Прикладная математика и механика. T. 87, Номер 4, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 4, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 4, стр. 589-603

О резонансных значениях параметров в задаче об устойчивости лагранжевых решений в близкой к круговой ограниченной задаче трех тел

А. П. Маркеев 1, *

1 Московский авиационный институт (НИУ)
Москва, Россия

* E-mail: anat-markeev@mail.ru

Поступила в редакцию 30.03.2023
После доработки 07.06.2023
Принята к публикации 20.06.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается ограниченная задача трех тел (материальных точек), движущихся под действием гравитационного притяжения по закону Ньютона. Орбиты основных притягивающих тел считаются эллипсами с малым эксцентриситетом, а пассивно гравитирующее тело может совершать произвольное пространственное движение вблизи треугольной точки либрации. Для функции Гамильтона, отвечающей такому движению, указана структура нормальной формы в случае резонансов третьего порядка. С точностью до второй степени эксцентриситета получены уравнения резонансных кривых для всех резонансов плоской ограниченной задачи трех тел до шестого порядка включительно.

Ключевые слова: ограниченная задача трех тел, треугольные точки либрации, резонанс

Точки либрации – точные решения ограниченной задачи трех тел открыты более 250-ти лет назад Эйлером [1] и Лагранжем [2]. В решении Эйлера три тела располагаются вдоль одной прямой (прямолинейные точки либрации), а в решениях Лагранжа они образуют равносторонний треугольник, лежащий в плоскости орбит основных притягивающих тел (треугольные точки либрации).

Анализу задачи об устойчивости точек либрации и о характере близких к ним движений посвящена обширная литература. Обсуждение основных полученных научных результатов и достаточно подробную библиографию можно найти, например, в [3–13]. Проведенный анализ и полученные результаты важны не только с общетеоретической точки зрения. Существуют проекты (некоторые из них уже осуществлены [14–16]) запуска космических аппаратов в окрестности точек либрации Солнечной системы (и, в частности, системы Земля–Луна) с целью решения практических задач космических исследований.

Пространственная ограниченная задача обладает характерной только для нее особенностью, состоящей в том, что она всегда является резонансной, так как период кеплеровского движения основных притягивающих тел равен периоду линейных колебаний пассивно гравитирующего тела вдоль направления нормали к плоскости их орбит.

Исследованию нелинейной задачи об устойчивости треугольных точек либрации в близкой к круговой ограниченной пространственной задаче трех тел посвящены работы [12, 13]. В этих работах предполагалось, что отсутствуют резонансы плоской ограниченной задачи до шестого порядка включительно. При помощи методов классической теории возмущений и КАМ-теории в [12, 13] показана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и указана оценка Нехорошева времени устойчивости для траекторий, начинающихся в дополнении к упомянутому большинству начальных условий.

В данной статье обсуждаются вопросы, связанные с нерассмотренными в [12, 13] резонансами. Для всех резонансов плоской ограниченной задачи до шестого порядка включительно получено аналитическое представление с точностью до второй степени эксцентриситета орбит основных притягивающих тел. Описана также структура нормальной формы Биркгофа функции Гамильтона в случае резонансов третьего порядка.

1. Введение. Функция Гамильтона возмущенного движения. Рассмотрим материальные точки Pi с массами mi ( i = 1, 2, 3), движущиеся под действием гравитационного притяжения по закону Ньютона. Считаем, что масса точки ${{P}_{3}}$ пренебрежимо мала по сравнению с массами точек ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{2}}$, поэтому орбита точки ${{P}_{2}}$ относительно точки ${{P}_{1}}$ определяется из задачи двух тел. Предположим, что она является эллипсом с эксцентриситетом $e$.

Для описания движения точки ${{P}_{3}}$ будем использовать безразмерные координаты Нехвилла, а в качестве независимой переменной примем истинную аномалию $\nu $ в эллиптическом движении точки ${{P}_{2}}$. Дифференциальные уравнения движения точки ${{P}_{3}}$ можно получить [7, 8, 12] в форме канонических уравнений с функцией Гамильтона $\Gamma $ вида

(1.1)
$\begin{gathered} \Gamma = \frac{1}{2}\left( {p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}} \right) + {{p}_{x}}y - {{p}_{y}}x + \frac{{e\cos \nu }}{{2(1 + e\cos \nu )}}\left( {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\Pi \\ \Pi = - \frac{{1 - \mu }}{{{{R}_{1}}}} - \frac{\mu }{{{{R}_{2}}}},\quad \mu = \frac{{{{m}_{2}}}}{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}}\quad \left( {0 < \mu \leqslant \frac{1}{2}} \right) \\ {{R}_{1}} = \sqrt {{{{(x + \mu )}}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}} {\text{ }},\quad {{R}_{2}} = \sqrt {{{{(x + \mu - 1)}}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}} \\ \end{gathered} $

Соответствующие этой функции канонические уравнения движения допускают решение

${{x}_{0}} = \frac{{1 - 2\mu }}{2},\quad {{y}_{0}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad {{z}_{0}} = 0,\quad {{p}_{{{{x}_{0}}}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad {{p}_{{{{y}_{0}}}}} = \frac{{1 - 2\mu }}{2},\quad {{p}_{{{{z}_{0}}}}} = 0,$
отвечающее треугольной точке либрации. Если по формулам
$x = {{x}_{0}} + {{u}_{1}},\quad y = {{y}_{0}} + {{u}_{2}},\quad z = {{u}_{3}},{\text{ }}{{p}_{x}} = {{p}_{{{{x}_{0}}}}} + {{{v}}_{1}},\quad {{p}_{y}} = {{p}_{{{{y}_{0}}}}} + {{{v}}_{2}},\quad {{p}_{z}} = {{{v}}_{3}},$
ввести возмущения ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}}$, $(j = 1,2,3)$, то точке либрации будет отвечать положение равновесия ${{u}_{j}} = {{{v}}_{j}}{\text{ }} = {\text{0}}$.

Разложив функцию (1.1) в ряд по степеням ${{u}_{j}},\;{{{v}}_{j}}$ и отбросив в нем слагаемое, не зависящее от ${{u}_{j}},\;{{{v}}_{j}}$, получим функцию Гамильтона возмущенного движения в виде ряда

(1.2)
$\Gamma = \sum\limits_{m = 2}^\infty {{{\Gamma }_{m}}} ,$
где ${{\Gamma }_{m}}$ – форма степени $m$ относительно ${{u}_{j}},\;{{{v}}_{j}}$ с $2\pi $-периодическими по $\nu $ коэффициентами. Первые пять форм получаются такими:

(1.3)
$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{\text{2}}}}{\text{ }} = \frac{1}{2}\left( {{v}_{1}^{2} + {v}_{2}^{2}} \right) + {{u}_{2}}{{{v}}_{1}} - {{u}_{1}}{{{v}}_{2}} + \frac{1}{8}u_{1}^{2} - k{{u}_{1}}{{u}_{2}} - \frac{5}{8}u_{2}^{2} + \frac{1}{2}\left( {u_{3}^{2} + {v}_{3}^{2}} \right) + \\ + \;\frac{{e\cos \nu }}{{8(1 + e\cos \nu )}}\left( {3u_{1}^{2} + 8k{{u}_{1}}{{u}_{2}} + 9u_{2}^{2}} \right) \\ \end{gathered} $
(1.4)
$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{\text{3}}}}{\text{ }} = \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\left[ { - \frac{{7\sqrt 3 k}}{{36}}u_{1}^{3} + \frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}u_{1}^{2}{{u}_{2}} + \frac{{11\sqrt 3 k}}{{12}}{{u}_{1}}u_{2}^{2} + \frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}u_{2}^{3}} \right. - \\ - \;\left. {\left( {\frac{{\sqrt 3 k}}{3}{{u}_{1}} + \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{{u}_{2}}} \right)u_{3}^{2}} \right] \\ \end{gathered} $
(1.5)
$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{\text{4}}}}{\text{ }} = \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\left[ {\frac{{37}}{{128}}u_{1}^{4} + \frac{{25k}}{{24}}u_{1}^{3}{{u}_{2}} - \frac{{123}}{{64}}u_{1}^{2}u_{2}^{2} - \frac{{15k}}{8}{{u}_{1}}u_{2}^{3} - \frac{3}{{128}}u_{2}^{4}} \right. + \\ + \;\left. {\left( {\frac{3}{{16}}u_{1}^{2} + \frac{{5k}}{2}{{u}_{1}}{{u}_{2}} + \frac{{33}}{{16}}u_{2}^{2}} \right)u_{3}^{2} - \frac{3}{8}u_{3}^{4}} \right] \\ \end{gathered} $
(1.6)
$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{\text{5}}}}{\text{ }} = \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\left[ {\frac{{23\sqrt 3 k}}{{576}}u_{1}^{5} - \frac{{285\sqrt 3 }}{{256}}u_{1}^{4}{{u}_{2}} - \frac{{215\sqrt 3 k}}{{288}}u_{1}^{3}u_{2}^{2} + \frac{{345\sqrt 3 }}{{128}}u_{1}^{2}u_{2}^{3} + } \right. \\ + \;\frac{{185\sqrt 3 k}}{{192}}{{u}_{1}}u_{2}^{4} - \frac{{33\sqrt 3 }}{{256}}u_{2}^{5} + \left( {\frac{{25\sqrt 3 k}}{{72}}u_{1}^{3} - \frac{{45\sqrt 3 }}{{32}}u_{1}^{2}{{u}_{2}} - \frac{{85\sqrt 3 k}}{{24}}{{u}_{1}}u_{2}^{2} - \frac{{45\sqrt 3 }}{{32}}u_{2}^{3}} \right)u_{3}^{2} + \\ + \;\left. {\left( {\frac{{5\sqrt 3 k}}{{12}}{{u}_{1}} + \frac{{15\sqrt 3 }}{{16}}{{u}_{2}}} \right)u_{3}^{4}} \right] \\ \end{gathered} $
(1.7)
$\begin{gathered} {{\Gamma }_{{\text{6}}}}{\text{ }} = \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\left[ { - \frac{{331}}{{1024}}u_{1}^{6} + \frac{{49k}}{{128}}u_{1}^{5}{{u}_{2}} + \frac{{6105}}{{1024}}u_{1}^{4}u_{2}^{2} - \frac{{35k}}{{64}}u_{1}^{3}u_{2}^{3} - } \right.\frac{{7965}}{{1024}}u_{1}^{2}u_{2}^{4} - \\ - \;\frac{{119k}}{{128}}{{u}_{1}}u_{2}^{5} + \frac{{383}}{{1024}}u_{2}^{6} + \left( { - \frac{{285}}{{256}}u_{1}^{4} - \frac{{35k}}{{16}}u_{1}^{3}{{u}_{2}} + \frac{{1395}}{{128}}u_{1}^{2}u_{2}^{2} + } \right. \\ + \;\left. {\frac{{175k}}{{16}}{{u}_{1}}u_{2}^{3} + \frac{{555}}{{256}}u_{2}^{4}} \right)u_{3}^{2} - \left. {\left( {\frac{{45}}{{64}}u_{1}^{2} + \frac{{35k}}{8}{{u}_{1}}{{u}_{2}} + \frac{{255}}{{64}}u_{2}^{2}} \right)u_{3}^{4} + \frac{5}{{16}}u_{3}^{6}} \right] \\ \end{gathered} $

В (1.3)–(1.7) для краткости введено обозначение $k = 3\sqrt 3 (1 - 2\mu ){\text{/}}4$.

2. Линейная задача. Линейным уравнениям возмущенного движения отвечает квадратичная часть ${{\Gamma }_{2}}$ в разложении функции Гамильтона (1.1) в ряд по степеням ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}}$ $(j = 1,2,3)$. Из (1.3) видно, что движение по плоским ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}}$ $(j = 1,2)$ и пространственным переменным ${{u}_{3}},\;{{{v}}_{3}}{\text{ }}$ разделяются, причем пространственным переменным отвечают гармонические колебания с частотой, равной единице.

Линейная система дифференциальных уравнений, соответствующая плоским переменным, имеет четвертый порядок. Характеристическое уравнение ее матрицы монодромии является возвратным и записывается в виде [3]

${{\rho }^{4}} - {{a}_{1}}{{\rho }^{3}} + {{a}_{2}}{{\rho }^{2}} - {{a}_{1}}\rho + 1 = 0,$
где ${{a}_{1}}$ – след матрицы монодромии, $a_{2}^{{}}$ – сумма всех ее главных миноров второго порядка. В плоскости коэффициентов ${{a}_{1}},\;a_{2}^{{}}$ область устойчивости в первом (линейном) приближении задается [3] системой неравенств

(2.1)
$ - 2 < {{a}_{2}} < 6,\quad 4({{a}_{2}} - 2) < a_{1}^{2} < \frac{1}{4}{{\left( {{{a}_{2}} + 2} \right)}^{2}}$

В плоскости параметров $\mu ,\;e$ область (3.2) получена в [4] (см. также рис. 12 в гл. 9 книги [8]). Для значений параметров $\mu ,\;e$, лежащих внутри области устойчивости, все шесть мультипликаторов имеют модули, равные единице. Сама же линейная система при помощи канонической $2\pi $-периодической по $\nu $ замены переменных

(2.2)
${{u}_{j}},{{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}},\quad {{Y}_{j}}(j = 1,2),\quad {{u}_{3}} = {{y}_{3}},\quad {{{v}}_{3}} = {{Y}_{3}},$
может быть приведена [3, 8] к системе трех независимых один от другого гармонических осцилляторов с частотами $\left| {{{\lambda }_{j}}} \right|$ $(j = 1,2,3)$, причем ${{\lambda }_{3}} = 1$, а для любых $\mu $ из области устойчивости
(2.3)
${{\lambda }_{1}} = 1 - \frac{1}{{2\pi }}\arccos \frac{{{{a}_{1}} + \sqrt {a_{1}^{2} - 4{{a}_{2}} + 8} }}{4}$
(2.4)
${{\lambda }_{2}} = \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{{2\pi }}\arccos \frac{{{{a}_{1}} - \sqrt {a_{1}^{2} - 4{{a}_{2}} + 8} }}{4}\quad {\text{при}}\quad \mu < {{\mu }_{{\text{0}}}} \hfill \\ - 1 + \frac{1}{{2\pi }}\arccos \frac{{{{a}_{1}} - \sqrt {a_{1}^{2} - 4{{a}_{2}} + 8} }}{4}\quad {\text{при}}\quad \mu > {{\mu }_{0}}{\text{, }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где

(2.5)
${{\mu }_{0}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{3} = 0.0285954792...$

В случае круговой задачи $(e = 0)$ точки либрации устойчивы в первом приближении, если параметр $\mu $ лежит в интервале

(2.6)
$0 < \mu < {{\mu }_{*}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt {69} }}{{18}} = 0.0385208965...$

При малых $e$ из точки (2.5) этого интервала исходит область параметрического резонанса (область неустойчивости ) [7, 8]. Далее будем считать, что параметр $\mu $ лежит в одном из интервалов, задаваемых неравенствами

(2.7)
$0 < \mu < {{\mu }_{*}},\quad \mu \ne {{\mu }_{0}}$

Тогда, если $e$ – достаточно малая величина, то точки либрации будут устойчивы в первом (линейном) приближении, и возмущенное движение пассивно гравитирующей точки вблизи точки либрации можно описать, используя упомянутую выше замену переменных (2.2), приводящую функцию Гамильтона (1.3) к функции Гамильтона ${{H}_{2}}$ трех гармонических осцилляторов:

(2.8)
${{H}_{2}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^3 {{{\lambda }_{j}}\left( {y_{j}^{2} + Y_{j}^{2}} \right)} $

Для строгого же анализа возмущенного движения необходим нелинейный анализ.

При $e = 0$ частоты малых колебаний в окрестности точек либрации равны ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}}$ и 1, где

(2.9)
${{\omega }_{1}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + 2\sqrt {1 - 27\mu (1 - \mu )} } ,\quad {{\omega }_{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - 2\sqrt {1 - 27\mu (1 - \mu )} } $

Величины ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ являются корнями биквадратного уравнения

(2.10)
${{\omega }^{4}} - {{\omega }^{2}} + \frac{{27}}{4}\mu (1 - \mu ) = 0$

Для них в рассматриваемых интервалах (2.7) изменения параметра $\mu $ справедливы неравенства

(2.11)
$0 < {{\omega }_{2}} < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < {{\omega }_{1}} < 1,\quad {{\omega }_{2}} \ne 1{\text{/}}2$

Для осуществления нелинейного анализа целесообразно сначала, при помощи сходящихся при малых $e$ рядов, построить каноническое преобразование ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}}$, ${{Y}_{j}}$ $(j = 1,2)$ из (2.2), одновременно получив разложения величин ${{\lambda }_{j}}$ по степеням $e$:

(2.12)
${{\lambda }_{1}} = \lambda _{1}^{{(0)}} + e\lambda _{1}^{{(1)}} + {{e}^{2}}\lambda _{1}^{{(2)}} + \cdots ,\quad {{\lambda }_{2}} = \lambda _{2}^{{(0)}} + e\lambda _{2}^{{(1)}} + {{e}^{2}}\lambda _{2}^{{(2)}} + \cdots $

В [8, 17] преобразование ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}}$, ${{Y}_{j}}$ $(j = 1,2)$ найдено с точностью до второй степени $e$ включительно и показано, что в разложении (2.12)

(2.13)
$\lambda _{1}^{{(0)}} = {{\omega }_{1}},\quad \lambda _{2}^{{(0)}} = - {{\omega }_{2}},\quad \lambda _{1}^{{(1)}} = \lambda _{2}^{{(1)}} = 0$
(2.14)
$\lambda _{1}^{{(2)}} = - \frac{{{{\omega }_{1}}\omega _{2}^{2}\left( {6\omega _{1}^{2} - 7} \right)}}{{4\left( {4\omega _{1}^{2} - 1} \right)\left( {2\omega _{1}^{2} - 1} \right)}},\quad \lambda _{2}^{{(2)}} = \frac{{{{\omega }_{2}}\omega _{1}^{2}\left( {6\omega _{2}^{2} - 7} \right)}}{{4\left( {4\omega _{2}^{2} - 1} \right)\left( {2\omega _{2}^{2} - 1} \right)}}$

Если параметры $\mu ,\;e$ таковы, что ${{s}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{s}_{2}}{{\lambda }_{2}} + {{s}_{3}}{{\lambda }_{3}} = n$, где ${{s}_{1}},\;{{s}_{2}},\;{{s}_{3}},\;n$ – целые числа, причем ${\text{|}}{{s}_{1}}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}{{s}_{2}}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}{{s}_{3}}{\text{|}} = s$, то имеет место резонанс порядка $s$. Изучаемая пространственная задача при любых $\mu ,e$ является резонансной, так как ${{\lambda }_{3}} = 1$. В плоской задаче ${{s}_{3}} = 0$ и резонанс порядка $s$ реализуется при значениях параметров $\mu ,\;e$, для которых

(2.15)
${{s}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{s}_{2}}{{\lambda }_{2}} = n\quad \left( {\left| {{{s}_{1}}} \right| + \left| {{{s}_{2}}} \right| = s} \right)$

В нелинейной задаче наиболее существенны резонансы низких порядков. В [12, 13] нелинейная задача изучалась в предположении об отсутствии резонансов (2.15) до шестого порядка включительно.

Вычисления показывают, что в интервалах (2.7) изменения параметра $\mu $ в случае плоской эллиптической задачи малого эксцентриситета $e$ возможны 5 резонансов (2.15) третьего, 8 резонансов четвертого, 16 резонансов пятого и 18 резонансов шестого порядков (см. Приложение). Из (2.12)–(2.15) можно получить, что в плоскости $\mu ,\;e$ этим 47-ми резонансам отвечают мало отличающиеся от парабол кривые

(2.16)
$\mu = {{\mu }^{{(0)}}} + {{e}^{2}}{{\mu }^{{(2)}}} + \cdots $

Здесь ${{\mu }^{{(0)}}}$ – порождающая точка, из которой на оси абсцисс $O\mu $ начинается резонансная кривая (2.15), а ${{\mu }^{{(2)}}}$ – задается равенством

(2.17)
${{\mu }^{{(2)}}} = \frac{{{{s}_{1}}\lambda _{1}^{{(2)}} + {{s}_{2}}\lambda _{2}^{{(2)}}}}{{{{s}_{2}}\frac{{d{{\omega }_{2}}}}{{d\mu }} - {{s}_{1}}\frac{{d{{\omega }_{1}}}}{{d\mu }}}},$
правая часть которого вычисляется при резонансном значении $\mu = {{\mu }^{{(0)}}}$. Число порождающих точек равно 38-ми, так как из трех из них исходят несколько резонансных кривых.

При $e = 0$ среди 47-ми резонансов (2.15) до шестого порядка включительно имеются кратные. Им отвечают три значения ${{\mu }^{{(0)}}}$ из рассматриваемых интервалов (2.7).

а) ${{\mu }^{{(0)}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2} - \sqrt {237\,849} {\text{/}}1014 = 0.0190358459...$. Здесь ${{\omega }_{1}} = {{12} \mathord{\left/ {\vphantom {{12} {13}}} \right. \kern-0em} {13}}$, ${{\omega }_{2}} = {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 {13}}} \right. \kern-0em} {13}}$ и при малых $e$ из точки ${{\mu }^{{(0)}}}$ исходят четыре резонансных кривых: $2{{\lambda }_{1}} - 3{{\lambda }_{2}} = 3$, $3{{\lambda }_{1}} + 2{{\lambda }_{2}} = 2$, ${{\lambda }_{1}} + 5{{\lambda }_{2}} = - 1$, $5{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}} = 5$.

б) ${{\mu }^{{(0)}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2} - {{\sqrt {674\,889} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {674\,889} } {1734}}} \right. \kern-0em} {1734}} = 0.0262305184...$. Для этого ${{\mu }^{{(0)}}}$ имеем ${{\omega }_{1}} = {{15} \mathord{\left/ {\vphantom {{15} {17}}} \right. \kern-0em} {17}}$, ${{\omega }_{2}} = {8 \mathord{\left/ {\vphantom {8 {17}}} \right. \kern-0em} {17}}$, а при малых $e$ есть две резонансные кривые ${{\lambda }_{1}} + 4{{\lambda }_{2}} = - 1$ и $4{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}} = 4$.

в) ${{\mu }^{{(0)}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2} - {{\sqrt {4857} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {4857} } {150}}} \right. \kern-0em} {150}} = 0.0353854644...$. Здесь ${{\omega }_{1}} = {4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 5}} \right. \kern-0em} 5}$, ${{\omega }_{2}} = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 5}} \right. \kern-0em} 5}$, а из точки ${{\mu }^{{(0)}}}$ исходят шесть резонансных кривых: $3{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}} = 3$, $5{{\lambda }_{1}} = 4$, $2{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} = 1$, ${{\lambda }_{1}} + 3{{\lambda }_{2}} = - 1$, $5{{\lambda }_{2}} = - 3$, ${{\lambda }_{1}} - 2{{\lambda }_{2}} = 2$.

Если же величина $e$ отлична от нуля, но достаточно мала, то все 47 рассматриваемых резонансных кривых не пересекаются и, следовательно, каждый из резонансов (2.15) до шестого порядка включительно в плоской эллиптической задаче является однократным.

Помимо отмеченной кратности резонансов круговой задачи, к вычислительным трудностям анализа нелинейной задачи может привести также “густота” расположения порождающих точек ${{\mu }^{{(0)}}}$ вблизи значений $\mu = 0$ и $\mu = {{\mu }_{*}}$, являющихся границами области (2.6) устойчивости при $e = 0$.

Заключение. Укажем задачи, которые следует решить в продолжение начатого в статье исследования.

1. Получение нормальной формы функции Гамильтона возмущенного движения пространственной задачи при всех 47-ми резонансах 3-го–6-го порядков с точностью до второй степени $e$ включительно, а, может быть (если потребуется) и до более высоких степеней $e$.

2. Детальный анализ приближенной системы, получаемой отбрасыванием в нормализованной функции Гамильтона членов выше четвертой степени по ${{q}_{j}},{{p}_{j}}$ $(j = 1,2,3)$ (при резонансах третьего порядка) или членов выше шестой степени при резонансах 4-го–6-го порядков.

3. Изучение возможности распространения результатов анализа приближенной системы на полную систему.

4. Исследование случая значений эксцентриситета, не являющихся малыми.

Список литературы

  1. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum // Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 1767. V. 11. P. 144–151.

  2. Lagrange J.L. Essai sur le Proble`me des Trois Corps // Oeuvres de Lagrange J. V. 6. Paris: Gauthier Villars, 1873. P. 229–324.

  3. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч., Т. 1. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 327–401.

  4. Danby J.M.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // Astron. J. 1964. V. 69. Iss. 2. P. 165–172.

  5. Giacaglia G.E.O. Characteristics exponents at L4 and L5 in the elliptic restricted problem of three bodies // Celest. Mech. & Dyn. Astron. 1971. V. 4. Iss. 3/4. P. 468–489.

  6. Nayfeh A.H., Kamel A.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // AIAA J. 1970. V. 8. Iss. 2. P. 221–223.

  7. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 456 с.

  8. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

  9. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4π-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрон. ж. 2009. Т. 86. № 2. С. 170–174.

  10. Kovacs T. Stability chart of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2013. V. 430. Iss. 4. P. 2755–2760.

  11. Исанбаева Н.Р. О построении границ областей устойчивости треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Вестн. Башкирского ун-та. Математика и механика. 2017. Т. 22. № 1. С. 5–9.

  12. Маркеев А.П. Об устойчивости лагранжевых решений в пространственной близкой к круговой ограниченной задаче трех тел // ПММ. 2021. Т. 85. Вып. 4. С. 503–515.

  13. Markeev A.P. On the metric stability and the nekhoroshev estimate of the velocity of Arnold diffusion in a special case of the three-body problem // R&C Dyn. 2021. V. 26. № 4. P. 321–330.

  14. Кононенко А. Точки либрации системы Земля–Луна // Авиация и космон. 1968. № 5. С. 71–73.

  15. Аверкиев Н.Ф., Васьков С.А., Салов В.В. Баллистическое построение систем космических аппаратов связи и пассивной радиолокации лунной поверхности // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т.51. № 12. С. 66–72.

  16. Salazar F., Winter O., Macau E., Masdemont J., Gomez G. Natural configuration for formation flying around triangular libration points for the elliptic and the bicircular problem in the Earth – Moon System (IAC-14-C1. 1. 13. x25737) // The 65th Int. Astron. Congress. Toronto, Canada. September 29 – October 3, 2014. 14 p.

  17. Маркеев А.П. О нормальных координатах в окрестности лагранжевых точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2020. Т. 30. № 4. С. 657–671.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал