Программирование, 2019, № 5, стр. 67-72

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И (q-) РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ С ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

А. А. Рябенко *

Вычислительный центр имени А.А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 40, Россия

* E-mail: anna.ryabenko@gmail.com

Поступила в редакцию 10.07.2018
После доработки 31.08.2018
Принята к публикации 10.09.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются неоднородные системы линейных обыкновенных дифференциальных, разностных и q-разностных уравнений. Коэффициенты системы – рациональные функции одной переменной над некоторым полем характеристики 0. Уравнения системы могут иметь произвольные порядки. Для дифференциальных систем с гипергэкспоненциальной и (q-)разностных систем с гипергеометрической правой частью предлагается алгоритм поиска частных решений. Задача поиска частного решения таких систем сводится к одной или нескольким задачам поиска для неоднородной системы с полиномиальными коэффициентами и полиномиальной правой частью частного решения, компоненты которого являются рациональными функциями. Предлагается реализация этого алгоритма в Maple 2018.

I. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $\mathbb{K}$ – некоторое поле характеристики 0. Рассматриваем неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений

(1)
${{A}_{r}}(x){{y}^{{(r)}}}(x) + \cdots + {{A}_{1}}(x)y{\text{'}}(x) + {{A}_{0}}(x)y(x) = b(x),$
где $y(x) = {{({{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x), \ldots ,{{y}_{m}}(x))}^{T}}$ – вектор-столбец неизвестных функций от независимой переменной x, коэффициенты ${{A}_{i}}(x)$ – квадратные матрицы порядка m, компоненты которых являются рациональными функциями от x: ${{A}_{i}}(x)$${\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(\mathbb{K}(x))$. Правая часть системы b(x) = (b1(x), b2(x), ..., ${{b}_{m}}(x){{)}^{T}}$ – вектор-столбец, ненулевые компоненты которого являются конечной суммой гипергеэкспоненциальных функций (см. [1]), т.е. таких h(x), что
$h{\text{'}}(x) = r(x)h(x)$
для некоторой рациональной функции r(x) ∈ $\mathbb{K}(x)$. В этой статье рассматривается поиск частного решения системы (1). Если система совместна, то существует частное решение y(x) такое, что каждая его компонента ${{y}_{i}}(x)$ является конечной суммой гипергеэкспоненциальных функций.

Аналогично ставится задача поиска частного решения системы разностных уравнений

(2)
${{A}_{r}}(x)y(x\, + \,r)\, + \, \cdots \, + \,{{A}_{1}}(x)y(x\, + \,1)\, + \,{{A}_{0}}(x)y(x)\, = \,b(x)$
и системы q-разностных уравнений
(3)
${{A}_{r}}(x)y(x{{q}^{r}}) + \cdots + {{A}_{1}}(x)y(xq) + {{A}_{0}}(x)y(x) = b(x),$
где b(x) – вектор-столбец, компоненты которого являются конечными суммами гипергеометрических термов (см. [2]), т.е. таких h(x), что для некоторой рациональной функции $r(x) \in \mathbb{K}(x)$ в случае разностной системы (2) выполняется
$h(x + 1) = r(x)h(x),$
а в случае q-разностной системы (3) –

$h(xq) = r(x)h(x).$

В случае q-разностной системы, q – ненулевой элемент поля $\mathbb{K}$ такой, что ${{q}^{k}} \ne 1$ для любого $k \in {{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 1}}}$, независимая переменная x принимает значения из множества ${\text{\{ }}1,q,{{q}^{2}}, \ldots {\text{\} }}$, т.е. $x = {{q}^{k}}$, где k – переменная, принимающая значения в ${{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 0}}}$.

Задачи построения рациональных решений y(x) ∈ $\mathbb{K}{{(x)}^{m}}$ для систем (1), (2) и (3), однородных и неоднородных с рациональной правой частью (т.е. $b(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$), а также поиск рациональных решений в скалярном случае (т.е. m = 1), рассмотрены в работах [3]– [25]. Реализации предложенных там алгоритмов для систем (1), (2) и (3) первого порядка (т.е. r  = 1) выполнены в Maple-процедуре RationalSolution пакета LinearFunctionalSystems (см. [26]); для разностных систем произвольного порядка (т.е. r ≥ 1) в процедуре RationalSolution пакета LRS (см. [27]); для q-разностных систем произвольного порядка в процедуре RationalSolution пакета LqRS (см. [28]).

Построение гипергеометрических решений для скалярных разностных и q-разностных уравнений рассмотрено в работах [29]–[32]. Реализация – в процедуре hypergeomsols пакета LREtools и процедуре QHypergeometricSolution пакета QDifferenceEquations (см. [26]). Построение гипергеометрических решений для систем рассмотрено в [25], [33]– [35]. Предварительный вариант реализации выполнен для разностных и q-разностных систем в процедуре HypergeometricSolution пакетов LRS (см. [27]) и LqRS (см. [28]).

В данной статье предлагается алгоритм и его реализация в Maple 2018 построения частных решений неоднородных систем (1), (2) и (3), использующий элементы теории полиномов Оре (см. [36]– [38]) и основанный на сведении к задаче построения рационального решения неоднородной системы с рациональной правой частью.

II. ПОЛИНОМЫ ОРЕ

Приведем необходимые сведения о теории полиномов Оре.

Пусть на некотором поле K (здесь это поле рациональных функций: $K = \mathbb{K}(x)$) определены автоморфизм $\sigma $ и дифференцирование $\delta $ относительно $\sigma $ так, что выполняются условия: $\delta (a\, + \,b)\, = \,\delta a$ + + δb и $\delta (ab) = \sigma (a)\delta b + (\delta a)b$ для любых $a,b \in K.$ Пусть далее ${{\mathcal{L}}_{K}}$ – некоторое линейное пространство над K и отображение

$\xi :{{\mathcal{L}}_{K}} \mapsto {{\mathcal{L}}_{K}}$
псевдолинейно относительно $\sigma $ и $\delta $, т.е.
$\xi (u + {v}) = \xi (u) + \xi ({v}),$
$\xi (au) = \sigma (a)\xi (u) + \delta (a)u$
для любых $a \in K$, $u,{v} \in {{\mathcal{L}}_{K}}$.

Рассматриваем систему уравнений вида

(4)
${{A}_{r}}(x){{\xi }^{r}}y(x) + \cdots + {{A}_{1}}(x)\xi y(x) + {{A}_{0}}(x)y(x) = b(x),$
где ${{A}_{i}}(x) \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(\mathbb{K}(x))$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;r$, $m \in {{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 1}}}$, Ar(x), ${{A}_{0}}(x) \ne 0$, $y(x) = {{({{y}_{1}}(x), \ldots ,{{y}_{m}}(x))}^{T}}$. Полагаем, что
$\xi y(x) = {{(\xi {{y}_{1}}(x),\; \ldots ,\;\xi {{y}_{m}}(x))}^{T}},$
и, что рассматриваемая система имеет полный ранг, т.е. уравнения системы (4) линейно независимы над $\mathbb{K}(x)[\xi ]$. Системе соответствует линейный оператор с матричными коэффициентами:

$L = {{A}_{r}}(x){{\xi }^{r}} + \cdots + {{A}_{1}}(x)\xi + {{A}_{0}}(x).$

Системы (1), (2) и (3) являются частным случаем системы (4), где в дифференциальном случае:

$\xi y(x) = y{\text{'}}(x),\quad \sigma y(x) = y(x),\quad \delta y(x) = y{\text{'}}(x),$
в разностном:
$\xi y(x) = y(x + 1),\quad \sigma y(x) = y(x + 1),\quad \delta y(x) = 0,$
в q-разностном:

$\xi y(x) = y(xq),\quad \sigma y(x) = y(xq),\quad \delta y(x) = 0.$

III. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕРМЫ

Определение 1. Назовем $h(x) \in {{\mathcal{L}}_{{\mathbb{K}(x)}}}$ гипергеометрическим термом над $\mathbb{K}(x)$ по $\xi $, если соотношение $\xi h(x){\text{/}}h(x) = r(x)$ является рациональной функцией от x: $r(x) \in \mathbb{K}(x)$; при этом $r(x)$ называется сертификатом для h(x).

Пример 1. Рациональная функция является гипергеометрическим термом для любого $\xi $. В дифференциальном случае (т.е. $\xi y(x) = y{\text{'}}(x)$), гипергеометрическим термом с сертификатом r(x) является

$h(x) = h({{x}_{0}}){{e}^{{\int\limits_{t = {{x}_{0}}}^x {r(t)dt} }}}.$

Такая функция называется экспоненциальной или гиперэкспоненциальной по x. В разностном случае (т.е. $\xi y(x) = y(x + 1)$):

$h(x) = h({{x}_{0}})\prod\limits_{t = {{x}_{0}}}^{x - 1} r(t),$
в q-разностном (т.е. $\xi y(x) = y(qx)$):

$h(x) = h({{q}^{{{{k}_{0}}}}})\prod\limits_{t = {{k}_{0}}}^{k - 1} r({{q}^{t}}),\quad {\text{где}}\quad x = {{q}^{k}}.$

Множество всех гипергеометрических термов над $\mathbb{K}(x)$ по $\xi $ обозначим $\mathop {\mathcal{H}(\xi )}\nolimits_{\mathbb{K}(x)} $. Это множество не является линейным пространством. Обозначим $\mathcal{L}(\mathop {\mathcal{H}(\xi )}\nolimits_{\mathbb{K}(x)} )$ пространство всех конечных сумм элементов из $\mathop {\mathcal{H}(\xi )}\nolimits_{\mathbb{K}(x)} $.

Далее рассматривается задача построения частного решения y(x) для системы (4) с гипергеометрической правой частью:

$b(x) \in \mathcal{L}(\mathcal{H}{{(\xi )}_{{\mathbb{K}(x)}}}).$

IV. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ

В работе [29], в частности, был предложен алгоритм построения гипергеометрических решений для скалярных разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами и гипергеометрической правой частью. Этот алгоритм был перенесен на случай q-разностных уравнений в [30]. Необходимые для построения частного решения утверждения, теоремы и алгоритм из [29] нетрудно перенести на случай системы (4). Переформулируем Prop. 5.1 из [29].

Предложение 1. Пусть $L \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(\mathbb{K}(x))[\xi ]$, h(x) ∈ ∈ $\mathcal{H}{{(\xi )}_{{\mathbb{K}(x)}}}$ и $F(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$. Тогда

$L(F(x)h(x)) = R(x)h(x),$
где $R(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$.

Доказательство.

Пусть $r(x) \in \mathbb{K}(x)$ – сертификат h(x), т.е.

$\xi h(x) = r(x)h(x).$

Тогда

$\begin{gathered} \xi (F(x)h(x)) = \sigma (F(x))\xi h(x) + \delta (F(x))h(x) = \\ = \;(r(x)\sigma F(x) + \delta F(x))h(x) = {{F}_{1}}(x)h(x), \\ \end{gathered} $
где ${{F}_{1}}(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$. Далее, для любого $i \geqslant 2$
$\begin{gathered} {{\xi }^{i}}(F(x)h(x)) = \xi ({{\xi }^{{i - 1}}}(F(x)h(x))) = \\ = \;\xi ({{F}_{{i - 1}}}(x)h(x)) = {{F}_{i}}(x)h(x), \\ \end{gathered} $
где ${{F}_{i}}(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$. Отсюда следует предложение 1.

Рассмотрим систему вида

$Ly(x) = R(x)h(x),$
где $h(x) \in \mathcal{H}{{(\xi )}_{{\mathbb{K}(x)}}}$ и $R(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$. Система неоднородная, т.е. вектор R(x) – ненулевой. Из предложения 1 следует, что если эта система совместна, то существует частное решение вида $F(x)h(x)$, где $F(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$. Выполним в $Ly(x) = R(x)h(x)$ подстановку $y(x) = F(x)h(x)$, где F(x) – вектор-столбец новых неизвестных. Выполняя подстановку, как в доказательстве предложения 1, получим ${{F}_{i}}(x) = {{\ell }_{i}}F(x)$, где в дифференциальном случае ${{\ell }_{i}} \in \mathbb{K}(x)[\delta ]$ – линейные дифференциальные операторы, коэффициенты которых являются рациональными функциями от x, поскольку σF(x) = $F(x)$; в разностном и q-разностном случае ${{\ell }_{i}} \in \mathbb{K}(x)[\sigma ]$, поскольку $\delta F(x) = 0$. Отсюда получаем:
$\begin{gathered} L(F(x)h(x)) = ({{A}_{r}}(x){{\ell }_{r}}F(x) + \cdots + {{A}_{1}}(x) \times \\ \times \;{{\ell }_{1}}F(x) + {{A}_{0}}(x)F(x))h(x), \\ \end{gathered} $
т.е.
$L(F(x)h(x)) = ({{L}_{h}}F(x))h(x),$
где ${{L}_{h}} \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(\mathbb{K}(x))[\delta ]$, либо ${{L}_{h}} \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(\mathbb{K}(x))[\sigma ]$.

Если система ${{L}_{h}}F(x) = R(x)$ имеет рациональное решение $F(x) \in {{\mathbb{K}}^{m}}(x)$, то $y(x) = F(x)h(x)$ является решением для $Ly(x) = R(x)h(x)$. В дифференциальном, разностном, q-разностном случае решения ${{L}_{h}}F(x) = R(x)$ можно найти, например, с помощью алгоритмов из [23, 25].

Пример 2. Найдем частное решение дифференциальной системы

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 1&0 \end{array}} \right]y{\text{''}}(x) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&x \end{array}} \right]y(x) = \sqrt x \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{4{{x}^{2}} - 1}}{{4{{x}^{2}}}}} \\ {} \\ {\frac{{4{{x}^{3}} - {{x}^{2}} - 4}}{{4{{x}^{2}}({{x}^{2}} + 4)}}} \end{array}} \right].$

Подстановкой $y(x) = \sqrt x F(x)$ получаем

$\begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 1&0 \end{array}} \right]F{\kern 1pt} ''(x) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{x}}&0 \\ {}&{} \\ {\frac{1}{x}}&0 \end{array}} \right]F{\kern 1pt} '(x) + \\ + \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \frac{1}{{4{{x}^{2}}}}}&0 \\ {}&{} \\ { - \frac{1}{{4{{x}^{2}}}}}&x \end{array}} \right]F(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{4{{x}^{2}} - 1}}{{4{{x}^{2}}}}} \\ {} \\ {\frac{{4{{x}^{3}} - {{x}^{2}} - 4}}{{4{{x}^{2}}({{x}^{2}} + 4)}}} \end{array}} \right]. \\ \end{gathered} $

Получаем

$F(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {} \\ {\frac{1}{{{{x}^{2}} + 4}}} \end{array}} \right],\quad y(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x } \\ {} \\ {\frac{{\sqrt x }}{{{{x}^{2}} + 4}}} \end{array}} \right].$

Частное решение системы $Ly(x) = b(x)$, где b(x) ∈ $\mathcal{L}(\mathop {\mathcal{H}(\xi )}\nolimits_{\mathbb{K}(x)} )$, получаем выполнением следующих шагов:

1. Записать правую часть системы в виде конечной суммы:

$b(x) = {{h}_{1}}(x){{R}_{1}}(x) + \cdots + {{h}_{s}}(x){{R}_{s}}(x),$
где ${{R}_{j}}(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$ и ${{h}_{1}}(x), \ldots ,\;{{h}_{s}}(x)$ – попарно неподобные гипергеометрические термы, т.е. для $i \ne j$.

2. Для каждого $j = 1,\; \ldots ,\;s$ с помощью подстановки $y(x) = {{F}_{j}}(x){{h}_{j}}(x)$ и алгоритмов из [23, 25] найти частное решение ${{F}_{j}}(x) \in \mathbb{K}{{(x)}^{m}}$ системы

(5)
$L({{F}_{j}}(x){{h}_{j}}(x)) = {{R}_{j}}(x){{h}_{j}}(x).$

3. Если для некоторого $j = 1, \ldots ,s$ не существует рационального решения для (5), то исходная система не имеет решения. Иначе, получаем частное решение:

$y(x) = {{h}_{1}}(x){{F}_{1}}(x) + \cdots + {{h}_{s}}(x){{F}_{s}}(x).$

V. РЕАЛИЗАЦИЯ

Представленный алгоритм реализован в Maple 2018 в процедуре HypergeometricSolution пакета LFS (Linear Functional Systems).

Реализация выполнена для систем вида (1), (2) и (3), коэффициенты которых – рациональные функции одной переменной, например, x, над полем рациональных чисел (т.е. $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$) в дифференциальном и разностном случаях. В q-разностном случае q может быть либо натуральным числом $q \in {{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 2}}}$, либо именем, тогда $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(q)$. Система задается в виде линейного операторного уравнения с матричными коэффициентами. Правая часть системы – вектор-столбец, элементы которого должны быть записаны в виде суммы, каждое слагаемое которой распознается стандартными процедурами Maple как гипергеометрический терм. Например, на рис. 1 приведен фрагмент Maple-сессии, где задана система разностных уравнений S. Правая часть системы $S$ содержит четыре гипергеометрических терма, из которых можно выделить два неподобных: $x!$ и ${{( - 1)}^{x}}$. Получаем частное решение $S$ с помощью пакета LFS следующим образом:

Рис. 1.

Система уравнений S.

> LFS:-HypergeometricSolution(S, y(x),

            ’output’ = ’partsol’);

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x! + {{{( - 1)}}^{x}}} \\ { - {{{( - 1)}}^{x}}} \end{array}} \right]$

Результатом работы процедуры является вектор-столбец, если система имеет полный ранг и решение существует, иначе процедура возвращает NULL.

При реализации использованы процедуры стандартного Maple-пакета OreTools для выполнения постановки $y(x) = F(x)h(x)$ в систему. Для того, чтобы определить сертификат гипергеометрического терма используются процедуры IsHyperexponential пакета DEtools, IsHypergeometricTerm пакетов SumTools и QDifferenceEquations. Для построения рациональных решений систем используется процедура RationalSolution пакета LFS, реализованная Д.Е. Хмельновым по алгоритмам из [21, 22, 25].

Пакет LFS, его описание и примеры использования процедур доступны по адресу http://www. ccas.ru/ca/lrs.

БЛАГОДАРНОСТИ

Частичная поддержка РФФИ, грант 16-01-00174-a.

Список литературы

  1. Cluzeau T., van Hoeij M. A modular algorithm to compute the exponential solutions of a linear differential operator // J. Symbolic Computation. 2004. V. 38. P. 1043–1076.

  2. Petkovšek M., Wilf H.S., Zeilberger D. A = B. Peters, 1996.

  3. Абрамов С.А. Рациональные решения линейных дифференциальных и разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 11. С. 1611–1620.

  4. Абрамов С.А. Рациональные решения линейных разностных и q-разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Программирование. 1995. № 6. С. 3–11.

  5. Barkatou M. A fast algorithm to compute the rational solutions of systems of linear differential equations, RR 973–M–Mars, IMAG–LMC, Grenoble, 1997.

  6. Abramov S.A., Barkatou M.A. Rational solutions of first order linear difference systems. Proceedings of ISSAC’98, 1998. P. 124–131.

  7. van Hoeij M. Rational solutions of linear difference equations. Proceedings of ISSAC’98, 1998. P. 120–123.

  8. Abramov S.A. EG–eliminations // J. Difference Equations and Applications. 1999. V. 5. P. 393–433.

  9. Barkatou M.A. On rational solutions of systems of linear differential equations // J. Symbolic Computation. 1999. V. 28. P. 547–567.

  10. Abramov S.A., Bronstein M. Hypergeometric dispersion and the orbit problem. Proceedings of ISSAC’00, 2000. P. 8–13.

  11. Хмельнов Д.Е. Улучшенные алгоритмы решения разностных и q-разностных уравнений // Программирование. 2000. № 2. С. 70–78.

  12. Abramov S.A., Bronstein M. On solutions of linear functional systems. Proceedings of the ACM on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 2001. P. 1–6.

  13. Abramov S.A. A direct algorithm to compute rational solutions of first order linear q-difference systems // Discrete Math. 2002. V. 246. P. 3–12.

  14. Abramov S.A., Bronstein M. Linear algebra for skew-polynomial matrices. INRIA. Rapport de recherche, March 2002. № 4420.

  15. Abramov S.A., Bronstein M., Khmelnov D. Regularization of linear recurrence systems // Trans. A.M. Liapunov Inst. 2003. V. 4. P. 158–171.

  16. Хмельнов Д.Е. Поиск полиномиальных решений линейных функциональных систем с помощью индуцированных рекурренций // Программирование. 2004. № 2. С. 8–16.

  17. Абрамов С.А., Поляков С.П. Уточненные универсальные знаменатели // Программирование. 2007. № 3. С. 16–23.

  18. Abramov S.A., Gheffar A. Valuations of rational solutions of linear difference equations at irreducible polynomials // Adv. Appl. Math. 2010. V. 47. P. 352–364.

  19. Abramov S.A., Gheffar A., Khmelnov D.E. Factorization of polynomials and gcd computations for finding universal denominators. Proceedings of Computer Algebra in Scientific Computing, 2010. P. 4–18.

  20. Абрамов С.А., Геффар А., Хмельнов Д.Е. Рациональные решения линейных разностных уравнений: универсальные знаменатели и границы знаменателей // Программирование. 2011. № 2. С. 28–39.

  21. Абрамов С.А., Хмельнов Д.Е. Особые точки решений линейных обыкновенных дифференциальных систем с полиномиальными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная матем. 2011/2012. Т. 17. № 1. С. 3–21.

  22. Абрамов С.А., Хмельнов Д.Е. Знаменатели рациональных решений линейных разностных систем произвольного порядка // Программирование. 2012. № 2. С. 45–54.

  23. Абрамов С.А. Поиск рациональных решений дифференциальных и разностных систем с помощью формальных рядов // Программирование. 2015. № 2. С. 69–80.

  24. Abramov S.A. EG-eliminations as a tool for computing rational solutions of linear q-difference systems of arbitrary order with polynomial coefficients. Материалы 2-й Международной конференции “Компьютерная алгебра”. Москва, 2017. С. 54–60.

  25. Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Лорановы, рациональные и гипергеометрические решения линейных q-разностных систем произвольного порядка с полиномиальными коэффициентами // Программирование. 2018. № 2. С. 60–73.

  26. Maple online help: http://www.maplesoft.com/support/help/

  27. Ryabenko A.A. LRS, 2017, http://www.ccas.ru/ca/lrs/

  28. Ryabenko A.A. LqRS, 2017, http://www.ccas.ru/ca/ lqrs/

  29. Petkovšek M. Hypergeometric solutions of linear recurrences with polynomial coefficients // J. Symbolic Computation. 1992. V. 14. P. 243–264.

  30. Abramov S.A., Petkovšek M., Paule P. q-Hypergeometric solutions of q-difference equations // Discrete Math. 1998. V. 180. P. 3–32.

  31. van Hoeij M. Finite singularities and hypergeometric solutions of linear recurrence equations // J. Pure and Appl. Algebra. 1999. V. 139. P. 109–131.

  32. Cluzeau T., van Hoeij M. Computing hypergeometric solutions of linear recurrence equations // Applicable Algebra in Eng., Commun. and Computing. 2006. V. 17. P. 83–115.

  33. Abramov S.A., Petkovšek M., Ryabenko A.A. Hypergeometric solutions of first-order linear difference systems with rational-function coefficients. CASC’2015 Proceedings // Lect. Notes Comput. Sci. 2015. V. 9301. P. 1–14.

  34. Abramov S.A., Petkovšek M., Ryabenko A.A. Resolving sequences of operators for linear ordinary differential and difference systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2016. V. 56. № 7. P. 894–910.

  35. Рябенко А.А. Поиск гипергеометрических решений $q$-разностных систем с помощью разрешающих последовательностей. Материалы 2-й Международной конференции “Компьютерная алгебра”. Москва, 2017. С. 151–157.

  36. Ore O. Theory of non-commutative polynomials // Annals Math. 1933. V. 34. P. 480–508.

  37. Bronstein M., Petkovšek M. On Ore rings, linear operators and factorisation // Programming and Computer Software. 1994. № 1. P. 27–43.

  38. Bronstein M., Petkovšek M. An introduction to pseudo-linear algebra // Theor. Comput. Sci. 1996. V. 157. P. 3–33.

Дополнительные материалы отсутствуют.