Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 5, стр. 883-898

К релаксации напряжений в изогнутой вязкоупругой разносопротивляющейся пластине

Г. М. Севастьянов^1, *

¹ Институт машиноведения и металлургии ХФИЦ ДВО РАН
Комсомольск-на-Амуре, Россия

Поступила в редакцию 15.02.2023
После доработки 05.06.2023
Принята к публикации 15.07.2023

EDN: QPGCOZ
DOI: 10.31857/S0032823523050132

Аннотация

В работе приведено замкнутое аналитическое решение задачи плоской деформации о релаксации напряжений в пластине, вязкие свойства которой различаются при растяжении и сжатии. Обратимые и необратимые деформации полагаются конечными. Используется линейно-вязкая модель на основе эквивалентного напряжения, которое является кусочно-линейной функцией главных напряжений с параметром разносопротивляемости. Обсуждаются характерные для этой модели особенности решения.

Ключевые слова: вязкоупругость, ползучесть, изгиб, разносопротивляемость

1. Введение. Механические свойства материалов могут заметно различаться при растяжении и сжатии. Упругие эффекты такого рода обсуждались в различных работах [1–7], для их описания были созданы специальные разномодульные теории упругости. Упомянем недавнее исследование, в котором такая теория строится для нелинейно-упругих материалов [8]. В теории пластичности также известны модели, способные учитывать асимметрию в поведении материала [9–11]. Описание материалов, для которых вязкие свойства различаются при сжатии и растяжении (см., например, [12–19]), может быть дано на основе специального выбора эквивалентного напряжения в потенциальных законах ползучести [20–22].

На рис. 1 приведена иллюстрация разносопротивляемости вязкой деформации растяжения и сжатия. Изображены диаграммы “скорость деформации–напряжение” для двух линейно-вязких материалов. Для каждого из них эффективные коэффициенты вязкости при сжатии и растяжении различаются в четыре раза, но для одного из них выше вязкость при сжатии, а для второго наоборот.

Рис. 1.

Разносопротивляемость вязкой деформации сжатия/растяжения.

В недавнем исследовании [23] получены аналитические решения о релаксации напряжений в изогнутой в условиях плоской деформации пластине для двух линейно-вязких моделей разносопротивляющегося материала с гладкими потенциалами ползучести. В отличие от [23], здесь проведено исследование той же задачи для кусочно-линейного потенциала ползучести и обсуждаются качественные различия решений.

Статья организована следующим образом. В разд. 2 приведена постановка задачи. В разд. 3 приведены общие соотношения модели материала. В разд. 4 кратко изложено известное решение об упругом изгибе несжимаемой нелинейно-упругой пластины. В исследовании используется несжимаемая упругая модель Генки, как наиболее простая и, вместе с тем, корректно описывающая достаточно широкий спектр материалов при умеренных упругих деформациях. Далее разносопротивляемость материала при чисто упругой деформации не учитывается, что позволяет сосредоточиться исключительно на вязких эффектах. В разд. 5 получено решение задачи релаксации пластины для тензорно-линейного закона ползучести материала с эквивалентным напряжением ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}$, описывающим разносопротивляемость вязкой деформации. Это эквивалентное напряжение представляет собой кусочно-линейную функцию главных напряжений, в которую входит параметр материала, отвечающий за разносопротивляемость. Поверхность ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \operatorname{const} $ представляет собой шестигранник лежащий на гидростатической оси (для двух предельных значений параметра разносопротивляемости шестигранник вырождается в треугольную призму) [20–22]. Процесс релаксации напряжений в изогнутой пластине проходит в две стадии. На первой стадии напряженное состояние в той части изогнутой пластины, которая сжата в продольном направлении ${{X}_{2}}$ (см. рис. 2), соответствует одной из граней шестигранника, а напряженное состояние в точках растянутой части пластины соответствует противоположной грани шестигранника. В определенный момент времени напряженное состояние каждой точки пластины выходит на смежное с соответствующей гранью шестигранника ребро и начинается вторая стадия релаксации. В конце разд. 5 приведено замкнутое аналитическое решение для релаксации изгибающего момента. В разд. 6 обсуждаются свойства полученного решения в сравнении с другими моделями разносопротивляемости.

Рис. 2.

Изгиб пластины в условиях плоской деформации.

2. Постановка задачи. Прямоугольная пластина в недеформированном состоянии в декартовой системе координат $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ с базисными векторами ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{2}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{3}}$ ограничена неравенствами $0 \leqslant {{X}_{1}} \leqslant H$, $ - {L \mathord{\left/ {\vphantom {L 2}} \right. \kern-0em} 2} \leqslant {{X}_{2}} \leqslant + {L \mathord{\left/ {\vphantom {L 2}} \right. \kern-0em} 2}$, $ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2} \leqslant {{X}_{3}} \leqslant + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (рис. 2). К пластине приложен изгибающий момент $M$, вследствие чего пластина деформируется симметрично относительно плоскости $O{{X}_{1}}{{X}_{3}}$. Деформированная пластина может быть описана в цилиндрической системе координат $Or\varphi z$ с базисными векторами ${{{\mathbf{e}}}_{r}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$. Полагается, что изгиб происходит в условиях плоской деформации (для чего требуются ограничения на торцах пластины, находящихся в плоскости $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}$). Активное нагружение полагается достаточно быстрым, чтобы можно было пренебречь действием вязких эффектов при деформировании.

Изогнутая пластина зафиксирована от перемещений и рассматривается процесс релаксации напряжений за счет вязких эффектов, в частности, определяется эволюция изгибающего момента.

3. Модель материала. Кинематика больших деформаций принимается в виде мультипликативного разложения [24] тензора градиента деформации ${\mathbf{F}}$ на обратимую (упругую) ${{{\mathbf{F}}}^{e}}$ и необратимую (вязкую) ${{{\mathbf{F}}}^{c}}$ составляющие

(3.1)

${\mathbf{F}} = {{{\mathbf{F}}}^{e}}{{{\mathbf{F}}}^{c}}$

Ниже используется простейшая модель несжимаемого материала Генки с упругим законом

(3.2)

$\sigma = - p{\mathbf{I}} + 2\mu {{{\mathbf{h}}}^{e}}\quad {\text{или}}\quad {\mathbf{s}} = \sigma - \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right){\mathbf{I}}\operatorname{tr} \sigma = 2\mu {{{\mathbf{h}}}^{e}}$

Здесь $\mu $ имеет тот же смысл, что модуль сдвига в линейной теории упругости; $\sigma $ есть тензор напряжений Коши; ${\mathbf{I}}$ есть единичный тензор; ${\mathbf{s}}$ есть девиатор напряжений; ${{{\mathbf{h}}}^{e}} = \ln {{{\mathbf{V}}}^{e}}$ есть упругий логарифмический тензор деформации Генки, ${{\left( {{{{\mathbf{V}}}^{e}}} \right)}^{2}}$ = ${{{\mathbf{B}}}^{e}}$ = = ${{{\mathbf{F}}}^{e}}{{\left( {{{{\mathbf{F}}}^{e}}} \right)}^{T}}$, где ${{{\mathbf{B}}}^{e}}$ есть упругий левый тензор деформации Коши–Грина, ${{{\mathbf{V}}}^{e}}$ есть упругий левый (пространственный) тензор растяжений; учтено, что для несжимаемого материала $\operatorname{tr} {{{\mathbf{h}}}^{e}} = 0$; скалярная функция $p$ вводится из-за ограничений несжимаемости.

Необратимая (вязкая) деформация материала описывается линейным законом ползучести вида

(3.3)

$W = \frac{{\sigma _{{{\text{eq}}}}^{{\text{2}}}}}{{2\eta }},\quad {{{\mathbf{D}}}^{c}} = \frac{{\partial W}}{{\partial \sigma }} = \frac{{dW}}{{d{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial \sigma }} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial \sigma }}$

Здесь $W = W\left( {{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}} \right)$ есть потенциал ползучести; ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}$ есть эквивалентное напряжение; ${{{\mathbf{D}}}^{c}}$ есть тензор скорости необратимой деформации; $\eta $ есть коэффициент вязкости. Если положить ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \sqrt {{{J}_{2}}} $, где ${{J}_{2}} = \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\operatorname{tr} {{{\mathbf{s}}}^{2}}$, или, альтернативно, ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{\left( {{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, где ${{\sigma }_{1}}$ и ${{\sigma }_{3}}$ есть наибольшее и наименьшее главные напряжения, то получим обычную линейную вязкоупругую модель без разносопротивляемости растяжению/сжатию.

Будем использовать следующее определение эквивалентного напряжения [20–22]

(3.4)

${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \frac{3}{2}\frac{{{{s}_{1}} - \beta {{s}_{3}}}}{{2 + \beta }} = \frac{1}{2}\left( {{{\sigma }_{1}} + \frac{{ - 1 + \beta }}{{2 + \beta }}{{\sigma }_{2}} + \frac{{ - 1 - 2\beta }}{{2 + \beta }}{{\sigma }_{3}}} \right),$

где параметр материала $\beta \geqslant 0$ отвечает за разносопротивляемость вязкой деформации, ${{s}_{1}}$ и ${{s}_{3}}$ есть наибольшее и наименьшее собственные значения девиатора напряжений ${\mathbf{s}}$. Сечения поверхностей ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \operatorname{const} $ девиаторной плоскостью при различных значениях параметра $\beta $ изображены на рис. 3. При $\beta = 1$ эквивалентное напряжение ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ соответствует призме Треска (материал не проявляет разносопротивляемость). Предельным значениям параметра разносопротивляемости $\beta = 0$ и $\beta \to \infty $ соответствуют треугольные призмы Мариотта и Ивлева [25] с ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{3{{s}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{1}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}$ и ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{ - 3{{s}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3{{s}_{3}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. Для этих предельных поверхностей эквивалентные напряжения при одноосных напряженных состояниях сжатия и растяжения одинаковой по модулю нагрузкой различаются в два раза (при $\beta = 0$ больше эквивалентное напряжение в случае растяжения, при $\beta \to \infty $ наоборот). Промежуточным значениям $\beta $ соответствуют шестиугольные призмы.

Рис. 3.

Сечение девиаторной плоскостью поверхностей ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \operatorname{const} $ (формула (3.4)).

Используемая модель с эквивалентным напряжением (3.4) описывает разносопротивляемость вязкой деформации. Действительно, при одноосном растяжении ${{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{3}} = 0$, ${{\sigma }_{1}} = T > 0$, ${{s}_{1}} = 2{{{{\sigma }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{1}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$, ${{s}_{2}} = {{s}_{3}} = - {{{{\sigma }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{1}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$. При одноосном сжатии ${{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{2}} = 0$, ${{\sigma }_{3}} = T < 0$, ${{s}_{1}} = {{s}_{2}} = - {{{{\sigma }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{3}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$, ${{s}_{3}} = 2{{{{\sigma }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{3}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$. Тогда по (3.4) при растяжении ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и скорость деформации ползучести в направлении действия растягивающей силы есть

$D_{{\operatorname{tens} }}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{\sigma }_{1}}}} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\left( {\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{s}_{1}}}}\frac{{\partial {{s}_{1}}}}{{\partial {{\sigma }_{1}}}} + \frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{s}_{3}}}}\frac{{\partial {{s}_{3}}}}{{\partial {{\sigma }_{1}}}}} \right) = \frac{T}{{4\eta }},$

а при сжатии ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = - \frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}\frac{T}{2} > 0$ и скорость деформации ползучести в направлении действия сжимающей силы есть

$D_{{\operatorname{comp} }}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{\sigma }_{3}}}} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\left( {\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{s}_{1}}}}\frac{{\partial {{s}_{1}}}}{{\partial {{\sigma }_{3}}}} + \frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{s}_{3}}}}\frac{{\partial {{s}_{3}}}}{{\partial {{\sigma }_{3}}}}} \right) = \frac{T}{{4\eta }}{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}^{2}}$

Здесь $T$ есть нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной направлению сжатия/растяжения; $T > 0$ для растяжения, $T < 0$ для сжатия.

Если $\beta = B > 1$, то скорости необратимой деформации при одноосном нагружении сжатия и растяжения одинаковой по модулю нагрузкой соотносятся как

$\left| {\frac{{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}}}{{D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right| = {{\left( {\frac{{1 + 2B}}{{2 + B}}} \right)}^{2}} = A > 1$

Если же $\beta = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 B}} \right. \kern-0em} B} < 1$, то

$\left| {\frac{{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}}}{{D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right| = {{\left( {\frac{{2 + B}}{{1 + 2B}}} \right)}^{2}} = \frac{1}{A} < 1$

То есть, если для материала 2 на рис. 1 $\beta = B$, то для материала 1 $\beta = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 B}} \right. \kern-0em} B}$. Учитывая, что $\beta \geqslant 0$, используемая модель способна описать разносопротивляемость вязкой деформации в ограниченном, хотя и достаточно широком, диапазоне: при $\beta = 0$ $\left| {{{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}} \mathord{\left/ {\vphantom {{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}} {D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right. \kern-0em} {D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}$, при $\beta \to \infty $ $\left| {{{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}} \mathord{\left/ {\vphantom {{D_{{\operatorname{comp} }}^{c}} {D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right. \kern-0em} {D_{{\operatorname{tens} }}^{c}}}} \right| = 4$.

4. Предварительная упругая деформация изгиба в несжимаемой нелинейно-упругой пластине. Кинематика изгиба в условиях плоской деформации описывается уравнениями [26–28]:

$r = \sqrt {B + \frac{{2{{X}_{1}}}}{A}} ,\quad \varphi = A{{X}_{2}},\quad z = {{X}_{3}}$

Внутренний и внешний радиусы кривизны изогнутой пластины могут быть выражены в виде

${{r}_{1}} = \sqrt B ,\quad {{r}_{2}} = \sqrt {B + \frac{{2H}}{A}} ;\quad A = \frac{\gamma }{L},\quad B = \frac{1}{{{{A}^{2}}}}\left( {\sqrt {1 + {{{\left( {AH} \right)}}^{2}}} - AH} \right)$

Здесь $\gamma $ угол изгиба, $L$ и $H$ – длина и толщина пластины соответственно (см. рис. 2). Кроме того, справедливо равенство ${{r}_{1}}{{r}_{2}} = {{A}^{{ - 2}}}$ [26].

Градиент деформации диагональный, ${\mathbf{F}} = {{\left( {Ar} \right)}^{{ - 1}}}\,{{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{1}} + Ar\,{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{2}} + {{{\mathbf{e}}}_{z}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{3}}$. Тензор деформации Генки также диагональный, имеет вид ${\mathbf{h}} = - \ln \left( {Ar} \right){{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{r}}$ + $\ln \left( {Ar} \right){{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$.

Замечание. Поскольку градиент деформации ${\mathbf{F}}$ в рассматриваемой задаче диагональный (в смешанном координатном базисе), то, полагая, что это свойство имеют также ${{{\mathbf{F}}}^{e}}$ и ${{{\mathbf{F}}}^{c}}$, из (3.1) дифференцированием по времени можно получить

${{{\mathbf{\dot {F}}}}^{e}}{{\left( {{{{\mathbf{F}}}^{e}}} \right)}^{{ - 1}}} = {\mathbf{D}} - {{{\mathbf{D}}}^{c}},$

где ${\mathbf{D}} = \operatorname{sym} \left( {{\mathbf{\dot {F}}}{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}}} \right)$, ${{{\mathbf{D}}}^{c}} = \operatorname{sym} \left( {{{{{\mathbf{\dot {F}}}}}^{c}}{{{\left( {{{{\mathbf{F}}}^{c}}} \right)}}^{{ - 1}}}} \right)$, $2\operatorname{sym} \left( {} \right) = \left( {} \right) + {{\left( {} \right)}^{T}}$. Здесь точка над символом означает полную производную по времени.

С другой стороны, для диагональных ${{{\mathbf{F}}}^{e}}$ и ${{{\mathbf{h}}}^{e}} = \ln {{\left[ {{{{\mathbf{F}}}^{e}}{{{\left( {{{{\mathbf{F}}}^{e}}} \right)}}^{T}}} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ верно, что

${{{\mathbf{\dot {h}}}}^{e}} = {{{\mathbf{\dot {F}}}}^{e}}{{\left( {{{{\mathbf{F}}}^{e}}} \right)}^{{ - 1}}}$

Приравнивая последние формулы, имеем

(4.1)

${{{\mathbf{\dot {h}}}}^{e}} = {\mathbf{D}} - {{{\mathbf{D}}}^{c}}$

Везде далее вместо формулы (3.1) будет использоваться (4.1).

Учитывая, что при чисто упругом деформировании ${{{\mathbf{h}}}^{e}} = {\mathbf{h}}$, имеем

(4.2)

${{s}_{{rr}}} = - {{s}_{{\varphi \varphi }}} = - 2\mu \ln \left( {Ar} \right),\quad {{s}_{{zz}}} = 0$

Изгибающий момент на единицу длины в направлении $z = {{X}_{3}}$ есть

(4.3)

$\begin{gathered} M = \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {{{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}rdr} = \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {{{\sigma }_{{rr}}}rdr} + 2\mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {h_{{\varphi \varphi }}^{e} - h_{{rr}}^{e}} \right)rdr} = \frac{1}{2}\underbrace {\left[ {{{r}^{2}}{{\sigma }_{{rr}}}} \right]_{{{{r}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}}_0 - \\ - \;\frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\frac{{d{{\sigma }_{{rr}}}}}{{dr}}{{r}^{2}}dr} + 2\mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {h_{{\varphi \varphi }}^{e} - h_{{rr}}^{e}} \right)rdr} = - \mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {h_{{\varphi \varphi }}^{e} - h_{{rr}}^{e}} \right)rdr} + \\ + \;2\mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {h_{{\varphi \varphi }}^{e} - h_{{rr}}^{e}} \right)rdr} = \mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {h_{{\varphi \varphi }}^{e} - h_{{rr}}^{e}} \right)rdr} = \frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {{{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}} \right)rdr} \\ \end{gathered} $

Здесь в первой строке использован упругий закон (3.2); во второй строке использовано интегрирование по частям и тот факт, что поверхности пластины свободны от напряжений, т.е. ${{\sigma }_{{rr}}}\left( {{{r}_{1}}} \right) = {{\sigma }_{{rr}}}\left( {{{r}_{2}}} \right) = 0$; в третьей строке использовано уравнение равновесия $r{{d{{\sigma }_{{rr}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{\sigma }_{{rr}}}} {dr}}} \right. \kern-0em} {dr}}$ = ${{\sigma }_{{\varphi \varphi }}} - {{\sigma }_{{rr}}}$.

Формула (4.3) верна и при релаксации напряжений; релаксация изгибающего момента однозначно определяется изменением функции $\left( {{{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}} \right)$ во времени. Начальная величина изгибающего момента определяется по (4.3) с учетом упругого решения (4.2):

${{M}_{0}} = 2\mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\ln \left( {Ar} \right)rdr} $

5. Релаксация напряжений в пластине

5.1. Начальный этап релаксации. С момента времени $t = 0$ начинается релаксация напряжений в пластине, которая приводит к снижению приложенного изгибающего момента. Поскольку материал полностью зафиксирован от перемещений, то в формуле (4.1) ${\mathbf{D}} = {\mathbf{0}}$, а полная производная по времени совпадает с частной производной:

$\frac{{\partial {{{\mathbf{h}}}^{e}}}}{{\partial t}} = - {{{\mathbf{D}}}^{c}}$

Используя упругий закон ${\mathbf{s}} = 2\mu {{{\mathbf{h}}}^{e}}$, можно записать предыдущее равенство в виде

(5.1)

$\frac{{\partial {\mathbf{s}}}}{{\partial t}} = - 2\mu {{{\mathbf{D}}}^{c}}$

Согласно (4.2) в упруго изогнутой пластине в начальный момент времени во внутреннем слое ($r < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{rr}}} = {{s}_{1}} > 0$, ${{s}_{{\varphi \varphi }}} = {{s}_{3}} < 0$, ${{s}_{{zz}}} = {{s}_{2}} = 0$. Во внешнем слое ($r > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) наоборот, ${{s}_{{rr}}} = {{s}_{3}} < 0$, ${{s}_{{\varphi \varphi }}} = {{s}_{1}} > 0$, ${{s}_{{zz}}} = {{s}_{2}} = 0$. Тогда по (3.3) и (3.4) имеем следующие равенства для компонент скорости необратимой деформации.

Во внутреннем слое

(5.2)

$D_{{rr}}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }} > 0,\quad D_{{\varphi \varphi }}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }}\frac{{ - 1 - 2\beta }}{{2 + \beta }} < 0,\quad D_{{zz}}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }}\frac{{ - 1 + \beta }}{{\beta + 2}}$

Во внешнем слое

(5.3)

$D_{{rr}}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }}\frac{{ - 1 - 2\beta }}{{\beta + 2}} < 0,\quad D_{{\varphi \varphi }}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }}\frac{{2 + \beta }}{{\beta + 2}} > 0,\quad D_{{zz}}^{c} = \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{2\eta }}\frac{{ - 1 + \beta }}{{\beta + 2}}$

Знак $D_{{zz}}^{c}$ определяется величиной $\beta $: если $\beta > 1$, то $D_{{zz}}^{c} > 0$; если $0 \leqslant \beta < 1$, то $D_{{zz}}^{c} < 0$. При этом поскольку $ - 1 - 2\beta < - 1 + \beta < 2 + \beta $, то $D_{{zz}}^{c}$ в любом случае является промежуточным главным значением тензора скорости необратимой деформации. Во внутреннем слое $D_{{rr}}^{c} = D_{1}^{c}$, $D_{{\varphi \varphi }}^{c} = D_{3}^{c}$; во внешнем слое наоборот, $D_{{rr}}^{c} = D_{3}^{c}$, $D_{{\varphi \varphi }}^{c} = D_{1}^{c}$. Здесь и далее $D_{1}^{c}$, $D_{3}^{c}$, $D_{2}^{c}$ есть наибольшее, наименьшее и промежуточное главные значения тензора ${{{\mathbf{D}}}^{c}}$. Выражения (5.2) и (5.3) верны до тех пор, пока ${{s}_{{zz}}}$ остается промежуточным главным значением девиатора напряжений. Пока это верно, координатное направление, соответствующее максимальному главному значению девиатора напряжений, совпадает с координатным направлением максимального главного значения тензора скорости необратимой деформации (и то же самое для минимальных главных значений). В этом случае из (5.1) с учетом (3.3) и (3.4) для произвольных чисел $a$ и $b$ можно получить

(5.4)

$\frac{{\partial \left( {a{{s}_{1}} - b{{s}_{2}} - c{{s}_{3}}} \right)}}{{\partial t}} = - 2\mu \left( {aD_{1}^{c} - bD_{2}^{c} - cD_{3}^{c}} \right) = - {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}\frac{\mu }{\eta }\left( {a + b\frac{{1 - \beta }}{{2 + \beta }} + c\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)$

Если в (5.4) выбрать $a = \frac{3}{2}\frac{1}{{2 + \beta }}$, $b = 0$ и $c = \frac{3}{2}\frac{\beta }{{2 + \beta }}$, то имеем

(5.5)

$\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{3}{2}\frac{{{{s}_{1}} - \beta {{s}_{3}}}}{{2 + \beta }}} \right) = - {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}\frac{\mu }{\eta }\frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}$

а если выбрать $a = 1$, $b = 0$ и $c = 1$, то можно получить

(5.6)

$\frac{{\partial \left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)}}{{\partial t}} = - 3{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}\frac{\mu }{\eta }\frac{{1 + \beta }}{{2 + \beta }}$

Первое из этих уравнений есть обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое позволяет найти эволюцию эквивалентного напряжения (3.4):

(5.7)

${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}},\quad \sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}\left( r \right) = 3\mu \frac{{1 + \beta }}{{2 + \beta }}\left| {\ln \left( {Ar} \right)} \right|$

Здесь для определения константы интегрирования использовано начальное условие – распределение эквивалентного напряжения в начальный момент времени ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}\left( {r,0} \right) = \sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}\left( r \right)$, которое определяется упругим решением (4.2).

Уравнение (5.6) удовлетворяется непосредственным интегрированием и позволяет найти разность $\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)$ как функцию времени:

${{s}_{1}} - {{s}_{3}} = 4\mu \left\{ {1 + \frac{3}{4}\frac{{{{{\left( {1 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left[ {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - 1} \right]} \right\}\left| {\ln \left( {Ar} \right)} \right|$

Начальное условие при этом также определяется упругим решением (4.2): в момент времени $t = 0$ разница максимального и минимального главных напряжений есть $4\mu \left| {\ln \left( {Ar} \right)} \right|$.

Во внутреннем слое ($r < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}} = - \left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)$, во внешнем слое ($r > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}$ = ${{s}_{1}} - {{s}_{3}}$. Следовательно, по формуле (4.3) может быть найдена релаксация изгибающего момента:

(5.8)

$\begin{gathered} M = \frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {{{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}} \right)rdr} = - \frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}} {\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)rdr} + \frac{1}{2}\int\limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}}^{{{r}_{2}}} {\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right)rdr} = \\ = {{M}_{0}}\left\{ {1 + \frac{3}{4}\frac{{{{{\left( {1 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left[ {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - 1} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $

где ${{M}_{0}} = 2\mu \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\ln \left( {Ar} \right)rdr} $. Для материала без разносопротивляемости вязкой деформации ($\beta = 1$) формула выше принимает вид $M = {{M}_{0}}{{e}^{{ - {{\mu t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu t} \eta }} \right. \kern-0em} \eta }}}}$.

Далее нам потребуются также формулы, описывающие эволюцию величин $\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right)$ и $\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right)$. Из (5.4) при $a = 1$, $b = 1$, $c = 0$ и $a = 0$, $b = - 1$, $c = 1$ с учетом (5.5) следует, что

$\frac{{\partial \left( {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right)}}{{\partial t}} = - \frac{\mu }{\eta }\frac{3}{{2 + \beta }}{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial t}}\frac{{2 + \beta }}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}$

$\frac{{\partial \left( {{{s}_{2}} - {{s}_{3}}} \right)}}{{\partial t}} = - \frac{\mu }{\eta }\frac{{3\beta }}{{2 + \beta }}{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial t}}\frac{{\beta \left( {2 + \beta } \right)}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}$

Интегрируя эти выражения с учетом (5.7) и начальных условий ${{\left. {\left( {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right)} \right|}_{{t = 0}}}$ = = ${{\left. {\left( {{{s}_{2}} - {{s}_{3}}} \right)} \right|}_{{t = 0}}}$ = $2\mu \left| {\ln \left( {Ar} \right)} \right|$ = $\frac{2}{3}\frac{{2 + \beta }}{{1 + \beta }}\sigma _{{{\text{eq}}}}^{{\text{0}}}$, имеем

${{s}_{1}} - {{s}_{2}} = \sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}\frac{{2 + \beta }}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left( {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - \frac{{\left( {1 + 2\beta } \right)\left( {1 - \beta } \right)}}{{3\left( {1 + \beta } \right)}}} \right)$

${{s}_{2}} - {{s}_{3}} = \sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}\frac{{\beta \left( {2 + \beta } \right)}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left( {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - \frac{{\left( {\beta + 2} \right)\left( {\beta - 1} \right)}}{{3\beta \left( {1 + \beta } \right)}}} \right)$

4.2. Конечный этап релаксации. Из формул выше следует, что если $\beta > 1$, то в момент времени

(5.9)

$t{\kern 1pt} * = \frac{\eta }{\mu }\frac{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}\ln \frac{{3\beta \left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {\beta + 2} \right)\left( {\beta - 1} \right)}},$

напряженное состояние выходит на ребро поверхности ползучести с ${{s}_{2}} = {{s}_{3}}$; а если $0 \leqslant \beta < 1$, то в момент времени

(5.10)

$t{\kern 1pt} * = \frac{\eta }{\mu }\frac{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}\ln \frac{{3\left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {1 + 2\beta } \right)\left( {1 - \beta } \right)}}$

напряженное состояние выходит на ребро поверхности ползучести с ${{s}_{2}} = {{s}_{1}}$. Причем это происходит одномоментно во всех точках пластины.

После этого начинается второй этап релаксации. Изгибающий момент, соответствующий переходу во вторую стадию релаксации, может быть найден по формуле (5.8):

(5.11)

$M{\kern 1pt} * = M\left( {t{\kern 1pt} *} \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\beta - 1}}{{2\beta }}{{M}_{0}},\quad \beta > 1 \hfill \\ \frac{{1 - \beta }}{2}{{M}_{0}},\quad 0 \leqslant \beta < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

На втором этапе релаксации, если $\beta > 1$, то ${{s}_{2}} = {{s}_{3}} = - {{{{s}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{s}_{1}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и

$\frac{{\partial {{s}_{1}}}}{{\partial t}} = - 2\mu D_{1}^{c} = - 2\mu \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{\sigma }_{1}}}} = - \mu \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta } = - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{s}_{1}}$

Здесь учтено, что в этом случае ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{3{{s}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{1}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}$. Интегрируя, имеем

${{s}_{1}} = {{\left. {{{s}_{1}}} \right|}_{{t = t{\kern 1pt} *}}}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}} = \frac{4}{3}\sigma _{{{\text{eq}}}}^{*}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}} = \frac{4}{9}\frac{{\left( {\beta + 2} \right)\left( {\beta - 1} \right)}}{{\beta \left( {1 + \beta } \right)}}\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}},\quad \sigma _{{{\text{eq}}}}^{*} = {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}\left( {t{\kern 1pt} *} \right)$

И далее, во внутреннем слое ($r < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}} = - \left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right) = - {{3{{s}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{1}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, а во внешнем слое ($r > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}$ = ${{s}_{1}} - {{s}_{3}}$ = ${{3{{s}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{1}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. По формуле (4.3):

$\begin{gathered} M = \frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {{{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}} \right)rdr} = - \frac{3}{4}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}} {{{s}_{1}}rdr} + \frac{3}{4}\int\limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}}^{{{r}_{2}}} {{{s}_{1}}rdr} = \\ = \frac{{\left( {\beta + 2} \right)\left( {\beta - 1} \right)}}{{3\beta \left( {1 + \beta } \right)}}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}}\left( {\int\limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}}^{{{r}_{2}}} {\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}rdr} - \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}} {\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}rdr} } \right) = \frac{{\beta - 1}}{{2\beta }}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}}{{M}_{0}} \\ \end{gathered} $

Если $0 \leqslant \beta < 1$, то на втором этапе релаксации ${{s}_{1}} = {{s}_{2}} = - {{{{s}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{s}_{3}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и

$\frac{{\partial {{s}_{3}}}}{{\partial t}} = - 2\mu D_{3}^{c} = - 2\mu \frac{{{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{\eta }\frac{{\partial {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\partial {{\sigma }_{3}}}} = \frac{\mu }{\eta }\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}^{2}}{{s}_{3}}$

Здесь учтено, что ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = - \frac{3}{4}\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}{{s}_{3}}$. Интегрируя, имеем

$\begin{gathered} {{s}_{3}} = {{\left. {{{s}_{3}}} \right|}_{{t = t{\kern 1pt} *}}}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}} = - \frac{4}{3}\frac{{2 + \beta }}{{1 + 2\beta }}\sigma _{{{\text{eq}}}}^{*}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}} = \\ = - \frac{4}{9}\frac{{\left( {2 + \beta } \right)\left( {1 - \beta } \right)}}{{1 + \beta }}\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}} \\ \end{gathered} $

И далее, во внутреннем слое ($r < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}} = - \left( {{{s}_{1}} - {{s}_{3}}} \right) = {{3{{s}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{3}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, во внешнем слое ($r > {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}$) ${{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}} = {{s}_{1}} - {{s}_{3}}$ = $ - {{3{{s}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{s}_{3}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. По формуле (4.3):

$\begin{gathered} M = \frac{1}{2}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}} {\left( {{{s}_{{\varphi \varphi }}} - {{s}_{{rr}}}} \right)rdr} = \frac{3}{4}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}} {{{s}_{3}}rdr} - \frac{3}{4}\int\limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}}^{{{r}_{2}}} {{{s}_{3}}rdr} = \\ = \frac{{\left( {2 + \beta } \right)\left( {1 - \beta } \right)}}{{3\left( {1 + \beta } \right)}}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}}\left( {\int\limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}}^{{{r}_{2}}} {\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}rdr} - \int\limits_{{{r}_{1}}}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 A}} \right. \kern-0em} A}} {\sigma _{{{\text{eq}}}}^{0}rdr} } \right) = \frac{{1 - \beta }}{2}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}}{{M}_{0}} \\ \end{gathered} $

Итак, эволюция изгибающего момента в процессе релаксации в целом описывается уравнениями:

– при $0 \leqslant \beta < 1$:

(5.12)

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{3}{4}\frac{{{{{\left( {1 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left[ {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - 1} \right],\quad t \leqslant t{\kern 1pt} * \hfill \\ \frac{{1 - \beta }}{2}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }{{{\left( {\frac{{1 + 2\beta }}{{2 + \beta }}} \right)}}^{2}}\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}},\quad t \geqslant t{\kern 1pt} *, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где $t{\kern 1pt} * = \frac{\eta }{\mu }\frac{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}\ln \frac{{3\left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {1 + 2\beta } \right)\left( {1 - \beta } \right)}}$;

– при $\beta > 1$:

(5.13)

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{3}{4}\frac{{{{{\left( {1 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{1 + \beta + {{\beta }^{2}}}}\left[ {{{e}^{{ - \frac{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}\frac{\mu }{\eta }t}}} - 1} \right],\quad t \leqslant t{\kern 1pt} * \hfill \\ \frac{{\beta - 1}}{{2\beta }}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }\left( {t - t{\kern 1pt} *} \right)}}},\quad t \geqslant t{\kern 1pt} *, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где $t{\kern 1pt} * = \frac{\eta }{\mu }\frac{{{{{\left( {2 + \beta } \right)}}^{2}}}}{{3\left( {1 + \beta + {{\beta }^{2}}} \right)}}\ln \frac{{3\beta \left( {1 + \beta } \right)}}{{\left( {\beta + 2} \right)\left( {\beta - 1} \right)}}$.

В частности, для предельных значений параметра разносопротивляемости:

– при $\beta = 0$:

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{4} + \frac{3}{4}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }t}}},\quad t \leqslant \frac{{4\ln 3}}{3}\frac{\eta }{\mu } \hfill \\ \frac{{{{3}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}}}{2}{{e}^{{ - \frac{3}{{16}}\frac{\mu }{\eta }t}}},\quad t \geqslant \frac{{4\ln 3}}{3}\frac{\eta }{\mu } \hfill \\ \end{gathered} \right.$

– при $\beta \to \infty $:

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{4} + \frac{3}{4}{{e}^{{ - 3\frac{\mu }{\eta }t}}},\quad t \leqslant \frac{{\ln 3}}{3}\frac{\eta }{\mu } \hfill \\ \frac{{{{3}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}}}{2}{{e}^{{ - \frac{3}{4}\frac{\mu }{\eta }t}}},\quad t \geqslant \frac{{\ln 3}}{3}\frac{\eta }{\mu } \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Траектория напряженного состояния в пространстве девиаторных напряжений изображена на рис. 4.

Рис. 4.

Траектория напряженного состояния произвольной точки пластины. Слева для материала с $0 \leqslant \beta < 1$, справа для материала с $\beta > 1$. Верхняя траектория на каждом графике соответствует точкам пластины внутренней области $Ar < 1$, нижняя – точкам внешней области $Ar > 1$ (точки на нейтральной поверхности $Ar = 1$ свободны от напряжений).

6. Обсуждение результатов. В [23] рассмотрены две линейно-вязкие модели, основанные на различном определении эквивалентного напряжения [9, 10]:

$W = \frac{{\sigma _{{{\text{eq}}}}^{2}}}{{2{{\eta }_{1}}}};\quad {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = {{\left[ {J_{2}^{{3/2}} - \left( {{{3\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{3\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\alpha {{J}_{3}}} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},\quad \alpha \in \left[ { - 1,1} \right],$

где ${{J}_{3}} = \det {\mathbf{s}}$, $\alpha $ отвечает за TCA (при $\alpha = 0{\kern 1pt} :$ ${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \sqrt {{{J}_{2}}} $); и

$W = \frac{{\sigma _{{{\text{eq}}}}^{2}}}{{2{{\eta }_{2}}}},\quad {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \sqrt {\frac{1}{2}\left( {{{n}_{1}}s_{1}^{2} + {{n}_{2}}s_{2}^{2} + {{n}_{3}}s_{3}^{2}} \right)} ,\quad {{n}_{k}} = \left\{ \begin{gathered} {{n}^{ + }},\quad {{s}_{i}} \geqslant 0 \hfill \\ {{n}^{ - }},\quad {{s}_{i}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.;\quad i = 1,2,3$

${{n}^{ + }} = {{\left( {1 - k} \right)}^{2}},\quad {{n}^{ - }} = {{\left( {1 + k} \right)}^{2}};\quad k \in \left[ { - 1,1} \right],$

где ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$, ${{s}_{3}}$ есть упорядоченные по убыванию главные значения девиатора напряжений.

При одноосном нагружении сжатия или растяжения скорость деформации ползучести в направлении действия силы для первой модели описывается равенствами

$D_{{\operatorname{tens} }}^{c} = \frac{T}{{3{{\eta }_{1}}}}{{\left( {1 - \alpha } \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},\quad D_{{\operatorname{comp} }}^{c} = \frac{T}{{3{{\eta }_{1}}}}{{\left( {1 + \alpha } \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$

Для второй модели

$D_{{\operatorname{tens} }}^{c} = \frac{{2{{n}^{ + }} + {{n}^{ - }}}}{{9{{\eta }_{2}}}}T,\quad D_{{\operatorname{comp} }}^{c} = \frac{{{{n}^{ + }} + 2{{n}^{ - }}}}{{9{{\eta }_{2}}}}T$

Отсюда очевидно, что два материала, схематично изображенные на рис. 1, при описании с помощью первой из этих моделей различаются только знаком параметра $\alpha $, а при описании с помощью второй модели – знаком параметра $k$.

Релаксация изгибающего момента пластины по первой модели определяется в параметрическом виде [23]

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \exp \left\{ { - \frac{1}{{\sqrt 6 \alpha }}\int\limits_\gamma ^0 {\frac{{1 + \sqrt 6 \alpha \zeta }}{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3} - \left( {{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right){{\zeta }^{2}} + 3{{\zeta }^{4}}}}d\zeta } } \right\}$

$\frac{{\mu t}}{{{{\eta }_{1}}}} = \frac{1}{{\sqrt 6 \alpha }}\int\limits_\gamma ^0 {\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 6 \alpha \xi \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2} - {{\xi }^{2}}} \right)}}}}{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3} - \left( {{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right){{\xi }^{2}} + 3{{\xi }^{4}}}}d\xi } ,$

где ${{M}_{0}}$ есть начальный изгибающий момент, $\gamma $ параметр решения, противоположный по знаку с $\alpha $, $t$ время, $\mu $ модуль сдвига. При $\alpha = 0$ (для материала без TCA) формулы выше приводят к выражению ${M \mathord{\left/ {\vphantom {M {{{M}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{0}}}} = {{e}^{{ - {{\mu t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu t} {{{\eta }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\eta }_{1}}}}}}}$.

Для второй модели в явном виде [23]

$\frac{M}{{{{M}_{0}}}} = \frac{1}{4}\exp \left\{ { - {{n}_{{\sup }}}\frac{{\mu t}}{{{{\eta }_{2}}}}} \right\} + \frac{3}{4}\exp \left\{ { - \frac{{{{n}_{{\sup }}} + 2{{n}_{{\inf }}}}}{3}\frac{{\mu t}}{{{{\eta }_{2}}}}} \right\}$

${{n}_{{\sup }}} = \max \left\{ {{{n}^{ + }},{{n}^{ - }}} \right\},\quad {{n}_{{\inf }}} = \min \left\{ {{{n}^{ + }},{{n}^{ - }}} \right\}$

Здесь для материала без TCA ${{n}^{ + }} = {{n}^{ - }} = 1$ и так же ${M \mathord{\left/ {\vphantom {M {{{M}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{0}}}} = {{e}^{{ - {{\mu t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu t} {{{\eta }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\eta }_{2}}}}}}}$.

Оба решения имеют одну особенность: они прогнозируют идентичную релаксацию для, вообще говоря, разных материалов, схематично представленных на рис. 1. То есть для этих решений имеет значение, во сколько раз различается эффективная вязкость материала при растяжении и сжатии, но не имеет значения, какая из них больше, а какая меньше [23]. Эту особенность непросто проверить экспериментально, поскольку для этого нужны два материала с одинаковым упругим модулем, вязкая деформация которых соответствует схеме на рис. 1. Тем не менее, такое поведение решений кажется достаточно странным.

В отличие от них, полученное в предыдущем разделе решение прогнозирует разную релаксацию для этих материалов. Графики релаксации изгибающего момента, рассчитанные по формулам (5.12), (5.13) для обоих материалов, приведены на рис. 5.

Рис. 5.

Релаксация изгибающего момента $M$ в пластине. Линейная модель с разносопротивляемостью вязкой деформации (3.3), (3.4); решение по формулам (5.12), (5.13). Параметры материалов: для материала 1 $\beta = 0$, для материала 2 $\beta \to \infty $. Пунктирная линия соответствует решению для материала без разносопротивляемости ${M \mathord{\left/ {\vphantom {M {{{M}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{0}}}} = {{e}^{{ - {{\mu t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu t} \eta }} \right. \kern-0em} \eta }}}}$. Вертикальные линии соответствуют моментам времени $t{\kern 1pt} *$ перехода между этапами релаксации (формулы (5.9) и (5.10)), когда напряженное состояние выходит на ребро функции ползучести; горизонтальная линия соответствует значениям $M$ в эти моменты времени (формула (5.11)).

Рассматриваемая модель прогнозирует, что в материале 1 (см. рис. 1), для которого сопротивление вязкой деформации растяжения ниже, чем деформации сжатия (скорость деформации при растяжении выше, чем при сжатии, при одинаковой по модулю нагрузке), релаксация изгибающего момента происходит медленнее, чем в материале 2.

На обоих графиках (см. рис. 5) прослеживаются точки перегиба, соответствующие переходу между этапами релаксации, в которых напряженное состояние пластины выходит на ребро кусочно-линейной функции ползучести.

Поскольку линейно-вязкая модель, вообще говоря, только приближенно описывает поведение реальных материалов, на практике часто используется обобщенная вязкоупругая модель Максвелла (см., например, [29, 30]). Эта модель представляет собой параллельно соединенные линейно-вязкие элементы с разными свойствами. В каждом таком элементе общая деформация одна и та же, а общее напряжение в системе есть сумма напряжений в каждой ветви. Полученные здесь решения (5.12) и (5.13) могут рассматриваться как решения в каждой ветви обобщенной модели Максвелла, учитывающей разносопротивляемость вязкому деформированию.

Исследование выполнено в рамках государственного задания ИМиМ ДВО РАН.

Список литературы

Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. ж. МТТ. 1966. № 2. С. 44–53.
Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инж. ж.: МТТ. 1966. № 2. С. 123–125.
Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. К разномодульной теории упругости // Инж. ж. МТТ. 1966. № 6. С. 64–67.
Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория решения уравнений движения разномодульной упругой среды // ПММ. 1985. Т. 49, Вып. 3. С. 419–437.
Мясников В.П., Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322. № 1. С. 44–53.
Олейников А.И., Могильников Е.В. Единственность решения краевых задач и устойчивость для разномодульного нелинейного материала // Дальневост. матем. ж. 2002. Т. 3. № 2. С. 242–253.
Tsvelodub I.Yu. Multimodulus elasticity theory // J. Appl. Mech.&Tech. Phys. 2008. V. 49. P. 129–135. https://doi.org/10.1007/s10808-008-0019-1
Du Z., Zhang G., Guo T., Tang Sh., Guo X. Tension-compression asymmetry at finite strains: A theoretical model and exact solutions // J. Mech.&Phys. Solids. 2020. V. 143. Art. no. 104084. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2020.104084
Cazacu O., Barlat F. A criterion for description of anisotropy and yield differential effects in pressure-insensitive metals // Int. J. Plasticity. 2004. V. 20(11). P. 2027–2045. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2003.11.021
Cazacu O., Plunkett B., Barlat F. Orthotropic yield criterion for hexagonal closed packed metals // Int. J. Plasticity. 2006. V. 22(7). P. 1171–1194. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2005.06.001
Cazacu O., Revil-Baudard B. Tension-compression asymmetry effects on the plastic response in bending: new theoretical and numerical results // Mech. Res. Commun. 2021. V. 114. Art. no. 103596. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2020.103596
Pirnia F. Experimental Analyses on XLPE under Tension and Compression / Master’s Degree Thesis. Dep. Mech. Engng., Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden. 2014.
Guo Y., Liu G., Huang Y. A complemented multiaxial creep constitutive model for materials with different properties in tension and compression // Europ. J. Mech. A/Solids. 2022. V. 93. Art. no. 104510. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2022.104510
Zolochevsky A., Voyiadjis G.Z. Theory of creep deformation with kinematic hardening for materials with different properties in tension and compression // Int. J. Plasticity. 2005. V. 21(3). P. 435–462. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2003.12.007
Banshchikova I.A. Construction of constitutive equations for orthotropic materials with different properties in tension and compression under creep conditions // J. Appl. Mech.&Tech. Phys. 2020. V. 61. P. 87–100. https://doi.org/10.1134/S0021894420010101
Al'tenbakh Kh.I., Zolochevskii A.A. Energy version of creep and stress-rupture strength theory for anisotropic and isotropic materials which differ in resistance to tension and compression // J. Appl. Mech.&Tech. Phys. 1992. V. 33. P. 101–106. https://doi.org/10.1007/BF00864514
Gorev B.V., Rubanov V.V., Sosnin O.V. Construction of the creep equations for materials with different extension and compression properties // J. Appl. Mech.&Tech. Phys. 1979. V. 20(4). P. 487–492. https://doi.org/10.1007/BF00905605
Teixeira L., Gillibert J., Sayet T., Blond E. A creep model with different properties under tension and compression: Applications to refractory materials // Int. J. Mech. Sci. 2021. V. 212. Art. no. 106810. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2021.106810
Коробейников С.Н., Олейников А.И., Горев Б.В., Бормотин К.С. Математическое моделирование процессов ползучести металлических изделий из материалов, имеющих разные свойства при растяжении и сжатии // Вычисл. методы и програм. 2008. Т. 9. С. 346–365.
Быковцев Г.И., Ярушина В.М. Об особенностях модели неустановившейся ползучести, основанной на использовании кусочно-линейных потенциалов // В сб.: Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций (к 60-летию со дня рожд. проф. Г.И. Быковцева). Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 9–26.
Буренин А.А., Ярушина В.М. К моделированию деформирования материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию // В сб.: Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина / Ред. Ивлев Д.Д., Морозов Н.Ф.. М.: Физматлит, 2006. С. 100–106.
Ярушина В.М. К моделированию ползучести разносопротивляющихся материалов // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 2. С. 198–200.
Севастьянов Г.М., Бормотин К.С. Релаксация напряжений в изогнутой вязкоупругой пластине с различными свойствами при сжатии и растяжении // ПМТФ. 2023. (в печати)
Sidoroff F. Un modele viscoelastique non lineaire avec configuration intermediate // J. de Mécanique. 1974. V. 13(4). P. 679–713.
Ивлев Д.Д. К теории разрушения твердых тел // ПММ. 1959 Т. 23. № 3. С. 618–624.
Rivlin R. Large elastic deformations of isotropic materials – V: The problem of flexure // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. Math.&Phys. Sci. 1949. V. 195. P. 463–473. https://doi.org/10.1098/rspa.1949.0004
Destrade M., Murphy J.G., Rashid B. Differences in tension and compression in the nonlinearly elastic bending of beams // Int. J. Struct. Changes in Solids – Mech.&Appl. 2009. V. 1(1). P. 73–81.
Destrade M., Gilchrist M.D., Motherway J.A., Murphy J.G. Bimodular rubber buckles early in bending // Mech. Mater. 2010. V. 42(4). P. 469–476. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2009.11.018
Ghobady E., Shutov A., Steeb H. Parameter identification and validation of shape-memory polymers within the framework of finite strain viscoelasticity // Materials (Basel). 2021. V. 14(8). 2049. https://doi.org/10.3390/ma14082049
Sevastyanov G.M. Creep relaxation in nonlinear viscoelastic twisted rods // ZAMM. 2022. e202100552. https://doi.org/10.1002/zamm.202100552

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал