Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 10, стр. 984-990

Цифровые частотно-избирательные фильтры на основе спектров атомарных функций

К. А. Будунова 1*, В. Ф. Кравченко 123**, В. И. Пустовойт 23

1 Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
105005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, Российская Федерация

3 Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН
117342 Москва, ул. Бутлерова, 15, Российская Федерация

* E-mail: 1917schw@mail.ru
** E-mail: kvf-ok@mail.ru

Поступила в редакцию 22.01.2019
После доработки 10.02.2019
Принята к публикации 15.02.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Впервые предложен метод синтеза цифровых фильтров нижних частот (ФНЧ) на основе спектров атомарных функций ${{{\text{h}}}_{a}}(x).$ Финитная функция ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ является решением задачи о разложении единицы, что позволяет рассматривать сумму ее $S$ сдвигов ${{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x)$ как идеальную частотную характеристику ФНЧ. Методом усечения спектра функции ${{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x)$ получены цифровые фильтры с быстро затухающими коэффициентами. Построены формулы оценки отклонений частотных характеристик в полосах пропускания и подавления. Рассмотрено применение новых фильтров в задачах многоскоростной обработки сигналов.

ВВЕДЕНИЕ

Цифровые частотно-избирательные фильтры широко используются в обработке сигналов. Наиболее известными методами синтеза цифровых фильтров нижних частот (ФНЧ) с конечной импульсной характеристикой (КИХ) являются методы оконного взвешивания, частотной выборки и оптимизационный [1]. Главными достоинствами методов оптимизации и частотной выборки является их гибкость, проявляющаяся в возможности синтеза ФНЧ с произвольной шириной переходной полосы частот и сколь угодно малыми отклонениями приближенной частотной характеристики (ЧХ) от идеальной [2]. В то же время разработка данных фильтров требует сравнительно большого объема вычислений.

Наиболее простым считается метод оконного синтеза, заключающийся в аппроксимации идеального ФНЧ, имеющего ЧХ

(1)
$H(j\omega ) = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,\left| \omega \right| \leqslant {{\omega }_{0}}, \hfill \\ 0,\,\,\,\,\left| \omega \right|{\text{ > }}{{\omega }_{0}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где ${{\omega }_{0}}$ – частота среза. Синтез осуществляется путем усечения идеальной импульсной характеристики различными окнами. При этом оказывается невозможным получить фильтр, имеющий произвольную ширину переходной полосы. Вторым существенным недостатком метода является отсутствие затухания отклонений в полосах пропускания и подавления при применении конкретного окна с ростом числа коэффициентов фильтра [2].

Предлагаемый в данной работе новый метод синтеза КИХ-фильтров низких частот основан на замене идеальной характеристики (1) финитными бесконечно дифференцируемыми функциями – суммами $S$ сдвигов атомарных функций (АФ) ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ [36]. В случае $S = 1$ новая идеальная ЧХ имеет вид

(2)
$H(j\omega ) = {{{\text{h}}}_{a}}(C\omega ).$

Параметр $a$ в (2) позволяет задавать требуемые значения граничных частот фильтра. Вследствие бесконечной дифференцируемости функции ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ ее коэффициенты Фурье быстро затухают. Эффективные КИХ-фильтры на основе (2) могут быть получены простым усечением импульсной характеристики прямоугольным окном. При этом отклонение приближенной ЧХ от идеальной (2) с ростом числа коэффициентов затухает быстрее, чем ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{N}^{r}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}^{r}}}},$ где $N$ – число коэффициентов фильтра, $r$ – любое положительное число [7].

1. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ И РАЗЛОЖЕНИЕ КРАВЧЕНКО–КОТЕЛЬНИКОВА

Функция ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ [36] определяется как финитное решение функционально-дифференциального уравнения

$y'(x) = \frac{{{{a}^{2}}}}{2}\left( {y(ax + 1) - y(ax - 1)} \right),\,\,\,\,a > 1,$
с условием нормировки
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {y(x)dx = 1.} $
Функция ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ может быть представлена интегралом Фурье
${{{\text{h}}}_{a}}(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{F}_{a}}(t)\exp (ixt)dt,} $
где ${{F}_{a}}(t)$ – спектр ${{{\text{h}}}_{a}}(x),$

(3)
${{F}_{a}}(t) = \prod\limits_{k = 1}^\infty {\operatorname{sinc} \left( {\frac{t}{{{{a}^{k}}}}} \right)} .$

Носителем финитной функции ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ является отрезок $\left[ {\frac{{ - 1}}{{a - 1}},\frac{1}{{a - 1}}} \right],$

(4)
${{{\text{h}}}_{a}}(x) \equiv 0,\,\,\,\,{{\left| x \right| > 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| x \right| > 1} {(a - 1)}}} \right. \kern-0em} {(a - 1)}}.$

Атомарная функция ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ при $a > 2$ на отрезке $\left[ { - \frac{{a - 2}}{{a(a - 1)}},\frac{{a - 2}}{{a(a - 1)}}} \right]$ равна константе

(5)
${{{\text{h}}}_{a}}(x) \equiv const = \frac{a}{2},\,\,\,\,\left| x \right| \leqslant \frac{{a - 2}}{{a(a - 1)}}.$

Функция ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ – решение задачи о разложении единицы:

(6)
$\frac{2}{a}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{h}_{a}}\left( {x + \frac{2}{a}k} \right)} \equiv 1.$

Свойства (4) и (5) позволяют использовать функции ${{F}_{a}}(t)$ и ${{h}_{a}}(x)$ в качестве соответственно импульсной и частотной характеристик ФНЧ. Пусть функция $f(t)$ имеет финитный спектр $F(\omega ),$ $\operatorname{supp} {\text{ }}F(\omega ) = \left[ { - \Omega ,\Omega } \right].$ Подвергнем $f(t)$ дискретизации с шагом

$\Delta \leqslant \frac{\pi }{\Omega }\frac{{a - 2}}{{a - 1}},$
где $a > 2.$ Полученный дискретный сигнал описывается выражением

(7)
$\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {f(k\Delta )\delta (t - k\Delta )} .$

Результатом воздействия на сигнал (7) фильтра с частотной характеристикой

${{{\text{h}}}_{a}}\left( {\frac{{a - 2}}{{\Omega a(a - 1)}}\omega } \right)$
является разложение функции$f(t)$ в ряд Кравченко–Котельникова [39]:

(8)
$f(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {f(k\Delta ){{F}_{a}}\left( {\frac{{a\pi }}{\Delta }(t - k\Delta )} \right)} .$

Ошибка усечения ряда (8) быстро затухает с ростом числа слагаемых усеченного ряда, причем наилучший результат обеспечивается при выборе параметра $a$ близким к 2 [7]. При $a \to \infty $ ряд (8) совпадает с рядом Уиттекера–Котельникова–Шеннона (УКШ), погрешность усечения которого затухает со скоростью ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-0em} N}.$

2. КИХ-ФИЛЬТРЫ НИЖНИХ ЧАСТОТ НА ОСНОВЕ СПЕКТРОВ АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$

2.1. Построение КИХ-фильтров, удовлетворяющих заданным требованиям спецификации

Воспользуемся свойствами (3), (4) АФ ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ и рассмотрим ее в качестве идеальной частотной характеристики ФНЧ. Построим фильтр, удовлетворяющий требованиям спецификации I:

Полоса пропускания $0 \leqslant \omega \leqslant {{\omega }_{0}}.$

Полоса подавления ${{\omega }_{1}} \leqslant \omega \leqslant \pi .$

Отклонение в полосе пропускания и подавления $\delta $.

Граничные частоты полос пропускания и подавления фильтра с частотной характеристикой вида ${{{\text{h}}}_{a}}(C\omega )$ ($C$ – произвольная постоянная) удовлетворяют соотношению

$\frac{{{{\omega }_{0}}}}{{{{\omega }_{1}}}} = \frac{{a - 2}}{a}.$

Отсюда следует, что параметр $a$ должен быть задан формулой

$a = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {(1 - {{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} {{{\omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{1}}}})}}} \right. \kern-0em} {(1 - {{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} {{{\omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{1}}}})}}.$

Преобразовывая аргумент функции ${{{\text{h}}}_{a}}(\omega )$

(9)
${{{\text{h}}}_{a}}\left( {{{\omega }_{1}}\frac{{{{\omega }_{1}} - {{\omega }_{0}}}}{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}\omega } \right),$

получим частотную характеристику, имеющую заданные спецификацией полосы пропускания и подавления. Коэффициенты импульсной характеристики соответствующего фильтра имеют вид

(10)
$h(k) = \frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2\pi }}{{F}_{a}}(k(a - 1){{\omega }_{1}}),\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

При реализации вычислительных методов с использованием АФ ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ обычно используют аппроксимации

${{F}_{a}}(t) \approx {{P}_{K}}(a,t),$
$\begin{gathered} {{{\text{h}}}_{a}}(x) \approx (a - 1) \times \\ \times \,\,\left( {\frac{1}{2} + \sum\limits_{m = 1}^M {{{P}_{K}}(a,(a - 1)\pi k)\cos \left( {(a - 1)\pi kx} \right)} } \right), \\ \end{gathered} $
где

(11)
${{P}_{K}}(a,t) = \prod\limits_{k = 1}^K {\operatorname{sinc} \left( {\frac{t}{{{{a}^{k}}}}} \right)} .$

Заменим в (10) функцию ${{F}_{a}}(t)$ конечным произведением (11) и получим

(12)
$h(k) = \frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2\pi }}{{P}_{K}}(a,k(a - 1){{\omega }_{1}}),\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Граничные частоты полос пропускания и подавления фильтра с ИХ (12) определяются следующим образом:

${{\tilde {\omega }}_{0}} = {{\omega }_{0}}\left( {1 + \frac{{{{a}^{{ - K + 1}}}}}{{a - 2}}} \right),\,\,\,\,{{\tilde {\omega }}_{1}} = {{\omega }_{1}}\left( {1 - \frac{1}{{{{a}^{K}}}}} \right).$

Коэффициенты (12) затухают быстрее коэффициентов идеального ФНЧ. Данное свойство позволяет получить КИХ-фильтр с хорошими характеристиками путем усечения импульсной характеристики (12) прямоугольным окном (рис. 1а, 1б)

(13)
$h(k) = \frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2\pi }}{{P}_{K}}(a,k(a - 1){{\omega }_{1}}),\,\,\,\,k = - N,...,N.$
Рис. 1.

Частотная характеристика фильтра с частотой среза ${{\omega }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 5}} \right. \kern-0em} 5},$ полученного усечением идеальной импульсной характеристики прямоугольным окном (а) при N = 50, и частотные характеристики фильтров, полученные при ${{\omega }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 5}} \right. \kern-0em} 5},$ ${{\omega }_{1}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 3}} \right. \kern-0em} 3},$ $N = 50$ по формулам (13) (б) и (23) для $S = 2$ (в) и $S = 3$ (г).

Отклонение $\delta $ ЧХ такого фильтра от идеальной (9) в полосах пропускания и подавления подчиняется неравенству

$\delta \leqslant \mathop {\max }\limits_{\omega \in [0,\pi ]} \left| {\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{\pi }\sum\limits_{k > N}^{ + \infty } {{{P}_{K}}(a,(a - 1){{\omega }_{1}}k)\cos } (k\omega )} \right|.$

Используя результаты [7], легко получить оценку величины $\delta $

(14)
$\begin{gathered} \delta \leqslant \frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2\pi }}{{a}^{{(\eta - 1)\eta /2}}}{{(a - 1)}^{{1 - \eta }}} \times \\ \times \,\,{{\omega }_{1}}^{{1 - \eta }}{{(N + 1)}^{{2 - \eta }}}\left( {\frac{1}{{\eta - 2}} + {{{\left( {N + 1} \right)}}^{{ - 1}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где

При этом числа $K$ и $N$, определяющие соответственно число сомножителей частичного произведения ${{P}_{K}}(a,t)$ в (13) и длину фильтра, должны удовлетворять условиям

$K \geqslant {{\log }_{a}}\left( {\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{2}(N + 1)} \right),\,\,\,\,N > \frac{{2a}}{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}} - 1.$

2.2. Частотные характеристики на основе сумм сдвигов функций ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$

Отклонение (14) быстро стремится к нулю при уменьшении параметра $a$. Воспользуемся этим свойством для построения эффективных фильтров. Будем рассматривать функции вида

(15)
$\begin{gathered} {{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x) = \frac{1}{S}\sum\limits_{k = 0}^{{S \mathord{\left/ {\vphantom {S 2}} \right. \kern-0em} 2}} {\left( {{{h}_{a}}\left( {x + \frac{{2k + 1}}{a}} \right) + {{{\text{h}}}_{a}}\left( {x - \frac{{2k + 1}}{a}} \right)} \right)} , \\ S = 2n{\text{,}}\,\,\,\,n \in \mathbb{N}, \\ \end{gathered} $
(16)
$\begin{gathered} {{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x) = \frac{1}{S}\sum\limits_{k = {{ - (S - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - (S - 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}^{{{(S - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S - 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}} {{{{\text{h}}}_{a}}\left( {x + \frac{{2k}}{a}} \right)} , \\ S = 2n - 1,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}, \\ \end{gathered} $
представляющие собой соответственно сумму четного и нечетного чисел сдвигов АФ ${{{\text{h}}}_{a}}(x).$ Построенные функции бесконечно дифференцируемы и финитны:

(17)
$\operatorname{supp} \,{{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x) = \left[ { - \frac{{S(a - 1) + 1}}{{a(a - 1)}},\frac{{S(a - 1) + 1}}{{a(a - 1)}}} \right].$

Суммы (15), (16) будут являться частотной характеристикой ФНЧ в случае, когда параметр $a$ удовлетворяет неравенству

(18)
$a > {{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} S}} \right. \kern-0em} S}.$

Последнее неравенство позволяет уменьшить параметр $a$, не расширяя переходной полосы фильтра, и получить малые значения отклонений. При выполнении (18) имеет место свойство

(19)
${{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x) \equiv \frac{a}{2},\,\,\,\,\left| x \right| < \frac{{S(a - 1) - 1}}{{a(a - 1)}}.$

Спектр ${{H}_{{S,a}}}(\omega )$ функции ${{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x)$ задается выражением

(20)
${{H}_{{S,a}}}(\omega ) = \frac{{\sin \left( {S{\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}}{{S\sin \left( {{\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}}{{F}_{a}}(\omega ).$

Функции ${{H}_{{S,a}}}(\omega )$ могут выступать в качестве базисных в обобщенном разложении УКШ. Формула восстановления сигнала $f(t)$ с финитным на отрезке $[ - \Omega ,\Omega ]$ спектром

(21)
$f(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {f(k\Delta ){{H}_{{S,a}}}\left( {\frac{{a\pi }}{{S\Delta }}(t - k\Delta )} \right)} $

справедлива в случае, когда шаг $\Delta $ и параметр $a$ удовлетворяют неравенствам

$a > \frac{{S + 1}}{S},\,\,\,\,{\text{0}} < \Delta \leqslant \frac{\pi }{\Omega }\frac{{S(a - 1) - 1}}{{S(a - 1)}}.$

Построим на основе функций ${{{\text{h}}}_{{S,a}}}(x)$ цифровой КИХ-фильтр с заданными граничными частотами ${{\omega }_{0}}$ и ${{\omega }_{1}}$ полос пропускания и подавления. В соответствии с (17), (19) параметр $a$ определяется выражением

(22)
$a = \frac{{(S - 1)\left( {1 - {{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} {{{\omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{1}}}}} \right) + 2}}{{S(1 - {{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} {{{\omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{1}}}})}}.$

Заменяя бесконечное произведение ${{F}_{a}}(t)$ в формуле (20) конечным

$H_{{S,a}}^{ * }(t) = \frac{{\sin \left( {{{St} \mathord{\left/ {\vphantom {{St} a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}}{{S\sin \left( {{t \mathord{\left/ {\vphantom {t a}} \right. \kern-0em} a}} \right)}}{{P}_{K}}(a,t)$

и учитывая (19), получим коэффициенты импульсной характеристики искомого КИХ-фильтра

(23)
$\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2\pi }}H_{{S,a}}^{ * }\left( {\frac{{a({{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}})}}{{2S}}k} \right),\,\,\,\,k = - N,...,N.$

Отклонение $\delta $ частотной характеристики в полосах пропускания и подавления можно оценить, используя неравенство

(24)
$\begin{gathered} \delta \leqslant \frac{1}{\pi }{{a}^{{(\eta - 1){{(\eta - 2)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\eta - 2)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{\left( {{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}} \right)}^{{2 - \eta }}}{{\left( {\frac{{N + 1}}{{2S}}} \right)}^{{2 - \eta }}} \times \\ \times \,\,\left( {\frac{1}{{\eta - 2}} + {{{\left( {N + 1} \right)}}^{{ - 1}}}} \right), \\ \end{gathered} $

где

$\eta \equiv \eta (N) = \left\{ \begin{gathered} \left[ {{{{\log }}_{a}}\left( {{{a}^{2}}\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2S}}(N + 1)} \right)} \right],\,\,{{\log }_{a}}\left( {\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2S}}(N\, + \,1)} \right)\, \notin \,\mathbb{N}, \hfill \\ {{\log }_{a}}\left( {a\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2S}}(N + 1)} \right),\,\,{{\log }_{a}}\left( {\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2S}}(N\, + \,1)} \right) \in \mathbb{N}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

На числа $K$ и $N$ налагаются следующие ограничения:

$K \geqslant {{\log }_{a}}\left( {\frac{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}}{{2S}}(N + 1)} \right),\,\,\,\,N > \frac{{2aS}}{{{{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}}}} - 1.$

Вследствие уменьшения параметра $a$ с увеличением числа $S$ оценка (24) для фильтра (23) затухает быстрее оценки (14):

S Оценка (24)
1 5.06 × 10–4
2 1.53 × 10–4
3    6.9 × 10–5
4 4.07 × 10–5

при ω0 = π/5, ω1 = π/2, N = 60. Частотные характеристики КИХ-фильтров (23) представлены на рис. 1. Полученные ФНЧ легко могут быть преобразованы в фильтры верхних частот, а также режекторные и полосовые фильтры.

3. ФИЛЬТРАЦИЯ НИЖНИХ ЧАСТОТ В ДЕЦИМАТОРАХ И ИНТЕРПОЛЯТОРАХ ПРИ МНОГОСКОРОСТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

Методы многоскоростной обработки сигналов (МОС) находят применение в радиотехнике, телекоммуникационных системах и биомедицине. Главные операции МОС – интерполяция и децимация – осуществляют соответственно увеличение или уменьшение частоты дискретизации преобразуемого сигнала. Возможность изменения частоты дискретизации сигналов в процессе обработки позволяет снизить требования к вычислительной производительности цифровых систем [2, 10].

3.1. Интерполяция

Рассмотрим ФНЧ (13), (23) в задаче интерполяции низкочастотных сигналов. Общая структурная схема фильтра-интерполятора приведена на рис. 2. Будем предполагать, что шаг дискретизации $\Delta $ исходного сигнала $x(n\Delta )$ удовлетворяет неравенству

$\Delta \leqslant \frac{\pi }{\Omega }\frac{{S(a - 1) - 1}}{{S(a - 1)}}.$
Рис. 2.

Фильтр-интерполятор.

В этом случае спектр $X(j\omega )$ сигнала $x(n\Delta )$ не имеет частотных составляющих при $\left| {\omega - \pi } \right| < \frac{\pi }{{S(a - 1)}}$ (рис. 3а). Сигнал подается на экспандер, добавляющий $L - 1$ нулевых отсчетов между каждой парой отсчетов сигнала $x(n\Delta )$. Положим ${{\Delta }_{1}} = {\Delta \mathord{\left/ {\vphantom {\Delta L}} \right. \kern-0em} L}.$ Последовательность $x{\text{*}}(m{{\Delta }_{1}})$ на выходе экспандера определяется по формуле

$x{\text{*}}(m{{\Delta }_{1}}) = \left\{ \begin{gathered} x(n\Delta ),\,\,\,\,m = 0, \pm L, \pm 2L,... \hfill \\ 0,\,\,\,\,{\text{при других }}m. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Рис. 3.

Спектры сигналов: $x(k\Delta )$ (а), $x{\text{*}}(m{{\Delta }_{1}})$ (б) и $y(m{{\Delta }_{1}})$ (в). Штриховой линией показана ЧХ (25).

Ее спектр $X{\text{*}}(j\omega )$ представляет собой сжатые в $L$ раз копии спектра сигнала $x(n\Delta )$ (рис. 3б). Далее сигнал $x{\text{*}}(m{{\Delta }_{1}})$ проходит через ФНЧ, идеальная ЧХ которого имеет вид

(25)
$H(j\omega ) = {{{\text{h}}}_{{S,a}}}\left( {\frac{{SL}}{{a\pi }}\omega } \right),$

формирующий на выходе последовательность $y(m{{\Delta }_{1}})$ с требуемой частотой дискретизации (рис. 3в). Во временной области отсчеты сигнала $y(m{{\Delta }_{1}})$ представляют собой дискретную свертку

$y(m{{\Delta }_{1}}) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x{\text{*}}(k{{\Delta }_{1}})} {{H}_{{S,a}}}\left( {\frac{{a\pi (m - k)}}{{LS}}} \right).$

При практической реализации системы МОС наиболее часто используются фильтры с конечной импульсной характеристикой. Будем использовать КИХ‑фильтр (23). Выходная последовательность $y(m{{\Delta }_{1}})$ в этом случае вычисляется по формуле

(26)
$y(m{{\Delta }_{1}}) = \sum\limits_{k = - N}^N {x{\text{*}}(k{{\Delta }_{1}})} H_{{S,a}}^{ * }\left( {\frac{{a\pi (m - k)}}{{LS}}} \right).$

3.2. Децимация

Задача децимации цифрового сигнала $x(n\Delta )$ предполагает его прореживание в $M$ раз. Структурная схема фильтра-дециматора представлена на рис. 4. Чтобы отбрасывание лишних отсчетов не приводило к неразличимости сигнала, входную последовательность $x(n\Delta )$ подвергают низкочастотной фильтрации. Полученный сигнал $y(n\Delta )$ подается на вход компрессора, удаляющего лишние отсчеты. Выходная последовательность $y(m{{\Delta }_{1}})$ с шагом дискретизации ${{\Delta }_{1}} = M\Delta $ в общем случае является сверткой вида

$y(m{{\Delta }_{1}}) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {x((Mm - k)\Delta )h(k)} .$
Рис. 4.

Фильтр-дециматор.

Цифровой ФНЧ дециматора должен удовлетворять требованиям спецификации II [2]:

Полоса пропускания $0 \leqslant \omega \leqslant {{\omega }_{p}}.$

Полоса подавления ${{{{\omega }_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{s}}} {(2M)}}} \right. \kern-0em} {(2M)}} \leqslant \omega \leqslant {{{{\omega }_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{s}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$

Неравномерность в полосе пропускания ${{\delta }_{p}}.$

Неравномерность в полосе подавления ${{\delta }_{s}}.$

Коэффициенты фильтра (23), имеющего указанные спецификацией II полосы пропускания и подавления, определяются формулой

$\begin{gathered} h(k) = \frac{{{{\omega }_{p}} + {{{{\omega }_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{s}}} {\left( {2M} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2M} \right)}}}}{{2\pi }}H_{{S,a}}^{ * }\left( {\frac{{a\left( {{{\omega }_{p}} + {{{{\omega }_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{s}}} {\left( {2M} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2M} \right)}}} \right)}}{{2S}}k} \right), \\ k = - N,...,N, \\ \end{gathered} $
где

$a = \frac{{S - 1}}{S} + \frac{2}{{S(1 + 2M{{{{\omega }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{p}}} {{{\omega }_{s}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{s}}}})}}.$

Заданные значения отклонений ${{\delta }_{s}}$ и ${{\delta }_{p}}$ можно получить путем изменения длины фильтра, используя оценку (24).

3.3. Численный эксперимент

Рассмотрим применение фильтров на основе функций ${{F}_{a}}(t)$ в задаче повышения частоты дискретизации в $L$ раз. Исходную последовательность $x(k\Delta )$ определим выражением

$x(k\Delta ) = \left\{ \begin{gathered} 4(sin{{(k\Delta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(k\Delta )} {{{{(k\Delta )}}^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(k\Delta )}}^{3}}}} - \cos {{(k\Delta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(k\Delta )} {{{{(k\Delta )}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(k\Delta )}}^{2}}}}), \hfill \\ \left| k \right| > 0, \hfill \\ {4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3},\,\,\,\,k = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Произведем интерполяцию с коэффициентом $L = 2,3,5$ последовательности $x(k\Delta )$ полифазным методом [9]. Будем рассматривать новые фильтры (13) (${{h}_{1}}$) и (23) при $S = 2,3,4$ (${{h}_{2}}$, ${{h}_{3}}$ ${{h}_{4}}$), оптимальный фильтр Чебышева (${{h}_{5}}$), а также фильтры, полученные методом оконного взвешивания идеальной импульсной характеристики весовыми функциями Хэмминга (${{h}_{6}}$), Блэкмана (${{h}_{7}}$) и Кайзера (${{h}_{8}}$) при $\beta = 8.96$ [1, 2]. В таблице 1 приведены величины абсолютной погрешности интерполяции $\varepsilon = \mathop {{\text{max}}}\limits_k \left| {x(k{{\Delta }_{1}}) - y(k{{\Delta }_{1}})} \right|$. Погрешность интерполяции для новых фильтров при $S = 2,3$ на порядок ниже погрешности для фильтров ${{h}_{6}},...,{{h}_{8}}$ на основе окон. Наилучшие результаты получены при применении фильтров (23) с $S = 4$ и оптимальных фильтров Чебышева.

Таблица 1.

Абсолютная погрешность интерполяции $\varepsilon = \mathop {{\text{max}}}\limits_k \left| {x(k{{\Delta }_{1}}) - y(k{{\Delta }_{1}})} \right|$ для фильтров ${{h}_{1}},...,{{h}_{8}}$ при $N = 20,$ $L = 2,3,5$

Фильтры L
2 3 5
${{h}_{1}}$ 1.66 × 10–5 1.52 × 10–5 1.64 × 10–5
${{h}_{2}}$ 2.31 × 10–6 3.15 × 10–6 2.88 × 10–6
${{h}_{3}}$ 9.69 × 10–7 1.21 × 10–6 1.18 × 10–6
${{h}_{4}}$ 4.31 × 10–7 5.22 × 10–7 5.12 × 10–7
${{h}_{5}}$ 1.73 × 10–7 6.61 × 10–8 7.75 × 10–7
${{h}_{6}}$ 9.05 × 10–4 7.93 × 10–4 8.66 × 10–4
${{h}_{7}}$ 7.62 × 10–6 6.43 × 10–6 7.25 × 10–6
${{h}_{8}}$ 8.02 × 10–6 1.01 × 10–5 9.63 × 10–6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые рассмотрены цифровые фильтры низких частот на основе функций ${{F}_{a}}(t).$ Частотные характеристики новых фильтров аппроксимируют атомарные функции. Предложенный метод синтеза отличается простотой и эффективностью. Коэффициенты определяются в явном виде без применения численных методов. Приведенные в работе оценки отклонений позволяют синтезировать фильтр с любой заданной точностью. Рассмотрено применение построенных фильтров в задачах децимации и интерполяции цифровых сигналов.

Список литературы

  1. Гадзиковский В.И. Методы проектирования цифровых фильтров. М.: Горячая линия–Телеком, 2007.

  2. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов. М.: ИД “Вильямс”, 2008.

  3. Кравченко В.Ф., Чуриков Д.В. Цифровая обработка сигналов атомарными функциями и вейвлетами / Под ред. Кравченко В.Ф. М.: Техносфера, 2018.

  4. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в физике и технике / Под ред. Кравченко В.Ф. М.: Техносфера, 2018.

  5. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит, 2006.

  6. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника, 2003.

  7. Будунова К.А., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И. // РЭ. 2018. Т. 63. № 9. С. 935.

  8. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. // РЭ. 2002. Т. 47. № 4. С. 461.

  9. Кравченко В.Ф., Юрин А.В. // РЭ. 2013. Т. 58. № 9. С. 971.

  10. Витязев В.В. Многоскоростная обработка сигналов. М.: Горячая линия–Телеком, 2018.

Дополнительные материалы отсутствуют.