Программирование, 2021, № 1, стр. 5-10

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ В ТОЧКЕ

М. С. Апанович ab*, А. П. Ляпин b**, К. В. Шадрин a***

a Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого
660022 Красноярск, ул. Партизана Железняка, 1, Россия

b Сибирский федеральный университет
660041 Красноярск, пр. Свободный, 79, Россия

* E-mail: marina.apanovich@list.ru
** E-mail: aplyapin@sfu-kras.ru
*** E-mail: kvsh_buffon@mail.ru

Поступила в редакцию 15.07.2020
После доработки 06.09.2020
Принята к публикации 12.09.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В данной работе представлен алгоритм вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в точке по коэффициентам разностного уравнения и начальным данным задачи Коши методами компьютерной алгебры. В одномерном случае решение задачи Коши для разностного уравнения не представляет сложности, однако уже в двумерном случае число неизвестных растет на каждом шаге очень быстро. Для автоматизации процесса вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в заданной точке в среде MATLAB был разработан алгоритм, где входными данными являются: матрица коэффициентов, полученная исходя из структуры двумерного полиномиального разностного уравнения; координаты точки, регламентирующей структуру матрицы начальных данных; координаты точки, регламентирующей размерность матрицы начальных данных; матрица начальных данных. Результатом работы алгоритма является решение задачи Коши для двумерного разностного уравнения, представляющее собой значение функции в искомой точке.

1. ВВЕДЕНИЕ

Линейные разностные уравнения имеют многочисленные приложения в различных областях науки и техники, а поиск их решений является сложной математической задачей. Например, разностные уравнения часто используются в моделях динамики с дискретным временем ([1, 2]), для приближенного (численного) решения дифференциальных уравнений ([3]), а в комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций (дискретным аналогом преобразования Фурье) дают мощный аппарат исследования перечислительных задач (см., например, [46]). Для пространства решений многомерного разностного уравнения задаются дополнительные условия (“начальные”, “граничные”, “данные Коши”), которые позволяют из бесконечного множества решений выделить единственное, а возникающая при этом задача называется задачей Коши для многомерного разностного уравнения.

Разработке алгоритмов решения многомерных разностных уравнений с постоянными и полиномиальными коэффициентами посвящено значительное число работ (см., например, [79]), а в [10] рассмотрены разностные уравнения с коэффициентами в виде рациональных функций. Алгоритм вычисления производящей функции решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами по коэффициентам разностного уравнения и начальным данным задачи Коши представлен в работах [11] и [12]. В данной работе представлен алгоритм вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в точке по коэффициентам разностного уравнения и начальным данным задачи Коши.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Обозначим через $\mathbb{Z}$ множество целых чисел, ${{\mathbb{Z}}^{n}} = \overbrace {\mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}}^n$n-мерную целочисленную решетку и $\mathbb{Z}_{ + }^{n}$ – подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными координатами (в частности, ${{\mathbb{Z}}^{2}}$ и $\mathbb{Z}_{ + }^{2}$ – двумерная решетка и ее подмножество). Пусть δ1 – оператор сдвига по переменной x1, т.е. ${{\delta }_{1}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ = f(x1 + 1, x2), а δ2 – оператор сдвига по переменной x2, т.е. ${{\delta }_{2}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = f({{x}_{1}},{{x}_{2}} + 1)$.

Рассмотрим полиномиальный разностный оператор вида

$P\left( \delta \right) = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \leqslant m} {{c}_{\alpha }}{{\delta }^{\alpha }},$
где $\alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}})$ – мультииндекс, $\left| \alpha \right| = {{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}}$, δα = = $\delta _{1}^{{{{\alpha }_{1}}}} \cdot \delta _{2}^{{{{\alpha }_{2}}}}$, cα – постоянные коэффициенты, m – порядок оператора P(δ).

Будем рассматривать разностные уравнения вида

(1)
$P({{\delta }_{1}},{{\delta }_{2}})f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = 0,\quad ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in \mathbb{Z}_{ + }^{2},$
где $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – неизвестная функция.

Для точек x и y решетки ${{\mathbb{Z}}^{n}}$ неравенство $x \geqslant y$ означает, что ${{x}_{i}} \geqslant {{y}_{i}}$ для $i = 1, \ldots ,n$, а запись $x \ngeqslant y$ означает, что найдется ${{i}_{0}} \in \{ 1, \ldots ,n\} $ такое, что ${{x}_{{{{i}_{0}}}}} < {{y}_{{{{i}_{0}}}}}$.

Фиксируем $\beta = ({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}})$ такое, что $\beta \ne (0,m)$, $\beta \ne (m,0),$ ${\text{|}}\beta {\text{|}} = m$ и ${{c}_{\beta }} \ne 0$. Обозначим

${{X}_{{0,\beta }}} = \{ ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in \mathbb{Z}_{ + }^{2}:({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \ngeqslant \beta \} $
и сформулируем задачу: найти функцию $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, которая для всех $({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{X}_{{0,\beta }}}$ совпадает с заданной функцией $\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, т.е. удовлетворяет условию

(2)
$f(x) = \varphi (x),\quad x \in {{X}_{{0,\beta }}}.$

Задачу (1)–(2) будем называть задачей Коши для полиномиального разностного оператора P(δ), φ(x) – функцией начальных данных этой задачи, а $f(x)$ – решением задачи Коши.

Известно (см. [13, 14]), что задача (1)–(2) однозначно разрешима, если выполняется условие

(3)

Поставим задачу: вычислить значение функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ в точке с координатами $({{y}_{1}},{{y}_{2}})$.

3. ОПИСАНИЕ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Решение задачи Коши (1)–(2) для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в точке $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}})$ представляет собой значение функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ в заданной точке. Алгоритм вычисления значения функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ в заданной точке $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}})$ имеет рекурсивный характер и сводится к вычислению значений функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ на конечном подмножестве точек x из множества точек X0, y = {(x1, ${{x}_{2}}) \in \mathbb{Z}_{ + }^{2}:({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \ngeqslant ({{y}_{1}}$, y2)} и удовлетворяющих условию ${\text{|}}{{x}_{1}} + {{x}_{2}}{\text{|}} \leqslant {\text{|}}{{y}_{1}} + {{y}_{2}}{\text{|}}$.

Начальные данные (2) задаются квадратной матрицей F, содержащей конечное подмножество значений начальных данных задачи Коши. Матрица начальных данных F будет иметь размерность $({{y}_{1}} + {{y}_{2}} + 1) \times ({{y}_{1}} + {{y}_{2}} + 1)$.

Коэффициенты двумерного разностного уравнения задаются квадратной матрицей C, имеющей нижнетреугольный вид.

Проиллюстрируем процедуру задания функции начальных данных на примере.

Для разностного уравнения

(4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{02}}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2) + {{c}_{{01}}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}} + 1) + } \\ {\, + {{c}_{{11}}}f({{x}_{1}} + 1,{{x}_{2}} + 1) + {{c}_{{10}}}f({{x}_{1}} + 1,{{x}_{2}}) + } \\ {\, + {{c}_{{20}}}f({{x}_{1}} + 2,{{x}_{2}}) + {{c}_{{00}}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = 0} \end{array}$
и β = (1, 1) матрица коэффициентов C имеет вид
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{02}}}}&0&0 \\ {{{c}_{{01}}}}&{{{c}_{{11}}}}&0 \\ {{{c}_{{00}}}}&{{{c}_{{10}}}}&{{{c}_{{20}}}} \end{array}} \right),$
а матрица начальных данных F размерности, например, 4 × 4 будет иметь вид

$F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\varphi (0,3)}&{}&{}&{} \\ {\varphi (0,2)}& * &{}&{} \\ {\varphi (0,1)}& * & * &{} \\ {\varphi (0,0)}&{\varphi (1,0)}&{\varphi (2,0)}&{\varphi (3,0)} \end{array}} \right).$

Здесь элементы, обозначенные $ * $, вычисляются при выполнении алгоритма. Например φ(1, 1) вычисляется с помощью разностного уравнения (4) и начальных данных $\varphi (0,2)$, $\varphi (0,1)$, $\varphi (0,0)$, $\varphi (1,0)$, $\varphi (2,0)$.

Итак, входные данные конечны и имеют вид:

1. точка $\beta = ({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}})$, определяющая размерность матрицы коэффициентов C, ${{\beta }_{1}} + {{\beta }_{2}} + 1$ = m;

2. нижнетреугольная матрица $C = ({{c}_{{{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}}}})$, α1 = = $0, \ldots ,m$, ${{\alpha }_{2}} = 0, \ldots ,m$ размера $(m + 1) \times (m + 1)$ из коэффициентов ${{c}_{{{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}}}}$ двумерного разностного уравнения;

3. точка  f с координатами $({{y}_{1}},{{y}_{2}})$, определяющая координаты искомого значения функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и размерность матрицы начальных данных F;

4. матрица начальных данных F = $(\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}))$, размера $({{y}_{1}} + {{y}_{2}} + 1) \times ({{y}_{1}} + {{y}_{2}} + 1)$, где $({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{X}_{{(0,\beta )}}}$, для всех остальных значений $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ значения $\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ = 0.

Поскольку координаты элементов матрицы коэффициентов разностного оператора и матрицы начальных данных в декартовой системе координат (X, Y) не совпадают с их координатами в матрице (строка × столбец), то для технической реализации работы алгоритма целесообразно перейти из декартовой системы координат ($D({{d}_{1}},{{d}_{2}})$) в “матричную” ($M({{m}_{1}},{{m}_{2}})$) по правилу: D(d1, ${{d}_{2}}) \to M({{m}_{1}}$, m2), где ${{m}_{1}} = p - {{d}_{2}}$, ${{m}_{2}} = {{d}_{1}} + 1$, p – размерность матрицы коэффициентов или матрицы начальных данных.

Например, элемент c00 матрицы коэффициентов C, имеющий в декартовой системе координат координаты $({{d}_{1}},{{d}_{2}})$ = (0, 0), в “матричной” системе координат будет иметь координаты $({{m}_{1}},{{m}_{2}})$ = = (3, 1), а, например, элемент φ(1, 0) матрицы начальных данных F в “матричной” системе координат будет иметь координаты (4, 2).

Далее необходимо будет проверить задачу Коши (1)–(2) на разрешимость, т.е. проверить, выполняется ли условие (3) для коэффициентов разностного оператора P(δ).

4. ПРИМЕР

Алгоритм был реализован в среде Matlab 2014 32bit. Вычисления производились на машине Intel(R) Core(TM) i5-3330S CPU 2.70 GHz, 32bit, ОЗУ 4.00 Гб под управлением Windows 7 Корпоративная SP1. Время счета для приведенного примера составило менее 1 секунды.

Пример 1. Фиксируем $\beta = {{\beta }_{0}} = (1,1)$.

Будем рассматривать полиномиальный разностный оператор

$\begin{gathered} P({{\delta }_{1}},{{\delta }_{2}}) = {{c}_{{02}}}\delta _{2}^{2} + {{c}_{{01}}}{{\delta }_{2}} + {{c}_{{11}}}{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}} + \\ \, + {{c}_{{10}}}{{\delta }_{1}} + {{c}_{{20}}}\delta _{1}^{2} + {{c}_{{00}}}. \\ \end{gathered} $

Множество начальных данных будет иметь вид:

${{X}_{{0,(1,1)}}} = \{ ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in \mathbb{Z}_{ + }^{2}:({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \ngeqslant (1,1)\} $

Зададим матрицу коэффициентов полиномиального разностного оператора $P({{\delta }_{1}},{{\delta }_{2}})$

$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{02}}}}&0&0 \\ {{{c}_{{01}}}}&{{{c}_{{11}}}}&0 \\ {{{c}_{{00}}}}&{{{c}_{{10}}}}&{{{c}_{{20}}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 3&{10}&0 \\ 4&2&4 \end{array}} \right).$

Расположение элементов матрицы C в декартовой системе координат представлено на рис. 1

Рис. 1.

Расположение элементов матрицы C в декартовой системе координат.

Поставим задачу найти значения функции f в точке с координатами (2, 3), т.е. $f(2,3)$.

Зададим матрицу начальных данных:

${{X}_{{0,(1,1)}}} = F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0 \\ 2&0&0&0&0&0 \\ 3&0&0&0&0&0 \\ 4&0&0&0&0&0 \\ 5&6&7&8&9&{10} \end{array}} \right).$

Расположение элементов матрицы F в декартовой системе координат представлено на рис. 2.

Рис. 2.

Расположение элементов матрицы F в декартовой системе координат.

1. Переход из декартовой системы координат в “матричную”:

$p = 3$ – размерность матрицы коэффициентов

$i = 6$ – размерность матрицы начальных данных

${{\beta }_{1}} = [2,2]$ – координаты точки β0 в “матричной” системе координат.

“Матричная” система координат для коэффициентов разностного оператора P(δ):

  1 2 3
1 $ \bullet $    
2 $ \bullet $ $ \bullet {{\beta }_{0}}$  
3 $ \bullet $ $ \bullet $ $ \bullet $

Здесь $ \bullet $ – коэффициенты cα.

${{F}_{1}} = [3,3]$ – координаты точки  f в “матричной” системе координат.

“Матричная” система координат начальных данных:

  1 2 3 4 5 6
1 $ \times $          
2 $ \times $          
3 $ \times $   f      
4 $ \times $          
5 $ \times $          
6 $ \times $ $ \times $ $ \times $ $ \times $ $ \times $ $ \times $

Здесь $ \times $ – начальные данные.

2. Проверка матрицы C на разрешимость задачи Коши (1)–(2): |10| = ${\text{|}}{{c}_{{1,1}}}{\text{|}} > {\text{|}}{{c}_{{0,2}}}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}{{c}_{{2,0}}}{\text{|}}$ = 5, следовательно выполняется условие (3) и задача Коши разрешима.

3. Вектор диагонали матрицы коэффициентов C: $a = {{(\begin{array}{*{20}{c}} 1&{10}&4 \end{array})}^{T}}$.

4. Получение общей теплицевой матрицы [15], размер которой зависит от искомого значения $f({{y}_{1}},{{y}_{2}})$:

$colum{{n}_{c}} = \mathop {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&1&0&0 \end{array}} \right)}\nolimits^T ,$
$ro{{w}_{c}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&4&0&0 \end{array}} \right),$
${{T}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&4&0&0 \\ 1&{10}&4&0 \\ 0&1&{10}&4 \\ 0&0&1&{10} \end{array}} \right).$

5. Решение системы линейных уравнений с целью нахождения значений f, которые могут потребоваться для вычисления искомого значения.

На каждом шаге размер матрицы Теплица постоянно увеличивается с ростом числа неизвестных, а также происходит запись найденных значений функции F в матрицу начальных данных $F$.

$F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&0&0&0&0&0 \\ 1&{ - 0.02}&0&0&0&0 \\ 2&{ - 4.90}&{ - 1.98}&0&0&0 \\ 3&{0.72}&{7.14}&{4.33}&0&0 \\ 4&{ - 7.50}&{ - 4.82}&{ - 7.26}&{ - 7}&0 \\ 5&6&7&8&9&{10} \end{array}} \right)$

6. Переход к декартовой системе координат $f(2,3) = F(3,3)$.

Output: значение функции в искомой точке $f(2,3) = - 1.98$.

Входными данными алгоритма в этом случае будут:

1. ${{\beta }_{0}} = (1,1);$

2. матрица коэффициентов

$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 3&{10}&0 \\ 4&2&4 \end{array}} \right);$

3. ${{f}_{0}} = (2,3)$;

4. матрица начальных данных

$F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0 \\ 2&0&0&0&0&0 \\ 3&0&0&0&0&0 \\ 4&0&0&0&0&0 \\ 5&6&7&8&9&{10} \end{array}} \right).$

>Plan((1,1), (1 3 4, 0 10 2, 0 0 4), (2, 3), (7 1 2 3 4 5, 0 0 0 0 0 6, 0 0 0 0 0 7, 0 0 0 0 0 8, 0 0 0 0 0 9, 0 0 0 0 0 10));

Алгоритм 1: Пример оформления алгоритма
Input: Точка β0, матрица коэффициентов C, точка f0, матрица начальных данных F.
Output: Значение функции $f({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ в точке с координатами $({{y}_{1}},{{y}_{2}})$.
  Procedure Plan(Β0,C; f0:F)
  begin
  $p: = $ размерность матрицы C
  $i: = $ размерность матрицы F
  ${{\beta }_{1}}: = $ координаты точки ${{\beta }_{0}}$ в “матричной” системе координат
  ${{f}_{1}}: = $ координаты точки  f0 в “матричной” системе координат
  if${\text{|}}C({{\beta }_{1}}(1),{{\beta }_{1}}(2)){\text{|}} \leqslant $
     $\sum {{\text{diag}}({\text{|}}C{\text{|}})\; - \;{\text{|}}C({{\beta }_{1}}(1),{{\beta }_{1}}(2)){\text{|}}} $then
      Ошибка ввода матрицы C
  $a: = diag(C)$ вектор диагонали матрицы C
  $e: = {{\beta }_{1}}(1)$
  $colum{{n}_{c}}: = zeros(i - 2,1)$
  $col: = 1$
  while $e \geqslant 1$do
      $colum{{n}_{c}}(col): = a(e)$
      $col: = col + 1$
      $e: = e - 1$
   $ro{{w}_{c}}: = zeros(l,i - 2)$
   $e: = {{\beta }_{1}}(1)$
   $r: = 1$
    $l: = $ длина вектора a
  form from ${{\beta }_{1}}(1)$ to ldo
    $ro{{w}_{c}}(r) = a(e)$
    $r: = r + 1$
    $e: = e + 1$
   ${{T}_{1}}: = toeplitz(colom{{n}_{c}},ro{{w}_{c}})$
   fork from $1$ to $i - p + 1$do
     $T: = {{T}_{1}}(1:k,1:k)$
     $b: = zeros(k,1)$
     fors from 1 to kdo
       $P: = f((end - p + (s - k + 1)):$
       $(end + (s - k)),(s:(p + s - 1))))$
       ${{P}_{{work}}}: = P \circ C$
       $b(s) = - \left( {\sum {({{P}_{{work}}}((1:end),1))} } \right. + $
       $\left. {\sum {({{P}_{{work}}}(end,(2:end)))} } \right)$
  $elements: = {{T}^{{ - 1}}}_{\blacksquare }b$
  form from 1 to kdo
      $F(end + m - (k + 1) - (p - {{\beta }_{1}}(1)) + $
      $1,m + {{\beta }_{1}}(2) - 1): = elements(m)$
  return $f({{y}_{1}},{{y}_{2}})$

Список литературы

  1. Даджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.

  2. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 541 с.

  3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие, изд. 2-е, исправл., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 296 с.

  4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 440 с.

  5. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции: Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 767 с.

  6. Bousquet-Melou M., Petkovsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrete Mathematics, 2000, V. 225. P. 51–75.

  7. Абрамов С.А., Геффар А., Хмельнов Д.Е. Рациональные решения линейных разностных уравнений: универсальные знаменатели и границы знаменателей // Программирование. 2011. № 2. С. 28–39.

  8. Абрамов С.А. Поиск рациональных решений дифференциальных и разностных систем с помощью формальных рядов // Программирование. 2015. № 2. С. 69–80.

  9. Abramov S.A., Barkatou M.A., van Hoeij M., Petkovsek M. Subanalytic Solutions of Linear Difference Equations and Multidimensional Hypergeometric Sequences // Journal of Symbolic Computation. 2011. V. 46. P. 1205–1228.

  10. Abramov S., Petkovšek M., Ryabenko A. Hypergeometric solutions of first-order linear difference systems with rational-function coefficients // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). 2015. V. 9301. P. 1–14.

  11. Leinartas E.K., Lyapin A.P. On the Rationality of Multidimentional Recusive Series // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2009. V. 2 (2). P. 449–455.

  12. Kytmanov A.A., Lyapin A.P., Sadykov T. M. Evaluating the Rational Generating Function for the Solution of the Cauchy Problem for a Two-Dimensional Difference Equation with Constant Coefficients // Programming and Computer Software. 2017. V. 43. № 2. P. 105–111.

  13. Рогозина М.С. О разрешимости задачи Коши для полиномиального разностного оператора // Вестник Новосибирского государственного университета. 2014. Т. 14. № 3. С. 83–94.

  14. Лейнартас Е.К., Рогозина М.С. Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора и мономиальные базисы факторов в кольце полиномов // Сибирский математический журнал. 2015. Т. 56. № 1. С. 111–121.

  15. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы. М.: Наука, 1974. 264 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.