Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 11, стр. 1103-1109

Применение метода базовых компонентов для получения эвристического решения задачи дифракции на полуплоскости с неидеальными граничными условиями

М. В. Весник *

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125009 Москва, Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

* E-mail: vesnik@cplire.ru

Поступила в редакцию 25.03.2019
После доработки 25.03.2019
Принята к публикации 17.04.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Методом базовых компонентов получено эвристическое решение задачи дифракции на полупрозрачной полуплоскости. Проведена верификация эвристических формул с помощью численного решения. Получена “функция полупрозрачности”, описывающая трансформацию эвристических формул при изменении параметра прозрачности рассеивателя.

ВВЕДЕНИЕ

Ряд современных практических задач, таких, например, как создание и обнаружение объектов с малой радиолокационной заметностью, распространение радиоволн в городских условиях и т.п., требует наличия решений соответствующих задач дифракции. Строгих аналитических решений задач дифракции мало, и они сложные. Численные решения существуют, но имеют ограничения по размерам рассеивателя и нуждаются в физической интерпретации.

Для снятия описанных проблем при решении практических задач применяют эвристические подходы [13], которые основаны на интуиции и на физических особенностях решения. По сравнению со строгими аналитическими решениями эвристические более просты, а по сравнению с численными решениями эвристические обладают более высоким быстродействием и лучше подходят для физической интерпретации решения.

Для оценки точности эвристических подходов применяют верификацию – сравнение с решениями, точность которых известна – чаще всего, с численными. Если размер рассеивателя в практической задаче превышает возможности вычислителя, то верифицировать эвристическое решение можно на объекте меньшего размера. При увеличении размеров рассеивателя точность эвристического решения лишь возрастает.

До верификации эвристические формулы представляют собой гипотезу о поведении решения. После верификации становится известной точность эвристических формул, и в дальнейшем их можно применять без дополнительных проверок.

Известные эвристические подходы (геометрическая теория дифракции (ГТД) [4, 5] и метод краевых волн (МКВ) [6]) позволяют получать решения трехмерных задач на основе двумерных. Эти подходы представляют собой заданные наборы алгоритмов получения решения и не предполагают внесения поправок в решение в том случае, когда точность оказывается недостаточной.

1. МЕТОД БАЗОВЫХ КОМПОНЕНТОВ

Эвристические подходы ГТД и МКВ содержат заложенные методические погрешности, которые влияют на точность решения и которые не предполагается исправлять. В частности, к таким погрешностям относится отсутствие учета возмущения поля на концах кромки конечного размера. Кроме того, ГТД и МКВ не предполагают получения в случае необходимости эвристических аналитических формул, которые обладают автономностью от вычислителя соответствующей двумерной задачи.

В ряде недавних публикаций был предложен метод базовых компонентов (МБК), расширяющий область применения эвристических методов [3, 7]. В отличие от ГТД и МКВ, МБК позволяет устранять методические погрешности при помощи “настройки” эвристического решения и добиваться именно той точности, которая требуется в практической задаче. При этом получаются простые по форме эвристические формулы, которые имеют высокое быстродействие, обладают автономностью от вычислителя двумерной задачи и позволяют осуществлять физическую интерпретацию численных решений.

Новый метод основан на ряде приемов и на наборе базовых компонентов [7]. Приемы позволяют экономить ресурсы компьютера и строить эффективные эвристические решения, повышающие быстродействие вычислителя. Базовые компоненты являются основой построения эвристических решений и могут быть основаны как на математически строгих решениях ряда простейших задач, так и на численных расчетах.

Необходимые условия применения метода базовых компонентов:

1) набор базовых компонентов для рассматриваемой задачи;

2) наличие готовой трассировки лучей;

3) наличие решений эталонных задач: 1D, 2D и 3D (аналитических или численных), а также численные расчеты фрагментов или целого 3D-рассеивателя из практической задачи (возможно – меньшего размера).

Преимущества формул МБК. В результате применения МБК можно построить простые и одновременно точные аналитические формулы, пригодные как для физической интерпретации численных решений задач дифракции, так и для создания быстродействующих вычислителей [3]. Скорость эвристических аналитических формул может превышать скорость численных решений на несколько порядков [8]. Это связано с тем, что применение эвристических формул, в отличие от строгих методов, не требует проведения сложных численных процедур. Простота формул МБК позволяет сравнительно легко получать аналитические преобразования перехода из частотной во временную область и обратно [3, 9], что дает преимущества при использовании МБК для исследования импульсных и сверширокополосных сигналов.

2. ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Выделим из строгой математической формулы сингулярные дифракционные коэффициенты. Для этого рассмотрим интегральное представление ν(ψ), с помощью которого можно найти рассеянное поле на полубесконечном рассеивателе [3, 7]. Для случая дифракции электромагнитной волны на клине с внешним углом раствора πn имеем

(1)
$\begin{gathered} {v}\left( {\psi } \right) \cong \sum\limits_{m = 1,\,2} {\frac{{P\left( {{{w}_{{sm}}}} \right)}}{{\sqrt {2\pi ik\frac{{r{{r}_{0}}}}{{r + {{r}_{0}}}}} }}\frac{{\frac{i}{n}\sin \frac{{\pi }}{n}}}{{\cos \frac{{\pi }}{n} - \cos \frac{{\psi }}{n}}} \times } \\ \times \,\,\frac{{2i\sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( \psi \right)} }}{{\exp \left[ {iS\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - iS\left( \psi \right)} \right]}}\int\limits_{\infty \sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( {\psi } \right)} }^{\sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( {\psi } \right)} } {\exp \left( {i{{q}^{2}}} \right)dq} . \\ \end{gathered} $
Здесь (r0, φ0) и (r, φ) – координаты источника и точки наблюдения соответственно, P(wsm) – поле источника в седловой точке wsm (с геометрической точки зрения это соответствует ситуации, когда кромка находится на линии, соединяющей точку наблюдения с источником), а входящие в формулу эйконал S(ψ) и эйконал в седловой точке S(wsm) имеют вид:

(2)
$\begin{gathered} S\left( {\psi } \right) = k{\rho } = k\sqrt {{{{\left( {r + {{r}_{0}}} \right)}}^{2}} - 2r{{r}_{0}}\left[ {1 + \cos {\psi }} \right]} , \\ S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) = k\left( {r + {{r}_{0}}} \right),\,\,\,\,{\psi } = {\varphi } \mp {{{\varphi }}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Центр координат совпадает с вершиной клина. Область, внешняя по отношению к клину, занимает пространство углов 0 < φ < πn.

Для определения рассеянного поля V(φ) в случае поляризованной электромагнитной ТН-волны применяем выражение

$V\left( \varphi \right) = {v}\left( {\varphi - {{\varphi }_{0}}} \right) - {v}\left( {\varphi + {{\varphi }_{0}}} \right),$
в случае ТЕ-волны –

(3)
$V\left( \varphi \right) = {v}\left( {\varphi - {{\varphi }_{0}}} \right) + {v}\left( {\varphi + {{\varphi }_{0}}} \right).$

Рассмотрим интегральное представление задачи дифракции на клине в случае двух седловых точек (1). Каждое из двух слагаемых (стоящих под знаком суммы) в правой части выражения (1) состоит из четырех сомножителей.

Первый множитель не зависит от угловой переменной и представляет собой произведение значения поля в седловой точке (т.е. на границе тени) на фактор, определяющий зависимость решения от расстояний до источника и точки наблюдения:

(4)
${{\sqrt i P\left( {{{w}_{{sm}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt i P\left( {{{w}_{{sm}}}} \right)} {\sqrt {2{\pi }k\frac{{r{{r}_{0}}}}{{r + {{r}_{0}}}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2{\pi }k\frac{{r{{r}_{0}}}}{{r + {{r}_{0}}}}} }}.$

Второй множитель представляет собой половину дифракционного коэффициента:

(5)
$\frac{{\frac{1}{n}\sin \frac{\pi }{n}}}{{\cos \frac{\pi }{n} - \cos \frac{\psi }{n}}}.$

Полный дифракционный коэффициент для определенного вида поляризации получится, если сложить или вычесть значения этого сомножителя в точке наблюдения:

(6)
$\frac{{\sin \frac{\pi }{n}}}{n}\left( {\frac{1}{{\cos \frac{\pi }{n} - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{n}}} \pm \frac{1}{{\cos \frac{{\pi }}{n} - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{n}}}} \right).$

Произведение третьего и четвертого множителей

(7)
$\frac{{2i\sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( {\psi } \right)} }}{{\exp \left[ {iS\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - iS\left( {\psi } \right)} \right]}}\int\limits_{\infty \sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( {\psi } \right)} }^{\sqrt {S\left( {{{w}_{{sm}}}} \right) - S\left( {\psi } \right)} } {\exp \left( {i{{q}^{2}}} \right)dq} $

представляет собой частное от деления интеграла Френеля на свою асимптотику и характеризует зависимость поля от углового расстояния до границы тени. Вдали от границы “свет–тень” произведение (7) равно 1. На границе “свет–тень” этот множитель равен нулю и компенсирует сингулярность половины дифракционного коэффициента (5). Такая компенсация приводит к тому, что на границе “свет–тень” у полубесконечного рассеивателя поле равно 0.5 от поля геометрической оптики.

Некоторые исследователи стремятся привести решение именно к такому виду, когда сингулярность дифракционного коэффициента скомпенсирована, а решение с нескомпенсированной сингулярностью считают неполноценным. Однако в [1012] было показано, что для трехмерных рассеивателей конечного размера компенсировать сингулярность в общем случае неверно. При выполнении условия дальней зоны [3, 7] интегрирование сингулярных дифракционных коэффициентов по замкнутому контуру автоматически компенсирует все сингулярности, приводя к правильному результату [11].

Вдали от границы “свет–тень” сингулярные дифракционные коэффициенты (6) для идеально проводящей полуплоскости (т.е. при n = 2) принимают хорошо известную форму [3, 6]:

(8)
$\begin{gathered} f\left( {{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} - \frac{1}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right), \\ g\left( {{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} + \frac{1}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $
(9)
$\begin{gathered} {{f}^{0}}\left( {{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} - \frac{{\sin \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right), \\ {{g}^{0}}\left( {{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где f и g – дифракционные коэффициенты строгого решения, а f 0 и g0 – дифракционные коэффициенты в приближении физической оптики.

Каждый дифракционный коэффициент в (8), (9) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое имеет сингулярность, связанную с направлением “прямо вперед”, второе – сингулярность, связанную с направлением зеркального отражения. Вполне естественным шагом является построение эвристического решения с применением коэффициентов отражения и прохождения R и T для безграничной полупрозрачной полуплоскости:

(10)
$fg\left( {R,T,{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 - T}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} + \frac{R}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right)$
(назовем это эвристическое приближение обобщенным дифракционным коэффициентом, ОДК) и
(11)
$\begin{gathered} f{{g}^{0}}\left( {R,T,{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right) = \\ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {1 - T} \right)\frac{{\sin \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } - {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}} + R\frac{{\sin \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}{{ - \cos \frac{{{\varphi } + {{{\varphi }}_{0}}}}{2}}}} \right] \\ \end{gathered} $
(назовем это эвристическое приближение обобщенным дифракционным коэффициентом в приближении физической оптики, ФОДК).

Физический смысл эвристических выражений (10) и (11) заключается в следующем. Формула (10) описывает процесс дифракции на полупрозрачной полуплоскости с учетом возмущения поля кромкой, а формула (11) не учитывает это возмущение. Насколько правильным является тот или иной подход, станет ясно из дальнейшего изложения.

При T = 0, R = –1 получим выражения для сингулярных дифракционных коэффициентов идеально проводящей полуплоскости. В случае падения ТН- поляризованной электромагнитной волны это функция f(φ, φ0) из (8). Для ФОДК связь между (9) и (11) можно описать так: fg0(–1, 0, φ, φ0) = f 0(φ, φ0), fg0(1, 0, φ, φ0) = g0(φ, φ0). Аналогичные выражения можно получить и для дифракционных коэффициентов строгого решения (8) и (10): fg(–1, 0, φ, φ0) = f(φ, φ0), fg(1, 0, φ, φ0) = = g(φ, φ0).

Выражения (10) и (11), вместе с их частными случаями (8) и (9), а также вместе с коэффициентами R и T входят в набор базовых компонентов [7]. Комбинируя сомножители (4)–(7) или входящие в них параметры, можно построить множество эвристических решений: для рассеивателей двумерных или трехмерных, конечного или бесконечного размера, с выполнением или без выполнения условия дальней зоны, для разных видов граничных условий и профиля кромок.

3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ТИПА ТОНКОГО СЛОЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Сравним эвристические зависимости (10) и (11) с численным решением. В данной работе мы приводим численное решение для граничных условий конкретного вида, но методику исследования процесса дифракции на структурах из тонких пленок можно распространить и на другие виды граничных условий.

Рассмотрим полупрозрачную полуплоскость с граничными условиями типа тонкого слоя [13] для случая дифракции электромагнитной волны ТН-поляризации:

(12)
$\left\{ \begin{gathered} {{H}_{{x + }}} - {{H}_{{x - }}} = - {{Z}^{{ - 1}}}{{E}_{z}} \hfill \\ {{E}_{{z + }}} = {{E}_{{z - }}} = {{E}_{z}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$

где импеданс Z = iX (X – изменяемый параметр, от которого зависит коэффициент отражения, i – мнимая единица), знаки “+” и “−” соответствуют областям y > 0 и y < 0 (рис. 1).

Рис. 1.

Геометрия задачи дифракции на полупрозрачной полуплоскости.

На рис. 1 показана геометрия двумерной задачи дифракции для нормального падения электромагнитной волны на полупрозрачную кромку.

Если подставить в (12) выражения

(13)
$\begin{gathered} {{E}_{{z + }}} = {{E}_{{z0}}} + {{E}_{{zr}}},\,\,\,\,{{E}_{{z - }}} = {{E}_{{zt}}}, \\ {{H}_{{x + }}} = \frac{1}{{ik{{W}_{0}}}}\frac{{\partial {{E}_{{z + }}}}}{{\partial y}},\,\,\,\,{{H}_{{x - }}} = \frac{1}{{ik{{W}_{0}}}}\frac{{\partial {{E}_{{z - }}}}}{{\partial y}}, \\ {{E}_{{z0}}} = \exp \left[ { - ik\left( {x\cos {{{\varphi }}_{0}} + y\sin {{{\varphi }}_{0}}} \right)} \right], \\ {{E}_{{zr}}} = R\,\exp \left[ { - ik\left( {x\cos {{{\varphi }}_{0}} - y\sin {{{\varphi }}_{0}}} \right)} \right], \\ {{E}_{{zt}}} = T\exp \left[ { - ik\left( {x\cos {{{\varphi }}_{0}} + y\sin {{{\varphi }}_{0}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

то можно получить в явном виде формулы для коэффициентов отражения и прохождения R и T в случае безграничной поверхности11:

(14)
$R = \frac{{{{W}_{0}}}}{{ - 2i\sin \left( {{{{\varphi }}_{0}}} \right)X - {{W}_{0}}}},\,\,\,\,{{W}_{0}} = 120{\pi },$
(15)
$T = 1 + R.$

По мере изменения параметра Х от 0 до бесконечности коэффициент отражения R меняется от −1 до 0, поэтому можно считать, что параметр Х характеризует прозрачность рассеивателя: чем больше Х, тем больше прозрачность.

Отметим, что при Х = 0 выполняется R = −1, T = 0, что соответствует параметрам идеально проводящей полуплоскости при ТЕ-поляризации падающей волны.

Результаты численного расчета fr(R, T, φ, φ0) и эвристических расчетов по формулам (10) и (11) приведены на рис. 2, по вертикали отложены значения амплитуды решений. Масштаб графиков таков, что максимальное значение амплитуды равно 4|R|. Такой масштаб позволяет сохранять неизменным расположение кривых ОДК и ФОДК в границах графиков.

Рис. 2.

Сравнение дифракционного коэффициента численного решения для полупрозрачной полуплоскости (утолщенная серая линия) с эвристическими решениями ОДК (10) (кружочки), ФОДК (11) (треугольники) и эвристическим решением (17) (квадратики): X = 10 |R| = 0.999 (а); X = 100 |R| = 0.886 (б); X = = 500 |R| = 0.358 (в); X = 2000 |R| = 0.095 (г); угол падения φ0 = 100°.

Поскольку мы “отстраиваемся” от сингулярности, от конкретных значений R и T и от эффектов, вызванных кромкой, можно утверждать, что с помощью функции полупрозрачности получаем возможность исследовать тонкие физические эффекты более высокого порядка. В данном конкретном случае таким эффектом является постепенное изменение формулы решения (т.е. переход ее формы от ОДК к ФОДК) в зависимости от прозрачности рассеивателя. Для удобного представления результатов максимальная амплитуда на вертикальной оси каждого графика изменяется в зависимости от значения X и равна 4|R|.

Другие базовые компоненты и приемы МБК позволяют отделить друг от друга не только эффекты на поверхности и кромке, но и эффекты, связанные с формой рассеивателя в целом [3, 7, 1720], что дает возможность выявлять поверхностные эффекты на экспериментальных образцах пленок конечного размера.

4. ФУНКЦИЯ ПОЛУПРОЗРАЧНОСТИ

С помощью выражений (14) и (15), дифракционных коэффициентов (10) и (11) и методики “настройки”, предлагаемой в МБК, можно построить эвристическое аналитическое решение задачи дифракции на такой “полупрозрачной полуплоскости” с граничными условиями (12).

Для рассматриваемого рассеивателя “настройка” эвристического решения в соответствии с МБК состоит в сравнении численного решения с формулами ОДК (10) и ФОДК (11) для разных значений Х, φ0 и φ и последующей коррекции этих формул.

Относительное взаимное расположение графиков ОДК и ФОДК остается неизменным, в то время как график численного решения fr(R, T, φ, φ0) проходит между графиками ОДК и ФОДК, причем его относительное расположение зависит от параметра X. В процессе сравнения эвристического и численных решений выяснилось, что частное от деления fr(R, T, φ, φ0)/fg(R, T, φ, φ0) не зависит от значений φ0 и по мере увеличения параметра Х меняется от 1 к sin(φ/2).

При исследовании поведения численного решения было установлено, что при малых значениях параметра “прозрачности” X решение fr(R, T, φ, φ0) больше похоже на ОДК, а при больших значениях параметра “прозрачности” решение fr(R, T, φ, φ0) больше похоже на ФОДК. С учетом этих свойств можно ввести такое новое физическое понятие, как “функция полупрозрачности”. Эта функция, которую обозначим cx(X, φ), описывает постепенный переход решения задачи дифракции на полупрозрачной полуплоскости от формулы ОДК к ФОДК по мере увеличения параметра “прозрачности” X:

(16)
$\begin{gathered} cx\left( {X,{\varphi }} \right) = 1 - x\left( X \right)\left\{ {1 - \cos \left[ {\frac{{{\pi } - {\varphi }}}{{1 + x\left( X \right)}}} \right]} \right\}, \\ x\left( X \right) = 1 - \exp \left( { - 0.003\left| X \right|} \right). \\ \end{gathered} $

При X → 0 имеет место x → 0, cx(X, φ) → 1, при X → ∞ имеем x → 1, cx(X, φ) → sin(φ/2). В результате можно построить эвристическую формулу

(17)
$fg\left( {R,T,{\varphi },{{{\varphi }}_{0}}} \right)\frac{{cx\left( {X,{{{\varphi }}_{s}}} \right)}}{{cx\left( {X,{\varphi }} \right)}} \cong fr\left( {{\varphi },{{{\varphi }}_{0}},R,T} \right).$

Функция полупрозрачности описывает постепенный переход от (10) к (11) и обратно в зависимости от значений параметра Х.

Эвристическое решение (17), показанное на рис. 2 квадратиками, хорошо совпадает с численным решением (утолщенная серая линия). Наибольшее отклонение наблюдаем в направлениях вблизи угла φ = 0, т.е. вдоль поверхности полупрозрачной полуплоскости. Это указывает на необходимость дополнительного исследования, возможно – учета поверхностной волны. Но такое тонкое уточнение эвристического решения имеет смысл делать лишь тогда, когда это необходимо в связи с потребностями практической задачи.

Таким образом, с одной стороны, по отдельности ни одно из выражений (10) и (11) не дает правильного описания процесса дифракции на рассматриваемом рассеивателе. С другой стороны, комбинирование этих выражений дает гораздо более точное описание процесса дифракции.

5. АНАЛИЗ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ И РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА

Следует отметить, что формулы, аналогичные ОДК (10) и ФОДК (11), встречались и ранее. Первые работы на эту тему появились на заре математической теории дифракции. Так, в [21] рассмотрена дифракция на непрозрачном металлическом экране. В [22] рассмотрена дифракция на неидеально проводящей полуплоскости, получены формулы, аналогичные ОДК. В [23] рассмотрена дифракция на тонкой диэлектрической пластине в высокочастотном приближении равномерной ГТД. Результаты сравнивались со строгим расчетом и показали хорошее совпадение при условии ряда ограничений, наложенных на геометрию задачи. Были использованы формулы, аналогичные ОДК. В работе [24] с помощью равномерной ГТД рассмотрена дифракция на клине с конечной проводимостью. Применялись формулы типа ОДК для случая T = 0. Приближение, аналогичное ФОДК (11), применялось в [25]. В работе [26] исследовались формулы, аналогичные ФОДК и ОДК. Показано, что ОДК лучше подходит для идеально проводящего рассеивателя. В работе [27] исследовалась дифракция на полупрозрачном экране методом отражений и при помощи численных методов. Подтверждены результаты работ [2829]. В [30] рассмотрена дифракция на неидеально проводящем клине. Показано, что наилучшее совпадение со строгими результатами достигнуто для формулы ОДК.

Отличие подхода МБК от этих работ состоит в том, что дифракционные коэффициенты строятся с помощью объединения трех компонентов: ОДК (10), ФОДК (11) и формулы полупрозрачности (16). Такой подход позволяет значительно улучшить совпадение эвристической формулы из левой части (17) со строгим решением fr(R, T, φ, φ0).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе показано, как на основе сравнения двух дифракционных коэффициентов разного типа (ФОДК и ОДК) и численного решения получен новый базовый компонент – функция полупрозрачности, применяя которую можно построить уточненное решение задачи дифракции на полупрозрачной полуплоскости, уточненное по отношению как к ФОДК, так и к ОДК.

Аналогичным образом можно строить дифракционные коэффициенты и для других задач. Суть предлагаемой методики (находить баланс между решением с возмущением вблизи кромки и без него) останется той же при изменении граничных условий, типов возбуждения и физической природы волн.

Сравнивая МБК с известными работами, мы видим существенные отличия в стратегии получения решения. В известных работах получают либо строгое аналитическое двумерное решение, либо эвристическое решение по схеме ОДК и проводят верификацию, сравнивая его с решением, полученным строгими методами. Затем определяют область, где эвристическое решение дает хорошее совпадение.

В МБК для построения дифракционных коэффициентов берут несколько базовых компонентов: не только эвристическое решение по схеме ОДК, но также по схеме ФОДК и функцию полупрозрачности, существенно увеличивающую точность совпадения со строгим решением. Затем (при необходимости), используя инженерные добавки, улучшают совпадение до заданной величины. Таким образом, можно для любого численного решения при помощи R и T гарантированно получить эвристическую аналитическую формулу во всем диапазоне параметров и с заданной точностью. Это дает новые возможности при решении практических задач.

Формулы ОДК (10) и ФОДК (11) соответствуют разным функциям Грина. Выражение (10) соответствует функции Грина строгого решения задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости с дифракционными коэффициентами (8), а выражение (11) соответствует функции Грина свободного пространства в решении той же задачи в приближении физической оптики с дифракционными коэффициентами (9). Хорошее совпадение с численным решением доказывает правильность такой физической интерпретации эвристических формул. Это важное следствие применения МБК следует учитывать при попытках найти строгое аналитическое решение для полупрозрачных полуплоскостей с граничными условиями разного вида.

Предложенный подход можно применять для описания рассеивателей с различными граничными условиями, в том числе с теми, для которых не существует строгих аналитических выражений. Общих рецептов получения эвристических формул для всех видов граничных условий пока нет, но в данной задаче удалось получить существенное уточнение по сравнению с ОДК и ФОДК.

МБК позволяет получать аналитические формулы на основе эталонных задач. В отличие от других эвристических методов, отсутствие строгих аналитических решений таких задач не является препятствием, поскольку МБК позволяет получить их с помощью набора базовых компонентов, а также с помощью верификации и настройки с использованием численных решений.

Наряду с ГТД и МКВ (как это уже сделано) подходы МБК могут быть интегрированы в современные электромагнитные симуляторы для повышения быстродействия.

Список литературы

  1. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

  2. Kravtsov Y.A., Zhu Ning Yan. Theory of Diffraction: Heuristic Approaches. Oxford: Alpha Science Intern. Ltd. Oxford, 2010.

  3. Vesnik M.V. The Method of the Generalized Eikonal. New Approaches in the Diffraction Theory. Berlin; Boston: Walter de Gruyter GmbN, 2015.

  4. Keller J.B. // J. Optical Soc. Amer. 1962. V. 52. № 2. P. 116.

  5. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978.

  6. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962.

  7. Весник М.В. // СМФН. 2016. Т. 6. С. 32.

  8. Весник М.В. // Сб. трудов VI Всерос. микроволн. конф. М., 28–30 ноября 2018 г. С. 189.

  9. Vesnik M.V. // Abstr. Intern. Conf. Days on Diffraction 2013. St. Petersburg, May 27–31, 2013. P. 89.

  10. Vesnik M.V., Ufimtsev P.Y. // Program and Abstracts of the 1991 North American Radio Science Meeting, URSI. London, Ontario, Canada. P. 176.

  11. Vesnik M.V., Ufimtsev P.Y. // Electromagnetics. 1992. V. 12. № 3–4. P. 265.

  12. Vesnik M.V. // Proc. 1995 Intern. Symp. on Electromagnetic Theory. St. Petersburg, Russia, May 23–26, 1995. P. 407.

  13. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н. и др. Электродинамика антенн с полупрозрачными поверхностями: Методы конструктивного синтеза. М.: Наука, 1989.

  14. Банков С.Е. Интегральная СВЧ-оптика. М.: Физматлит, 2018.

  15. Нобл Б. Метод Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

  16. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1979.

  17. Vesnik M.V. // IEEE Trans. 2001. V. AP-49. № 12. P. 1638.

  18. Becник M.B. // PЭ. 2014. T. 59. № 6. C. 543.

  19. Vesnik M.V. // Radio Sci. 2014. V. 49. Iss. 10. P. 945.

  20. Весник М.В. // Тез. докл. XIII Молодеж. науч.-техн. конф. “Радиолокация и связь – перспективные технологии”. М., 3 декабря 2015 г. С. 80.

  21. Raman C.V., Krishnan K.S. // Proc. Roy Soc. Lond. A. 1927. V. 116. P. 254.

  22. Shmoys J. // IRE Trans. on Antennas and Propagation. 1959. V. 7. № 5. P. 88.

  23. Burnside W.D., Burgener K.W. // IEEE Trans. 1983. V. AP-31. P. 104.

  24. Luebbers R.J. // IEEE Trans. 1984. V. AP-32. P. 70.

  25. Уфимцев П.Я. // Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 6. С. 912.

  26. Калошин В.А., Клионовски К.К. // РЭ. 2015. Т. 60. № 10. С. 1015.

  27. Ахияров В.В., Калошин В.А. // Труды III Всерос. микроволн. конф. М., 25–27 ноября 2015. С. 346.

  28. Весник М.В. // Сб. трудов III Всерос. микроволн. конф. М., 25–27 ноября 2015. С. 281.

  29. Весник М.В. // Сб. трудов IV Всерос. микроволн. конф. М., 23–25 ноября 2016. С. 332.

  30. El-Sallabi H.M., Rekanos I.T., Vainikainen P. // IEEE Antennas and Wireless Propagation Lett. 2002. V. 1. P. 165.

Дополнительные материалы отсутствуют.