Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 5, стр. 711-719

О кинематическом описании движения твердого тела

А. Г. Петров^1, *

¹ Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

Поступила в редакцию 21.02.2023
После доработки 19.06.2023
Принята к публикации 15.07.2023

EDN: QPJYLE
DOI: 10.31857/S0032823523050120

Аннотация

Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений для вектора конечного поворота, соответствующего теореме Эйлера: вектор конечного поворота направлен по оси конечного поворота твердого тела и его длина равна углу плоского поворота вокруг этой оси. Система уравнений явно разрешена относительно производной по времени компонент вектора поворота. Правая часть системы зависит от вектора поворота и вектора угловой скорости в главных осях. Показана эквивалентность полученной системы уравнений системе уравнений для кватернионов. Координаты ортов главных осей твердого тела в неподвижных осях выражены через углы конечного поворота и компоненты угловой скорости по простым аналитическим формулам.

Ключевые слова: теорема Эйлера о конечном повороте, кинематика твердого тела, кватернион, ориентация

1. Введение. Согласно теореме Эйлера [1] любое перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой может быть заменено плоским поворотом вокруг некоторой оси на некоторый угол. Таким образом, ориентацию твердого тела в пространстве можно однозначно определить с помощью вектора поворота $\varphi $

(1.1)

$\varphi = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varphi }_{1}}} \\ {{{\varphi }_{2}}} \\ {{{\varphi }_{3}}} \end{array}} \right) = \theta {\mathbf{e}},\quad {\mathbf{e}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{1}}} \\ {{{e}_{2}}} \\ {{{e}_{3}}} \end{array}} \right),\quad e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} = 1,$

где ${\mathbf{e}}$ – единичный вектор, направленный по оси поворота, $\theta $ – угол плоского поворота.

Поставим задачу описать движение твердого тела с неподвижной точкой под действием заданного момента сил с помощью вектора поворота $\varphi $ или иначе с помощью параметров ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}},{{\varphi }_{3}}$. Теорема Эйлера гарантирует однозначность ориентации твердого тела при заданном векторе $\varphi $, что дает преимущество по сравнению с другими параметрами, которые такой однозначности не имеют.

Следует иметь в виду, что между вектором $\varphi $ и положением тела в пространстве нет взаимно однозначного соответствия. Заданный вектор $\varphi $ определяет одно положение тела в пространстве, а обратное не верно. Одному и тому же положению тела в пространстве соответствует счетное число значений вектора $\varphi $

(1.2)

$\varphi = {\mathbf{e}}({{\theta }_{0}} + 2\pi n);\quad - {\kern 1pt} \pi < {{\theta }_{0}} \leqslant \pi ,\quad n \in Z$

Наиболее простым и часто используемым способом описания ориентации твердого тела в настоящее время является кватернионное описание. Параметры Родрига–Гамильтона кватерниона $\Lambda = {{\lambda }_{0}} + \lambda $ выражаются через единичный вектор ${\mathbf{e}}$ и угол $\theta $ (1.1): ${{\lambda }_{0}} = \cos \theta {\text{/}}2$, $\lambda = {\mathbf{e}}\sin \theta {\text{/}}2$. Большую роль в популяризации идеи использования кватернионов сыграла книга [2], в которой отражены основные аспекты алгебры кватернионов применительно к практическим задачам исследования углового движения твердых тел. Этот подход представлен во многих современных учебниках, например, [1–3]. Ряд задач динамики космического полета в кватернионной постановке рассмотрен в монографии [4] и во многих научных статьях других авторов. В [5] представлен подробный обзор работ об ориентации твердого тела с помощью параметров Родрига–Гамильтона и связи их с углами конечного поворота.

Ниже излагается альтернативный способ реализации ориентации твердого тела с помощью ортогональной матрицы $C(\varphi )$ следующим образом.

Введем абсолютную инерциальную систему координат (АСК) и систему координат, скрепленную с твердым телом (ССК). Векторы в подвижной системе будем помечать индексом “*”. Пусть ${{{\mathbf{R}}}_{*}}$ – независящий от времени радиус-вектор материальной точки твердого тела в ССК. Тогда радиус-вектор ${\mathbf{R}}$ этой точки в АСК связан с ${\mathbf{R}}$ так:

(1.3)

${\mathbf{R}} = C(\varphi ){{{\mathbf{R}}}_{*}},\quad {\mathbf{R}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{R}_{1}}} \\ {{{R}_{2}}} \\ {{{R}_{3}}} \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{R}}}_{*}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {R_{1}^{*}} \\ {R_{2}^{*}} \\ {R_{3}^{*}} \end{array}} \right)$

Поставим задачу: определить зависимость компонент матрицы $C(\varphi )$ от компонент векторного аргумента $\varphi $ и затем вывести для него дифференциальное уравнение в виде $d\varphi {\text{/}}dt = f(\varphi ,{{\omega }_{*}})$, где ${{\omega }_{*}}$ – вектор угловой скорости в осях твердого тела.

Для решения этой задачи введем единичную матрицу $E$ и антисимметричную матрицу $A({\mathbf{X}})$, зависящую от векторного аргумента ${\mathbf{X}}$

(1.4)

$E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right),\quad A({\mathbf{X}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {{X}_{3}}}&{{{X}_{2}}} \\ {{{X}_{3}}}&0&{ - {{X}_{1}}} \\ { - {{X}_{2}}}&{{{X}_{1}}}&0 \end{array}} \right),\quad {\mathbf{X}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{X}_{1}}} \\ {{{X}_{2}}} \\ {{{X}_{3}}} \end{array}} \right),\quad A({\mathbf{X}}){\mathbf{R}} = {\mathbf{X}} \times {\mathbf{R}}$

2. Определение матрицы поворотов $C(\varphi )$. Докажем, что формула

(2.1)

$C(\varphi ) = E + A({\mathbf{e}})\sin \theta + A{{({\mathbf{e}})}^{2}}(1 - \cos \theta ),$

где векторы $\varphi $ и ${\mathbf{e}}$ определены формулами (1.1), является решением поставленной задачи, то есть матрица $C(\varphi )$ 1) является ортогональной и 2) определяет поворот около оси ${\mathbf{e}}$ на угол $\theta $.

1) Ортогональность матрицы (2.1) можно доказать, учитывая симметрию матрицы $A{{({\mathbf{e}})}^{2}}$ и следующие равенства

(2.2)

$A{{({\mathbf{e}})}^{3}} = - A({\mathbf{e}}),\;\;\;{\kern 1pt} A{{({\mathbf{e}})}^{4}} = - A{{({\mathbf{e}})}^{2}}$

Отсюда для транспонированной матрицы получаем

(2.3)

$C{{(\varphi )}^{T}} = C( - \varphi ) = E - A({\mathbf{e}})\sin \theta + A{{({\mathbf{e}})}^{2}}(1 - \cos \theta ),\quad C(\varphi )C{{(\varphi )}^{T}} = E,$

что и требовалось доказать. (Учитывая равенство $\varphi = \theta {\mathbf{e}}$, изменение знака у вектора $\varphi $ равносильно изменению знака либо у $\theta $ либо у вектора ${\mathbf{e}}$.)

2) Докажем, что преобразование ${\mathbf{R}} = C(\varphi ){{{\mathbf{R}}}_{*}}$ является поворотом около оси ${\mathbf{e}}$ на угол $\theta $. Введем единичные базисные векторы ${\mathbf{i}},{\mathbf{j}},{\mathbf{k}}$. Вектор ${\mathbf{k}}$ направим по вектору ${\mathbf{e}}$, остальные два перпендикулярно ему, так чтобы выполнялись соотношения ${\mathbf{i}} \times {\mathbf{j}} = {\mathbf{k}}$, ${\mathbf{j}} \times {\mathbf{k}} = {\mathbf{i}}$, ${\mathbf{k}} \times {\mathbf{i}} = {\mathbf{j}}$. Заметим также, что выполняются равенства

$A({\mathbf{k}}){{{\mathbf{R}}}_{*}} = {\mathbf{k}} \times {{{\mathbf{R}}}_{*}},\quad A{{({\mathbf{k}})}^{2}}{{{\mathbf{R}}}_{*}} = {\mathbf{k}} \times ({\mathbf{k}} \times {{{\mathbf{R}}}_{*}}) = {\mathbf{k}}R_{3}^{*} - {{{\mathbf{R}}}_{*}}$

C помощью их преобразование примет вид

$\begin{gathered} {\mathbf{R}} = C(\varphi ){{{\mathbf{R}}}_{*}} = {{{\mathbf{R}}}_{*}} + \sin \theta ({\mathbf{k}} \times {{{\mathbf{R}}}_{*}}) + (1 - \cos \theta ){\mathbf{k}} \times ({\mathbf{k}} \times {{{\mathbf{R}}}_{*}}) = \\ = {{{\mathbf{R}}}_{*}} + \sin \theta ({\mathbf{j}}R_{1}^{*} - {\mathbf{i}}R_{2}^{*}) + (1 - \cos \theta )({\mathbf{k}}R_{3}^{*} - {{{\mathbf{R}}}_{*}})) \\ \end{gathered} $

Для проекций на базисные векторы ${\mathbf{i}},{\mathbf{j}},{\mathbf{k}}$ получим

${{R}_{1}} = \cos \theta R_{1}^{*} - \sin \theta R_{2}^{*},\quad {{R}_{2}} = \sin \theta R_{1}^{*} + \cos \theta R_{2}^{*},\quad {{R}_{3}} = R_{3}^{*}$

Это есть преобразование поворота около оси ${\mathbf{k}} = {\mathbf{e}}$ на угол $\theta $, что и требовалось доказать.

3. Векторы в неподвижных и подвижных осях. Абсолютную инерциальную систему координат (АСК) будем называть системой с неподвижными осями, а систему координат, скрепленную с твердым телом (ССК) – системой с подвижными осями. Векторы в подвижной системе будем помечать индексом “*”. Векторы a в неподвижных осях и ${{{\mathbf{a}}}_{*}}$ – в подвижных осях имеют разные компоненты. Их вектор столбцы связаны соотношениями

(3.1)

${\mathbf{a}} = C(\varphi ){{{\mathbf{a}}}_{*}},\quad {{{\mathbf{a}}}_{*}} = C( - \varphi ){\mathbf{a}},$

где матрицы $C(\varphi )$ и ${\mathbf{C}}( - \varphi )$ определяются по формулам (2.1) и (2.3) соответственно.

Покажем, что векторы ${\mathbf{e}}$ и ${{{\mathbf{e}}}_{*}}$ в неподвижных и подвижных осях имеют одни и те же компоненты. Действительно, пользуясь формулами (3.1) и (2.3), получим

(3.2)

${{{\mathbf{e}}}_{*}} = C( - \varphi ){\mathbf{e}} = {\mathbf{e}} - \sin \theta {\mathbf{e}} \times {\mathbf{e}} + (1 - \cos \theta ){\mathbf{e}} \times ({\mathbf{e}} \times {\mathbf{e}}) = {\mathbf{e}},$

что и требовалось показать.

Из (3.2) и (1.1) заключаем, что векторы $\varphi $ и ${{\varphi }_{*}}$ в неподвижных и подвижных осях имеют тоже одни и те же компоненты

(3.3)

$\varphi = {{\varphi }_{*}}$

4. Распределение скорости в твердом теле в неподвижных осях (АСК) можно получить, дифференцируя по времени преобразование ${\mathbf{R}} = C(\varphi ){{{\mathbf{R}}}_{*}}$ при постоянном ${{{\mathbf{R}}}_{*}}$

${\mathbf{v}} = \frac{{d{\mathbf{R}}}}{{dt}} = \left( {\frac{d}{{dt}}C(\varphi )} \right){{{\mathbf{R}}}_{*}} = \left( {\frac{d}{{dt}}C(\varphi )} \right)C( - \varphi ){\mathbf{R}}$

Откуда следует

(4.1)

${\mathbf{v}} = A(\omega ){\mathbf{R}},\quad A(\omega ) = \left( {\frac{d}{{dt}}C(\varphi )} \right)C( - \varphi )$

Из тождества

(4.2)

$A(\omega ) + {{A}^{T}}(\omega ) = \left( {\frac{d}{{dt}}C(\varphi )} \right)C( - \varphi ) + C(\varphi )\frac{d}{{dt}}C( - \varphi ) = \frac{d}{{dt}}\left( {C(\varphi )C( - \varphi )} \right) = 0$

следует антисимметричность матрицы $A(\omega )$. Угловой скоростью $\omega $ в неподвижных осях является аргумент антисимметричной матрицы $A(\omega ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {{\omega }_{{{\kern 1pt} 3}}}}&{\omega {{{\kern 1pt} }_{2}}} \\ {{{\omega }_{{{\kern 1pt} 3}}}}&0&{ - \omega {{{\kern 1pt} }_{1}}} \\ { - \omega {{{\kern 1pt} }_{2}}}&{{{\omega }_{{{\kern 1pt} 1}}}}&0 \end{array}} \right)$, а формула (4.1) является формулой Эйлера распределения скоростей в твердом теле

(4.3)

${\mathbf{v}} = A(\omega ){\mathbf{R}} = \omega \times {\mathbf{R}}$

Угловая скорость в неподвижных осях определяется формулой

(4.4)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\omega = \dot {\theta }{\mathbf{e}} + {\mathbf{\dot {e}}}\sin \theta + (1 - \cos \theta )({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}})} \end{array},$

где векторы ${\mathbf{e}},{\mathbf{\dot {e}}}$ и $({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}})$ образуют тройку взаимно-ортогональных векторов, а приведенные формулы – разложения угловых скоростей по этим векторам. (Доказательство приведено в приложении.)

Закон Эйлера для распределения скоростей в подвижных осях имеет вид

(4.5)

${{{\mathbf{v}}}_{*}} = C( - \varphi ){\mathbf{v}} = A({{\omega }_{*}}){{{\mathbf{R}}}_{*}},\quad {{\omega }_{*}} = \dot {\theta }{\mathbf{e}} + {\mathbf{\dot {e}}}\sin \theta - (1 - \cos \theta )({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}})$

(Доказательство приведено в приложении).

5. Динамика твердого тела. Известно, что вектор угловой скорости ${{\omega }_{*}}(p,q,r)$ в главных осях твердого тела при заданном моменте сил ${\mathbf{M}}$ можно найти из уравнений Эйлера [1]

(5.1)

$\begin{gathered} \frac{{d{{{\mathbf{K}}}_{*}}}}{{dt}} + {{\omega }_{*}} \times {{{\mathbf{K}}}_{*}} = {\mathbf{M}} \Rightarrow \\ {{J}_{1}}\frac{{dp}}{{dt}} + ({{J}_{3}} - {{J}_{2}})qr = {{M}_{1}} \\ {{J}_{2}}\frac{{dq}}{{dt}} + ({{J}_{1}} - {{J}_{3}})rp = {{M}_{2}} \\ {{J}_{3}}\frac{{dr}}{{dt}} + ({{J}_{2}} - {{J}_{1}})qp = {{M}_{3}} \\ \end{gathered} $

6. Кинематика твердого тела. Предположим, что вектор угловой скорости как функция времени ${{\omega }_{*}}(t)$ найдена из уравнений динамики. Поставим задачу: по известному вектору ${{\omega }_{*}}(t)$ вычислить вектор координат твердого тела $\varphi (t)$ и найти матрицу $C(\varphi )$ (2.1), определяющую ориентацию твердого тела в пространстве. Будем исходить из уравнения (4.5), с помощью которого выведем систему уравнений для компонент вектора $\dot {\omega }(t) = \frac{d}{{dt}}(\theta {\mathbf{e}})$. Умножая скалярно и векторно уравнение (4.5) на ${\mathbf{e}}$, получим

(6.1)

$\begin{gathered} \dot {\theta } = ({{\omega }_{*}} \cdot {\mathbf{e}}) \\ ({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}})\sin \theta - (1 - \cos \theta ){\mathbf{e}} \times ({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}) = \sin \theta ({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}) + (1 - \cos \theta ){\mathbf{\dot {e}}} = {\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}} \\ \end{gathered} $

Последнее уравнение и уравнение (4.5) можно привести к системе уравнений

$\begin{gathered} \sin \theta ({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}) + (1 - \cos \theta ){\mathbf{\dot {e}}} = {\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}} \\ - (1 - \cos \theta )({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}) + \sin \theta {\mathbf{\dot {e}}} = {{\omega }_{*}} - {\mathbf{e}}({\mathbf{e}} \cdot {{\omega }_{*}}) = - {\mathbf{e}} \times ({\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}}) \\ \end{gathered} $

Ее удобно записать в матричной форме

$2\sin \frac{\theta }{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\theta }{2}}&{\sin \frac{\theta }{2}} \\ { - \sin \frac{\theta }{2}}&{\cos \frac{\theta }{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}} \\ {{\mathbf{\dot {e}}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}}} \\ { - {\mathbf{e}} \times ({\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}})} \end{array}} \right)$

Матрица в левой части ортогональна и система легко разрешается относительно ${\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}$ и ${\mathbf{\dot {e}}}$. Откуда найдем

(6.2)

$\begin{gathered} {\mathbf{\dot {e}}} = \frac{1}{2}({\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}}) - \frac{1}{{2\operatorname{tg} (\theta {\text{/}}2)}}\left( {{\mathbf{e}} \times ({\mathbf{e}} \times {{\omega }_{*}})} \right) \Rightarrow \\ {\mathbf{\dot {e}}}\theta = \frac{1}{2}(\varphi \times {{\omega }_{*}}) - \frac{1}{{2\theta \operatorname{tg} (\theta {\text{/}}2)}}\left( {\varphi \times (\varphi \times {{\omega }_{*}})} \right) \\ \end{gathered} $

С помощью (6.1) получим

(6.3)

${\mathbf{e}}\dot {\theta } = \frac{1}{{{{\theta }^{2}}}}\varphi ({{\omega }_{*}} \cdot \varphi ) = \frac{1}{{{{\theta }^{2}}}}\left( {\varphi \times (\varphi \times {{\omega }_{*}})} \right) + {{\omega }_{*}}$

Складывая (6.2) и (6.3), находим

$\frac{d}{{dt}}\varphi = {\mathbf{\dot {e}}}\theta + {\mathbf{e}}\dot {\theta } = \frac{1}{2}(\varphi \times {{\omega }_{*}}) - \frac{1}{{2\theta \operatorname{tg} (\theta {\text{/2)}}}}\left( {\varphi \times (\varphi \times {{\omega }_{*}})} \right) + \frac{1}{{{{\theta }^{2}}}}\left( {\varphi \times (\varphi \times {{\omega }_{*}})} \right) + {{\omega }_{*}}$

Таким образом, получаем требуемое уравнение относительно $\varphi (t)$. Его удобно записать в векторном виде

(6.4)

$\dot {\varphi } = {{\omega }_{*}} + \frac{1}{2}(\varphi \times {{\omega }_{*}}) + \Phi ({{\varphi }^{2}})\left( {\varphi (\varphi \cdot {{\omega }_{*}}) - {{\varphi }^{2}}{{\omega }_{*}}} \right),$

и получить из него систему уравнений для трех компонент ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}},{{\varphi }_{3}}$ вектора

${{\dot {\varphi }}_{1}} = p + \frac{1}{2}({{\varphi }_{2}}r - {{\varphi }_{3}}q) + \Phi ({{\varphi }^{2}})({{\varphi }_{1}}({{\varphi }_{2}}q + {{\varphi }_{3}}r) - p(\varphi _{2}^{2} + \varphi _{3}^{2}))$

(6.5)

$\begin{gathered} {{{\dot {\varphi }}}_{2}} = q + \frac{1}{2}({{\varphi }_{3}}p - {{\varphi }_{1}}r) + \Phi ({{\varphi }^{2}})({{\varphi }_{2}}({{\varphi }_{3}}r + {{\varphi }_{1}}p) - q(\varphi _{3}^{2} + \varphi _{1}^{2})) \\ {{{\dot {\varphi }}}_{3}} = r + \frac{1}{2}({{\varphi }_{1}}q - {{\varphi }_{2}}p) + \Phi ({{\varphi }^{2}})({{\varphi }_{3}}({{\varphi }_{1}}p + {{\varphi }_{2}}q) - r(\varphi _{1}^{2} + \varphi _{2}^{2})) \\ \end{gathered} $

$\Phi ({{\varphi }^{2}}) = \frac{1}{{{{\theta }^{2}}}} - \frac{1}{{2\theta \operatorname{tg} (\theta {\text{/}}2)}},\quad {{\varphi }^{2}} = \varphi _{1}^{2} + \varphi _{2}^{2} + \varphi _{3}^{2} = {{\theta }^{2}}$

Начальные значения углов следует положить равными нулю

(6.6)

${{\varphi }_{1}}(0) = 0,\quad \;{{\varphi }_{2}}(0) = 0,\quad \;{{\varphi }_{3}}(0) = 0$

Здесь $p,q,r$ – компоненты вектора угловой скорости ${{\omega }_{*}}$, которые находятся из системы динамических уравнений Эйлера (5.1) для движения твердого тела с закрепленной точкой. В каждый момент времени единичные векторы главных осей твердого тела ${\mathbf{i}},{\mathbf{j}},{\mathbf{k}}$ находятся с помощью матрицы поворота $C\left( \varphi \right)$ (2.1) по формулам

(6.7)

${\mathbf{i}}(t) = C\left( {\varphi (t)} \right){{{\mathbf{i}}}_{0}},\quad {\mathbf{j}}(t) = C\left( {\varphi (t)} \right){{{\mathbf{j}}}_{0}},\quad {\mathbf{k}} = C\left( {\varphi (t)} \right){{{\mathbf{k}}}_{0}}$

Направим неподвижные оси по главным осям твердого тела в начальный момент времени ${{t}^{2}} = 0$, то есть зададим их вектор-столбцы в виде

(6.8)

${{{\mathbf{i}}}_{0}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{j}}}_{0}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{k}}}_{0}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right)$

Тогда с помощью (2.1) формулы (6.7) приведутся к виду

${\mathbf{i}}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {(1 - \cos \theta ){{e}_{1}}{{e}_{1}} + \cos \theta } \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{1}}{{e}_{2}} + \sin \theta {{e}_{3}}} \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{1}}{{e}_{3}} - \sin \theta {{e}_{2}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{1}}{{\varphi }_{1}} + \cos \theta } \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{1}}{{\varphi }_{2}} + {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{3}}} \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{1}}{{\varphi }_{3}} - {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{2}}} \end{array}} \right)$

(6.9)

$\begin{gathered} {\mathbf{j}}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {(1 - \cos \theta ){{e}_{2}}{{e}_{1}} - \sin \theta {{e}_{3}}} \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{2}}{{e}_{2}} + \cos \theta } \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{2}}{{e}_{3}} + \sin \theta {{e}_{1}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{2}}{{\varphi }_{1}} - {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{3}}} \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{2}}{{\varphi }_{2}} + \cos \theta } \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{2}}{{\varphi }_{3}} + {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{1}}} \end{array}} \right) \\ {\mathbf{k}}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {(1 - \cos \theta ){{e}_{3}}{{e}_{1}} + \sin \theta {{e}_{2}}} \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{3}}{{e}_{2}} - \sin \theta {{e}_{1}}} \\ {(1 - \cos \theta ){{e}_{3}}{{e}_{3}} + \cos \theta } \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{3}}{{\varphi }_{1}} + {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{2}}} \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{3}}{{\varphi }_{2}} - {{\Phi }_{1}}{{\varphi }_{1}}} \\ {{{\Phi }_{2}}{{\varphi }_{3}}{{\varphi }_{3}} + \cos \theta } \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $

${{\Phi }_{1}} = \frac{{\sin \theta }}{\theta },\quad {{\Phi }_{2}} = \frac{{1 - \cos \theta }}{{{{\theta }^{2}}}},\quad {{\theta }^{2}} = \varphi _{1}^{2} + \varphi _{2}^{2} + \varphi _{3}^{2}$

Входящую в уравнение (6.5) функцию $\Phi $ и в выражения для осей функции ${{\Phi }_{1}},\;{{\Phi }_{2}}$ удобно вычислять с помощью быстро сходящихся рядов по параметру ${{\varphi }^{2}} = \varphi _{1}^{2} + \varphi _{2}^{2} + \varphi _{3}^{2} = {{\theta }^{2}}$

(6.10)

$\begin{gathered} \Phi ({{\varphi }^{2}}) = \frac{1}{{12}} + \frac{{{{\varphi }^{2}}}}{{720}} + \frac{{{{\varphi }^{4}}}}{{30240}} + \frac{{{{\varphi }^{6}}}}{{1209600}} + \frac{{{{\varphi }^{8}}}}{{47900160}} + ... \\ {{\Phi }_{1}}({{\varphi }^{2}}) = 1 - \frac{{{{\varphi }^{2}}}}{{3!}} + \frac{{{{\varphi }^{4}}}}{{5!}} - ...,\quad {{\Phi }_{2}}({{\varphi }^{2}}) = \frac{1}{{2!}} - \frac{{{{\varphi }^{2}}}}{{4!}} + \frac{{{{\varphi }^{4}}}}{{6!}} - ... \\ \end{gathered} $

Таким образом особенности при ${{\varphi }^{2}} = 0$ в этих функциях устраняется. На отрезке ${{\varphi }^{2}} < {{\pi }^{2}}$ в функциях $\Phi ({{\varphi }^{2}}),{{\Phi }_{1}}({{\varphi }^{2}}),{{\Phi }_{2}}({{\varphi }^{2}})$ достигается семи знаков точности, если учесть в них 8, 7 и 6 членов ряда соответственно.

Значения ортов ${\mathbf{i}}(t),{\mathbf{j}}(t),{\mathbf{k}}(t)$ не изменятся при заменах $\theta = \theta {\kern 1pt} '\; \pm 2\pi $, $\varphi = \varphi {\kern 1pt} '\frac{{\theta {\kern 1pt} '\; \pm 2\pi }}{{\theta {\kern 1pt} '}}$. При этой замене угол $\theta $ увеличивается или уменьшается на $2\pi $. Поэтому без ограничения общности можно считать, что вектор угла конечного поворота удовлетворяет неравенству

(6.11)

${{{\mathbf{\varphi }}}^{2}} = \varphi _{1}^{2} + \varphi _{2}^{2} + \varphi _{3}^{2} \leqslant {{\pi }^{2}}$

7. Кватернионное описание кинематики твердого тела. Систему уравнений (6.5) и формулы для направлений главных осей (6.7) можно получить с помощью кватерниона [1–4]

(7.1)

$\Lambda = \cos \left( {\theta {\text{/}}2} \right) + {\mathbf{e}}\sin \left( {\theta {\text{/}}2} \right)$

Преобразованию поворота (2.1) соответствует присоединенное отображение ${\mathbf{R}} = \Lambda \circ {{{\mathbf{R}}}_{*}} \circ \bar {\Lambda }$. Угловая скорость в подвижных осях твердого тела выражается через кватернион так ${{\omega }_{*}} = 2\bar {\Lambda }\dot {\Lambda }$. Отсюда следуют тождества

$\begin{gathered} C(\varphi ){{{\mathbf{R}}}_{*}} = (E + A({\mathbf{e}})\sin \theta + A{{({\mathbf{e}})}^{2}}(1 - \cos \theta )){{{\mathbf{R}}}_{*}} = \Lambda \circ {{{\mathbf{R}}}_{*}} \circ \overline \Lambda \\ {{\omega }_{*}} = \dot {\theta }{\mathbf{e}} + {\mathbf{\dot {e}}}\sin \theta - (1 - \cos \theta )({\mathbf{e}} \times {\mathbf{\dot {e}}}) = 2\overline \Lambda \circ \frac{d}{{dt}}\Lambda \\ \end{gathered} $

Они представляют альтернативный вывод формул (2.1) и (4.5). Здесь и далее знак $ \circ $ означает умножение кватернионов.

Систему уравнений (6.5) можно заменить на одно уравнение для кватерниона [1]: $2\frac{d}{{dt}}\Lambda = \Lambda \circ {{\omega }_{*}}$. Оно эквивалентно системе уравнений для его компонент: параметров Родрига–Гамильтона

${{\lambda }_{0}} = \cos \left( {\theta {\text{/}}2} \right),\quad {{\lambda }_{1}} = {{e}_{1}}\sin \left( {\theta {\text{/}}2} \right),\quad {{\lambda }_{2}} = {{e}_{2}}\sin \left( {\theta {\text{/}}2} \right),\quad {{\lambda }_{3}} = {{e}_{3}}\sin \left( {\theta {\text{/}}2} \right)$

${{\dot {\lambda }}_{0}} = - \frac{1}{2}(p{{\lambda }_{1}} + q{{\lambda }_{2}} + r{{\lambda }_{3}})$

(7.2)

${{\dot {\lambda }}_{1}} = \frac{1}{2}\left( {p{{\lambda }_{0}} + {{\lambda }_{2}}r - {{\lambda }_{3}}q} \right)$

${{\dot {\lambda }}_{2}} = \frac{1}{2}\left( {q{{\lambda }_{0}} + {{\lambda }_{3}}p - {{\lambda }_{1}}r} \right)$

${{\dot {\lambda }}_{3}} = \frac{1}{2}\left( {r{{\lambda }_{0}} + {{\lambda }_{1}}q - {{\lambda }_{2}}p} \right)$

Начальному условию (6.6) соответствуют условия

${{\lambda }_{0}} = 1,\quad {{\lambda }_{1}} = 0,\quad {{\lambda }_{2}} = 0,\quad {{\lambda }_{3}} = 0$

Система уравнений имеет интеграл $\lambda _{0}^{2} + \lambda _{1}^{2} + \lambda _{2}^{2} + \lambda _{3}^{2} = 1$. По найденному кватерниону можно найти орты главных осей твердого тела

(7.3)

${\mathbf{i}}(t) = \Lambda \circ {{{\mathbf{i}}}_{0}} \circ \bar {\Lambda },\quad {\mathbf{j}}(t) = \Lambda \circ {{{\mathbf{j}}}_{0}} \circ \bar {\Lambda },\quad {\mathbf{k}}(t) = \Lambda \circ {{{\mathbf{k}}}_{0}} \circ \bar {\Lambda },$

где орты ${{{\mathbf{i}}}_{0}},{{{\mathbf{j}}}_{0}},{{{\mathbf{k}}}_{0}}$ и кватернион $\Lambda $ определены формулами (6.8) и (7.1). Формулы для ортов (7.3) и (6.9) тождественны.

Список литературы

Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997. 320 с.
Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука. 1973. 320 с.
Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. Учебник. 2-е изд., перераб. и дополн. М.: Изд-во МГУ, 2000. 719 с.
Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.
Jian S. Dai Euler–Rodrigues formula variations, quaternion conjugation and intrinsic connections // Mech.&Machine Theory, 2015. V. 92. P. 144–152.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал