Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 4, стр. 684-695

Актуальность теории идеальной пластичности обусловлена важными приложениями во многих областях техники (оценка прочности и несущей способности конструкций, обработка металлов), задачах геофизики и геологии. Рассмотрению пространственных задач теории пластичности, изучению различных математических вопросов, в частности построению теории с условием пластичности Треска посвящены следующие работы [1, 2]. Первое аналитическое решение пространственной динамической задачи было найдено с помощью группового анализа [3], исследованиям в этой области посвящены современные статьи [4, 5].

При деформировании большинство пластических материалов заметно изменяют форму перед разрушением, то есть имеет место процесс локализации деформации. Динамическая задача о шейке при одноосном растяжении листа и стержня с постоянной скоростью исследовалась в работах [6, 7] с применением линейного анализа устойчивости, где продемонстрирован инерционный эффект, заключающийся в том, что число шеек увеличивается с увеличением скорости растяжения. В [8] проведен анализ динамической задачи о растяжении идеально жесткопластического бесконечного листа с критерием пластичности Мизеса в плоской постановке с использованием метода асимптотического интегрирования. Асимптотические разложения использовались в [9, 10] для исследования осесимметричных задач о динамическом растяжении стержня и слоя соответственно. В приведенных работах, в случае когда ускорение, заданное в областях кинематических граничных условий, достаточно высоко, приближенно получены параметры напряженно-деформированного состояния и аппроксимация границы области квадратичным трехчленом.

Настоящая работа посвящена задаче о растяжении идеально жесткопластической пластины. С использованием метода асимптотического интегрирования, выявлено два характерных режима растяжения, реализующихся при переходе от квазистатики к динамическому деформированию. Каждый из них связан с достижением некоторых безразмерных функций времени определенных порядков малости по отношению к малому геометрическому параметру, характеризующему форму пластины. Одна из групп безразмерных функций представляет собой обратные числа Эйлера, другая зависит от ускорений, с которыми боковые поверхности удаляются от центра. При реализации режима связанного с достижением ускорений своих критических значений, приближенно вычислены параметры напряженно-деформированного состояния, в частности получена аппроксимация поверхности пластины параболоидом, позволяющая моделировать шейкообразование.

1. Постановка задачи о динамическом растяжении пластины. Рассмотрим деформирование во времени пластины из однородного несжимаемого идеально жесткопластического материала, подчиняющегося критерию пластичности Мизеса–Генки с плотностью ρ и пределом текучести σ_s. Область Ω_t, занятая пластиной в момент t, представляет собой вытянутую симметричную область с неизменным во времени объемом |Ω_t| и в прямоугольной системе координат связанной с плоскостью симметрии пластины имеет вид

Средняя высота h* определяется в (1.2) таким образом, чтобы объем пластины с прямоугольным сечением имеющей измерения 2l₁, 2l₂ и высоту 2h* равнялся |Ω_t|.

Верхняя и нижняя поверхности x₃ = ±h(x₁, x₂, t) свободны от напряжений, а на боковых сторонах x_i = l_i(t), где i = 1,2, заданы продольные скорости

Отметим, что случай V₂ ≡ 0, экспериментально реализованный в квазистатике [11] растяжением широких рулонов листового металла, соответствует плоской деформации по ширине пластины. Разрушению пластины при растяжении как вдоль направления прокатки, так и в поперечном направлении может предшествовать диффузная локализация деформации либо образование полосы сдвига.

Итак, рассматривается растяжение пластины с заданной кинематикой движения ее боковых сторон. Функции l₁l₂ и h* являются соответственно монотонно возрастающей и монотонно убывающей. Векторные определяющие соотношения идеально жесткопластической среды имеют следующий вид

где $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $ и ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$ девиатор напряжений и тензор скоростей деформаций, ${{\sigma }_{u}}$ и ${{{v}}_{u}}$ их интенсивности соответственно. Исключая интенсивности из соотношений (1.4), можно образовать пропорции, ${{s}_{{11}}}{{{v}}_{{12}}}$ = ${{s}_{{12}}}{{{v}}_{{11}}}$, ${{s}_{{22}}}{{{v}}_{{13}}}$ = ${{s}_{{13}}}{{{v}}_{{22}}}$, ${{s}_{{11}}}{{{v}}_{{22}}}$ = ${{s}_{{22}}}{{{v}}_{{11}}}$, ${{s}_{{33}}}{{{v}}_{{23}}}$ = ${{s}_{{23}}}{{{v}}_{{33}}}$, преобразующиеся к следующему виду, где индекс после запятой обозначает дифференцирование по соответствующей переменной:

Условие пластичности Мизеса–Генки σ_u = σ_s запишется следующим образом:

где, ${{\tau }_{s}} = \frac{{{{\sigma }_{s}}}}{{\sqrt 2 }}$ – предел текучести при сдвиге.

Выпишем условия несжимаемости, а также уравнения движения:

где i = 1, 2, 3; а s₃₃ из (1.8) можно исключить.

Нелинейная система девяти уравнений (1.5)–(1.8) замкнута относительно девяти функций ${{{v}}_{1}}$, ${{{v}}_{2}}$, ${{{v}}_{3}}$, p, s₁₁, s₁₂, s₁₃, s₂₂, s₂₃ зависящих от x₁, x₂, x₃ и t в области Ω_t с заранее неизвестной частью границы x₃ = ±h(x₁, x₂, t), которая характеризуется нормалью n:

На этой части границы выполнены условия равенства нулю трех компонент вектора напряжений:

Для строгой постановки начально-краевой задачи, рассматриваемой при t > 0, необходимо задать функцию h(x₁, x₂, 0) = h₀(x₁, x₂), удовлетворяющую интегральному условию

На основании того, что область Ω_t симметрична, предположим, что s₁₃, s₂₃, ${{{v}}_{3}}$ нечетны по x₃.

2. Квазистатический режим растяжения. Квазистатическая постановка задачи о растяжении идеально жесткопластической пластины отличается от динамической тем, что в правых частях уравнений (1.8) стоят нули, т.е. время t становится параметром, входящим в решения неявно через l_i, V_i. Уравнения (1.8) превращаются в уравнения равновесия.

Аналитическое решение квазистатической задачи несложно получить, если в начальный момент времени пластина имела форму прямоугольного параллелепипеда, т.е. h₀= const. Будем обозначать параметры этого решения верхним индексом “qs”. Имеем:

У тензора напряжений только две ненулевые компоненты σ₁₁, σ₂₂. Кинематика (2.1) обеспечивает отсутствие жестких зон в Ω_t, так как

во всех точках пластины.

Исследуем далее вопрос о том, при каких соотношениях безразмерных параметров системы (или на каких временах) выписанное выше квазистатическое приближение является главным и им можно ограничиться в технологических расчетах, а когда инерционные эффекты, вызванные слагаемыми в правых частях уравнений (1.8), начинают играть соизмеримую роль в распределении напряжений и движений точек внутри пластины.

3. Асимптотическое разложение. Обратимся к динамическим уравнениям (1.8) и образуем явно зависящие от времени безразмерные параметры:

Первый из них – малый геометрический параметр, следующая за ним группа – обратные числа Эйлера, последняя – характеризует ускорение с которым боковые грани удаляются от центра пластины. На разных интервалах процесса растяжения порядок малости выписанных параметров по α может меняться. От этого зависит вклад инерционных слагаемых в уравнениях движения. Помимо выписанных групп в обезразмеренные уравнения входят следующие параметры зависящие от времени – l₁/l₂, V₂/V₁. От порядка их малости по α также зависит вид исследуемых уравнений. В данной работе рассмотрим частный случай l₁/l₂= O(1), V₂/V₁= O(1).

Представим разложения девяти неизвестных функций в виде регулярных асимптотических рядов по целым степеням малого асимптотического параметра α (в [9, 10] аналогичные по структуре разложения использовались при анализе растяжения осесимметричных стержня и слоя соответственно, в [12] разложения использовались в анализе задачи Прандтля):

Безразмерные коэффициенты рядов (3.2) зависят от новых безразмерных координат η₁, η₂, η₃ и безразмерного времени τ. Область пластины Ω_t (1.1) в любой момент времени описывается неравенствами

Отметим, что порядок малости по α безразмерных производных ∂h/∂x_i и ∂ξ/∂η_i разный. Так как функция τ(t) монотонно возрастает, якобиан замены переменных ∂(η₁, η₂, η₃, τ)/∂(x₁, x₂, x₃, t) отличен от нуля, т.е. она невырожденна. Имеет место замена дифференциальных операторов:

Из определения малого параметра (3.1) и средней высоты пластины (1.2) следуют кинетические соотношения:

Подставим ряды (3.2) в девять уравнений (1.5–1.8) и граничные условия (1.3), (1.10). С учетом формул (3.5)–(3.8) получим систему, состоящую из уравнений движения (1.8)

условия несжимаемости (1.9), которое в силу линейности, может быть записано в виде рекуррентной цепочки (коэффициенты с отрицательными индексами считаются равными нулю) критерия Мизеса–Генки (1.6) условия пропорциональности девиатора напряжений и тензора скоростей деформаций (1.5)

Граничные условия (1.3) имеют вид, где i = 1,2:

Нижняя граница получается из верхней отражением, поэтому в (1.10) оставим знак “+”. Условия того, что верхняя грань свободна от напряжений (1.10) следующие:

Безразмерные параметры ε_ij и ε_i входят только в уравнения (3.9–3.11). На тех или иных временных интервалах порядок их малости по сравнению с α(t) может меняться. От этого зависит учет или неучет слагаемых в правых частях уравнений в процессе приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра.

4. Метод асимптотического интегрирования. Воспользуемся методом асимптотического интегрирования [8–10, 12, 13] задачи (3.9)–(3.21), заключающемся в последовательном решении замкнутых систем уравнений относительно ${v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ n \right\}}}$, ${{p}^{{\left\{ n \right\}}}}$, где n ≥ 0, в области ${{\Omega }_{\tau }}$ с заранее неизвестной частью границы η₃= = ±ξ(η₁, η₂, τ).

Обратимся к первому уравнению (3.12): ${v}_{{{{\eta }_{3}},{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$. Из этого уравнения следует, что ${v}_{{{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = {v}_{{{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$, а с учетом требования антисимметричности по η₃ получаем ${v}_{{{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$.

Из рекуррентной цепочки (3.12) при n = 1 и уравнений (3.15), (3.17) при n = 0 получаем

где g₁= l₁/l₂, g₂= V₂/V₁. Следовательно, ${v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = {v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$, ${v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = {v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$, ${v}_{{{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$ = = $ - {{\eta }_{3}}\frac{{{v}_{{{{\eta }_{1}},{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} + {{g}_{1}}{{g}_{2}}{v}_{{{{\eta }_{2}},{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}}}{{1 + {{g}_{1}}{{g}_{2}}}}$. Потребуем, чтобы найденные компоненты вектора скорости совпали с компонентами (2.1) в квазистатике, в таком случае

Линейные зависимости (4.2) имеют место для любых соотношений порядков малости по α параметров ε_ij(t), ε_i(t). Рассмотрев первое уравнение в (3.13), уравнение из (3.14) при n = 0, из (3.15) при n = 1, из (3.16) при n = 0 и из (3.17) при n = 1, получим незамкнутую систему уравнений относительно $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{1}},{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{2}},{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$:

Для замыкания системы (4.3) необходимо рассмотреть конкретный режим растяжения. Отметим что ε₁₂= g₂ε₁₁, ε₂₂= $g_{2}^{2}$ε₁₁, где g₂= O(1), поэтому для обратных чисел Эйлера достаточно задать только порядок ε₁₁ по α.

Из (3.9)–(3.11) следует, что на временных интервалах, где одновременно ε₁₁α²= = o(1), ε₁= o(1), ε₂= o(1) после приравнивания нулю коэффициентов при α⁰ в (3.9) и (3.10), с учетом (4.3), получим следующую систему уравнений:

Из последних уравнений получаем, что $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$, а с учетом требования нечетности $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ по η₃ получаем

Таким образом пришли к напряженному состоянию, соответствующему квазистатическому растяжению пластины с горизонтальной границей. Также, приравнивая коэффициенты при α⁰, из (3.11) следует, что $p_{{,{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} + s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{1}},{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} + s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{2}},{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ = 0.

Итак, в рамках сделанных предположений о порядках g₁ и g₂, динамические эффекты начинают играть роль и вносить вклад в напряженно-деформированное состояние, сопоставимый с квазистатикой, если выполняется хотя бы одно из требований: а) параметр ε₁₁ становится порядка αⁿ, n ≤ –2; б) один из параметров ε₁ или ε₂ становится порядка α^m, m ≤ 0.

Остановимся в данной работе на случае, когда ε₁₁= o(α^–2) и ε₁= O(1), ε₂= O(1). Дадим оценку размерных величин, при которых реализуется данный режим растяжения пластины. Константа ρ/τ_s как для металлов и сплавов, так и для большинства полимеров, имеет порядок 10^–5–10^–4 с²/м². Если взять временной интервал, на котором α ~ 10^–1, а h* ~ 10^–2 м, то соотношения порядков ε₁₁= o(α^–2) будут реализовываться при скоростях V₁ не больше чем 10² м/с, а ε_i = O(1) при ускорениях ${{\dot {V}}_{i}}$ ~ 10⁶–10⁷м/с².

Рассмотрев коэффициенты при α⁰ в (3.9)–(3.11) и добавив уравнения к (4.3) получим замкнутую систему относительно $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 2 \right\}}}$:

Два первых уравнения (4.6) замыкают систему, а последнее служит для определения давления ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$. Решение системы (4.6) следующее:

где функции  f₁(η₁, η₂, τ),  f₂(η₁, η₂, τ) определяется из последующих по α приближений. Заметим, что если одновременно устремить ε₁ и ε₂ к нулю, то компоненты девиатора (4.7) будут стремиться к квазистатическому решению.

Вид функции ${v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$, ${v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}$ позволяет сделать следующие выводы:

1. Точно однородным граничным условиям на торцах пластины η_i = ±1, где i = 1, 2, удовлетворить не удается.

2. Когда $\eta _{1}^{2} + \eta _{2}^{2} \to 0$, т.е. при стремлении к средней оси пластины, $\left| {{v}_{{{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}} \right| \to \infty $, $\left| {{v}_{{{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 1 \right\}}}} \right| \to \infty $. Это говорит о потере асимптотичности в смысле Пуанкаре вблизи оси (0, 0, η₃) ряда (3.2) для скоростей ${{{v}}_{1}}$, ${{{v}}_{2}}$.

Из этих выводов следует, что использование асимптотических рядов (3.2) вблизи торцов пластины, т.е. в зоне краевого эффекта и в середине, где происходит перестройка течения, неправомерно. По своей геометрии область неприменимости асимптотического разложения напоминает задачу Прандтля [12].

5. Уравнения для определения формы границы пластины. Обратимся к граничным условиям (3.19–3.21) на неизвестной границе пластины η₃= ξ(η₁, η₂, τ). Порядок малости по α производных ∂ξ/∂η₁, ∂ξ/∂η₂ заранее неизвестен. Предположение о том, что хотя бы одна из производных имеет порядок 1, например ∂ξ/∂η₁ ~ 1, т.е. ∂h/x₁ ~ α, приводит к противоречию. В таком случае из (3.19) будем иметь на границе $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$. Но согласно (4.7) компонента $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{3}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ равна нулю только при ξ = 0 или при η₁= 0. Ни одно из этих уравнений форму границу описывать не может, что говорит о неправомерности предположения ∂ξ/∂η₁ ~ 1.

Пусть ∂ξ/∂η₁ ~ 1/α, ∂ξ/∂η₂ ~ 1/α, т.е. ∂h/x₁ ~ 1, ∂h/x₂ ~ 1. Тогда, в главном по α приближении, условия (3.19)–(3.21) имеют вид

Исключая ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$ из равенств (5.1) используя третье уравнение и подставляя компоненты девиатора (4.7) получим нелинейную систему уравнений для определения функции ξ:

Необходимо учесть также интегральное условие нормировки (3.5).

Для приближенного интегрирования уравнения заметим, что если положить ε₁= = ε₂= 0, то с учетом (3.5) получим ξ ≡ 1, что соответствует горизонтальной поверхности в квазистатическом решении. Представим функцию ξ(η₁, η₂, τ) в виде ряда по ε₁ и ε₂:

и подставим в (5.2) и интегральное условие (3.5). В линейном приближении по ε₁, ε₂ для ξ₁ и ξ₂ будем иметь уравнения откуда после интегрирования и нормировки получаем приближение границы пластины параболоидом моделирующее утоньшение в середине пластины и утолщение по краям при динамическом растяжении, т.е. шейкообразование при динамическом растяжении.

Найдем последний из неопределенных коэффициентов главного по α приближения (3.2) – давление ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$. Для этого воспользуемся третьим уравнением (4.6) и последним граничным условием (5.1). Следовательно всюду в области ${{\Omega }_{\tau }}$:

куда из (4.7) подставлены компоненты $s_{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{1}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{{{\eta }_{2}}{{\eta }_{2}}}}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ девиатора напряжений. В (5.6) входит функция, удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений (5.2). В качестве ее приближенного значения может быть использована аппроксимация (5.5). В отличие от квазистатического решения, с точностью до первых по α членов разложения (3.2), все компоненты тензора напряжений, кроме σ₁₂ отличны от нуля.

Таким образом, переход от квазистатики к динамическому режиму растяжения пластины, характеризующийся достижением безразмерных фунций ε₁, ε₂ своих критических значений, влечет за собой образование и рост шейки в средней части пластины. Параметры напряженно-деформированного состояния и других инерционных эффектов точно или приближенно найдены выше.