Программирование, 2023, № 5, стр. 35-46

2.1. Системы, усеченные ряды и продолжения

Пусть K – алгебраически замкнутое числовое поле. Для кольца полиномов от x над K мы в дальнейшем используем обычное обозначение $K[x]$. Кольцо формальных степенных рядов от $x$ над K обозначается через $K[[x]]$, поле формальных лорановых рядов – через $K((x))$. Для ненулевого элемента $a(x)\, = \,\sum {{a}_{i}}{{x}^{i}}$ из $K((x))$ его валюация val_xa(x) определена равенством val_xa(x) = $\min \{ i|{{a}_{i}} \ne 0\} $, при этом ${\text{val}}{{{\kern 1pt} }_{x}}{\kern 1pt} 0 = \infty $. Валюация вектора или матрицы с компонентами-рядами считается равной минимуму валюаций компонент. Пусть $t \in \mathbb{Z}$, $t$-усечение ${{a}^{{\langle t\rangle }}}(x)$ получается отбрасыванием всех членов ряда $a(x)$ степени большей, чем $t$. Число $t$ называется степенью усечения ряда. Под $O({{x}^{{t + 1}}})$, где $t \in \mathbb{Z}$, будет пониматься некий (неуточняемый) ряд с валюацией, большей $t$. Как правило, это обозначение используется в тех случаях, когда либо подразумеваемый ряд нам неизвестен, либо если конкретный вид ряда не представляет для нас интереса; важно лишь, что его валюация больше, чем $t$.

Если R – некоторое кольцо, то ${\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{m}}(R)$ обозначает кольцо m × m-матриц с элементами из R.

Дифференциальные системы будет удобно записывать с помощью операции $\theta = x\frac{d}{{dx}}$ вместо обычной операции дифференцирования $\frac{d}{{dx}}$ (переход от одной формы записи к другой выполняется легко). Мы рассматриваем системы вида (1). Относительно

Элементы матриц ${{A}_{k}}(x)$ будем называть коэффициентами системы, ими будут у нас формальные степенные ряды. Элемент матрицы ${{A}_{k}}(x)$ на пересечении $i$-й строки и  j-го столбца будем обозначать через ${{A}_{{kij}}}(x)$. В случае системы, коэффициенты которой заданы в усеченном виде, известны такие неотрицательные целые ${{t}_{{0ij}}},{{t}_{{1ij}}}, \ldots ,{{t}_{{rij}}}$, что

Продолжение усеченного ряда – это ряд, возможно также усеченный, начальные члены которого совпадают с известными начальными членами исходного усеченного ряда; соответственно, продолжением усеченного уравнения назовем уравнение, коэффициенты которого являются продолжениями коэффициентов исходного уравнения, а продолжением системы уравнений назовем систему, уравнения которой являются продолжениями уравнений исходной системы.

Пусть (1) состоит из линейно независимых над $K[[x]][\theta ]$ уравнений. В этом случае говорим, что система имеет полный ранг, саму систему называем системой полного ранга. Из [7], предл. 2 следует, что для случая систем, коэффициенты которых являются рядами, заданными алгоритмически, задача проверки независимости уравнений над $K[[x]][\theta ]$ является алгоритмически неразрешимой. Предложенные в [1–3] алгоритмы предполагают, что система имеет полный ранг. Для системы с усеченными коэффициентами будем предполагать, что любое ее продолжение является системой полного ранга.

2.2. Лорановы решения систем

Решение $y(x) = ({{y}_{1}}(x), \ldots ,{{y}_{m}}(x{{))}^{T}}$ дифференциальной системы (1), компоненты ${{y}_{i}}(x)$ которого являются формальными лорановыми рядами, называется лорановым. Для системы полного ранга, коэффициенты которой являются рядами, заданными алгоритмически, алгоритм из [1] находит все ее усеченные лорановы решения c любой заданной степенью усечения. Для усеченной системы нет возможности вычислять решения с произвольной степенью усечения. В [4] это было доказано для частного случая – скалярного уравнения (m = 1). Ниже в разд. 3 будет определено, какими именно усеченными лорановыми решениями мы занимаемся в случае усеченных систем ($m > 1$).

2.3. Индуцированные рекуррентные системы

Пусть система (1) имеет коэффициенты, которые являются алгоритмически заданными рядами. Пусть также ее лораново решение имеет вид

Индуцированная система запишется в виде

• $u(n) = ({{u}_{1}}(n), \ldots ,{{u}_{m}}(n{{))}^{T}}$ – вектор-столбец неизвестных последовательностей таких, что ${{u}_{i}}(n)$ = 0 для всех отрицательных $n$ с достаточно большим значением $|n|$, $i = 1, \ldots ,m$;

• ${{B}_{0}}(n),{{B}_{{ - 1}}}(n), \ldots \in {\text{M}}a{{t}_{m}}(K[n])$;

• ${{B}_{0}}(n)$ – ведущая матрица системы (5) (это ненулевая матрица, поскольку валюация системы (1) равна нулю).

Очевидно, что индуцированная система (5) имеет полный ранг, т.е. ее уравнения независимы над $K[n][[{{E}^{{ - 1}}}]]$, если и только если исходная дифференциальная система (1) имеет полный ранг.

Если матрица ${{B}_{0}}(n)$ невырождена, то ${\text{det}}{{B}_{0}}(n)$ = 0 может рассматриваться как определяющее уравнение исходной дифференциальной системы: множество целых корней этого алгебраического уравнения включает множество всех возможных валюаций лорановых решений системы (1). Это позволяет, в частности, найти нижнюю границу валюаций всех лорановых решений системы. Если $\det {{B}_{0}}(n) = 0$ не имеет целых корней, система не имеет лорановых решений.

4.1. Литералы

Как и в задаче поиска усеченных лорановых решений обыкновенного дифференциального уравнения с коэффициентами в виде усеченных рядов, алгоритм для систем основан на использовании литералов и построении решений, содержащих литералы. Литералами мы называем символьные обозначения незаданных коэффициентов рядов, входящих в системы (см. [5, 9]). Для ряда вида (2) будем говорить, что его коэффициенты при степенях ${{x}^{s}}$, $s > {{t}_{{kij}}}$, не заданы. Эти коэффициенты при построении решений усеченной системы мы и представляем символьными обозначениями – литералами.

Например, рассмотрим один из коэффициентов системы, представленной на рис. 1:

При ${{x}^{0}}$ коэффициент равен –1, при ${{x}^{1}}$ равен –1, при ${{x}^{2}}$ равен $\frac{1}{2}$. Незаданный коэффициент при ${{x}^{3}}$ обозначаем литералом ${{U}_{{[3,1][0,3]}}}$, при ${{x}^{4}}$ – ${{U}_{{[3,1][0,4]}}}$, и так далее. Здесь ${{U}_{{[i,j][k,s]}}}$ – выбранная в нашей реализации алгоритма форма представления литерала, обозначающего незаданный коэффициент при ${{x}^{s}}$ в элементе ${{A}_{{kij}}}(x)$ матричного коэффициента ${{A}_{k}}(x)$ системы (1).

Отметим, что присвоение значений из K литералам в членах со степенями ${{t}_{{kij}}} + 1, \ldots ,{{t}_{{kij}}} + {{d}_{{kij}}}$ в рядах ${{A}_{{kij}}}(x)$, где ${{d}_{{kij}}}$ – некоторые положительные целые числа, задает одно из возможных продолжений исходной системы. Соответственно, если имеется продолжение исходной системы, то оно соответствует значениям части литералов исходной системы. Если продолжение системы не содержит литералов, т.е. все ряды заданы полностью, то такое продолжение соответствует значениям всех литералов исходной системы.

4.2. Системы, к которым применим предлагаемый алгоритм

В данной работе рассматривается применение алгоритма только к таким системам линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1), индуцированные рекуррентные системы (5) которых имеют невырожденную ведущую матрицу ${{B}_{0}}(n)$ и ее определитель не содержит литералов. Напомним, что в этом случае $\det {{B}_{0}}(n) = 0$ может рассматриваться как определяющее уравнение исходной дифференциальной системы – множество целых корней этого алгебраического уравнения включает множество всех возможных валюаций лорановых решений системы (1) и позволяет найти нижнюю границу валюаций всех лорановых решений системы, которая равна минимальному целому корню $\det {{B}_{0}}(n)$. Отсутствие литералов в $\det {{B}_{0}}(n)$ гарантирует инвариантность относительно любых продолжений системы (1) этого множества возможных валюаций и этой нижней границы.

Например, для рассмотренной в разд. 3 системы (см. рис. 1) ведущая матрица

Отметим, что матрица ${{B}_{0}}(n)$ может оказаться вырожденной и в том случае, когда ведущая матрица ${{A}_{r}}(x)$ системы (1) невырождена. В [1] показано, что для систем полного ранга с коэффициентами в виде рядов, заданных алгоритмически, эта ситуация не является тупиковой: алгоритм EG$_{\sigma }^{\infty }$ позволяет преобразовать индуцированную систему $R(u) = 0$ к охватывающей ее рекуррентной системе с невырожденной ведущей матрицей и построить любое заданное число ее начальных слагаемых. Охватывающая рекуррентная система, дополненная множеством линейный ограничений, которые также строит алгоритм EG$_{\sigma }^{\infty }$, имеет то же множество решений, что и система $R(u) = 0$. Это позволяет найти с любой заданной степенью усечения все лорановы решения $y(x)$ исходной дифференциальной системы (1) полного ранга. Здесь существенно, что множество линейных ограничений конечно и каждое из этих ограничений содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых (благодаря тому, что нас интересуют решения $u(n)$, для которых ${{u}_{i}}(n) = 0$ при всех $n$, меньших нижней границы валюаций лорановых решений исходной дифференциальной системы). При использовании алгоритма EG$_{\sigma }^{\infty }$ в случае усеченных систем возникает ряд дополнительных задач. Мы планируем решить их и представить результаты в дальнейших работах, расширив применимость алгоритма для случая, когда ведущая матрица индуцированной системы является вырожденной.

4.3. Построение усеченных лорановых решений

Новый алгоритм построения усеченных лорановых решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде усеченных рядов является модификацией алгоритма построения усеченных лорановых решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде алгоритмически заданных рядов. Для использования этого алгоритма коэффициенты системы в виде усеченных рядов приобретают алгоритмическое представление: если $s \leqslant {{t}_{{kij}}}$, то применение алгоритма даст тот коэффициент, с которым ${{x}^{s}}$ входит в усеченный ряд, а при $s > {{t}_{{kij}}}$ – литерал ${{U}_{{[i,j],[k,s]}}}$.

Подробное описание алгоритма построения лорановых решений систем с коэффициентами в виде алгоритмически заданных рядов дано в [1]. Этот алгоритм основывается на рассмотрении индуцированной системы (5). Множество целых корней определителя ведущей матрицы ${{B}_{0}}(n)$ содержит все возможные валюации лорановых решений (3). Проводя вычисления с помощью рекуррентной системы (5), последовательно определяем коэффициенты ${{u}_{1}}(n), \ldots ,{{u}_{m}}(n)$ рядов в компонентах лорановых решений. Также вычисляются ${{B}_{{ - s}}}(n)$ в (5) со все большими значениями $s$, в количестве, необходимом для вычисления требуемой степени усечения лорановых решений.

Вычисление последовательности $u(n)$ коэффициентов лоранова ряда (3), удовлетворяющей (5), выполняется последовательно, увеличивая значение ${{n}_{0}}$, начиная с ${{n}_{0}} = {v}$ – минимального целого корня $\det {{B}_{0}}(n)$. Поскольку мы строим решения системы (5) такие, что $u({v} - 1) = 0,$ $u({v} - 2) = 0,$ ..., то для каждого целого $n$ система (5) имеет конечное число ненулевых слагаемых в левой части. Для ${{n}_{0}} = {v}$ получаем систему алгебраических уравнений неполного ранга

Если далее для некоторого целого ${{n}_{0}} > {v}$ выполнено $\det {{B}_{0}}({{n}_{0}}) \ne 0$, то

Если же $\det {{B}_{0}}({{n}_{0}}) = 0$, то возникает система линейных алгебраических уравнений неполного ранга

Вычислим ее решение ${{u}_{1}}({{n}_{0}}), \ldots ,{{u}_{m}}({{n}_{0}})$ с помощью метода Гаусса. Это приведет к тому, что некоторые компоненты ${{u}_{i}}({{n}_{0}})$ будут добавлены к множеству неизвестных постоянных. Также могут возникнуть соотношения, в которые не входят ${{u}_{i}}({{n}_{0}})$, но входят ранее введенные неизвестные постоянные. Эти соотношения позволят вычислить значения некоторых введенных ранее неизвестных постоянных. После того, как значение ${{n}_{0}}$ превзойдет наибольший целый корень $\det {{B}_{0}}(n)$, новые неизвестные постоянные возникать не будут и все дальнейшие $u({{n}_{0}})$ будут вычисляться по ранее вычисленным $u({{n}_{0}} - 1),u({{n}_{0}} - 2), \ldots ,u({v})$. Неизвестные постоянные, оставшиеся после того, как ${{n}_{0}}$ превзойдет максимальный целый корень $\det {{B}_{0}}(n)$, объявляются произвольными постоянными, входящими в лораново решение дифференциальной системы (1). Произвольные постоянные обозначим через ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{\tau }}$, где $\tau \leqslant mr$.

При работе с усеченными системами используются литералы для представления незаданных коэффициентов. В алгоритм вносятся следующие дополнения, схожие с теми, которые использовались в алгоритме поиска усеченных лорановых решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде усеченных рядов ([4, 5]). Согласно преобразованию (4), элементы ${{B}_{{ - s,i,j}}}(n)$ матричных коэффициентов ${{B}_{{ - s}}}(n)$ индуцированной системы (5) определяются следующим образом

В алгоритм вносим следующие модификации:

1. В ходе решения системы (7) могут возникнуть соотношения, содержащие литералы. В такие соотношения неизвестные постоянные входят линейно с коэффициентами, которые являются полиномами от литералов. Для инвариантности результата необходимо, чтобы при вычислении по соотношению какой-то неизвестной постоянной не происходило деление на зависящий от литералов полином. Если этого невозможно избежать (в соотношении все неизвестные постоянные имеют коэффициенты, содержащие литералы), то все неизвестные постоянные, входящие в это соотношение, получают значение ноль, поскольку в этом случае это значение является единственным инвариантным относительно всех возможных значений литералов, которые определяют все возможные продолжения исходной системы (1).

2. Вычисления с помощью индуцированной системы продолжаются до максимального целого корня $\det {{B}_{0}}(n)$ и далее, пока хотя бы одна компонента ${{y}_{i}}(x)$ решения $y(x)$ имеет коэффициент ${{u}_{i}}({{n}_{0}})$, не содержащий литералы, с учетом возможности приравнивания нулю различных комбинаций произвольных постоянных ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{\tau }}$, не приводящих к обращению в ноль всех $u({v}), \ldots ,u({{n}_{0}} - 1)$.

3. После того, как вычисления завершены, происходит формирование набора $\bar {W}$ вектор-столбцов, представляющего множество W усеченных лорановых решений. Для этого приравниваются нулю произвольные постоянные ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{\tau }}$ всеми возможными вариантами, не приводящими к обращению в ноль всех вычисленных $u(n)$. Это приводит к различным сочетаниям валюаций компонент решения $y(x)$. Для каждого такого сочетания валюаций в каждой компоненте ${{y}_{i}}(x)$ берутся коэффициенты ${{u}_{i}}({v})$, ${{u}_{i}}({v} + 1),\; \ldots $ вплоть до ${{u}_{i}}({{q}_{i}})$ такого, что ${{u}_{i}}({{q}_{i}} + 1)$ – первый коэффициент, содержащий литералы.

4.4. Корректность алгоритма

Предложение 1. Представленный алгоритм заканчивает свою работу.

Доказательство: Рассмотрим целое число ${{n}_{0}}$, превышающее ${{r}_{{\max }}}$ – максимальный целый корень $\det {{B}_{0}}(n)$. Это значит, что $u({{n}_{0}})$ вычисляется по формуле (6) и каждая его компонента является линейной комбинацией произвольных постоянных ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{\tau }}$ с коэффициентами-полиномами (возможно нулевой степени) от литералов. Пусть ${{n}_{0}}$ таково, что ${{n}_{0}} - {{r}_{{max}}} > d$, где $d$ – максимальная степень усечения среди всех элементов матричных коэффициентов системы (1). Предположим, при таком ${{n}_{0}}$ для некоторой компоненты ${{u}_{i}}({{n}_{0}})$ хотя бы для одной произвольной постоянной ${{c}_{k}}$ ее коэффициент b не зависит от литералов. В построенных алгоритмом $u({{n}_{0}} - 1),u({{n}_{0}} - 2), \ldots ,u({v})$ положим нулю все ${{c}_{j}}$, кроме ${{c}_{k}}$. Полученные таким образом $\tilde {u}({{n}_{0}} - 1),\tilde {u}({{n}_{0}} - 2), \ldots ,\tilde {u}({v})$, удовлетворяют индуцированной системе (5) для $n = {{{v}}_{k}}$, ${{{v}}_{k}} + 1, \ldots ,{{n}_{0}} - 1$, где ${{{v}}_{k}}$ – валюация усеченного лоранова решения $\tilde {y}(x)$ с коэффициентами $\tilde {u}(n)$, полученными таким вариантом приравнивания нулю части произвольных постоянных (${v} \leqslant {{{v}}_{k}} \leqslant {{r}_{{{\text{max}}}}}$, $\tilde {u}({{{v}}_{k}}) \ne 0,$ $\tilde {u}({{{v}}_{k}} - 1)$ = 0, $\tilde {u}({{{v}}_{k}} - 2) = 0, \ldots ,\tilde {u}({v})$ = 0). Тогда

Индуцированная система (5) строится с помощью преобразования (4). С учетом того, что все элементы матричных коэффициентов системы (1) являются усеченными рядами со степенью усечения не превышающей d, и того, что n₀ – ${{{v}}_{k}} \geqslant {{n}_{0}} - {{r}_{{{\text{max}}}}}$ > d, получаем, что все элементы ${{B}_{{ - {{n}_{0}} + {{{v}}_{k}}}}}({{n}_{0}})$ зависят от литералов, которые обозначают незаданные коэффициенты членов степени ${{n}_{0}} - {{{v}}_{k}}$ рядов в системе (1), более того, слагаемые ${{B}_{{ - 1}}}({{n}_{0}})\tilde {u}({{n}_{0}} - 1),$ ${{B}_{{ - 2}}}({{n}_{0}})\tilde {u}({{n}_{0}} - 2)$, ..., ${{B}_{{ - {{n}_{0}} + {{{v}}_{k}} - 1}}}({{n}_{0}})\tilde {u}({{{v}}_{k}} - 1)$ именно этих литералов не содержат (см. (8)). Поскольку усеченное решение $\tilde {y}(x)$ имеет валюацию ${{{v}}_{k}}$, то хотя бы одна из компонент $\tilde {u}({{{v}}_{k}})$ – ненулевая. Тогда из (9) следует, что все компоненты $\tilde {u}({{n}_{0}})$ содержат литералы. В том числе ${{\tilde {u}}_{i}}({{n}_{0}}) = b{\kern 1pt} {{c}_{k}}$ содержит литералы, что противоречит предположению.  $\square $

Теперь покажем, что результат работы алгоритма соответствует постановке задачи.

Предложение 2. Представленный алгоритм строит усеченные лорановы решения максимально возможной степени.

Доказательство: В [1] показано, что алгоритм построения усеченных лорановых решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде алгоритмически заданных рядов находит усечения всех лорановых решений заданной системы с такими коэффициентами. Новый алгоритм использует в своей работе этот же алгоритм, переходя от системы с коэффициентами в виде усеченных рядов к системе с алгоритмически заданными коэффициентами, где алгоритмы вместо незаданных коэффициентов возвращают соответствующие им литералы. Внесенные модификации исключают часть решений, которые не являются инвариантными по построению (см. модификация 1), продолжение вычислений таких решений зависит от того, равен ли нулю коэффициент при неизвестной постоянной. Таким образом оставшиеся решения являются инвариантными усеченными лорановыми решениями. Максимальность степени усечений обеспечена тем (см. модификации 2 и 3), что по построению в каждом вектор-столбце в каждой компоненте вычисленный коэффициент, имеющий степень, превышающую степень усечения, является полиномом, содержащим литералы. Это означает, что существуют разные продолжения исходной системы, соответствующие разным значениям литералов, такие, что значения этого полинома будут также различны, т.е. этот коэффициент не инвариантен.                                $\square $

Представленный алгоритм имеет некоторую вариативность в своей работе. При вычислении с помощью индуцированной системы в возникающей системе (7) выбор тех неизвестных, которые будут вычислены, произволен. Различный выбор приводит к различным вариантам вычислений коэффициентов решения. Возникает вопрос, возможно ли, что различные варианты вычислений приведут к построению существенно отличающихся усеченных лорановых решений – например, один вариант даст некоторое решение с большей степенью усечения в одной из компонент, чем степень усечения в этой компоненте в любом из решений, найденных при ином варианте вычисления (в какой-то компоненте, возможно, будет обратная ситуация – степень усечения любого решения, построенного первым вариантом вычислений, будет меньше, чем степень усечения компоненты некоторого решения, построенного вторым вариантом).

Предложение 3. Пусть ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$ – два набора усеченных лорановых решений одной и той же системы вида (1), найденные представленным алгоритмом с двумя различными вариантами вычислений. Тогда ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$ определяют одно и то же множество $W$ усеченных лорановых решений системы (1).

Доказательство: Рассмотрим систему ${{S}_{p}}$ с полиномиальными коэффициентами, полученную из системы $S$ путем принятия равным 0 всех коэффициентов рядов при степенях выше степени усечения ряда в коэффициентах системы. Такая система является частным случаем системы с алгоритмически заданными коэффициентами. Соответственно, с помощью алгоритма поиска усеченных лорановых решений систем с алгоритмически заданными коэффициентами возможно построить усеченные лорановы решения системы ${{S}_{p}}$ со степенью усечения равной максимуму степеней усечения в компонентах вектор-столбцов в ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$. Обозначим соответствующее множество усеченных решений ${{S}_{p}}$ как W_p. Система ${{S}_{p}}$ по построению является продолжением системы $S$. Поскольку, согласно предложению 2, как множество ${{W}_{1}}$, так и множество ${{W}_{2}}$ содержат усеченные лорановы решения, то любое усеченное решение как из ${{W}_{1}}$, так и из ${{W}_{2}}$ имеет продолжение в W_p и оба множества по построению могут рассматриваться как результат исключения из W_p тех решений, которые не являются инвариантными относительно продолжений системы $S$, т.е. их вычисление определяется конкретными значениями литералов системы $S$, которые они получили в системе ${{S}_{p}}$. Докажем утверждение предложения от противного. Пусть некоторое усеченное решение $s$ имеется в ${{W}_{1}}$, но отсутствует в ${{W}_{2}}$. Это означает, что при вычислении по варианту, результатом которого является ${{W}_{2}}$, решение $s$ было исключено из W_p. Это могло произойти только, если согласно этому варианту вычислений, было определено, что $s$ неинвариантно зависит от литералов. Но это решение содержится в ${{W}_{1}}$, и поэтому от литералов не зависит. Противоречие.               $\square $

Наборы ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$ определяют одно и то же множество усеченных решений W, но задающие их вектор-столбцы могут быть различны с точностью до произвольных постоянных. Наборы комбинаций валюаций компонент в вектор-столбцах, а значит и число вектор-столбцов, в ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$ совпадают. Также совпадают степени усечений в одинаковых компонентах вектор-столбцов с одинаковыми комбинациями валюаций компонент в ${{\bar {W}}_{1}}$ и ${{\bar {W}}_{2}}$. Примером этого являются наборы, представленные на рис. 2, 4, – решения рассмотренной в разд. 3 системы.

5.1. Аргументы и результат работы процедуры

Основные аргументы процедуры:

• Первый аргумент – система уравнений вида (1). Применение ${{\theta }^{k}}$ к вектор-столбцу неизвестных $y(x)$ записывается как theta(y(x),x,k). Матричные коэффициенты системы записываются с помощью стандартной структуры Matrix в среде Maple. Элементы матриц задаются в виде выражений $a(x) + O({{x}^{{t + 1}}})$, где $a(x)$ – полином степени не выше $t$ над полем алгебраических чисел, то есть аналогично математической записи. Умножение матрицы на столбец задается с помощью точки, как это принято в среде Maple.

• Второй аргумент – имя, обозначающее вектор-столбец неизвестных, например, y(x).

Результат работы процедуры LaurentSolution при ее применении к системе уравнений – множество усеченных лорановых решений, представленное в виде списка вектор-столбцов из набора $\bar {W}$, описанного в разд. 3. Каждый вектор-столбец представлен списком компонент. Каждый элемент этого списка имеет вид

5.2. Примеры построения лорановых решений

Для использования модифицированной процедуры LaurentSolution, система, представленная на рис. 1, записывается в среде Maple следующим образом:

> s1 := Matrix(3,3,[[O(x^3),O(x^3),O(x^3)],

[O(x^3),-1+x+x^2+O(x^3),O(x^3)],

[O(x^3),-1+x+x^2+O(x^3),

O(x^3)]]).theta(y(x),x,2)

+ Matrix(3,3,[[1+x+O(x^2),O(x^3),O(x^3)],

[O(x^3),2-4*x-4*x^2+O(x^3),O(x^3)],

[1+x+O(x^2),2-4*x-4*x^2+O(x^3),

1 + O(x^5)]]).theta(y(x),x,1)

+Matrix(3,3,[[-1+1/2*x^2+O(x^3),

O(x^3),O(x^3)],[O(x^3),O(x^6),

O(x^3)],[-1-x+1/2*x^2+O(x^3),

-1+O(x^4), O(x^3)]]).y(x):

Применим процедуру к этой системе:

> LaurentSolution(s1, y(x));

Результат вызова процедуры соответствует набору на рис. 2.

Рассмотрим следующую систему ([8], Ex.8):

Эта система записывается в среде Maple следующим образом:

> s2 := Matrix(2,2,[[1+O(x^5),O(x^5)],

[O(x^5),1-x+O(x^5)]]).theta(y(x),x,1)

+ Matrix(2,2,[[O(x^5),-1+O(x^5)],

[-x+2*x^2+2*x^3+2*x^4+O(x^5),

-2+4*x+O(x^5)]]).y(x):

Применим процедуру к этой системе:

> LaurentSolution(s2, y(x));

Алгоритм из работы [8] находит, что эта система имеет следующие усеченные лорановы решения

Видим, что новый алгоритм подтверждает этот результат и улучшает его – во-первых, в первом векторе из построенного множества степень усечения равна 4, а не 3, т.е. подтверждено, что в обеих компонентах решения нулевой коэффициент при степени ${{x}^{4}}$ будет при любом продолжении исходной системы, и, во-вторых, также дополнительно построены усечения до степени 6 для случая, когда валюации компонент решения равны 2.

Рассмотрим еще одну систему:

Эта система записывается в среде Maple следующим образом:

> s3 := Matrix(2,2,[[x+O(x^3),O(x^3)],

[1+O(x^3),x+O(x^3)]]).theta(y(x),x,1)

+Matrix(2,2,[[O(x^3),O(x^3)],

[O(x^3),3*x+O(x^3)]]).y(x):

Применим процедуру к этой системе:

> LaurentSolution(s3, y(x));

$FAIL$

Такой результат означает, что предложенный алгоритм не может найти усеченные лорановы решения этой системы. В данном случае, ведущая матрица индуцированной рекуррентной системы