Программирование, 2022, № 2, стр. 7-15

2.1. Методы построения канонических преобразований

Существует несколько методов построения нормализующих канонических преобразований. Укажем их в хронологическом порядке.

1. Метод порождающих функций Якоби [4, 5], известный как метод Биркгоффа.

2. Метод рядов Ли [6, 7], более известный своей реализацией как метод Депри–Хори.

3. Метод примитивных функций [8].

4. Метод параметрических порождающих функций Пуанкаре [9].

Ниже подробнее дадим описание разновидности метода Депри–Хори, названного методом инвариантной нормализации [10]. Хоть этот метод и не является универсальным в том смысле, что он применяется только в случае ненулевых простых (или полупростых) собственных чисел, но он довольно эффективен и его программная реализация существенно легче, чем в методе Депри–Хори и, тем более, чем в методе Биркгоффа.

Суть метода нормализации с помощью рядов Ли состоит в использовании вспомогательного гамильтониана $G({\mathbf{X}},{\mathbf{Y}})$, называемого порождающим. Этот гамильтониан определяет каноническую систему

с начальными условиями ${\mathbf{X}}(0) = {\mathbf{x}}$, ${\mathbf{Y}}(0) = {\mathbf{y}}$. Порождающая функция $G$ представлена в виде ряда по степеням малого параметра $\varepsilon $:

Пусть для $\tau = 1$ новые переменные ${\mathbf{u}},{\mathbf{v}}$ определяются как решение задачи Коши (2.4): ${\mathbf{u}} = {\mathbf{X}}(1)$, ${\mathbf{v}} = {\mathbf{Y}}(1)$. Преобразование $({\mathbf{x}},{\mathbf{y}}) \to ({\mathbf{u}},{\mathbf{v}})$ на фазовом потоке гамильтоновой системы (2.1) является унивалентным каноническим преобразованием.

Для малых значений $\varepsilon $ старые переменные ${\mathbf{x}}$, ${\mathbf{y}}$ могут быть записаны в виде рядов Ли от новых переменных ${\mathbf{u}}$, ${\mathbf{v}}$:

Новый преобразованный гамильтониан $h$ также связан со старым H следующим рядом Ли

Процедуру нелинейной нормализации вещественного гамильтониана H удобнее выполнять, когда он записан в комплексной форме. В [1, п. 1Г] были предложены такие комплексные координаты z, что их комплексно-сопряженные значения ${\mathbf{\bar {z}}}$ не являются их канонически-сопряженными, но эти координаты позволяют записать универсально квадратичную НФ для любых наборов собственных значений ${l}$. Переход к таким комплексным координатам задается унивалентным преобразованием.

Здесь мы будем использовать другой набор комплексных координат ${\mathbf{z}}$, комплексно сопряженные значения которых одновременно являются канонически сопряженными. Обычно это удобно, когда собственные значения ${{\lambda }_{j}}$ являются либо чисто мнимыми, либо вещественными, что в дальнейшем предполагается. Для перехода к таким комплексным координатам построить унивалентное преобразование нельзя.

Существует формальное преобразование Φ : $({\mathbf{x}},{\mathbf{y}}) \to ({\mathbf{z}},{\mathbf{\bar {z}}})$, которое преобразует исходный гамильтониан к виду

где ${\mathbf{p}},{\mathbf{q}} \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$ и $\left| {\mathbf{p}} \right| + \left| {\mathbf{q}} \right| \geqslant 2$. Значение $\left| {\mathbf{p}} \right| + \left| {\mathbf{q}} \right|$ называется порядком соответствующего члена разложения.

Определение 1. Функция Гамильтона $h({\mathbf{z}},{\mathbf{\bar {z}}})$ называется комплексной нормальной формой для полупростого случая, если

• его квадратичная часть h₀ имеет вид h₂ = = $\sum\nolimits_{j = 1}^n {{{\lambda }_{j}}} {{z}_{j}}{{\bar {z}}_{j}}$,

• разложение (2.5) содержит только члены

которые удовлетворяют резонансному условию

Слагаемые (2.6), у которых p = q, называются секулярными, все остальные называются строго резонансными.

2.2. Свойства нормальной формы

Приведем здесь некоторые свойства гамильтоновой НФ, которые понадобятся в дальнейшем. Их доказательство см. в [2].

Свойство 1. Если НФ $h$ записана в виде степенного ряда $h = {{h}_{{\mathbf{2}}}} + f$, где ${{h}_{{\mathbf{2}}}}$ – квадратичная часть, то ${{h}_{{\mathbf{2}}}}$ и f коммутативны, т.е. ${{h}_{{\mathbf{2}}}} * f = 0$.

Свойство 2. Если квадратичная часть ${{h}_{{\mathbf{2}}}}$ гамильтониана $h = {{h}_{{\mathbf{2}}}} + f$ нормирована и ряд f, состоящий из мономов степени больше двух, коммутирует с ней ${{h}_{{\mathbf{2}}}} * f = 0$, то ряд f содержит только резонансные члены.

Поэтому условие ${{h}_{{\mathbf{2}}}} * f = 0$ является необходимым и достаточным условием для нормальной формы.

Далее мы рассмотрим важный с практической точки зрения случай, когда все собственные значения ${{\lambda }_{j}}$ либо вещественные ${{\lambda }_{j}} = {{\gamma }_{j}} \in \mathbb{R}$, либо чисто мнимые ${{\lambda }_{j}} = {\text{i}}{{\omega }_{j}}$, ${{\omega }_{j}} \in \mathbb{R}$.

3.1. Обзор процедуры нормализации

Опишем общую схему процедуры нормализации системы Гамильтона в окрестности ее стационарной точки, расположенной в начале координат.

1. Вначале, исходный вещественный гамильтониан $H({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})$ записывается в комплексной форме $H({\mathbf{z}},{\mathbf{\bar {z}}})$ с помощью соответствующего канонического преобразования.

2. Затем к $H({\mathbf{z}},{\mathbf{\bar {z}}})$ применяется один из методов нормализации и получаем НФ $h({\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$ (до определенного порядка), которая содержит только резонансные члены.

3. Наконец, полученную комплексную НФ $h({\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$ можно преобразовать в вещественную НФ $h({\mathbf{X}},{\mathbf{Y}})$.

Итак, рассматривается гамильтонова система, положение равновесия (ПР) которой совпадает с началом координат. Применяя масштабирование фазовых переменных ${\mathbf{x}} \to \varepsilon {\mathbf{x}}$, ${\mathbf{y}} \to \varepsilon {\mathbf{y}}$ и независимой переменной $t \to {{\varepsilon }^{2}}t$, ее гамильтониан H вблизи ПР, можно записать в виде степенного ряда по $\varepsilon $

где ${{H}_{j}}$ – однородная форма порядка  j + 2:

Ищем НФ исходного гамильтониана $H$ в виде степенного ряда

где ${{h}_{0}} = \sum\nolimits_{j = 1}^n {{{\lambda }_{j}}} {{z}_{j}}{{\bar {z}}_{j}}$, а однородные формы ${{h}_{j}}$, j > 0, содержат только резонансные члены ${{h}_{{{\mathbf{pq}}}}}{{{\mathbf{z}}}^{{\mathbf{p}}}}{{{\mathbf{\bar {z}}}}^{{\mathbf{q}}}}$, $\left| {\mathbf{p}} \right| + \left| {\mathbf{q}} \right| = j + 2$, такие, что $\sum\nolimits_{j = 1}^n {{{\lambda }_{j}}} ({{p}_{j}} - {{q}_{j}}) = 0$.

Переход от исходного гамильтониана $H$ к его НФ $h$ осуществляется с помощью генератора Ли (порождающей функции) $G = \sum\nolimits_{j = 1} {{{\varepsilon }^{j}}} {{G}_{j}}$:

Поскольку генератор Ли G производит близкое к идентичному преобразование, то получим, что ${{h}_{0}} = {{H}_{0}}$, и тогда

Используя свойство 1 и собирая члены уравнения (3.1) с равными коэффициентами при соответствующих степенях ${{\varepsilon }^{j}}$, $j = 0,\;1,\;2,\; \ldots $, можно переписать его как рекуррентную систему гомологических уравнений

где член M_j зависит от величин ${{H}_{k}}$, ${{F}_{k}}$, ${{G}_{k}}$, $k < j$, полученных на предыдущих шагах процедуры нормализации.

Для малых значений  j члены M_j имеют следующий вид:

При увеличении индекса j число ${{N}_{M}}$ членов в слагаемом M_j  растет экспоненциально: ${{N}_{M}}{{ = 2}^{j}}$ – 1.

3.2. Решение гомологических уравнений

Существует два метода решения гомологических уравнений (3.2)

1. Алгебраический метод, который был независимо разработан G. Hori [6] и A. Deprit [7] и усовершенствован в последующих работах [11–15]. Гомологические уравнения решаются как система линейных алгебраических уравнений коэффициентов однородных форм ${{f}_{j}}$ и ${{G}_{j}}$. Этот метод не имеет ограничений на структуру квадратичной части ${{h}_{0}}$ и может быть применен также в случае кратных или нулевых собственных значений. Тем не менее, из-за большого числа мономов порядок соответствующих систем быстро растет.

2. Метод инвариантной нормализации, предложенный В.Ф. Журавлёвым [10], [2, Гл. 8]. Этот метод можно рассматривать как последовательное усреднение функций M_j на невозмущенных решениях ${\mathbf{z}}(t,{\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$. Он может быть применен для случая ненулевых собственных значений. В случае кратных собственных значений этот метод также работает, но требует другого масштабирования фазовых координат, что приводит к тому, что члены ${{H}_{j}}({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})$ уже не являются однородными формами.

Здесь мы приведем краткое описание метода инвариантной нормализации (подробнее см. [10] или [2, гл. 7]), а также опишем особенности ее программной реализации.

Вдоль решений ${\mathbf{z}}(t,{\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$, ${\mathbf{\bar {z}}}(t,{\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$ невозмущенной канонической системы

мы имеем следующие тождества:

• ${{h}_{0}} * {{f}_{j}} = d{{f}_{j}}{\text{/}}dt = 0$ согласно свойству 1;

• ${{h}_{0}} * {{G}_{j}} = d{{G}_{j}}{\text{/}}dt$.

Таким образом, гомологические уравнения можно переписать в виде

Подставим решения ${\mathbf{z}}(t,{\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$, ${\mathbf{\bar {z}}}(t,{\mathbf{Z}},{\mathbf{\bar {Z}}})$ невозмущенной системы (3.4) в функцию M_j:

Согласно уравнениям (3.5) получаем следующую квадратуру

Следовательно, на каждом шаге процедуры нормализации очередной член НФ f_j равен коэффициенту при $t$, а член генератора Ли ${{G}_{j}}$ равен независящему от времени члену в квадратуре (3.7).

Когда все собственные значения λ простые и чисто мнимые или вещественные, нет необходимости интегрировать левую часть (3.7). Все функции M_j являются однородными полиномами в ${\mathbf{z}}$, ${\mathbf{\bar {z}}}$, поэтому после подстановки получаем m_j = = $\sum\nolimits_k {{{C}_{k}}} {{{\text{e}}}^{{{{\beta }_{k}}t}}} + {{C}_{0}}$, где β_k есть не равная нулю линейная комбинация собственных чисел λ_j, j = 1, ..., n, а C₀, C_k – некоторые многочлены от новых переменных Z, ${\mathbf{\bar {Z}}}$. Из формы (3.7) следует, что

3.3. Упрощение гомологических уравнений

Покажем, что можно примерно в 4 раза сократить число слагаемых в функциях M_j, $j = 2,\;3,\; \ldots $. Из первого уравнения (3.1) для каждого $j\, = \,2,3, \ldots $ можно получить ${{h}_{0}} * {{G}_{j}} = {{f}_{j}} - {{M}_{j}}$. Члены f_j и M_j вычислены на предыдущих шагах и могут быть использованы в последующих:

Подставляя это в M₂ в формуле (3.3), получаем

Таким образом, три вычисления скобок Пуассона сводятся к вычислению только одной скобки.

Введем следующие обозначения:

Здесь приведем упрощенные выражения функций M_j, $j = 3,\;4,\;5$. Все индексы ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$, ${{k}_{3}}$ – натуральные числа.

Уже по приведенным выше формулам несложно восстановить общий вид упрощенной функции M_j для произвольных значений $j$. Здесь главная сложность состояла в нахождении коэффициентов при кратных скобках Пуассона. Автор предпринял несколько попыток их нахождения. Вначале, с помощью СКА Maple была запрограммирована процедура упрощения M_j и был найден их вид и соответствующие коэффициенты для $j < 14$. Для бóльших номеров созданный алгоритм в силу его экспоненциальной сложности был неприменим. Затем был реализован более эффективный комбинаторный алгоритм, позволивший продвинуться до значений $j \leqslant 17$. Дальнейшее продвижение было уже затруднительно, поскольку времена счета для каждого значения j увеличивались с коэффициентом 4 и, например, для $j = 17$ составляли порядка 2.5 × 10⁶ с на довольно производительном компьютере. Тем не менее, выполненные вычисления позволили высказать предположение об общей структуре упрощенного выражения функций M_j, а также подобрать производящую функцию для коэффициентов при кратных скобках Пуассона. Строгое доказательство этого факта будет дано автором в другой работе.

Каждый член последовательности $\{ {{M}_{2}},{{M}_{3}},\; \ldots \} $, получается по следующей схеме:

1. используется член ${{F}_{j}}$ из разложения функции $H$;

2. добавляется сумма $\frac{1}{2}\sum\limits_{{{k}_{1}} + {{k}_{2}} = j} {f_{{{{k}_{1}}}}^{ + }} * {{G}_{{{{k}_{2}}}}}$;

3. добавляются ранее записанные суммы кратных скобок Пуассона, составленных из членов $f_{k}^{ - }$ и ${{G}_{l}}$, $k,l < j$, умноженные на соответствующий коэффициент ${{\alpha }_{k}}$. Кратность скобок Пуассона всегда нечетна и не превышает $j$, а сумма индексов этих функций, участвующих в вычислении, равна j.

Более точное описание упрощенных гомологических уравнений может быть дано в терминах разбиений целых чисел.

Определение 2. Разбиением $\nu (n)$ натурального числа $n$ называется любая конечная неубывающая последовательность натуральных чисел ${{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}}, \ldots ,{{\nu }_{k}}$ такая, что $\sum\nolimits_{j = 1}^k {{{\nu }_{j}}} = n$. Каждое разбиение можно записать в виде $\nu = [{{1}^{{{{n}_{1}}}}}{{2}^{{{{n}_{2}}}}}{{3}^{{{{n}_{3}}}}}\; \ldots ]$, где ${{n}_{j}}$ – число повторений слагаемого j в разбиении $\nu (n)$, т. е. $\sum {j{{n}_{j}}} = n$. Обозначим через ${{\nu }^{{(k)}}}(n)$ такое разбиение числа $n$, которое состоит ровно из $k$ слагаемых.

Теперь сформулируем основной результат работы о структуре упрощенного гомологического уравнения.

Утверждение 1. Для $j > 2$ функция M_j строится таким образом:

1. Добавляется член ${{F}_{j}}$ и сумма $\frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^{j - 1} {f_{k}^{ + }} * {{G}_{{j - k}}}$.

2. Для каждого $k$ не больше [j/2] вычисляем множество ${{\mu }_{{2k + 1}}}(j)$ всех перестановок любого разбиения $\nu (2k + 1)(j)$, т. е. множество ${{\mu }_{{2k + 1}}}(j)$ содержит кортеж из $2k + 1$ индексов, сумма которых равна $j$. Для каждого такого кортежа $\mathcal{J}[{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{2k + 1}}}]$ индексов необходимо вычислить все скобки Пуассона вида $f_{{{{i}_{1}}}}^{ - } * G_{{{{i}_{2}} \cdots {{i}_{{2k + 1}}}}}^{{2k}}$.

3. Сумма всех вычисленных выше скобок Пуассона умножается на коэффициент ${{\alpha }_{{2k + 1}}}$. Эти коэффициенты можно получить с помощью производящей функции

Первые 13 коэффициентов ${{\alpha }_{k}}$ даны в табл. 1.

4. Окончательная формула для M_j может быть представлена в следующем виде

Заметим, что наличие производящей функции $\mathfrak{g}(\varepsilon )$ (3.9) позволяет находить коэффициенты ${{\alpha }_{k}}$ для произвольных значений k за доли секунды.

Основные вычислительные затраты при построении нормальной формы связаны с многократным вычислением скобок Пуассона от функций $f_{j}^{ + }$, $f_{j}^{ - }$ и ${{G}_{j}}$. Для оптимизации вычислений при реализации метода были построены многоуровневые таблицы, которые последовательно заполнялись результатами вычисления вложенных скобок Пуассона от ранее определенных функций. Это позволило существенно сократить время вычисления генератора ${{G}_{j}}$ из гомологического уравнения.

Замечание 1. Очевидно, что нормализация гамильтониана H до высокого порядка возможна только в системах компьютерной алгебры. Например, такое программное обеспечение [2, Гл. 7] было разработано в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica [16].

3.4. Программная реализация метода инвариантной нормализации

Алгоритм инвариантной нормализации может быть реализован с использованием технологии ленивых или отложенных вычислений, т.е. выполнение шагов алгоритма по вычислению необходимых для его работы данных происходит только в момент обращения к последним, но не выполняется заранее. Это позволяет в большинстве ситуаций сократить общее время вычислений.

Приведем ниже схематичное описание алгоритма вычисления НФ гамильтониана, представленного в виде ряда ${{H}_{0}} + \sum\limits_j^{} {{{F}_{j}}} $, где H₀ = $\sum\nolimits_{j = 1}^n {{{\lambda }_{j}}} {{z}_{j}}{{\bar {z}}_{j}}$, а каждый член ${{F}_{j}}$ есть форма от комплексных фазовых переменных ${{z}_{j}}$, ${{\bar {z}}_{j}}$, $j = 1,\; \ldots ,\;n$.

Пусть выполнена нормализация до $(j - 1)$-го порядка включительно, где $j \geqslant 1$. Тогда невозмущенное решение записано в виде

а также уже вычислены члены НФ $f_{k}^{ + }$, $f_{k}^{ - }$, члены генератора ${{G}_{k}}$, $k < j$, и вычислены кратные скобки Пуассона для соответствующих наборов индексов, полученных в п. 2 утверждения 1.

1. Составляем функцию M_j гомологического уравнение $j$-го порядка согласно п. 2. Для этого для каждого $k \leqslant [j{\text{/}}2]$ находим разбиение ${{\nu }_{{2k + 1}}}(j)$, представленное в виде кортежа $\mathcal{J}[{{i}_{1}},\; \ldots ,\;{{i}_{{2k + 1}}}]$ индексов. Находим множество ${{\mu }_{{2k + 1}}}(j)$ всех перестановок этого кортежа индексов, и для каждого набора индексов из множества ${{\mu }_{{2k + 1}}}(j)$ вычисляем $(2k + 1)$-кратную скобку Пуассона вида $f_{{{{i}_{1}}}}^{ - } * G_{{{{i}_{2}} \cdots {{i}_{{2k + 1}}}}}^{{2k}}$. Если ранее уже была вычислена $(2k - 1)$-кратная скобка $f_{{{{i}_{1}}}}^{ - } * G_{{{{i}_{2}} \cdots {{i}_{{2k - 1}}}}}^{{2k}}$, то результат ее вычисления хранится в соответствующей ячейке вспомогательной разреженной матрицы и используется для вычислений. Найденная таким образом $(2k + 1)$-кратная скобка Пуассона также сохраняется для дальнейшего использования.

2. Когда все слагаемые формулы (3.10) найдены, выполняется подстановка в него невозмущенного решения (3.11), а затем происходит упрощение показателей каждого слагаемого из M_j. Группируя слагаемые с равными экспоненциальными множителями, получаем выражение (3.6), с помощью которого согласно формулам (3.8) находим и сохраняем для последующего использования $j$-е члены разложения НФ ${{f}_{j}}$ и генератора ${{G}_{j}}$ соответственно. Вычисляются величины $f_{j}^{ + }$ и $f_{j}^{ - }$ для получения правой части гомологического уравнения $(j + 1)$-го порядка.

Замечание 2. Указанные выше шаги алгоритма нормализации могут быть легко запрограммированы с использованием различных систем компьютерной алгебры, в которых присутствуют эффективные комбинаторные процедуры. Здесь укажем лишь некоторые из таких реализаций.

• В СКА Wolfram Mathematica [2, 17]. Авторы отмечают, что данная программа справляется с ситуацией, когда собственные числа могут быть выражены в радикалах.

• В СКА Maplesoft Maple [18].

• Программный комплекс, реализованный с использованием языков программирования C++ и Python [19], библиотека [20], реализованная с использованием языков программирования C/C++.

Замечание 3. Отметим, что эффективность выполнения вычислений на шаге 2 алгоритма существенно зависит от того, в какой форме удается представить собственные числа λ. В тех редких случаях, когда все ${{\lambda }_{j}}$ рациональны, все вычисления могут быть выполнены точно. Если все или часть собственных чисел принадлежат алгебраическому расширению поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$, то вычисление коэффициентов НФ и генератора Ли можно проводить в этом расширении. Можно выполнять вычисление НФ по модулю идеала, который задает нули характеристического многочлена матрицы $B$ формулы (2.3), так, как это, например, сделано в [21, п. 5.6, Способ 3]. Последний прием может быть использован, если квадратичная часть ${{H}_{0}}$ исходного гамильтониана $H$ зависит от параметров.

4.1. Гамильтониан задачи Хилла

Задача Хилла, уравнения которой описывают плоское движение спутника в окрестности меньшего из двух массивных тел [22], имеет следующий гамильтониан

где $r = \sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} $, ${\mathbf{x}} = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – вектор координат, а ${\mathbf{y}} = ({{y}_{1}},{{y}_{2}})$ – канонически сопряженный вектор импульса.

Каноническое преобразование, называемое регуляризацией Леви–Чивитты [23, Гл. 4],

которое вместе с заменой времени приводит функцию Гамильтона (4.1) с сингулярностью в начале координат к полиномиальному виду

Здесь параметр $\tilde {h}$ выбирается так, чтобы $\tilde {h}$ + H(x, y) = 0.

В [24] предложено преобразование (см., также [25])

определенное для всех значений $\tilde {h} \ne 0$, что приводит регуляризованный гамильтониан (4.2) к виду где $\delta = \pm 1$, а s – новая независимая переменная. Здесь $\delta $ выбирается в зависимости от знака параметра $\tilde {h}$.

Структура функции (4.3) такова, что начало координат O соответствует точке равновесия системы канонических уравнений, определяемой гамильтонианом $\mathcal{H}({\mathbf{Q}},{\mathbf{P}})$. Квадратичная часть ${{\mathcal{H}}_{2}}$ уже приведена к вещественной нормальной форме.

Это позволяет без дополнительных преобразований применить алгоритм нормализации, описанный в разделе 3, предварительно записав функцию $\mathcal{H}$ в комплексной форме.

4.2. Нормальная форма задачи Хилла вблизи начала координат

Для записи функции Гамильтона $\mathcal{H}$ в комплексных переменных, введем обозначения:

Тогда $\mathcal{H}({\mathbf{z}},{\mathbf{\bar {z}}}) = {{\mathcal{H}}_{2}} + {{\mathcal{H}}_{4}} + {{\mathcal{H}}_{6}}$, где

Процедура инвариантной нормализации гамильтониана $\mathcal{H}$ была реализована автором в СКА Maple и выполнена до 22-го порядка включительно.

Первые шесть членов (включая ${{h}_{2}}$) нормальной формы $h$ следующие:

где в выражениях для ${{\rho }_{1}}$, ${{\rho }_{2}}$, ${{h}_{2}}$ и ${{g}_{2}}$ все исходные координаты ${{z}_{j}}$, ${{\bar {z}}_{j}}$ надо заменить на ${{Z}_{j}}$, ${{\bar {Z}}_{j}}$, $j = 1,2$. Другие вычисленные члены довольно громоздки и здесь не приводятся.

Найденные начальные члены разложения нормальной формы $h$ позволяют сделать некоторые предположения о ее структуре.

1. Члены разложения с номерами $4k$, $k \geqslant 1$ состоят только из строго резонасных мономов, члены с номерами $4k - 2$ содержат как строго резонансные, так и секулярные мономы.

2. Все члены разложения, начиная с ${{h}_{4}}$, раскладываются на множители, один из которых всегда равен ${{h}_{2}}$.

3. Члены разложения с номерами $4k$, $k \geqslant 2$ раскладываются на три множителя, один из которых равен ${{g}_{2}}$, а другой ${{h}_{2}}$.

Вычисленная НФ задачи Хилла вблизи начала координат позволяет исследовать динамику исходной системы в этой области фазового пространства. В частности, с помощью НФ можно искать так называемые области аналитичности [1, Гл. I], на которых нормализующее преобразование сходится, и, следовательно, семействам периодических решений нормализованной системы Гамильтона будут соответствовать семейства периодических решений исходной системы.