Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 5, стр. 820-828

1. Введение. Вопрос о гашении колебаний упругих систем с помощью граничных и распределенных сил является одним из классических вопросов теории управления. Исследованиям в этой области посвящено очень большое количество работ как российских, так и зарубежных авторов. Впервые систематически такие задачи рассматривались в [1], подробный и довольно полный обзор приведен в [2]. В этих работах рассматриваются в основном задачи граничного управления. В работе [3] рассматривается вопрос о приведении различных систем, заданных дифференциальными уравнениями, в состояние покоя за конечное время с помощью распределенных малых по абсолютной величине сил. В этой работе с помощью разложений в ряд Фурье по собственным функциям задача сводится к счетной системе простейших колебательных звеньев, для каждого из которых строится синтез оптимального по быстродействию управления. Задача о гашении колебаний квадратной пластины с помощью граничного управления была рассмотрена в [4]. В этой работе задача управления также сводится к счетной системе связанных между собой простейших колебательных звеньев.

Аналогичные вопросы рассматривались и для интегро-дифференциальных уравнений с интегральными слагаемыми типа свертки. В работах [5–10] показано, что для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений задача о гашении колебаний может и не иметь решения, но при этом с помощью сколь угодно малых возмущений в ядрах свертки для нелокальных членов система может быть приведена к вполне управляемой. Это означает, что для указанных интегро-дифференциальных систем свойство полной управляемости не является устойчивым.

В настоящей работе предложен метод, с помощью которого можно показать, что колебательные системы, соответствующие мембране и пластине, могут быть приведены в состояние покоя распределенным управлением, у которого ограничена не только абсолютная величина управляющей силы, но и абсолютная величина ее производных от функции, которая задает эту силу. Мы полагаем, что такое же свойство имеет место и для систем с граничным управлением, однако этот результат еще не опубликован. Системы же с интегро-дифференциальными операторами, как правило, не являются вполне управляемыми с помощью граничных сил, на что впервые было указано в работе [10].

2. Управление колебаниями маятника с помощью внешней силы. Рассмотрим задачу управления

${\text{|}}f(t){\text{|}} \leqslant \varepsilon $, $f(t)$ – внешняя управляющая сила, $\varepsilon = {\text{const}} > 0$, с начальными условиями

Задача: Найти $T > 0$ и $f(t)$, ${\text{|}}{\kern 1pt} f(t){\text{|}} \leqslant \varepsilon $ такие, чтобы $u(T) = \;\dot {u}(T) = 0$ и $f(t) \equiv 0$ для всех $t \geqslant T$.

Решение этой задачи даже в случае поиска оптимального по быстродействию решения хорошо известно [15]. Управляющая функция содержит конечное число переключений. В настоящей работе мы получим неоптимальное по быстродействию, но гладкое и явное выражение для управляющей функции.

Теорема 1. Существует решение поставленной задачи управления, именно, существует $T > 0$, такое что функция $f(t,T)$ = ${{C}_{1}}(T)\sin (\omega t)$ + ${{C}_{2}}(T)\cos (\omega t)$ удовлетворяет неравенству ${\text{|}}{\kern 1pt} f(t,T){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \varepsilon $, $u(t) \equiv 0$ при $t \geqslant T$. Кроме того, справедлива оценка

Доказательство: На основании хорошо известных формул решения линейного неоднородного уравнения (2.1) условия гашения колебаний принимают вид

Будем искать управляющую силу $f(t)$ в виде

постоянные $T,{{C}_{1}}(T),{{C}_{2}}(T)$ подлежат определению.

Введем обозначения

$\bar {U} = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \omega \,{{u}_{0}}\cos \omega \,t + {{u}_{1}}\sin \omega \,t} \\ {\omega \,{{u}_{0}}\sin \omega \,t - {{u}_{1}}\cos \omega \,t} \end{array}} \right\|$ – вектор размерности 2,

$\bar {C} = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{C}_{1}}(T)} \\ {{{C}_{2}}(T)} \end{array}} \right\|$ – вектор размерности 2,

$A = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_0^T {\sin \omega (T - \tau )\sin (\omega \tau )} d\tau }&{\int\limits_0^T {\cos \omega (T - \tau )\sin (\omega \tau )} d\tau } \\ {\int\limits_0^T {\cos \omega (T - \tau )\sin (\omega \tau )} d\tau }&{\int\limits_0^T {\cos \omega (T - \tau )\cos (\omega \tau )} d\tau } \end{array}} \right\|$ – матрица размерности $2 \times 2$.

Тогда уравнение для определения постоянных $T,{{C}_{1}}(T),{{C}_{2}}(T)$ можно записать в виде

Используя хорошо известные тригонометрические формулы, матрицу $A$ можно записать в виде

Тогда

откуда и, следовательно, для достаточно больших $T$ система (2.5) разрешима.

Найдем теперь постоянные ${{C}_{1}}(T),{{C}_{2}}(T)$, пользуясь правилом Крамера. Для этого обозначим ${{M}_{1}}(T)$ и ${{M}_{2}}(T)$ определители матриц, полученных заменой в матрице $A$ первого и второго столбцов на вектор $\bar {U}$ соответственно. Тогда

Вычисления показывают, что

Отсюда при достаточно больших T очевидно вытекают неравенства

С учетом формулы (2.6) можно утверждать, что

поэтому для больших $T > 0$ выполнено требуемое неравенство ${\text{|}}{\kern 1pt} f(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \varepsilon $.

Следствие. Время остановки колебаний $T \sim C{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$, для малых $\varepsilon > 0$, где $C = {\text{const}}$ не зависит от $\varepsilon > 0$.

3. Задача остановки колебаний мембраны и пластины с помощью малой и гладкой внешней силы. Рассмотрим теперь задачу об оптимальном управлении колебательными процессами, которые задаются системами уравнений с частными производными с краевыми условиями в области $\Omega $, которая может иметь размерность $d = 2,3$. Границу области будем считать гладкой. Рассмотрим дифференциальные уравнения

Функция $f(t,x)$ является управляющим воздействием, приводящим системы в покой и которую необходимо найти как гладкую функцию. Краевые условия: ${{u}_{{{\kern 1pt} \left| {\partial \Omega } \right.}}} = 0$ для уравнения (3.1) и ${{\left. u \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0$, ${{\left. {\Delta u} \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0$ для уравнения (3.2), начальные условия для уравнений (3.1)–(3.2) имеют вид: ${{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = {{u}_{0}}(x)$, ${{\left. {\dot {u}} \right|}_{{t = 0}}} = {{u}_{1}}(x)$.

Для случая уравнения колебания пластины мы для простоты формулировки ограничиваемся начальным условием типа шарнирного закрепления, все полученные результаты будут верны и для случая общих граничных условий, удовлетворяющих условию Шапиро–Лопатинского, поскольку приводимая ниже оценка для модуля собственных функций справедлива в самом общем случае.

Ниже будет исследован вопрос о том, при каких начальных условиях ${{u}_{0}},{{u}_{1}}$ существуют гладкая функция $f(t,x)$ по абсолютной величине меньше $\varepsilon > 0$ и постоянная $T > 0$, такие что $u \equiv 0$ при $t > T$.

4. Вспомогательные математические утверждения. Определение 1. Будем обозначать $f \in H_{D}^{k}(\Omega )$, если $f \in {{H}^{k}}(\Omega )$ и ${{\left. f \right|}_{{\partial \Omega }}}$ = … = ${{\Delta }^{{\left[ {\frac{{k - 1}}{2}} \right]}}}{{\left. f \right|}_{{\partial \Omega }}}$ = 0.

Теорема 2. Если $f \in H_{D}^{k}(\Omega )$, то $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\text{|}} {\kern 1pt} {{f}_{n}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{{\kern 1pt} }^{2}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\lambda }_{n}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{k}} < \infty $, где ${{f}_{n}}$ – коэффициенты ряда Фурье при разложении по собственным функциям задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ${{\lambda }_{n}}$ – собственные значения $\Delta {{u}_{n}} = {{\lambda }_{n}}{{u}_{n}}$ в $\Omega $ [12].

Определение 2. Будем обозначать $f \in {{A}_{p}}$, если ${\text{|}}{{c}_{n}}{\text{|}} \leqslant \frac{C}{{{{n}^{p}}}}$, ${{c}_{n}}$ – коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции $f$ по собственным функциям соответствующих задач на собственные значения и собственные функции.

Утверждение 1. Связь между параметрами $p$ и $k$ в определении пространств ${{A}_{p}}$ и $H_{D}^{k}(\Omega )$ имеет вид: $p = k{\text{/}}2$ (для оператора Лапласа).

Утверждение 1 является следствием асимптотики Куранта–Вейля, ${{\lambda }_{n}} \sim {{n}^{{\frac{{2m}}{d}}}}$, $2m$ – порядок оператора, $d$ – размерность пространства.

Теорема 3. Пусть $\left\{ {{{\Phi }_{k}}(x)} \right\}$ – собственные функции задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ${{\left\| {{{\Phi }_{k}}(x)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}} = 1$. Тогда $\mathop {\max }\limits_\Omega {\text{|}}{{\Phi }_{k}}(x){\kern 1pt} {\text{|}}$ ≤ $\omega _{{_{k}}}^{{\frac{{d - 1}}{2}}}\ln {{\omega }_{k}}$, $\omega _{{_{k}}}^{2} \equiv {{\lambda }_{k}}$ [13].

Теорема 4. Пусть $\left\{ {{{\Phi }_{k}}(x)} \right\}$ – семейство собственных функций оператора $L$ порядка $2m$, $\omega _{k}^{{2m}} = {{\lambda }_{k}}$, ${{\left\| {{{\Phi }_{k}}(x)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}} = 1$, с краевыми условиями, удовлетворяющими общим граничным условиям Шапиро–Лопатинского. Тогда $\mathop {\max }\limits_\Omega {\text{|}}{{\Phi }_{k}}(x){\text{|}} \leqslant \omega _{k}^{{\frac{d}{2}}}$ [14].

Теорема 5. Пусть $f(z)$ – целая функция, $\{ {{\mu }_{k}}\} $ – совокупность ее нулей. Пусть $\Pi \left( {\{ {{\mu }_{k}}\} } \right) \equiv \mathop {\lim }\limits_{r \to + \infty } \frac{\pi }{2}\frac{1}{r}\int\limits_0^r {\frac{{n(s)}}{s}\,} ds$, где $n(s)$ – количество нулей в круге радиуса $s$. Если $\Pi \left( {\{ {{\mu }_{k}}\} } \right) = \infty $, то по некоторому направлению $f(z)$ растет быстрее любой экспоненты [17].

5. Достаточные условия разрешимости задач управления. Теорема 6. В таблице, приведенной ниже, даны условия для начальных функций ${{u}_{0}}(x)$, ${{u}_{1}}(x)$, при которых колебания мембраны и пластины можно погасить (табл. 1).

Числа в данной таблице указывают на принадлежности начальных функций классу ${{A}_{p}}$, которые для указанных значений р обеспечивают возможность приведения мембраны и пластинки в состояние покоя (достаточные условия). С помощью Утверждения 1 можно переформулировать эти достаточные условия в терминах принадлежности пространствам Соболева с дополнительными граничными условиями.

Доказательство. Введем собственные значения $\omega _{k}^{2}$ и собственные функции ${{\Phi }_{k}}$ задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Обозначим ${{m}_{k}} = \mathop {\sup }\limits_{x \in \Omega } {\text{|}}{{\Phi }_{k}}(x){\text{|}}$. Будем искать решения $f(t,x)$ задач управления (3.1)–(3.2) в виде разложения $f(t,x)$, а также решения уравнений $u(t,x)$ в ряд Фурье по ортонормированной системе $\{ {{\Phi }_{k}}\} $.

Пусть

Подставляя данные разложения в уравнения (3.1)–(3.2), а также в начальные условия для этих уравнений, получим системы из колебательных звеньев, которые связаны только через ограничения на управляющие воздействия, которые в сумме по абсолютной величине не должны превосходить $\varepsilon > 0$.

Управление каждым маятником по отдельности было уже построено в явном виде (Теорема 1), нужно только выдержать суммарное условие на абсолютную величину управления всех колебательных звеньев. Для волнового уравнения эти условия принимают вид:

Пусть $\{ {{\varepsilon }_{k}}\} $ – последовательности положительных чисел, таких, что $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\varepsilon }_{k}}} = \varepsilon $.

Условие (5.1) будет выполнено, если

в силу ранее полученных оценок (член порядка ${{T}^{2}}$ в знаменателе был отброшен, в силу его малости при больших Т). Тогда

Нам необходимо, чтобы время успокоения каждого маятника в системе было ограничено числом, не зависящим от номера колебательного звена (маятника). Нетрудно видеть, что в (5.2) независимость от $k$ в оценке ${{T}_{k}}$ можно обеспечить за счет достаточно быстрого убывания коэффициентов в разложении в ряд Фурье начальных условий. Это, в свою очередь, обеспечивается гладкостью ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)$ и некоторыми дополнительными краевыми условиями для этих функций на $\partial \Omega $.

Величина ${{m}_{k}}$ оценивалась в указанной выше работе (Теоремы 3, 4), согласно которой для задачи Дирихле для уравнения Лапласа имеет место неравенство ${{m}_{k}} \leqslant C\,\omega _{k}^{{\frac{{d - 1}}{2}}}\ln {{\omega }_{k}}$, где $d$ – размерность пространства, постоянная $C > 0$ не зависит от $k$.

Пользуясь классическими асимптотическими формулами для величины собственных значений задачи Дирихле, имеем:

Отсюда видно, что для существования решения задачи (3.1) достаточно

Для времени остановки колебаний в задаче (3.1) имеет место оценка $C{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$.

Согласно Утверждению 1 определенные скорости убывания коэффициентов Фурье начальных условий отвечают принадлежности к пространствам ${{H}^{s}}(\Omega )$ с некоторыми дополнительными краевыми условиями. Таким образом, можно переформулировать достаточные условия возможности гашения колебаний на начальные функции в терминах их гладкости по Соболеву и наличия некоторых дополнительных граничных условий на $\partial \Omega $. Для случая пластины доказательство проводится аналогично, только вместо Теоремы 2 следует применить Теорему 3.

Замечание. Если в исходной постановке задачи ввести ограничения на абсолютную величину конечного числа производных по времени от управляющей функции, то, очевидно, для разрешимости задачи управления нужно просто ужесточить условия на начальные значения смещения и скорости в терминах пространств ${{A}_{p}}$. Это можно сделать простым расчетом.

6. Уравнение Гуртина–Пипкина. Рассмотрим теперь для сравнения с приведенными результатами интегро-дифференциальное уравнение Гуртина–Пипкина и аналогичную задачу управления для него, имеющую следующий вид:

Интегро-дифференциальное уравнение Гуртина–Пипкина является интересным объектом исследований, поскольку в зависимости от свойств ядра свертки имеет качественные свойства как параболических, так и гиперболических уравнений, см., например [10]. Приведем следующее утверждение о разрешимости данной задачи в целях сравнения с доказанными выше результатами для волнового уравнения и уравнения колебаний пластины.

Теорема 7. Если ряд для ядра свертки $K(t - \tau )$ конечен, то задача управления разрешима. Если ряд для $K(t - \tau )$ содержит бесконечное число членов, то ${{\mu }_{k}}$ можно выбрать так, что задача управления не будет иметь решения. Именно, выберем ${{\mu }_{k}}$ так, что $\Pi \left( {\{ {{\mu }_{k}}\} } \right) = \infty $, тогда система не будет вполне управляемой.

Доказательство приведено в [17]. Оно основано на теореме 4 из разд. 4.

7. Числовой пример. Пусть начальные условия для волнового уравнения

Тогда время гашения трех мод колебаний в соответствии с методом Ф.Л. Черноусько $T{\kern 1pt} * \leqslant \frac{{5.08}}{\varepsilon }$ для квадратной мембраны. Согласно методу настоящей работы $T{\kern 1pt} * \leqslant \frac{{10.1}}{\varepsilon }$. Увеличение времени быстродействия связано, конечно, с тем, что в работе [3] для каждого колебательного звена применяется метод оптимального управления, а в нашем случае управление приводит звено в покой, но оптимальным по быстродействию не является. При этом метод настоящей работы может быть без труда распространен и на случай, когда ограниченной по абсолютной величине является и производная от функции управления, только время приведения в покой будет большим, чем случай без ограничения на производную, и потребуется наложить некоторые дополнительные условия на гладкость начальных функций, а также дополнительные краевые условия для этих функций.

Заключение. В работе предложен метод исследования задач остановки колебаний мембраны и пластины, позволяющий установить важное качественное свойство этих задач. Именно, если повышать требования к гладкости управляющей функции с ограничением на абсолютную величину производных от нее, то задача приведения в полный покой будет разрешима, нужно только повысить требования к гладкости в смысле Соболева для начальных функций и потребовать выполнения некоторых дополнительных краевых условий для начальных функций на границе области. Можно назвать этот эффект свойством “повышения гладкости”. Есть основания полагать, что для задач граничного управления эффект “повышения гладкости” также имеет место. Статья с доказательством этого утверждения еще не вышла, сейчас готовится к печати.

Для сравнения нами приведен пример задачи об управлении интегро-дифференциального уравнения Гуртина–Пипкина с помощью распределенной ограниченной силы и некоторые ранее полученные результаты, относящиеся к этой задаче. Здесь ситуация иная: такая задача с ограничением только на абсолютную величину управляющей функции может быть неразрешимой, свойство полной управляемости не является устойчивым по отношению к малым возмущениям ядра свертки нелокального члена в уравнении.

Метод, предлагаемый в данной работе, применим и к системам с диссипацией механической энергии (трение о внешнюю среду, трение Кельвина–Фойгхта), здесь вполне вероятно, что эффект “повышения гладкости” также имеет место, доказательство этого в стадии оформления.

Благодарности. Авторы посвящают эту работу памяти профессора Л.Д. Акуленко, работы которого в области теории управления системами с распределенными параметрами существенно повлияли на работы коллектива отдела механики управляемых систем ИПМех РАН в данной области.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-11-00151).