1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Программирование
  4. № 2, 2023

Программирование, 2023, № 2, стр. 31-35

СИМВОЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ НУЛЕЙ СИСТЕМЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

В. И. Кузоватов a, *, А. А. Кытманов b, c, **, Е. К. Мышкина d, ***

a Сибирский федеральный университет
660041 Красноярск, пр. Свободный, 79, Россия

b МИРЭА — Российский технологический университет
119454 Москва, пр. Вернадского, 78, Россия

c Учебно-научная лаборатория искусственного интеллекта, нейротехнологий и бизнес-аналитики, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
117997 Москва, Стремянный пер., 36, Россия

d Институт вычислительного моделирования СО РАН
660036 Красноярск, Академгородок, 50/44, Россия

* E-mail: kuzovatov@yandex.ru
** E-mail: aakytm@gmail.com
*** E-mail: elfifenok@mail.ru

Поступила в редакцию 28.08.2022
После доработки 13.10.2022
Принята к публикации 30.10.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе интегрального представления Бохнера–Мартинелли приведен алгоритм, позволяющий определять число нулей системы голоморфных функций. Нули системы функций ищутся на множестве поликуба. Использование методов компьютерной алгебры в данной задаче обусловлено вычислительной сложностью разрабатываемых алгоритмов и получаемых результатов. Дана реализация данного алгоритма в системе компьютерной алгебры Maple, позволяющая существенно упростить необходимые вычисления.

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена исследованию систем неалгебраических уравнений в ${{\mathbb{C}}^{n}}$. Такие системы возникают при описании нелинейных процессов в различных областях знания, таких как теоретическая физика, химическая кинетика (включая задачи, возникающие при описании процессов в нефтегазовой промышленности, а также при изучении кинетики химических превращений композитов на основе горных пород), математическая биология. На данный момент системы неалгебраических уравнений, как правило, поддаются решению лишь в случае, когда их можно свести к алгебраическим с помощью замены переменных. В противном случае поиск решения производится приближенно с помощью численных методов [1].

Вместе с тем, в различных процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с правыми частями, разложимыми в ряд Тейлора, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы.

Научная значимость данной работы связана с определением нового подхода к итерационным методам решения систем трансцендентных уравнений, состоящих из голоморфных функций многих комплексных переменных. Полученные результаты позволят расширить области применения методов и алгоритмов компьютерной алгебры на нелинейные уравнения неполиномиального типа. В связи с этим решение поставленных в данной работе задач важно для развития данного направления науки.

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Пусть D – ограниченная область в ${{\mathbb{C}}^{2}}$ с кусочно-гладкой границей $\partial D$, а $f:\overline D \to {{\mathbb{C}}^{2}}$ голоморфное отображение, $f\left| {_{{\partial D}}} \right. \ne 0$.

Известно обобщение теоремы о логарифмическом вычете на случай многих переменных на основе интегрального представления Бохнера–Мартинелли (см., например, [2, теорема 2.4]):

(1)
$\int\limits_{\partial D} w(f,\bar {f}) = N,$
где $N$ – число нулей отображения $f$ в $D$ с учетом кратности, а

$w(f,\bar {f}) = \frac{1}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\frac{{{{{\bar {f}}}_{1}}d{{{\bar {f}}}_{2}} - {{{\bar {f}}}_{2}}d{{{\bar {f}}}_{1}}}}{{{{{({{{\left| {{{f}_{1}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{f}_{2}}} \right|}}^{2}})}}^{2}}}} \wedge d{{f}_{1}} \wedge d{{f}_{2}}.$

Рассмотрим случай, когда $D$ – поликуб, то есть произведение отрезков

$[a,b] \times [\alpha ,\beta ] \times [c,d] \times [\gamma ,\delta ] \subset {{\mathbb{C}}^{2}} = {{\mathbb{R}}^{4}}.$

Перейдем к вещественным координатам

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}_{1}} = {{x}_{1}} + i{{y}_{1}},} \\ {{{z}_{2}} = {{x}_{2}} + i{{y}_{2}}.} \end{array}} \right.$

Тогда

(2)
$\begin{gathered} a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b,\quad \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d,\quad \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta . \\ \end{gathered} $

Запишем форму $w$ в вещественных координатах. Будем иметь

$w = - \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\frac{{\left( {\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}} \right)}}{{{{{\left( {{{{\left| {{{f}_{1}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{f}_{2}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{2}}}} \times $
$\begin{gathered} \, \times \left[ {\overline {\left( {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}} \right)} \times } \right. \\ \, \times \left( {d{{x}_{1}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}} + i{\kern 1pt} d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}}} \right) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + \overline {\left( {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)} \times \\ \, \times \left. {\left( {d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}} + id{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{2}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Для удобства записи введем следующие обозначения. Обозначим через $J$ якобиан отображения f, через ${{\left| f \right|}^{2}}$ – квадрат евклидовой нормы. Таким образом,

$\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = J,$
${{\left| {{{f}_{1}}} \right|}^{2}} + {{\left| {{{f}_{2}}} \right|}^{2}} = {{\left| f \right|}^{2}},$
$\overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}} = A,$
$\overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}} = B.$

Таким образом, с учетом введенных обозначений форму w можно записать в виде

(3)
$\begin{gathered} w = - \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}} \times \\ \, \times \left[ {A\left( {d{{x}_{1}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}} + i{\kern 1pt} d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}}} \right) + } \right. \\ \, + \left. {B\left( {d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}} + id{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{2}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Для сведения интеграла (1) к интегралу Римана по гиперграням нужно выбрать их правильную ориентацию. Ориентация на многообразии задается (см., например, [3], глава II, п. 14) указанием дифференциальной формы максимальной степени, которая сопоставляется элементу объема $dV$ при интегрировании. Ориентация ${{\mathbb{R}}^{4}} = {{\mathbb{C}}^{2}}$, как и гиперкуба $D \subset {{\mathbb{C}}^{2}}$, традиционно задается формой

$d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}.$

Согласованная с ней ориентация (в соответствии с [3], глава II, п. 14) граней следующая:

${{x}_{1}} = a\quad : - d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{x}_{1}} = b\quad :d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{x}_{2}} = c\quad :d{{x}_{1}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{x}_{2}} = d\quad : - d{{x}_{1}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{y}_{1}} = \alpha \quad : - d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{y}_{1}} = \beta \quad :d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{2}}$
${{y}_{2}} = \gamma \quad :d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}}$
${{y}_{2}} = \delta \quad : - d{{x}_{1}} \wedge d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}}.$

Интеграл (1) есть сумма интегралов по правильно ориентированным гиперграням. При этом имеется 4 пары гиперграней.

Рассмотрим для примера пару гиперграней, задаваемых условиями ${{x}_{1}} = a$ и ${{x}_{1}} = b$. В этом случае 3 из 4 дифференциальных форм в выражении (3) обращаются в нуль и форма $w$ примет вид

$w = - \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}}B{\kern 1pt} d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}.$

Форма $d{{x}_{2}} \wedge d{{y}_{1}} \wedge d{{y}_{2}}$ на ${{x}_{1}} = a$ отрицательна, а на ${{x}_{1}} = b$ – положительна. Поэтому

${{I}_{1}} = \int\limits_{{{x}_{1}} = a} w + \int\limits_{{{x}_{1}} = b} w = $
(4)
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\begin{gathered} {{x}_{1}} = a, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta \\ \end{gathered} } \frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}BdV - \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\begin{gathered} {{x}_{1}} = b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta \\ \end{gathered} } \frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}BdV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}B} \right|_{{{{x}_{1}} = b}}^{{{{x}_{1}} = a}}dV.$

Аналогично, получим следующие результаты для остальных пар гиперграней:

(5)
${{I}_{2}} = \int\limits_{{{x}_{2}} = c} w + \int\limits_{{{x}_{2}} = d} w = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}A} \right|_{{{{x}_{2}} = c}}^{{{{x}_{2}} = d}}dV,$
(6)
${{I}_{3}} = \int\limits_{{{y}_{1}} = \alpha } w + \int\limits_{{{y}_{1}} = \beta } w = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}B} \right|_{{{{y}_{1}} = \beta }}^{{{{y}_{1}} = \alpha }}dV,$
(7)
${{I}_{4}} = \int\limits_{{{y}_{2}} = \gamma } w + \int\limits_{{{y}_{2}} = \delta } w = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}A} \right|_{{{{y}_{2}} = \gamma }}^{{{{y}_{2}} = \delta }}dV.$

Тем самым мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Пусть D – поликуб, то есть произведение отрезков $[a,b] \times [\alpha ,\beta ] \times $ $[c,d] \times [\gamma ,\delta ] \subset $ ${{\mathbb{C}}^{2}} = {{\mathbb{R}}^{4}}$, а $f:\overline D \to {{\mathbb{C}}^{2}}$ голоморфное отображение, $f\left| {_{{\partial D}}} \right. \ne 0$. Тогда количество N нулей системы

(8)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{f}_{1}}\left( {{{z}_{1}},{{z}_{2}}} \right) = 0,} \\ {{{f}_{2}}\left( {{{z}_{1}},{{z}_{2}}} \right) = 0} \end{array}} \right.$
на множестве D численно равно сумме значений интегралов (4)–(7). При этом интегралы (4)–(7) являются интегралами Римана, в которых переменные интегрирования изменяются от меньшего значения к большему.

Заметим, что сумма интегралов (4)–(7) должна быть целым числом. Это означает, что для приближенного вычисления этих интегралов большая точность не требуется.

При наличии корней в поликубе D (то есть если указанная сумма интегралов не равна нулю), он разбивается на несколько поликубов меньшего размера, и вычисления повторяются в каждом из них для локализации корней. Алгоритм останавливается при достижении необходимой точности.

3. ПРИМЕР

Пусть ${{f}_{1}} = {{z}_{1}}$, ${{f}_{2}} = {{z}_{2}}$, то есть рассмотрим количество $N$ нулей системы

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}_{1}} = 0,} \\ {{{z}_{2}} = 0} \end{array}} \right.$
в области $D = [ - 1;1] \times [ - 1;1] \times $ $[ - 1;1] \times [ - 1;1]$. Очевидно, что единственным решением данной системы является точка $\left( {0,0} \right) \in {{\mathbb{C}}^{2}}$ и $N = 1$. Покажем это с помощью теории, изложенной выше. Такой выбор функций ${{f}_{1}}$ и ${{f}_{2}}$ объясняется необходимостью упрощения выкладок.

Вычислим необходимые величины. Будем иметь:

$\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = 1,\quad \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} = 0,\quad \frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = 0,\quad \frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} = 1,$
$J = \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = 1,$
$\begin{gathered} {{\left| f \right|}^{2}} = {{\left| {{{f}_{1}}} \right|}^{2}} + {{\left| {{{f}_{2}}} \right|}^{2}} = {{\left| {{{z}_{1}}} \right|}^{2}} + {{\left| {{{z}_{2}}} \right|}^{2}} = \\ \, = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
$A = \overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}} = - {{\bar {z}}_{2}} = - {{x}_{2}} + i{{y}_{2}},$
$B = \overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}} = {{\bar {z}}_{1}} = {{x}_{1}} - i{{y}_{1}}.$

Вычислим интегралы по гиперграням ${{x}_{1}} = a$ и ${{x}_{1}} = b$, при этом $a = - 1$, $b = 1$. Получим

$\frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}B} \right|_{{{{x}_{1}} = b}}^{{{{x}_{1}} = a}}dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{{\left( {{{x}_{1}} - i{{y}_{1}}} \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right|_{{{{x}_{1}} = b}}^{{{{x}_{1}} = a}}dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left( {\frac{{a - i{{y}_{1}}}}{{{{{({{a}^{2}} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}} - } \right.$
$\, - \left. {\frac{{b - i{{y}_{1}}}}{{{{{({{b}^{2}} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right)dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \frac{{a - b}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}dV = $
$\, = \frac{1}{{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{x}_{2}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{y}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 \frac{{d{{y}_{2}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}.$

Вычислим далее интегралы по гиперграням ${{x}_{2}} = c$ и ${{x}_{2}} = d$, при этом $c = - 1$, d = 1. Получим

$\frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}A} \right|_{{{{x}_{2}} = c}}^{{{{x}_{2}} = d}}dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{{\left( { - {{x}_{2}} + i{{y}_{2}}} \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right|_{{{{x}_{2}} = c}}^{{{{x}_{2}} = d}}dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left( {\frac{{ - d + i{{y}_{2}}}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + {{d}^{2}} + y_{2}^{2})}}^{2}}}} - } \right.$
$\, - \left. {\frac{{\left( { - c + i{{y}_{2}}} \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + {{c}^{2}} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right)dV = $
$\, = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \frac{{c - d}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 1 + y_{2}^{2})}}^{2}}}}dV = $
$\, = \frac{1}{{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{x}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{y}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 \frac{{d{{y}_{2}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}.$

Вычислим далее интегралы по гиперграням ${{y}_{1}} = \alpha $ и ${{y}_{1}} = \beta $, при этом $\alpha = - 1$, $\beta = 1$. Получим

$\frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}B} \right|_{{{{y}_{1}} = \beta }}^{{{{y}_{1}} = \alpha }}dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left. {\frac{{\left( {{{x}_{1}} - i{{y}_{1}}} \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right|_{{{{y}_{1}} = \beta }}^{{{{y}_{1}} = \alpha }}dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \left( {\frac{{{{x}_{1}} - i\alpha }}{{{{{(x_{1}^{2} + {{\alpha }^{2}} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}} - } \right.$
$\, - \left. {\frac{{{{x}_{1}} - i\beta }}{{{{{(x_{1}^{2} + {{\beta }^{2}} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right)dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } \frac{{i\left( {\beta - \alpha } \right)}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}dV = $
$\, = \frac{1}{{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{x}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{x}_{2}}\int\limits_{ - 1}^1 \frac{{d{{y}_{2}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}.$

Нам осталось вычислить последние интегралы по гиперграням ${{y}_{2}} = \gamma $ и ${{y}_{2}} = \delta $, при этом $\gamma = - 1$, $\delta = 1$. Получим

$\frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } \left. {\frac{J}{{{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{4}}}}A} \right|_{{{{y}_{2}} = \gamma }}^{{{{y}_{2}} = \delta }}dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } \left. {\frac{{\left( { - {{x}_{2}} + i{{y}_{2}}} \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}^{2}}}}} \right|_{{{{y}_{2}} = \gamma }}^{{{{y}_{2}} = \delta }}dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } \left( {\frac{{\left( { - {{x}_{2}} + i\delta } \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {{\delta }^{2}})}}^{2}}}} - } \right.$
$\, - \left. {\frac{{\left( { - {{x}_{2}} + i\gamma } \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {{\gamma }^{2}})}}^{2}}}}} \right)dV = $
$\, = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\iiint\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } \frac{{i\left( {\delta - \gamma } \right)}}{{{{{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 1)}}^{2}}}}dV = $
$\, = \frac{1}{{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{x}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 d{{y}_{1}}\int\limits_{ - 1}^1 \frac{{d{{x}_{2}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{2}}}}.$

Таким образом, количество N нулей искомой системы равно

$N = \frac{4}{{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{ - 1}^1 du\int\limits_{ - 1}^1 d{v}\int\limits_{ - 1}^1 \frac{{dw}}{{{{{(1 + {{u}^{2}} + {{{v}}^{2}} + {{w}^{2}})}}^{2}}}}.$

Очевидно, что даже в таком простом случае системы, как в рассмотренном нами примере, необходима помощь вычислительных процедур.

4. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Алгоритм был реализован в среде Maple 2016 64bit. Полный код программы доступен по адресу https://github.com/aakytmanov/Zeros. Вычисления первого шага алгоритма производились на машине Intel Core i7-4790 (3.6 GHz) c 32 Gb RAM под управлением Windows 10 Pro x64 21H1. Время счета для системы функций

${{f}_{1}} = {{z}_{1}},\quad {{f}_{2}} = {{z}_{2}}$
составило 53 секунды.

Вызов функции для данного примера приведен ниже:

> fZeros([(z1, z2) -> z1, (z1, z2) -> z2],

[-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]);

Реализация итерационной процедуры позволит приближенно находить корни системы уравнений, содержащей голоморфные функции, в заданном поликубе, однако она требует оптимизации приближенного вычисления интегралов с учетом отсутствия необходимости большой точности вычислений, поскольку результатом интегрирования всегда является целое число. Это является актуальной текущей задачей.

Алгоритм 1: Алгоритм вычисления числа нулей системы в заданной области.

Input: Список функций ${{f}_{i}}(z)$ из левой части системы (8), список пределов интегрирования $a$, $b$, $\alpha $, $\beta $, $c$, $d$, $\gamma $, $\delta $ из (2), определяющих поликуб.
Output: Значение интеграла (1).
begin
    ${{f}_{1}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \to {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}) + i{{{v}}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}})$
    ${{f}_{2}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \to {{u}_{2}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}) + i{{{v}}_{2}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}})$
    ${{\left| f \right|}^{4}}: = ({{f}_{1}}{{\bar {f}}_{1}} + {{f}_{2}}{{\bar {f}}_{2}}{{)}^{2}}$
    $J: = \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}$
    $A: = \overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}}} $
    $B: = \overline {{{f}_{1}}\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{z}_{2}}}} - {{f}_{2}}\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{z}_{2}}}}} $
    ${{I}_{{{{x}_{1}}}}}: = \left. {\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}}B} \right|_{{{{x}_{1}} = b}}^{{{{x}_{1}} = a}}$
    ${{I}_{{{{x}_{2}}}}}: = \left. {\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}}A} \right|_{{{{x}_{2}} = c}}^{{{{x}_{2}} = d}}$
    ${{I}_{{{{y}_{1}}}}}: = \left. {\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}}B} \right|_{{{{y}_{1}} = \beta }}^{{{{y}_{1}} = \alpha }}$
    ${{I}_{{{{y}_{2}}}}}: = \left. {\frac{J}{{{{{\left| f \right|}}^{4}}}}A} \right|_{{{{y}_{2}} = \gamma }}^{{{{y}_{2}} = \delta }}$
    ${{I}_{1}}: = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } {{I}_{{{{x}_{1}}}}}{\kern 1pt} dV$
    ${{I}_{2}}: = \frac{2}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta , \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } {{I}_{{{{x}_{2}}}}}dV$
    ${{I}_{3}}: = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \gamma \leqslant {{y}_{2}} \leqslant \delta } } {{I}_{{{{y}_{1}}}}}{\kern 1pt} dV$
    ${{I}_{4}}: = \frac{{2i}}{{{{{(2\pi i)}}^{2}}}}\int\limits_{\substack{ a \leqslant {{x}_{1}} \leqslant b, \\ c \leqslant {{x}_{2}} \leqslant d, \\ \alpha \leqslant {{y}_{1}} \leqslant \beta } } {{I}_{{{{y}_{2}}}}}{\kern 1pt} dV$
    $I: = {{I}_{1}} + {{I}_{2}} + {{I}_{3}} + {{I}_{4}}$
   
Return$I$

Список литературы

  1. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

  2. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

  3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. Ч. 2. СПб.: Лань, 2004.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Программирование

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал