Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 11, стр. 1110-1115

Особенности построения ортонормированного базиса на основе атомарных функций применительно к решению краевых задач электродинамики для областей сложной формы

В. Ф. Кравченко 123*, В. И. Пустовойт 2, А. В. Юрин 3**

1 Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

2 Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН
117342 Москва, ул. Бутлерова, 15, Российская Федерация

3 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
105005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, Российская Федерация

* E-mail: kvf_ok@mail.ru
** E-mail: yualex@rambler.ru

Поступила в редакцию 15.03.2019
После доработки 15.03.2019
Принята к публикации 17.04.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена и обоснована методика ортонормирования атомарных функций. Показана эффективность применения полученной базисной системы для решения ряда краевых задач электродинамики методом R-функций. Численный эксперимент и анализ физических результатов показал, что метод R-функций в сочетании с базисными функциями является универсальным для волноводов и резонаторов произвольной формы.

Известно, что выбор базисной системы функций существенно влияет на качество решения краевых задач математической физики [14], так как от этого зависит обусловленность и другие характеристики матриц системы. Кроме того, элементы этих матриц являются интегралами или суммами с большим числом слагаемых по области Ω. Указанные трудности удается в значительной мере преодолеть, если в качестве базисных функций использовать атомарные функции (АФ) [13], которые являются удобным математическим аппаратом аппроксимации для широкого класса задач численного анализа, в том числе краевых задач электродинамики [13, 5, 6]. Они представляют собой финитные решения функционально-дифференциальных уравнений вида

(1)
$Lf\left( x \right) = {\lambda }\sum\limits_{k = 1}^M {c\left( k \right)f\left( {ax - b\left( k \right)} \right)} ,\,\,\,\,\left| a \right| > 1,$
где L – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

Среди АФ [13] выделим функции up(x) и fupN(x), аппроксимационные свойства которых хорошо изучены. Сдвиги АФ образуют неортогональный базис. Это обстоятельство приводит к тому, что при численной реализации на основе АФ вариационных алгоритмов, полученные матрицы системы имеют n-блочно-диагональный вид (n зависит от конкретного выбора АФ), поэтому затраты машинного времени на вычисление элементов этих матриц достаточно велики. Для снижения времени численной реализации необходимо, чтобы было как можно меньше ненулевых элементов. Использование ортонормированного базиса позволяет существенно сократить число ненулевых элементов матриц системы. В связи с этим проведем ортонормирование АФ. Известно [7, 8], что целые сдвиги функции ${{\left\{ {{\varphi }(x - n)} \right\}}_{{n = \mathbb{Z}}}} \subset H$ являются базисом Рисса, если существуют положительные постоянные A1 и A2 такие, что справедливо неравенство

(2)
${{A}_{1}} \leqslant \sum\limits_{k \in Z} {{{{\left| {{\hat {\varphi }}({\omega } + 2{\pi }k)} \right|}}^{2}}} \leqslant {{A}_{2}}.$

Согласно [7] система ${{\left\{ {{\varphi }(x - n)} \right\}}_{{n = \mathbb{Z}}}}$ образует ортонормированный базис Рисса тогда и только тогда, когда

(3)
$\sum\limits_{k \in Z} {{{{\left| {{\hat {\varphi }}({\omega } + 2{\pi }k)} \right|}}^{2}}} = 1.$

Для систем целых сдвигов АФ ${{\left\{ {up(x - n)} \right\}}_{{n \in \mathbb{Z}}}}$ и ${{\left\{ {fu{{p}_{N}}(x - n)} \right\}}_{{n \in \mathbb{Z}}}}$ соотношение (2) выполняется. Следовательно, они образуют базис Рисса, но не ортонормированный. Однако из системы АФ можно получить ортонормированный базис [1, 7, 8], если определить новую функцию

${\hat {\varphi }*}({\omega }) = {{{\hat {\varphi }}({\omega })} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\hat {\varphi }}({\omega })} {\sqrt {\sum\limits_{k \in Z} {{{{\left| {{\hat {\varphi }}({\omega } + 2{\pi }k)} \right|}}^{2}}} } }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\sum\limits_{k \in Z} {{{{\left| {{\hat {\varphi }}({\omega } + 2{\pi }k)} \right|}}^{2}}} } }},$
для которой выполняется условие (3). Отсюда следует, что сдвиги ${\varphi *}(x) = {{F}^{{ - 1}}}\left[ {{\hat {\varphi }*}({\omega })} \right]$ порождают ортонормированный базис. Кроме того, ${\varphi *}(x) = \sum\nolimits_n {{{c}_{n}}{\varphi }(x - n)} $ – функция ${\varphi *}(x)$ раскладывается в ряд по исходному базису ${\varphi (\omega )}$ [7]. Тогда поставленная задача сводится к нахождению коэффициентов разложения cn. Рассмотрим АФ up(x). Ее преобразование Фурье имеет следующий вид [13]:

(4)
$\widehat {up}(\omega ) = \prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} .$

Сумму $\sum\nolimits_{k \in Z} {{{{\left| {\widehat {up}(\omega + 2\pi k)} \right|}}^{2}}} $ находим путем разложения в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье определяются следующим образом:

(5)

Так как функция up(x) финитная, то из (5) получим следующие значения коэффициентов сn: c–1 = 0.096, c0 = 0.809, ${{c}_{1}}$ = 0.096. Тогда сумма в (3) для up(x) принимает следующий вид:

(6)
$\sum\limits_{k \in Z} {{{{\left| {\widehat {up}(\omega + 2\pi k)} \right|}}^{2}}} = 0.809 + 0.191\cos \omega \,.$

Таким образом, получим

(7)
$\widehat {up}{\text{*}}(\omega ) = {{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } {\left( {0.809 + 0.191\cos \omega } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {0.809 + 0.191\cos \omega } \right)}}.$

Ортонормированный базис, составленный из целых сдвигов функции $up{\text{*}}(x),$ находится обратным преобразованием Фурье $\widehat {up}{\text{*}}(\omega )$ в (7)

$up{\text{*}}(x) = {{F}^{{ - 1}}}[\widehat {up}{\text{*}}(\omega )].$

Функция $up{\text{*}}(x)$ имеет некомпактный носитель. Поэтому для практического применения определим эффективный носитель из условия $\left\| {{\varphi } - {{{\varphi }}_{{{\text{эф}}}}}} \right\| \leqslant {{10}^{{ - 5}}}.$ Тогда $\operatorname{supp} {{(up{\text{*}}(x))}_{{{\text{эф}}}}} = [ - 2,\,\,2].$

Согласно предложенному подходу ортонормированная система ${{\left\{ {fup_{1}^{*}(x - n)} \right\}}_{{n \in \mathbb{Z}}}}$ определяется так

(8)
$\begin{gathered} \widehat {fup_{1}^{*}}(\omega ) = \frac{{\sin (\omega {\text{/}}2)}}{{\omega {\text{/}}2}} \times \\ \times \,{{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } {\left( {0.621 + 0.376\cos \omega + 0.003\cos 2\omega } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {0.621 + 0.376\cos \omega + 0.003\cos 2\omega } \right)}}, \\ \end{gathered} $
(9)
$fup_{1}^{*}(x) = {{F}^{{ - 1}}}[\widehat {fu{{p}_{1}}}{\text{*}}(\omega )].$

Вид функции $fup_{1}^{*}(x)$ представлен на рис. 1а, а численная проверка ортонормированности системы ${{\left\{ {fup_{1}^{*}(x - n)} \right\}}_{{n \in \mathbb{Z}}}}$ представлена на рис. 1б, 1в.

Рис. 1.

Графики функций $fu{{p}_{1}}(x)$ и $fup_{1}^{*}(x)$ (а), сдвигов функции $fup_{{1,n}}^{*}(x)$ = $fup_{1}^{*}(x - n)$ (б), значений скалярного произведения $(fu{{p}_{{1,\,0}}},\,\,fu{{p}_{{1,n}}})$ (г) и функции $fup_{1}^{*}(x,y)$ = $fup_{1}^{*}(x)fup_{1}^{*}(y)$ (в).

Для $fup_{2}^{*}(x)$ имеем

(10)
$\begin{gathered} \widehat {fup_{2}^{*}}(\omega ) = {{\left[ {\frac{{\sin (\omega {\text{/}}2)}}{{\omega {\text{/}}2}}} \right]}^{2}} \times \\ \times \,\,{{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\prod\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin ({{2}^{{ - k}}}\omega )}}{{{{2}^{{ - k}}}\omega }}} } {\left( {0.{\text{524}} + 0.450\cos \omega + 0.026\cos 2\omega + 3 \times {{{10}}^{{ - 5}}}\cos 3\omega } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {0.{\text{524}} + 0.450\cos \omega + 0.026\cos 2\omega + 3 \times {{{10}}^{{ - 5}}}\cos 3\omega } \right)}}, \\ fup_{2}^{*}(x) = {{F}^{{ - 1}}}[\widehat {fup_{2}^{*}}(\omega )]. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим применение базисной системы АФ для решения краевой задачи на собственные значения [14]

(11)
$\Delta u + {{{\alpha }}^{2}}u = 0,\,\,\,\,(x,y) \in \Omega \subset {{R}^{2}}$

применительно к расчету критических длин волн ${{\lambda }_{с}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \alpha }} \right. \kern-0em} \alpha }$ для однородной волноводной структуры сложной формы поперечного сечения Ω (рис. 2) с условиями Дирихле [1] на границе ∂Ω

(12)
$\,\,{{\left. u \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0.$
Рис. 2.

Поперечное сечение Ш-образного волновода.

Этот класс задач эффективно решается с помощью структурного метода R-функций [1, 2, 6]. Для краевого условия (12) структура решения имеет вид

(13)
$u(x,y) = {\omega }(x,y)\sum\limits_i {{{c}_{i}}{{{\varphi }}_{i}}(x,y)} .$

Здесь ${\omega }(x,y)$-функция обладает свойствами, изложенными в [1, 2]

(14)
$\begin{gathered} {\omega } = \left[ { - \left( {{{{\omega }}_{1}} \wedge {{{\omega }}_{3}}} \right)} \right] \wedge {{{\omega }}_{4}},\,\,\,\,{{\left. {\omega } \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0, \\ {\omega }(x,y) > 0\,\,\,\,{\text{внутри}}\,\,\,\,\Omega \,,\,\,\,\,{\omega }(x,y) < 0\,\,\,\,{\text{вне}}\,\,\,\,\Omega \,, \\ \end{gathered} $
где

${{{\omega }}_{1}} = - \left[ {\left( {\frac{{{{{(2x + b - c)}}^{2}} - {{{(b - 3c)}}^{2}}}}{{4(b - 3c)}}} \right) \wedge \left( {\frac{{{{{(2x - b + c)}}^{2}} - {{{(b - 3c)}}^{2}}}}{{4(b - 3c)}}} \right)} \right],$
${{{\omega }}_{2}} = \left( {\frac{{({{a}^{2}} - {{y}^{2}})}}{{2a}}} \right) \wedge \left( {\frac{{({{b}^{2}} - {{x}^{2}})}}{{2b}}} \right),\,\,\,\,{{{\omega }}_{3}} = y - (d\, - a).$

Двумерный ортонормированный базис образуется с помощью тензорного произведения функций $fup_{1}^{*}(x,y)$ (см. рис. 1г). Сдвиги базисных функций $\operatorname{supp} \left[ {fup_{1}^{*}(x,y)} \right] \cap \Omega \ne 0$ показаны на рис. 3а.

Рис. 3.

Сдвиги базисных функций ${\text{supp}}\left( {fup_{1}^{*}} \right) \cap \Omega \ne 0$ (а); ненулевые элементы матрицы A (б).

Структура (13) в сочетании с методом Галеркина приводит к следующей обобщенной задаче на собственные значения относительно компонент неизвестного вектора С

(15)
${\mathbf{AC}} = {{{\alpha }}^{2}}{\mathbf{BC}}.$

Матрицы А и В будут разряженными с ненулевыми элементами, которые определяются так

(16)
$\begin{gathered} {{a}_{{ij}}} = \int\limits_\Omega {\nabla \left( {{\omega }fup_{{1,i}}^{*}} \right)\nabla \left( {{\omega }fup_{{1,j}}^{*}} \right)dxdy} , \\ {{b}_{{ij}}} = \int\limits_\Omega {{{{\omega }}^{2}}fup_{{1,i}}^{*}fup_{{1,j}}^{*}dxdy} . \\ \end{gathered} $

Матрицы системы имеют блочно-диагональный вид (рис. 3б). Следовательно, большую часть коэффициентов матриц вычислять не требуется.

Решение обобщенной алгебраической проблемы собственных значений (15) осуществляется методами линейной алгебры. Полученные собственные значения являются приближениями к точным значениям сверху $\alpha _{i}^{{(N)}} \geqslant {{\alpha }_{i}}.$ Соответствующие линейно независимые собственные функции имеют вид

(17)
$u_{p}^{{(N)}} = \sum\limits_{i = 0}^N {c_{i}^{{(p)}}{{{\varphi }}_{i}}} ,\,\,\,\,p = \overline {0,N} .$

Расчетные характеристики определяли для следующих параметров: a/c = 4, b/c = 7, d/c = 5, с = 6 × 10–3 м. Учет особенностей в угловых точках осуществлялся с помощью почти R-функций [12] системы $R_{\alpha }^{\varepsilon }.$ Численный эксперимент проводился с использованием различных систем базисных функций. Полученные параметры сравнивали с результатами расчетов методом конечных элементов (МКЭ). Значение критической длины волны λ1, а также оценка погрешностей приближенных решений

(18)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{1}} = {{{{{\left\| {{{u}_{{{{N}_{2}}}}} - {{u}_{{{{N}_{1}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left\| {{{u}_{{{{N}_{2}}}}} - {{u}_{{{{N}_{1}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}} {{{{\left\| {{{u}_{{{{N}_{2}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left\| {{{u}_{{{{N}_{2}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}}}, \\ {{\varepsilon }_{2}} = {{{{{\left\| {{{u}_{{{\text{MKЭ}}}}} - {{u}_{{{{N}_{2}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left\| {{{u}_{{{\text{MKЭ}}}}} - {{u}_{{{{N}_{2}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}} {{{{\left\| {{{u}_{{{\text{MKЭ}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left\| {{{u}_{{{\text{MKЭ}}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}}}}, \\ \end{gathered} $

представлены в таблице 1. Вид первых трех собственных функций изображен на рис. 4.

Таблица 1.  

Расчетные данные

Базисные
функции
λ1, мм ε1 × 10–5 ε2 × 10–3
Метод R-функций
Глобальные, N1 = 21, N2 = 36
cos 58.391 3 3.3
Xn 58.045 3 7.5
L 58.611 5 4.8
T 58.492 8 6.1
Финитные, N1= 390, N2 = 448
fup1 59.480 9 3.1
$fup_{1}^{*}$ 59.559 6 5.3
МКЭ
NКЭ = 497 59.556
Рис. 4.

Собственные функции $u_{p}^{{(N)}}(x,y)$ (колебания Enm) при р = 1 (а), р = 2 (б) и р = 3 (в).

Из данных таблицы следует, что применение новой базисной системы функций в сочетании с теорией R-функций позволяет получить высокую точность результатов.

Основываясь на результатах, приведенных выше, рассмотрим применение методов обобщенных собственных колебаний и R-функций на примере задачи дифракции в Н-образном резонаторе со скошенными краями [1, 2, 5] и диэлектрической вставкой: b = 2a, L = 3a, l/L = 0.2, ε = 4.33, f = 1, k = 20.5/a × 103 Гц, a = 7.62 × 10–3 м (рис. 5а).

Рис. 5.

Плоский резонатор сложной формы (а); аксонометрическая проекция ω(x, y) (б).

Внутри диэлектрика ${{\Omega }^{ + }} \subset \Omega $ решение U удовлетворяет уравнению [1, 9]

(19)
$\Delta U + {{k}^{2}}{\varepsilon }U = f,$
а в области ${{\Omega }^{ - }} = \Omega {\text{/}}{{\Omega }^{ + }}$

(20)
$\Delta U + {{k}^{2}}U = f.$

На границе диэлектрика должны выполняться условия сопряжения

(21)
${{\left. {{{U}^{ + }} - {{U}^{ - }}} \right|}_{{\partial {{\Omega }^{ + }}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\left( {\frac{{\partial {{U}^{ + }}}}{{\partial{ \vec {n}}}} - \frac{{\partial {{U}^{ - }}}}{{\partial{ \vec {n}}}}} \right)} \right|}_{{\partial {{\Omega }^{ + }}}}} = 0.$

На краях резонатора ∂Ω заданы граничные условия

(22)
${{\left. U \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0.$

Нормализованная функция ω(x, y) области Ω (см. рис. 5б) определяется так

(23)
${\omega } = [({{{\omega }}_{1}} \wedge {{{\omega }}_{2}}) \wedge ({{{\omega }}_{3}} \wedge {{{\omega }}_{4}})] \wedge ( - {{{\omega }}_{5}} \vee {{{\omega }}_{6}}),$

где

$\begin{gathered} {{{\omega }}_{1}} = \frac{{bL - Lx - (b - a)y}}{{\sqrt {{{L}^{2}} + {{{(b - a)}}^{2}}} }},\,\,\,\,{{{\omega }}_{2}} = \frac{{bL - Lx + (b - a)y}}{{\sqrt {{{L}^{2}} + {{{(b - a)}}^{2}}} }}, \\ {{{\omega }}_{3}} = \frac{{bL + Lx - (b - a)y}}{{\sqrt {{{L}^{2}} + {{{(b - a)}}^{2}}} }},\,\,\,\,{{{\omega }}_{4}} = \frac{{bL + Lx + (b - a)y}}{{\sqrt {{{L}^{2}} + {{{(b - a)}}^{2}}} }}, \\ {{{\omega }}_{5}} = {{({{x}^{2}} - {{a}^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{x}^{2}} - {{a}^{2}})} {2a}}} \right. \kern-0em} {2a}},\,\,\,\,{{{\omega }}_{6}} = {{({{l}^{2}} - {{y}^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{l}^{2}} - {{y}^{2}})} {2l}}} \right. \kern-0em} {2l}}. \\ \end{gathered} $

Решение будем искать ε-методом [9] в виде ряда

(24)
$U = {{U}^{0}} + \sum\limits_n {{{A}_{n}}{{u}_{n}}} ,$
где U0 – поле, удовлетворяющее во всем резонаторе уравнению
(25)
$\Delta {{U}^{0}} + {{k}^{2}}{{U}^{0}} = f$
с краевыми условиями (22). Решение (25) имеет вид
${{U}^{0}} = \sum\limits_n {{{B}_{n}}{{{v}}_{n}}} ,$
где
(26)
${{B}_{n}} = \frac{1}{{{{k}^{2}} - k_{n}^{2}}}\left( {{{\int\limits_\Omega {f{{{v}}_{n}}d\sigma } } \mathord{\left/ {\vphantom {{\int\limits_\Omega {f{{{v}}_{n}}d\sigma } } {\int\limits_\Omega {{v}_{n}^{2}d\sigma } }}} \right. \kern-0em} {\int\limits_\Omega {{v}_{n}^{2}d\sigma } }}} \right),$
а vn и kn – собственные функции и собственные значения однородной задачи Дирихле

(27)
$\Delta {{{v}}_{n}} + k_{n}^{2}{{{v}}_{n}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {{{{v}}_{n}}} \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0.$

Решение (27) ищем в виде структуры (13) [1, 2].

В (24) un являются собственными функциями вспомогательной однородной задачи в областях ${{\Omega }^{ + }}$ и ${{\Omega }^{ - }}$ соответственно

(28)
$\Delta {{u}_{n}} + {{k}^{2}}{{{\varepsilon }}_{n}}{{u}_{n}} = 0,$
(29)
$\Delta {{u}_{n}} + {{k}^{2}}{{u}_{n}} = 0$
с условиями сопряжения
(30)
${{\left. {u_{n}^{ + } - u_{n}^{ - }} \right|}_{{\partial {{\Omega }^{ + }}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\left( {\frac{{\partial u_{n}^{ + }}}{{\partial{ \vec {n}}}} - \frac{{\partial u_{n}^{ - }}}{{\partial{ \vec {n}}}}} \right)} \right|}_{{\partial {{\Omega }^{ + }}}}} = 0$
и краевыми условиями (22). Собственными значениями последней задачи являются числа ${{{\varepsilon }}_{n}}$ [9]. Эта задача описывает собственное колебание (поле без источников), происходящее в системе резонатор-диэлектрическое тело. Для определения ${{{\varepsilon }}_{n}}$ минимизируем функционал вида
(31)
$L(u) = \int\limits_\Omega {{{{(\nabla u)}}^{2}}d\sigma } - {{k}^{2}}\int\limits_{{{\Omega }^{ - }}} {{{u}^{2}}d\sigma } - {{k}^{2}}\varepsilon \int\limits_{{{\Omega }^{ + }}} {{{u}^{2}}d\sigma } .$
Подставив в (31) структуру Дирихле (13), путем минимизации функционала методом Ритца решим обобщенную задачу на собственные значения
(32)
$\sum\limits_m {{{a}_{{ml}}}C_{m}^{{(n)}}} = {{{\varepsilon }}_{n}}\sum\limits_m {{{b}_{{ml}}}C_{m}^{{(n)}}} ,$
где
(33)
$\begin{gathered} {{a}_{{ml}}} = \int\limits_\Omega {\nabla {{\varphi }_{m}}\nabla {{\varphi }_{l}}d\sigma } - {{k}^{2}}\int\limits_{{{\Omega }^{ - }}} {{{\varphi }_{m}}{{\varphi }_{l}}d\sigma } , \\ {{b}_{{ml}}} = {{k}^{2}}\int\limits_{{{\Omega }^{ + }}} {{{\varphi }_{m}}{{\varphi }_{l}}d\sigma } . \\ \end{gathered} $
Коэффициенты Аn из (24) определим по формуле

(34)
${{A}_{n}} = \frac{1}{{\varepsilon - {{\varepsilon }_{n}}}}\frac{{1 - \varepsilon }}{{{{k}^{2}}(1 - {{\varepsilon }_{n}})}}\left( {{{\int\limits_\Omega {{{u}_{n}}fd\sigma } } \mathord{\left/ {\vphantom {{\int\limits_\Omega {{{u}_{n}}fd\sigma } } {\int\limits_{{{\Omega }^{ + }}} {u_{n}^{2}d\sigma } }}} \right. \kern-0em} {\int\limits_{{{\Omega }^{ + }}} {u_{n}^{2}d\sigma } }}} \right).$

Сходимость метода Ритца определялась численно путем сравнения результатов полученных для различного числа базисных функций

${{\left\| {{{u}_{{{{N}_{2}}}}} - {{u}_{{{{N}_{1}}}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}(\Omega )}}} = 0.004.$

На рис. 6 показана зависимость первых трех собственных значений εn от относительной ширины диэлектрической вставки l/L.

Рис. 6.

Зависимость собственных значений εn от геометрии резонатора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Численный эксперимент и анализ физических результатов показал, что метод R-функций в сочетании с базисными функциями является универсальным для волноводов и резонаторов произвольной формы. Таким образом, предложенная и обоснованная методика может быть распространена на широкий класс краевых задач электродинамики.

Работа посвящается 100-летию со дня рождения выдающегося ученого Бориса Захаровича Каценеленбаума.

Список литературы

  1. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники. М.: Техносфера, 2018.

  2. Кравченко В.Ф., Рвачёв В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит, 2006.

  3. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника, 2003.

  4. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

  5. Kravchenko V.F., Yurin A.V. // Proc. 3rd Conf. on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, 20th Nordic Conf. on Radio Science and Communication. Vaxio, Sweden. 13–19 June 2008. P. 18.

  6. Кравченко В.Ф., Кравченко О.В., Пустовойт В.И., Чуриков Д.В., Юрин А.В. // РЭ. 2015. Т. 60. № 11. С. 1113.

  7. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006.

  8. Battle G.A. // Comm. Math. Phys. 1987. V. 110. P. 601.

  9. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний. М.: Наука, 1977.

Дополнительные материалы отсутствуют.