Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 5, стр. 757-764

Использование метода ускоренной сходимости для решения сингулярной задачи Штурма–Лиувилля

С. В. Нестеров^1, *

¹ Институт проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского
Москва, Россия

Поступила в редакцию 05.05.2023
После доработки 15.07.2023
Принята к публикации 20.07.2023

EDN: VGZAYO
DOI: 10.31857/S0032823523050119

Аннотация

Настоящая статья посвящается памяти Л.Д. Акуленко, с которым автор статьи работал более 40 лет. В рамках разработанного совместно метода ускоренной сходимости был решен ряд классов задач относящихся к задачам Штурма–Лиувилля. По результатам исследований было опубликовано несколько десятков статей и обобщающая монография [1]. В данной работе изложена адаптация метода к решению сингулярных задач Штурма–Лиувилля.

Ключевые слова: метод ускоренной сходимости, задача Штурма–Лиувилля, сингулярность

1. Метод ускоренной сходимости. Пусть задана задача Штурма–Лиувилля с граничными условиями первого, второго или третьего рода

(1.1)

$\begin{gathered} \left( {p\left( x \right)u{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {\lambda r\left( x \right) - q\left( x \right)} \right]u = 0 \\ u\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0;\quad u\left( 0 \right) = u{\kern 1pt} '\left( 1 \right) = 0;\quad u\left( 0 \right) = 0,\quad \alpha u\left( 1 \right) + \beta u{\kern 1pt} '\left( 1 \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Здесь $p\left( x \right),r\left( x \right),q\left( x \right)$ – известные функции. Предполагается, что они достаточно гладкие и могут быть определены на более широком интервале $0 \leqslant x \leqslant 1 + a$, кроме того справедливы неравенства

$0 < {{p}_{0}} \leqslant p\left( x \right) \leqslant {{p}^{ + }} < \infty ,\quad 0 < {{r}_{0}} \leqslant r\left( x \right) \leqslant {{r}^{ + }} < \infty ,\quad \left| {q\left( x \right) < \infty } \right|$

Требуется найти такие значения параметра $\lambda $, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1.1), удовлетворяющие краевым условиям.

Опишем подробно процедуру нахождения первого собственного числа ${{\lambda }_{1}}$. Оценку сверху можно получить, например, используя принцип Рэлея–Ритца

(1.2)

${{\lambda }_{1}} \leqslant \lambda _{1}^{*} = \frac{{\int_0^1 {\left( {p\left( x \right)\psi {\kern 1pt} {{'}^{2}}\; + q{{\psi }^{2}}} \right)dx} }}{{\int_0^1 {r\left( x \right){{\psi }^{2}}dx} }},$

где $\psi \left( 0 \right) = \psi \left( 1 \right) = 0$, функция $\psi \left( x \right)$ не имеет нулей на интервале $0 < x < 1$.

Алгоритм дальнейших действий нахождения собственного значения может быть сформулирован следующим образом:

1. Построить конструктивный метод получения оценки снизу ${{\lambda }_{{1*}}}$ (${{\lambda }_{{1*}}} < {{\lambda }_{1}} < \lambda _{1}^{*}$);

2. Задать критерий близости ${{\lambda }_{1}}$ и $\lambda _{1}^{*}$;

3. Определить процедуру уточнения собственных чисел;

4. Построить процедуру уточнения собственных чисел с любой наперед заданной точностью;

5. Получить последующие собственные числа ${{\lambda }_{2}},\,\,{{\lambda }_{3}},\,...$;

6. Для найденных собственных чисел, построить собственные функции им соответствующие;

7. Обобщить алгоритм на краевые условия второго и третьего рода.

2. Системы сравнения. Будем считать, что оценка сверху известна $\lambda _{1}^{*}$. Найдем решение задачи Коши I вида

(2.1)

${\text{I}}{\text{.}}\,\quad \left( {p\left( x \right)u{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {\lambda _{1}^{*}r\left( x \right) - q\left( x \right)} \right]u = 0;\quad u\left( 0 \right) = 0,\quad u{\kern 1pt} '\left( 0 \right) = 1$

Решение задачи Коши I $u = {{V}_{1}}(x,\lambda _{1}^{*})$ обладает следующими свойствами ${{V}_{1}}(0,\lambda _{1}^{*}) = 0$, т.е. выполняется краевое условие в левой граничной точке. Далее, согласно второй осцилляционной теореме Штурма существует такое значение параметра $\xi < 1$, что ${{V}_{1}}(\xi ,\lambda _{1}^{*}) = 0$. Задачу Коши I будем решать численно, и в процессе решения определим положение точки $\xi $.

Найдем решение задачи Коши II вида

(2.2)

${\text{II}}{\text{.}}\;\;\left( {p\left( x \right)u{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {{{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*}r\left( x \right) - q\left( x \right)} \right]u = 0;\quad u\left( 0 \right) = 0,\quad u{\kern 1pt} '\left( 0 \right) = 1$

Обозначим решение задачи (2.2), отвечающее оценке $\lambda _{1}^{*}$ как $u = {{W}_{1}}\left( {x,{{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*}} \right)$. Тогда если функция ${{W}_{1}}\left( {x,{{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*}} \right) > 0$ на интервале $0 < x \leqslant 1$, то ${{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*}$ – оценка первого собственного числа снизу. Принимая во внимание следствие второй осцилляционной теоремы Штурма, имеем

${{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*} \leqslant \lambda _{1}^{*}$

Если существует значение $x = {{\xi }_{1}}$ (${{\xi }_{1}} < 1$), для которого ${{W}_{1}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*}} \right) = 0$, то в этом случае имеем улучшенную оценку сверху

${{\lambda }_{1}} \leqslant {{\xi }^{2}}\lambda _{1}^{*} < \lambda _{1}^{*}$

Значение параметра ${{\xi }_{1}}$ определяется в ходе численного решения задачи Коши II.

В качестве критерия близости ${{\lambda }_{1}}$ и $\lambda _{1}^{*}$ можно выбрать следующий

$\varepsilon = 1 - \xi \ll 1$

3. Теория возмущений. В уравнении (1.1) введем новую независимую переменную $y = \xi x$, параметр $\Lambda = \lambda {\text{/}}{{\xi }^{2}}$ и функцию $u = U\left( {y,\varepsilon } \right)$. Тогда первая краевая задача (1.1) принимает вид

(3.1)

$\begin{gathered} \left( {p\left( y \right)U{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {\Lambda r\left( y \right) - q\left( y \right)} \right]U = \\ = - \varepsilon \left[ {\left( {yp{\kern 1pt} 'U{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\; + \left( {\Lambda yr{\kern 1pt} '\; - 2q - yq{\kern 1pt} '} \right)U} \right] + {{\varepsilon }^{2}}{{H}_{2}} \\ U\left( {0,\varepsilon } \right) = U\left( {x,\varepsilon } \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Решение задачи (3.1) ищем в виде рядов

(3.2)

$U = U_{1}^{{\left( 0 \right)}} + \varepsilon U_{1}^{{\left( 1 \right)}} + {{\varepsilon }^{2}}U_{1}^{{\left( 2 \right)}} + \ldots ,\quad \Lambda = \Lambda _{1}^{{\left( 0 \right)}} + \varepsilon \Lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}} + {{\varepsilon }^{2}}\Lambda _{1}^{{\left( 2 \right)}} + \ldots $

Подставляя ряды (3.2) в краевую задачу (3.1) в нулевом приближении получаем

(3.3)

$\begin{gathered} \left( {p\left( y \right)U_{1}^{{\left( 0 \right)'}}} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {\Lambda _{1}^{{\left( 0 \right)}}r\left( y \right) - q\left( y \right)} \right]U_{1}^{{\left( 0 \right)}} = 0 \\ U_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( 0 \right) = U_{1}^{{\left( 0 \right)}}\left( \xi \right) = 0;\quad U_{1}^{{(0)}} = {{V}_{1}}(y,\lambda _{1}^{*});\quad \Lambda _{1}^{{(0)}} = \lambda _{1}^{*} \\ \end{gathered} $

Функция ${{V}_{1}}(y,\lambda _{1}^{*})$ является решением уравнения (2.1) и удовлетворяет поставленным краевым условиям (3.3).

В следующем (первом) приближении имеем

(3.4)

$\begin{gathered} \left( {p\left( y \right)U_{1}^{{\left( 1 \right)'}}} \right){\kern 1pt} '\; + \left[ {\lambda _{1}^{*}r\left( y \right) - q\left( y \right)} \right]U_{1}^{{\left( 1 \right)}} = \\ = - \Lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}}r\left( y \right){{V}_{1}} - \left( {yp{\kern 1pt} '{\kern 1pt} V_{1}^{*}} \right){\kern 1pt} '\; - \left[ {\lambda _{1}^{*}yr{\kern 1pt} '\; - 2q - yq{\kern 1pt} '} \right]{{V}_{1}} \\ U_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right) = U_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( \xi \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Для того, чтобы краевая задача имела решение необходимо, чтобы правая часть уравнения (3.4) была ортогональна функции ${{V}_{1}}(y,\lambda _{1}^{*})$ на отрезке $0 \leqslant y \leqslant \xi $. Это условие позволяет найти выражение для $\Lambda _{1}^{{(1)}}$ в виде

$\begin{gathered} \Lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}} = - \frac{1}{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}\int\limits_0^\xi {\left[ {\left( {yp{\kern 1pt} 'V_{1}^{*}} \right){\kern 1pt} '\; + \left( {\lambda _{1}^{*}yr{\kern 1pt} '\; - 2q - yq} \right){{V}_{1}}} \right]{{V}_{1}}dy} = \\ = - \frac{1}{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}p\left( \xi \right)\xi V_{2}^{{'2}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + 2\lambda _{1}^{*}, \\ \end{gathered} $

где ${{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}^{2}} = \int\limits_0^\xi {r\left( y \right)V_{1}^{2}dy} $.

Возвращаясь к старым переменным и учитывая, что $\varepsilon \ll 1$, имеем

(3.5)

$\begin{gathered} \lambda _{1}^{{(1)}} = {{\xi }^{2}}\left( {\lambda _{1}^{*} - \frac{\varepsilon }{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}p\left( \xi \right)\xi V_{1}^{{'2}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + 2\varepsilon \lambda _{1}^{*}} \right) = \\ = \lambda _{1}^{*} - \frac{\varepsilon }{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}p\left( \xi \right)\xi V_{1}^{{'2}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right) \\ \end{gathered} $

Из формулы (3.5) следует, что при $\varepsilon \to 0$ справедливо соотношение

(3.6)

${{\left. {\frac{{\partial {{\lambda }_{1}}}}{{\partial \xi }}} \right|}_{{\xi = 1}}} = - p\left( 1 \right)\frac{{{{{(U_{1}^{'}(1))}}^{2}}}}{{{{{\left\| {{{U}_{1}}} \right\|}}^{2}}}} \leqslant 0$

Для остальных собственных чисел ${{\lambda }_{n}}$ эта формула также имеет место, и она показывает, что вместе с уменьшением ширины интервала происходит возрастание собственных чисел.

4. Метод ускоренной сходимости. Формула (3.5) позволяет построить метод ускоренной сходимости, алгоритм которого может быть сформулирован в виде пяти пунктов:

1. Определяется (любым способом) оценка сверху собственного значения $\lambda _{1}^{*}$;

2. Решается задача Коши I (2.1). Находится функция ${{V}_{1}}(x,\lambda _{1}^{*})$;

3. Определяется решение $\xi $ уравнения ${{V}_{1}}(x,\lambda _{1}^{*}) = 0$ (простейший способ решения – линейная интерполяция);

4. Вычисляется уточненное значение собственного числа

$\lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}} = \lambda _{1}^{*} - \varepsilon p\left( 1 \right)\frac{{V_{1}^{'}{{{\kern 1pt} }^{2}}\left( 1 \right)}}{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}};$

5. Повторение процедуры 1–4 с заменой исходной оценки собственного значения с $\lambda _{1}^{*}$ на уточненное $\lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}}$. По результатам расчетов определяются новые значения параметров ${{\xi }_{1}}$, ${{\varepsilon }_{1}} = 1 - {{\xi }_{1}}$

(4.1)

$\lambda _{1}^{{\left( 2 \right)}} = \lambda _{1}^{{\left( 1 \right)}} - {{\varepsilon }_{1}}p\left( 1 \right)\frac{{V_{1}^{'}{{{\kern 1pt} }^{2}}\left( 1 \right)}}{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}$

и т.д. Вычисления повторяются до тех пор, пока собственное значение ${{\lambda }_{1}}$ не получено с требуемой точностью. После того, как найдено первое собственное число ${{\lambda }_{1}}$, из решения задачи Коши I находится первая собственная функция. Ранее было показано [1], что имеет место квадратичная сходимость по параметру $\varepsilon $.

$\left| {{{\lambda }_{1}} - \lambda _{1}^{{(1)}}} \right| \leqslant C{{\varepsilon }^{2}},\quad \left| {{{\lambda }_{1}} - \lambda _{1}^{{(2)}}} \right| \leqslant C{{\varepsilon }^{4}},\;{\text{и}}\;{\text{т}}{\text{.д}}{\text{.,}}$

где ${{\lambda }_{1}}$ – точное значение первого собственного числа.

Если поставлены краевые условия второго или третьего рода, то вместо формулы (3.5) будут следующие

(4.2)

$\lambda _{1}^{{(1)}} = \lambda _{1}^{*} - \frac{\varepsilon }{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}\left[ {\lambda _{1}^{*}r\left( \xi \right) - q\left( \xi \right)} \right]V_{1}^{2}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right)$

Здесь $\xi $ – корень уравнения $\frac{{d{{V}_{1}}}}{{dx}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) = 0$.

(4.3)

$\lambda _{1}^{{(1)}} = \lambda _{1}^{*} - \frac{\varepsilon }{{{{{\left\| {{{V}_{1}}} \right\|}}^{2}}}}\left\{ {p\left( \xi \right)V_{1}^{'}{{{\kern 1pt} }^{2}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + \left[ {\lambda _{1}^{*}r\left( \xi \right) - q\left( \xi \right)} \right]V_{1}^{2}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right)} \right\} + O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right)$

Здесь $\xi $ – корень уравнения $\alpha V\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) + \beta \frac{{d{{V}_{1}}}}{{dx}}\left( {\xi ,\lambda _{1}^{*}} \right) = 0$.

5. Численные примеры

Пример 1: Дана задача Штурма–Лиувилля

(5.1)

$u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; + \lambda \left( {1 + \sin \pi x} \right)u = 0;\quad u\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0$

С помощью функции ${{\psi }_{1}} = \sin \left( {\pi x} \right)$ согласно принципу Рэлея–Ритца находим оценку сверху ${{\lambda }_{1}} \leqslant \lambda _{1}^{*} = 5.33827$. Интегрирование задачи Коши I приводит к

$\xi = 0.99942,\quad \varepsilon = 5.8 \times {{10}^{{ - 4}}},\quad \lambda _{1}^{*}{{\xi }^{2}} = 5.33205$

Имеем двустороннюю оценку

$5.33205 \leqslant {{\lambda }_{1}} \leqslant 5.33827$

Уточнение согласно формуле (3.5) после первой итерации дает $\lambda _{1}^{{(1)}} = 5.33284$. Национальное бюро стандартов США приводит “точное” значение ${{\lambda }_{1}} = 5.33274$. Относительное отклонение от полученного в рамках метода ускоренной сходимости значения собственного числа в первом приближении составляет $\Delta \lambda {\text{/}}{{\lambda }_{1}} \leqslant {{10}^{{ - 5}}}$.

Пример 2: Рассмотрим другой пример – задачу Штурма–Лиувилля, имеющую точное решение

$u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; + \lambda {{\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)}^{{ - 2}}}u = 0;\quad u\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0$

Точное решение дает

${{\lambda }_{n}} = 16{{n}^{2}} - 1{\kern 1pt} :\quad {{\lambda }_{1}} = 15,\quad {{\varphi }_{1}} = 2x\frac{{1 - {{x}^{2}}}}{{{{{\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)}}^{{3/2}}}}}$

Оценка сверху: ${{\lambda }_{1}} < \lambda _{1}^{*} = 15.33728 \to \xi = 0.98383$; $\varepsilon = 1.617 \times {{10}^{{ - 2}}}$

Оценка снизу: $\lambda _{1}^{*}{{\xi }^{2}} = 14.83533$

Первая итерация по методу ускоренной сходимости $\lambda _{1}^{{(1)}} = 14.99719$; вторая итерация ${{\lambda }_{{12}}} = 15.000005$.

Расчет собственных чисел высших порядков. Для краевой задачи (5.1) согласно методу Рэлея–Ритца находим оценки сверху $\lambda _{2}^{*} = 2.37186{{\pi }^{2}}$; $\lambda _{3}^{*} = 5.49612{{\pi }^{2}}$. Далее алгоритм вычисления старших собственных значений совпадает с алгоритмом расчета основного собственного значения. Однако, решение задачи Коши I $u = {{V}_{1}}\left( {x,\lambda _{1}^{*}} \right)$ обращается в нуль на отрезке (0, 1) в нескольких точках (в двух для второго собственного значения, в трех – для третьего), одна из которых близка к единице, и в качестве параметра $\xi $ (номер три алгоритма метода ускоренной сходимости) следует выбрать значение абсциссы этой точки. Тогда, учитывая сделанные замечания, после второй итерации находим

$\lambda _{2}^{{(2)}} = 23.407186,\quad \frac{{\Delta {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{2}}}} \leqslant 4.5 \times {{10}^{{ - 6}}};\quad \lambda _{3}^{{(2)}} = 53.772,\quad \frac{{\Delta {{\lambda }_{3}}}}{{{{\lambda }_{3}}}} \leqslant 7.0 \times {{10}^{{ - 5}}}$

6. Сингулярные задачи Штурма–Лиувилля. Пусть коэффициенты уравнений задачи Штурма–Лиувилля имеют особенность в одной из граничных точек. Тогда алгоритм метода ускоренной сходимости (пункты 1–5 из разд. 4) можно распространить на случай сингулярных задач путем введения малой регуляризирующей добавки устраняющей сингулярный характер зависимости коэффициентов внутри интервала решения задачи Штурма–Лиувилля. Затем последовательно уменьшая величину регуляризатора будем предполагать, что последовательность найденных собственных значений регуляризованных задач Штурма–Лиувилля будет сходиться к собственному значению сингулярной задачи.

Рассмотрим описанную выше процедуру на примере задачи определения собственных значений и функций радиально симметричных поперечных колебаний круглой неоднородной мембраны (рис. 1)

(6.1)

$T\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial w}}{{\partial r}}} \right) - r\rho \left( r \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{t}^{2}}}} = 0,$

где $T$ – натяжение, $\rho \left( r \right) = {{\rho }_{0}}\exp \left( {b{{r}^{2}}{\text{/}}R_{0}^{2}} \right)$ – плотность, а ${{R}_{0}}$ – радиус мембраны.

Рис. 1.

Геометрия масс мембраны. Радиальное распределение плотности $\rho \left( r \right)$ = ${{\rho }_{0}}\exp \left( {b{{r}^{2}}{\text{/}}R_{0}^{2}} \right)$. Случаю $b > 0$ соответствует красный цвет, $b < 0$ – зеленый.

С краевыми условиями первого рода

(6.2)

$w\left( {{{R}_{0}},t} \right) = 0,\quad \left| {w\left( {0,t} \right)} \right| \leqslant H$

После разделения переменных $w = u\left( r \right)\exp \left( {i\Omega t} \right)$ задача (6.1)–(6.2) в безразмерном виде ($z = r{\text{/}}{{R}_{0}}$, $\omega = \sqrt {{{\rho }_{0}}{\text{/}}T} {{R}_{0}}\Omega $) сведется к сингулярной задаче Штурма–Лиувилля

(6.3)

$\frac{d}{{dz}}\left( {z\frac{{du}}{{dz}}} \right) + {{\omega }^{2}}z{{e}^{{b{{z}^{2}}}}}u = 0;\quad u\left( 1 \right) = 0,\quad \left| {u\left( 0 \right)} \right| \leqslant M$

Заменим сингулярную задачу (6.3) семейством регуляризованных задач вида

(6.4)

$\frac{d}{{dz}}\left( {\left( {z + {{a}_{m}}} \right)\frac{{d{{u}_{m}}}}{{dz}}} \right) + {{\omega }^{2}}z{{e}^{{b{{z}^{2}}}}}{{u}_{m}} = 0;\quad {{u}_{m}}\left( 1 \right) = 0,\quad u_{m}^{'}\left( 0 \right) = 0,\quad {{a}_{m}} = \left\{ {{{{10}}^{{ - 3}}},{{{10}}^{{ - 4}}},...} \right\}$

Будем предполагать, что собственные частоты задачи (6.4) при $m = 1,2,...$ образуют сходящуюся последовательность, так, что пределом при $m \to \infty $: являются собственные значения сингулярной задачи (6.2)–(6.3) ${{\omega }_{1}}\left( {{{a}_{m}}} \right) \to {{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}\left( {{{a}_{m}}} \right) \to {{\omega }_{2}}$, ${{\omega }_{3}}\left( {{{a}_{m}}} \right) \to {{\omega }_{3}}$, …. Зависимость собственных частот от плотностного параметра $b$ приведена на рис. 2.

Рис. 2.

Зависимость безразмерных собственных частот от параметра $b$.

В качестве базисных функций используем функции Бесселя ${{J}_{0}}\left( {{{\gamma }_{n}}z} \right)$ (где ${{J}_{0}}\left( {{{\gamma }_{n}}} \right) = 0$) и метод Рэлея–Ритца для контроля полученных результатов. Можно показать, что проведенные расчеты по методу ускоренной сходимости для краевой задачи (6.4) дают достаточно хорошее приближение для первых пяти собственных чисел краевой задачи (6.3) для значений параметра $ - 3 \leqslant b \leqslant 3$. По найденным собственным значениям были построены профили собственных функций задачи (рис. 3).

Рис. 3.

Профили собственных функций при различном значении параметра $b$.

Отметим, что решение приведенной выше задачи о собственных колебаниях мембраны, плотность материала которой изменяется радиально, была решена в [2] для малых значений параметра $\left| b \right| \leqslant 0.25$. Для описанного выше метода решения такого ограничения на значения параметра не существует.

Работа выполнена в рамках государственного задания № 123021700050-1.

Список литературы

Akulenko L.D., Nesterov S.V. High-Precision Methods in Eigenvalue Problems and Their Applications. Boca Raton: Chapman&Hall/CRC Press, 2005. 255 p.
Ratneswar S.G., Ranjit Gh. Method of perturbation applied to the vibration problem of a circular membrane of varying density // JASA. 1964. V. 36. № 6. P. 1118–1120.
Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.
Нестеров С.В., Байдулов В.Г. Использование метода ускоренной сходимости в сингулярных задачах Штурма–Лиувилля // Сб. матер. 13-й международной конференции – школы молодых ученых “Волны и вихри в сложных средах”, Москва, 30 ноября–02 декабря 2022. С. 194–195.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал