Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 11, стр. 1116-1121

Краевые катастрофы в задачах дифракции

А. С. Крюковский 1*, Д. С. Лукин 1

1 Российский новый университет
105005 Москва, ул. Радио, 22, Российская Федерация

* E-mail: kryukovsky56@yandex.ru

Поступила в редакцию 18.06.2019
После доработки 18.06.2019
Принята к публикации 25.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрено применение теории краевых волновых катастроф к асимптотическому решению задач дифракции на телах с криволинейными кромками. В качестве примера изучена дифракция сходящейся скалярной волны на криволинейном идеально проводящем экране в однородной среде, приводящая к формированию краевых катастроф C4 и K4, 2.

ВВЕДЕНИЕ

При решении задач дифракции монохроматических волн в электродинамике и акустике применяются различные математические методы – как точные: разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексной переменной, метод собственных колебаний, так и приближенные: вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимптотики [1]. Данная работа посвящена вопросам применения волновой теории катастроф для асимптотического решения задач дифракции. Волновая теория катастроф позволяет описывать волновые процессы, в которых происходит фокусировка каустического типа и классифицировать структурно устойчивые типы таких фокусировок. Каустическая фокусировка возникает как при дифракции и распространении электромагнитных волн в регулярных средах [2, 3], так при распространении излучения в метаматериалах и нелинейных средах [4, 5].

На плоскости помимо гладкой каустики (A2) устойчивой является двухпараметрическая особенность типа “клюв” (A3) [2]. В трехмерном пространстве это одномерная фокусировка (катастрофа коранга один) “ласточкин хвост” (A4) и двумерные фокусировки (катастрофы коранга два) – гиперболическая $\left( {D_{4}^{ + }} \right)$ и эллиптическая омбилики $\left( {D_{4}^{ - }} \right).$ Размерность пространства, в котором катастрофа устойчива, называется коразмерностью катастрофы. Поэтому особенности A4, $D_{4}^{ + },$ $D_{4}^{ - }$ – это катастрофы коразмерности три. В четырехмерном пространстве к ним в качестве структурно-устойчивых особенностей добавляются катастрофы A5 – “бабочка” и D5 – параболическая омбилика. Обычно катастрофы образуют классы, обозначаемые буквами. Класс A это каспоидные катастрофы, а класс D – омбилические [3, 6]. Индекс у символа катастрофы называется кратностью и показывает, сколько лучей сливается в особой точке. Очевидно, что чем выше кратность, т.е. чем больше лучей сливаются в особой точке, тем сильнее фокусировка.

Согласно теории катастроф фазовая функция в окрестности особенности может быть представлена в виде универсальной деформации – суммы отрезков полиномов: нормальной формы и возмущений. Число возмущений равно размерности пространства, в котором катастрофа устойчива, т.е. коразмерности. Однако существует еще один параметр, который может присутствовать в самой нормальной форме. Это функциональный модуль. Его непрерывное изменение в определенных пределах не влияет на тип особенности. Самая простая модальная катастрофа без ограничений – это особенность P8, структурно-устойчивая в шестимерном пространстве. Она описывает трехмерную фокусировку и содержит один функциональный модуль. Особенности, не содержащие функциональные модули, называются простыми, а содержащие один функциональный модуль – унимодальными, два – бимодальными и т.д. Самая простая унимодальная катастрофа, которая описывает двумерную фокусировку это особенность X9. Она структурно устойчива в семимерном пространстве. Все катастрофы, описывающие одномерную фокусировку, являются простыми.

Следует отметить, что, хотя вероятность появления особенности более высокой коразмерности в пространстве меньшей размерности крайне мала, сечения такой особенности появляются очень часто и требуют адекватного математического описания [7, 8].

1. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ КРАЕВЫХ КАТАСТРОФ

Обобщением волновой теории катастроф является волновая теория краевых катастроф, в рамках которой рассматриваются совместные фокусировки не только первичных лучевых семейств, но и вторичных лучевых семейств, порожденных первичными лучами на кромках. Такие сложные фокусировки возникают в задачах дифракции электромагнитных волн на проводящих телах с острыми кромками, а также при распространении радиоимпульсов в диспергирующих средах (например, в холодной плазме – ионосфере Земли). В первом случае источниками вторичных краевых лучей являются кромки тел, а во втором – конец или начало радиоимпульса. Простейшими краевыми катастрофами [6, 9] являются две каспоидные серии BN + 1 и CN + 1. Серия B соответствует случаю, когда фокусируется только первичное поле, образуя каспоидную катастрофу серии AN. При этом первичное лучевое семейство имеет ограничение, а каустика (огибающая) этого семейства точку обрыва. Краевые лучи в этом случае не фокусируются (что обозначается как A1). Серия С соответствует случаю, когда, наоборот, фокусируются только краевые лучи и образованное ими поле (каспоидная катастрофа серии AN), а первичное лучевое не формирует каустики, но имеется граница свет–тень (обозначается как A1). Самая известная краевая катастрофа – это особенность B2 или С2, что одно и то же, поскольку в данном случае фокусировки отсутствуют и имеет место лишь граница свет–тень. Такой случай соответствует дифракции Френеля.

Первая простейшая краевая катастрофа, которая описывает фокусировку как первичного, так и вторичного лучевых семейств – это особенность F4. Оба лучевых семейства образуют каустику A2, причем для первичного лучевого семейства каустика имеет обрыв. Особенность F4 простая. Она структурно-устойчива в трехмерном пространстве. Учитывая изложенное выше, всякую краевую катастрофу можно записать как разложение по основным катастрофам. Например, особенность BN + 1 это (AN, A1), особенность СN + 1 = (A1, AN,), а F4 = (A2, A2). Символы у индексов, стоящих в разложении, это кратности особенностей первичного и вторичного лучевых семейств и для особенностей, рассмотренных выше, их сумма равна индексу символа катастрофы [6, 9, 10].

Для применения теории катастроф к задачам дифракции и распространения волн необходимо в зависимости от типа особенности выбрать вид асимптотического решения (равномерную асимптотику), рассчитать специальные функции волновых катастроф (СВК) [3, 11] и установить связь между параметрами универсальной деформации и реальными параметрами физической задачи. Метод седловых точек, теоретически наиболее универсальный, имеет ограниченное применение [9], поскольку требует решения задачи “пристрелки”, сложной в вычислительном отношении. В работе на конкретном примере нами развивается метод локальной асимптотики, являющийся альтернативным методу седловых точек [1214].

2. ДИФРАКЦИЯ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ НА ПРОВОДЯЩЕМ ЭКРАНЕ С ГЛАДКОЙ КРОМКОЙ

В качестве задачи, на примере которой проиллюстрируем применение теории краевых катастроф, рассмотрим дифракцию скалярной волны на идеально проводящем экране в однородной среде [15]. Предполагается, что волна падает на экран из области X < 0, а уравнение границы экрана имеет вид

(1)
${{{\tilde {\eta }}}_{{\text{1}}}} = f\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right),\,\,\,\,f \in {{{\text{R}}}^{\infty }}.$

Равномерное асимптотическое решение в области X > 0 можно представить в виде интеграла Грина–Кирхгофа [16]:

(2)
$\begin{gathered} U\left( {\Lambda ;\vec {\alpha }} \right) = U\left( {k,Z,Y,X} \right) \cong \frac{k}{{2\pi }}\exp \left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) \times \\ \times \,\,\iint\limits_{\overline G } {C\left( {{{{\tilde {\eta }}}_{1}},{{{\tilde {\eta }}}_{2}},Z,Y,X} \right)}\frac{{A\left( {{{{\tilde {\eta }}}_{1}},{{{\tilde {\eta }}}_{2}}} \right)}}{R} \times \\ \times \,\,\exp \left( {ik\left( {R + \Psi } \right)} \right)d{{{\tilde {\eta }}}_{1}}d{{{\tilde {\eta }}}_{2}}, \\ \end{gathered} $
в котором
(3)
${{U}_{{\text{0}}}}\left( {k;{{{{\tilde {\eta }}}}_{1}},{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right) = A\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{1}},{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)\exp \left( {ik\Psi } \right)$
– поле падающей волны в плоскости экрана, $G \in {{{\tilde {\eta }}}_{1}}{\text{0}}{{{\tilde {\eta }}}_{2}}$ – поверхность экрана, $\bar {G} = {{{{R}^{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}^{{\text{2}}}}} G}} \right. \kern-0em} G},$ $k = {{\omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega } c}} \right. \kern-0em} c}$ – волновое число,
(4)
$R = {{\left( {{{{\left( {Z - {{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {Y - {{{{\tilde {\eta }}}}_{1}}} \right)}}^{2}} + {{X}^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$
c – скорость света, ω – круговая частота, а C – диаграмма гюйгенсовых источников излучения. Сделаем в (2) замену переменных:

(5)
${{{\tilde {\eta }}}_{2}} = {{{\eta }}_{2}};\,\,\,\,{{{\tilde {\eta }}}_{1}} = {{{\eta }}_{{\text{1}}}} + f\left( {{{{\eta }}_{{\text{2}}}}} \right).$

Теперь вместо (1) уравнение границы имеет вид: ${{{\eta }}_{1}} = 0,$ а фазовую функцию интеграла (2) можно записать как

(6)
$\begin{gathered} \Phi \left( {{{{\eta }}_{1}}{\text{,}}{{{\eta }}_{2}}{\text{,}}Z{\text{,}}Y{\text{,}}X} \right) = R + \Psi = \left( {{{{\left( {Z - {{{\eta }}_{2}}} \right)}}^{2}} + } \right. \\ + \,\,{{\left. {{{{\left( {Y - {{{\eta }}_{1}} - f\left( {{{{\eta }}_{{\text{2}}}}} \right)} \right)}}^{2}} + {{X}^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + \Psi \left( {{{{\eta }}_{1}}{\text{,}}{{{\eta }}_{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Фазовая функция Φ порождает два лучевых семейства (рис. 1): семейство геометрооптических (ГО) лучей, определенное равенствами:

(7)
$\begin{gathered} {{\Psi }_{1}} = {{R}^{{ - 1}}}\left( {{{{\eta }}_{1}} + f - Y} \right); \\ {{\Psi }_{2}} = {{R}^{{ - 1}}}\left( {{{{\eta }}_{2}} - Z + {{f}_{2}}\left( {f - Y} \right)} \right); \\ \end{gathered} $
и семейство краевых лучей, для которого
(8)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\partial \Phi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Phi } {\partial {{{\eta }}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{{\eta }}_{2}}}}} \right|}_{{{{{\eta }}_{1}} = 0}}} = \\ = {{R}^{{ - 1}}}\left( {{{{\eta }}_{{\text{2}}}} - Z + {{f}_{2}}\left( {f - Y} \right)} \right) + {{\left. {{{\Psi }_{2}}} \right|}_{{{{{\eta }}_{1}} = 0}}} = 0, \\ \end{gathered} $
где ${{\Psi }_{j}} = {{\partial \Psi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \Psi } {\partial {{{\eta }}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{{\eta }}_{j}}}};$ ${{f}_{j}} = {{\partial f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial f} {\partial {{{\eta }}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{{\eta }}_{j}}}}.$

Рис. 1.

Дифракция волны на проводящем экране. Геометрия задачи.

Так как семейство краевых лучей (8) однопараметрическое, то все его каустические особенности принадлежат каспоидной серии ${{A}_{N}}.$ Пусть, например, $\Psi = {{{\eta }}_{{\text{1}}}}{\varphi }\left( {{{{\eta }}_{1}},{{{\eta }}_{2}}} \right),$ где ${\varphi }$ – аналитическая функция. Тогда (1) уравнение волнового фронта краевых лучей. Поэтому для семейства краевых лучей справедливы те же результаты, что и для ГО-лучей в двумерном случае [16]. Если ГО-поле при X > 0 не имеет каустик, то возникают сечения особенностей типа ${{C}_{{N + 1}}} = \left( {{{A}_{1}},{{A}_{N}}} \right).$ В частности, когда на экран нормально падает плоская волна, то центр особенности ${{C}_{{N + 1}}}$ оказывается на бесконечности. Если $f = \frac{1}{2}a{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{2}},$ $a > 0,$ то уравнение каустики имеет вид

(9)
$a{{\left( {Y - \frac{1}{a}} \right)}^{3}} = \frac{{27}}{8}{{Z}^{2}}.$
Если теперь
(10)
$f = \frac{1}{2}a{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{2}} + \frac{b}{{24}}{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{4}},\,\,\,\,b > 0,$
то при $b = 3{{a}^{3}}$ возникает особенность ${{A}_{5}}$ – “бабочка” [17]. При $b < 3{{a}^{3}}$ она переходит в каустическое острие, а при $b > 3\,{{a}^{3}}$ она трансформируется в характерную структуру с тремя точками заострения. При $b = 3{{a}^{3}}$ каустика уже не будет полукубической параболой. Приближенно при малых Y ее уравнение имеет вид
(11)
${{Z}^{2}} \approx \frac{{{{2}^{{11}}}}}{{3 \times {{5}^{5}}}}a{{\left( {Y - \frac{1}{a}} \right)}^{5}}.$
Если, наконец,
(12)
$f = \frac{1}{2}a{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{2}} + \frac{b}{{24}}{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{4}} + \frac{d}{{720}}{{\left( {{{{{\tilde {\eta }}}}_{2}}} \right)}^{6}},$
то возникает особенность ${{A}_{7}}$ – “звезда”.

Возможны два принципиально различных случая: когда каустика краевых лучей лежит в области “света” ГО-лучей (граница экрана вогнутая кривая) и когда каустика краевых лучей лежит в области ГО-тени (граница экрана выпуклая кривая). В первом случае вклад краевых лучей на фоне сильного ГО-поля может быть незначителен, в то время как во втором случае он будет определяющим.

Если ГО-лучи фокусируются в области X > 0, то возникают также каустики ГО-лучей, которые совместно с границами “свет–тень” и каустиками краевых лучей образуют единые структуры. Это особенности серий F и K. Причем особенности ${{F}_{4}},$ ${{K}^{{\text{\# }}}},$ ${{K}_{{N,\,2}}},$ $K_{{\text{8}}}^{{{\text{**}}}}$ отвечают одномерным каспоидным фокусировкам ГО-лучей, а особенности ${{F}_{{1,N}}},$ ${{K}_{{4{\text{,}}\,N}}},$ ${{F}_{8}},$ ${{K}_{{N,\,3}}},$ $K_{{\text{8}}}^{{\text{*}}}$ – двумерным омбилическим катастрофам [9]. Подробное описание краевых волновых катастроф также приведено в информационной системе “Волновые катастрофы в радиофизике, акустике и квантовой механике” (wavecat.rosnou.ru) [18].

Приведем два примера. Пусть

(13)
$\Psi = - \frac{{{{\eta }_{1}}}}{{a{{\rho }_{1}}}} - \frac{{{{\eta }_{1}}{{\eta }_{2}}}}{{{{\rho }_{3}}}},\,\,\,\,f = - \frac{1}{2}a{{\left( {{{\eta }_{2}}} \right)}^{2}},\,\,\,\,a > 0,$
что соответствует волне с искривленным фазовым фронтом, падающей под углом к плоскости параболического экрана. Краевые лучи образуют каустическую поверхность (9) с линией заострения: $Z = 0;$ $Y = - \frac{1}{a};$ $X = [0, + \infty ).$ В точке, где граница “свет–тень” пересекает линию заострения, имеем

(14)
$\begin{gathered} Z = 0;\,\,\,\,Y = - \frac{1}{a};\,\,\,\,X = \delta ; \\ \delta = {{\left( {\rho _{1}^{2} - \frac{1}{{{{a}^{2}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}};\,\,\,\,{{\rho }_{1}} > \frac{1}{a}. \\ \end{gathered} $

При $0 < {{\rho }_{3}} < + \infty $ в этой точке возникает особенность ${{C}_{4}} = \left( {{{A}_{1}},{{A}_{3}}} \right).$ При ${{{\rho }}_{3}} = + \infty $ каустическую поверхность краевых лучей пересекает каустическая ГО-поверхность, которая также имеет линию заострения.

Существует луч, который принадлежит одновременно как семейству ГО-лучей, так и семейству краевых лучей, причем на этом луче находится точка, которая является точкой острия как ГО-, так и краевой каустики. Поэтому эта точка является центральной точкой особенности ${{K}_{{4,\,2}}} = \left( {{{A}_{3}},{{A}_{3}}} \right).$

В случае $\Sigma = {{C}_{4}}$ равномерная асимптотика поля в окрестности особой точки определяется формулой [9]

(15)
$\begin{gathered} U\left( {\lambda ,\vec {\alpha }} \right) = {{e}^{{i\theta }}}\left\{ {{{{\left( {{{l}_{1}}} \right)}}_{g}}{{I}^{{{{C}_{4}}}}}\left( {{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},{{\lambda }_{4}}} \right) + \frac{{^{{^{{}}}}}}{{}}} \right. \\ \left. { + \,\,{{{\left( {{{l}_{1}}} \right)}}_{E}}{{I}^{{{{{\rm A}}_{3}}}}}\left( {{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}}} \right) + \sum\limits_{k = 2}^3 {{{{\left( {{{l}_{k}}} \right)}}_{E}}\frac{{\partial {{I}^{{{{{\rm A}}_{3}}}}}}}{{\partial {{\lambda }_{k}}}}} } \right\}, \\ \end{gathered} $
где ${{I}^{{{{A}_{3}}}}}$ – СВК каспоидного типа $\Sigma = {{A}_{3}}$ – интеграл Т. Пирси [19].
(16)
${{I}^{{{{A}_{3}}}}}\left( {{{{\lambda }}_{2}},{{{\lambda }}_{3}}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \left\{ {i\left( { \pm {{x}^{4}} + {{{\lambda }}_{2}}x + {{{\lambda }}_{3}}{{x}^{2}}} \right)} \right\}} dx,$
а краевая СВК особенности С4 имеет вид
(17)
$\begin{gathered} {{I}^{{{{C}_{4}}}}}\left( {{\vec {\lambda }}} \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {dz} \times \\ \times \,\,\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \left\{ {i\left( {xz \pm {{x}^{4}} + {{{\lambda }}_{1}}z + {{{\lambda }}_{2}}x + {{{\lambda }}_{3}}{{x}^{2}}} \right)} \right\}} dx. \\ \end{gathered} $
Тогда методом локальной асимптотики находим [9, 12, 13]:
(18)
$\begin{gathered} {{\lambda }_{1}} \approx \frac{{{{\rho }_{3}}}}{{\rho _{1}^{3}}}{{\left( {\frac{{k{{a}^{2}}}}{{8{{\rho }_{1}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}\delta \left[ {\left( {Y + \frac{{Z{{\rho }_{3}}}}{{2{{\rho }_{1}}}}} \right)\delta + \frac{X}{a}} \right]; \\ {{\lambda }_{2}} \approx - {{\left( {2\frac{k}{{{{\rho }_{1}}}}} \right)}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}\frac{Z}{{{{a}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}};\,\,\,\,{{\lambda }_{3}} \approx - {{\left( {2\frac{k}{{{{\rho }_{1}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left( {Y + \frac{1}{a}} \right); \\ \theta \approx k\left( {\frac{\delta }{{{{\rho }_{1}}}} - \frac{Y}{{a{{\rho }_{1}}}}} \right);\,\,\,\,{{\left( {l_{1}^{{\left( o \right)}}} \right)}_{g}} = \frac{1}{{2\pi }}{{A}_{o}}\left( {Z,Y,X} \right), \\ \end{gathered} $
где ${{A}_{o}}$ – амплитуда ГО-поля без учета влияния экрана.

Рассмотрим теперь случай, когда и ГО-, и краевые лучи образуют структурно-связанные каустики типа “каустическое острие”. Равномерная асимптотика поля в окрестности особой точки выражается через СВК особенности ${{K}_{{4,\,2}}}$ и функцию Пирси [19]. Краевая СВК имеет вид

(19)
$\begin{gathered} {{I}^{{{{K}_{{4,\,2}}}}}}\left( {{{{\lambda }}_{1}},{{{\lambda }}_{2}},{{{\lambda }}_{3}},{{{\lambda }}_{4}},a} \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {dz} \times \\ \times \,\,\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp \{ i({{z}^{2}} + a{{x}^{2}}z \pm {{x}^{4}} + } \\ {\text{ + }}\,\,{{{\lambda }}_{1}}x + {{{\lambda }}_{2}}{{x}^{2}} + {{{\lambda }}_{3}}z + {{{\lambda }}_{4}}xz)\} dx. \\ \end{gathered} $

При $a = 0$ и ${{\lambda }_{4}} = 0$

(20)
${{I}^{{{{K}_{{4,\,2}}}}}} = F_{r}^{ + }\left( {{{{\lambda }}_{3}}} \right){{I}^{{{{A}_{{\text{3}}}}}}}\left( {{{{\lambda }}_{1}},{{{\lambda }}_{2}}} \right),$
где $F_{r}^{ + }\left( {{{{\lambda }}_{3}}} \right)$ – интеграл Френеля:

(21)
$Fr\left( {\lambda } \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\exp \left\{ {i\left( {{{x}^{2}} + {\lambda }x} \right)} \right\}dx} .$

На рис. 2а и 2б приведен пример амплитудной и фазовой структур СВК особенности ${{K}_{{4,\,2}}}$ в координатах (${{{\lambda }}_{1}},\,\,{{{\lambda }}_{2}}$) [18]. При этом знак в нормальной форме “+”, ${{{\lambda }}_{3}} = - 2,$ ${{{\lambda }}_{4}} = - 2,$ a = −1.

Рис. 2.

Амплитудная (а) и фазовая (б) структуры СВК.

На рис. 2а хорошо видна интерференционная квазипериодическая структура, характеризующаяся системой убывающих по амплитуде максимумов и нулей (минимумов), образующих нерегулярную решетку. Вблизи границы свет–тень располагается главный максимум, а непосредственно в его окрестности между первым и вторым рядом – минимум с нулем амплитуды. На рис. 2б минимумам соответствуют точки дислокации фазы СВК, поскольку в таких точках фаза не определена. Из этих точек, как из узлов, выходят линии фазы всех возможных значений, от 0 до 2π.

Равномерная асимптотика $U\left( {\Lambda ,\vec {\alpha }} \right)$ в случае катастрофы ${{K}_{{4,\,2}}}$ состоит из шести слагаемых

(22)
$\begin{gathered} U\left( {\lambda ,\vec {\alpha }} \right) = \\ = \exp (i\theta )\left\{ {{{{\left( {{{l}_{1}}} \right)}}_{g}}{{I}^{{{{K}_{{4,\,2}}}}}} + {{{\left( {{{l}_{2}}} \right)}}_{g}}\frac{{\partial {{I}^{{{{K}_{{4,\,2}}}}}}}}{{\partial {{\lambda }_{3}}}} + {{{\left( {{{l}_{3}}} \right)}}_{g}}\frac{{\partial {{I}^{{{{K}_{{4,\,2}}}}}}}}{{\partial {{\lambda }_{4}}}} + } \right. \\ + \,\,{{\left( {{{l}_{1}}} \right)}_{E}}{{I}^{{{{A}_{3}}}}} + {{\left( {{{l}_{2}}} \right)}_{E}}\frac{{\partial {{I}^{{{{A}_{3}}}}}}}{{\partial {{\lambda }_{1}}}} + \left. {{{{\left( {{{l}_{3}}} \right)}}_{E}}\frac{{\partial {{I}^{{{{A}_{3}}}}}}}{{\partial {{\lambda }_{2}}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Фаза ${\theta }$ и коэффициенты универсальной деформации по-прежнему определяются формулами (18): ${{{\lambda }}_{{\text{1}}}}\left( {{{K}_{{4,\,2}}}} \right) = {{{\lambda }}_{{\text{2}}}}\left( {{{C}_{4}}} \right),$ ${{{\lambda }}_{{\text{2}}}}\left( {{{K}_{{4,\,2}}}} \right) = {{{\lambda }}_{{\text{3}}}}\left( {{{C}_{4}}} \right),$ а λ3, λ4 и функциональный модуль ${{a}_{f}}$ локально равны:

(23)
$\begin{gathered} {{\lambda }_{3}} \approx {{\left( {2\frac{k}{{\rho _{1}^{3}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left( {\frac{X}{a} + Y\delta } \right); \\ {{\lambda }_{4}} \approx {{\left( {8{{\rho }_{1}}k} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{\delta }^{{ - 1}}}\left( {\frac{1}{{a\rho _{1}^{2}}} + \frac{a}{4}} \right)Z; \\ {{a}_{f}} \approx a_{f}^{o} = - 2{{\rho }_{1}}{{\delta }^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Коэффициент ${{\left( {l_{1}^{{\left( o \right)}}} \right)}_{g}}$ асимптотики (22) в особой точке равен

(24)
$\begin{gathered} {{k}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{\left( {l_{1}^{{\left( o \right)}}} \right)}_{g}} \approx {{k}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{\left( {l_{1}^{c}} \right)}_{g}} = \\ = \exp \left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\frac{k}{{2\pi {{\rho }_{1}}}}A\left( {0,0} \right) \times \\ \times \,\,C\left( {0;0;0; - {\kern 1pt} {{a}^{{ - 1}}};\delta } \right){{\left| {\frac{{\partial {{\eta }_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}\left. {\frac{{\partial {{\eta }_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}} \right|} \right.}_{{{{\eta }_{1}} = 0,\,{{\eta }_{2}} = 0}}}. \\ \end{gathered} $

Если в (2) положить $C = {X \mathord{\left/ {\vphantom {X R}} \right. \kern-0em} R}$ и учесть, что

(25)
$\frac{{\partial {{\eta }_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} = {{\left( {\frac{{8{{\rho }_{1}}}}{{k{{a}^{2}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}};\,\,\,\,\frac{{\partial {{\eta }_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} = {{\delta }^{{ - 1}}}{{\left( {2\frac{{\rho _{1}^{3}}}{k}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$
то

(26)
${{\left( {l_{1}^{{\left( o \right)}}} \right)}_{g}} \approx {{\left( {l_{1}^{c}} \right)}_{g}} = \exp \left\{ {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right\}\frac{1}{{\pi {{a}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}{{\left( {\frac{2}{{{{\rho }_{1}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}A\left( {0,0} \right).$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрена задача о дифракции волны на искривленном экране. Если граница экрана прямая линия, а падающее поле имеет такой начальный волновой фронт, что при X > 0 возникает фокусировка ГО-лучей, то практически при любом расположении экрана краевые лучи также будут фокусироваться. Случай, когда задача имеет цилиндрическую симметрию и может быть сведена к двумерной, а краевые лучи не фокусируются и образуют цилиндрическую расходящуюся волну, рассмотрен нами в [20]. В данной же работе исследована дифракция сходящейся волны на проводящей полуплоскости и сопоставлены результаты расчета амплитудной структуры поля в окрестности краевых катастроф серии ${{B}_{{N + 1}}} = \,\left( {{{A}_{{\,N}}},\,A{{\,}_{1}}} \right)$ различными асимптотическими методами: неравномерной геометрической теории дифракции (ГТД) [21], физической теорией дифракции (метод краевых волн), физической оптикой (приближение Грина–Кирхгофа) и равномерными методами волновой теории катастроф (равномерная ГТД). Были рассмотрены как локальная, так и глобальная асимптотики.

Краевые особенности возникают также в задачах о рассеянии проводящих тел вогнутыми поверхностями. В этом случае образуются волны “шепчущей галереи” [22].

Список литературы

  1. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.

  2. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения / Пер. с англ. М.: Мир, 1980.

  3. Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М.: МФТИ, 1982.

  4. Крюковский А.С., Орлов А.В. // РЭ. 2010. Т. 55. № 3. С. 292.

  5. Крюковский А.С., Сарен Ю.В. // РЭ. 2002. Т. 47. № 1. С. 63.

  6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. I. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

  7. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. // РЭ. 2006. Т. 51. № 10. С. 1155.

  8. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. // Russ. J. Mathem. Phys. 2009. V. 16. № 2. P. 232.

  9. Крюковский А.С. Равномерная асимптотическая теория краевых и угловых волновых катастроф. М.: РосНОУ, 2013.

  10. Крюковский А.С., Лукин Д.С. // РЭ. 1998. Т. 43. № 9. С. 1044.

  11. Крюковский А.С., Лукин Д.С. // РЭ. 2003. Т. 48. № 8. С. 912.

  12. Крюковский А.С., Лукин Д.С. // РЭ. 1981. Т. 26. № 6. С. 1121.

  13. Kpюкoвcкий A.C. // PЭ. 1996. T. 41. № 1. C. 59.

  14. Карепов С.Л., Крюковский А.С. // РЭ. 2001. Т. 46. № 1. С. 40.

  15. Крюковский А.С., Лукин Д.С. Краевые и угловые катастрофы в равномерной геометрической теории дифракции: Учебное пособие. М.: МФТИ, 1999.

  16. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. // Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. 7–15.02.1993. М.: МФТИ, 1993. С. 36.

  17. Балыкина А.М., Крюковский А.С. // РЭ. 2010. Т. 55. № 5. С. 531.

  18. Дорохина Т.В., Крюковский А.С., Лукин Д.С. // Электромагн. волны и электрон. системы. 2007. Т. 12. № 8. С. 71.

  19. Pearcey T. // Philos. Mag. 1964. V. 37. P. 311.

  20. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. // РЭ. 1994. Т. 39. № 4. С. 538.

  21. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978.

  22. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1973.

Дополнительные материалы отсутствуют.