково (рис. 6, в).

Заключение. В представленной работе, с применением метода начальных параметров и подхода, учитывающего деформацию в области контакта соударяемых тел, изложена методика расчета амплитуды поперечных колебаний произвольной стержневой системы, испытывающей поперечный удар падающего груза. Учет местной деформации, как было отмечено выше, позволяет получить более точные результаты расчета ударной силы, поскольку в этом случае учитывается рассеяние энергии удара. Моделируя соударение тел, как абсолютно жестких, значения ударной силы получаются завышенными, поэтому применение методики расчета, разработанной в [8] с использованием линеаризации зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей существенно повышает точность расчета.

Дальнейшее развитие обозначенных в работе подходов в своей совокупности даст возможность расчета более разнообразных стержневых систем и конструкций, воспринимающих ударную нагрузку. Такие задачи актуальны при моделировании воздействий взрывов, землетрясений, и прочих аварийных ситуаций, сопровождающихся динамическим воздействием на различные сооружения.

Необходимо отметить, что представленная модель расчета ударной силы с учетом деформации в области контакта, позволяет осуществлять моделирование динамического взаимодействия груза и стержневых элементов конструкций из самых различных материалов, применяющихся в технике и строительстве.