Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 12, стр. 1244-1252

Решения уравнений трехмерного нестационарного электронного пучка в элементарных функциях

В. А. Сыровой *

ВЭИ – филиал ФГУП РФЯЦ-ВНИИТФ
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 12, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru

Поступила в редакцию 05.04.2018
После доработки 05.04.2018
Принята к публикации 25.04.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Приведены точные трехмерные решения, описывающие нестационарные нерелятивистские электронные потоки в однородном магнитном поле, причем предпочтение при исследовании отдано осцилляционным режимам.

ВВЕДЕНИЕ

Нестационарные нерелятивистские пучки в однородном магнитном поле $\vec {H}$ описываются следующей системой уравнений в частных производных:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial{ \vec {v}}}}{{\partial t}} + \left( {\vec {v}\nabla } \right)\vec {v} = \nabla \varphi + \vec {v} \times \vec {H}, \\ \frac{{\partial {\rho }}}{{\partial t}} + \nabla \left( {{\rho }\vec {v}} \right) = 0,\,\,\,\,\Delta \varphi = {\rho ,} \\ \vec {H} = \left\{ {{{H}_{x}},{{H}_{y}},{{H}_{z}}} \right\}, \\ \end{gathered} $
где $\vec {v}$ – вектор скорости, $\varphi $ – потенциал электрического поля, ${\rho }$ – плотность пространственного заряда. Формулы (1) и последующие соотношения записаны в нормировке, устраняющей физические константы используемой системы единиц [1].

До последнего времени было известно всего два решения в элементарных функциях, описывающих пространственные электронные потоки с зависимостью от всех трех декартовых координат x, y, z и притом не имеющих аксиальной симметрии. В работе [2] рассмотрено соленоидальное потенциальное течение в отсутствие магнитного поля с однородной плотностью пространственного заряда ${\rho }$ и вектором скорости

(2)
$\vec {v} = \left\{ {u,v,w} \right\} = \left\{ {ax,by, - \left( {a + b} \right)z} \right\},$

траектории которого представляют собой пересечение двух семейств поверхностей

(3)
$xyz = {\text{const}},\,\,\,\,{{x}^{b}}{{y}^{{ - a}}} = {\text{const}}.$

Здесь и ниже не поясняемые символы (a, b в (2)) и символы с индексом нуль считаются константами.

В работе [3] движение по эллиптическим орбитам в плоскости x, y в однородном магнитном поле ${{H}_{z}}$ развертывается в z-направлении со скоростью w, изменяющейся по закону укороченной циклоиды:

(4)
$\begin{gathered} \vec {v} = \left\{ {\left( {\Omega + \frac{1}{2}{{H}_{z}}} \right)y,\,\,\left( {\Omega - \frac{1}{2}{{H}_{z}}} \right)x,\,\,w\left( z \right)} \right\}, \\ \bar {z} = \tau - \gamma {\kern 1pt} \,{\text{sin}}\tau ,\,\,\,\,\bar {w} = 1 - \gamma \cos \tau ,\,\,\,\,{\rho }w = {{J}_{0}}, \\ \end{gathered} $
где $\tau $ – параметр.

Течения (2), (4) являются моноэнергетическими, плотность пространственного заряда в (4) периодически меняется с изменением координаты z, причем в этих формулах использована удобная дополнительная нормировка ($\bar {z},\bar {w}$) [1].

Число решений для пространственных стационарных пучков существенно увеличено в работе [4]. При их анализе оказалось удобным ввести понятия z-соленоидальных и z-потенциальных потоков, определяемых соответственно соотношениями

(5)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} = 0,\,\,\,\,\frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - {{H}_{z}}.$

Структура компонент скорости для z-соленоидальных течений описывается выражениями

(6)
$u = ay + {{J}_{1}}\left( z \right),\,\,\,\,v = bx + {{J}_{2}}\left( z \right),\,\,\,\,w = w\left( z \right),$

для z-потенциальных потоков –

(7)
$\begin{gathered} u = ax + by + {{J}_{1}}\left( z \right),\,\,\,\,v = cx + ay + {{J}_{2}}\left( z \right), \\ w = w\left( z \right), \\ b = \Omega + \frac{1}{2}{{H}_{z}},\,\,\,\,c = \Omega - \frac{1}{2}{{H}_{z}}. \\ \end{gathered} $

Плотность пространственного заряда в обоих случаях зависит от продольной координаты z, а траектории частиц являются пространственными кривыми.

В работе [5] на основе исследования групповых свойств уравнений нестационарного пучка проведено построение наиболее полного набора точных решений и выполнен предварительный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают эти решения. Течения (6), (7) характеризуются аддитивным разделением переменных в выражениях для компонент скорости. В отличие от решений этого типа ниже рассмотрены потоки, для которых линейная аддитивная зависимость от z сочетается с довольно произвольной зависимостью от двух других координат, в отдельных случаях сводящейся к мультипликативному разделению переменных. Решения для трехмерных нестационарных потоков в элементарных функциях приводятся, по-видимому, впервые.

1. РЕШЕНИЯ ПЕРВОГО ТИПА

Рассмотрим решения, определяемые формулами

(8)
где $h = h\left( t \right)$ – произвольная функция времени.

1.1. При $h = \exp \left( {at} \right)$ имеем

(9)
$\begin{gathered} u = x{{I}_{1}}\left( t \right),\,\,\,\,v = x{{I}_{2}}\left( t \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + {{x}^{2}}{{I}_{4}}\left( t \right),\,\,\,\,{\rho } = {{I}_{5}}\left( t \right), \\ \end{gathered} $

причем функции ${{I}_{k}}\left( t \right)$ удовлетворяют уравнениям:

(10)
$\begin{gathered} I_{1}^{'} + I_{1}^{2} = 2{{I}_{4}} + {{I}_{2}}{{H}_{z}},\,\,\,\,I_{2}^{'} + {{I}_{1}}{{I}_{2}} = - {{I}_{1}}{{H}_{z}}, \\ I_{5}^{'} + \left( {{{I}_{1}} + a} \right){{I}_{5}} = 0,\,\,\,\,2{{I}_{4}} = {{I}_{5}} - {{a}^{2}}; \\ \frac{{\partial W}}{{\partial t}} + U\frac{{\partial W}}{{\partial x}} + \left( {a + \nu V} \right)W = 0. \\ \end{gathered} $

Полагая ${{I}_{1}} = {{I{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{I{\kern 1pt} '} I}} \right. \kern-0em} I},$ преобразуем систему (10) к следующим соотношениям:

(11)
где $W\left( \xi \right)$ – произвольная функция.

Решение уравнений для I, ${{I}_{1}}$ имеет вид

(12)
$\begin{gathered} I = A\cos \omega t + B\,{\text{sin}}\,\omega t + \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{{{a}^{2}} + {{\omega }^{2}}}}\exp \left( { - at} \right) + \frac{{{{V}_{0}}{{H}_{z}}}}{{{{\omega }^{2}}}}, \\ {{\omega }^{2}} = {{a}^{2}} + H_{z}^{2};\,\,\,\,{{I}_{1}} = \frac{{I{\kern 1pt} '}}{I}, \\ I{\kern 1pt} ' = \omega \left( { - A\cos \omega t + B\,{\text{sin}}\,\omega t} \right) - \frac{{a{{{\rho }}_{0}}}}{{{{a}^{2}} + {{\omega }^{2}}}}\exp \left( { - at} \right). \\ \end{gathered} $

Константы в формулах (12) можно подобрать так, чтобы функция I никогда не обращалась в нуль. При $\exp \left( { - at} \right) \to \infty ,$ $W\left( \xi \right) = {{W}_{0}}\xi $ решение (9) выходит на стационарный режим:

(13)
$\begin{gathered} u = - ax,\,\,\,v = - {{H}_{z}}x, \\ w = az + {{W}_{0}}x\exp \left[ {\nu \left( {y - \frac{{{{H}_{z}}}}{a}x} \right)} \right], \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {{{a}^{2}} + H_{z}^{2}} \right){{x}^{2}},\,\,\,\,{\rho } = 2{{a}^{2}} + H_{z}^{2}. \\ \end{gathered} $

Траектории для потока (13) определены уравнениями

(14)
$y - {{y}_{0}} = \frac{{{{H}_{z}}}}{a}x,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{W}_{0}}\exp \left( {\nu {{y}_{0}}} \right){{x}^{2}} + xz = {\text{const}}{\text{.}}$

В координатах $\bar {x},$ $\bar {z},$ повернутых относительно x, z на угол $\alpha $, они представляют собой гиперболы:

(15)
$\begin{gathered} \left( {\sqrt {\bar {W}_{0}^{2} + 1} + {{{\bar {W}}}_{0}}} \right){{{\bar {x}}}^{2}} - \left( {\sqrt {\bar {W}_{0}^{2} + 1} - {{{\bar {W}}}_{0}}} \right){{z}^{2}} = {\text{const}}, \\ {\text{tg}}\,2\alpha = \frac{1}{{{{{\bar {W}}}_{0}}}},\,\,\,\,{{{\bar {W}}}_{0}} = \frac{1}{2}{{W}_{0}}\exp \left( {\nu {{y}_{0}}} \right). \\ \end{gathered} $

1.2. При $h = \exp \left( {at} \right)$ существует трехмерное стационарное решение

(16)
$\begin{gathered} u = U\left( x \right),\,\,\,\,v = V\left( x \right), \\ w = az + {{W}_{0}}\exp \left( {\nu y - \int {\frac{{a + \nu V}}{U}dx} } \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + \Phi \left( x \right),\,\,\,\,{\rho } = {\rho }\left( x \right). \\ \end{gathered} $

Функции из (16) удовлетворяют уравнениям

(17)

Полагая $U = {{dx} \mathord{\left/ {\vphantom {{dx} {dt \equiv \dot {x}}}} \right. \kern-0em} {dt \equiv \dot {x}}},$ получаем

(18)
$\begin{gathered} V = - {{H}_{z}}x + {{V}_{0}},\,\,\,\,{\rho }U = {{J}_{0}}\exp \left( { - at} \right), \\ \Phi ' = - \frac{{{{J}_{0}}}}{a}\exp \left( { - at} \right) - {{a}^{2}}x + {{E}_{0}}, \\ \ddot {x} + {{\omega }^{2}}x = - \frac{{{{J}_{0}}}}{a}\exp \left( { - at} \right) + {{E}_{0}} + {{V}_{0}}{{H}_{z}}, \\ {{\omega }^{2}} = {{a}^{2}} + H_{z}^{2}, \\ \dot {\Phi } = \dot {x}\Phi {\kern 1pt} ' = - \frac{{{{J}_{0}}}}{a}\dot {x}\exp \left( { - at} \right) - \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{\left( {{{x}^{2}}} \right)}^{\centerdot }} + {{E}_{0}}\dot {x}. \\ \end{gathered} $

Решение уравнений (18) приводит к соотношениям

(19)
$\begin{gathered} x = A\cos \omega t + B\,{\text{sin}}\,\omega t - {{{\bar {J}}}_{0}}\exp \left( { - at} \right) + {{{\bar {E}}}_{0}}, \\ U = \omega \left( { - A\,{\text{sin}}\,\omega t + B\cos \omega t} \right) + a{{{\bar {J}}}_{0}}\exp \left( { - at} \right), \\ V = - {{H}_{z}}x + {{V}_{0}},\,\,\,\,w = az + {{W}_{0}}\exp \left( { - at} \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} - \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{A}^{2}} - {{B}^{2}}} \right)\cos 2\omega t - \frac{1}{2}{{a}^{2}}AB\,{\text{sin}}\,2\omega t + \\ + \frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\bar {J}_{0}^{2}\exp \left( { - 2at} \right) + {{{\bar {J}}}_{0}}\exp \left( { - at} \right) \times \\ \times \,\,\left\{ {\left[ { - a\omega A + \left( {{{a}^{2}} - {{\omega }^{2}}} \right)B} \right]} \right.{\text{sin}}\,\omega t + \\ \left. { + \,\,\left[ {a\omega B + \left( {{{a}^{2}} - {{\omega }^{2}}} \right)A} \right]\cos \omega t} \right\} + \\ + \,\,\left( {{{E}_{0}} - {{a}^{2}}{{{\bar {E}}}_{0}}} \right)\left[ { - {{{\bar {J}}}_{0}}\exp \left( { - at} \right) + A\cos \,\omega t + B\,{\text{sin}}\,\omega t} \right]; \\ {{{\bar {J}}}_{0}} = \frac{{{{J}_{0}}}}{{a\left( {{{a}^{2}} + {{\omega }^{2}}} \right)}},\,\,\,\,{{{\bar {E}}}_{0}} = \frac{{{{E}_{0}} + {{V}_{0}}{{H}_{z}}}}{{{{\omega }^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Выражение, определяющее x как функцию от t: $x = x\left( t \right)$ в (19), должно быть дополнено аналогичными зависимостями $y = y\left( t \right),$ $z = z\left( t \right)$ для параметрического описания траекторий:

(20)
$\begin{gathered} y - {{y}_{0}} = {{V}_{0}}t - {{H}_{z}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{1}{\omega }\left( {A\,{\text{sin}}\,\omega t - B\cos \omega t} \right) + \frac{{{{{\bar {J}}}_{0}}}}{a}\exp \left( { - at} \right) + {{{\bar {E}}}_{0}}t} \right], \\ z = C\exp \left( {at} \right) - \frac{{{{W}_{0}}}}{{2a}}\exp \left( { - at} \right). \\ \end{gathered} $

Рассматривая плоскость $x = 0$ в качестве стартовой поверхности с нулевыми начальными скоростями $u = v = 0$ и полем $\Phi {\kern 1pt} ' = 0$ (${{E}_{0}} = {{{{J}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{0}}} a}} \right. \kern-0em} a}$), получим

(21)
$\begin{gathered} x = {{{\bar {J}}}_{0}}\left[ {\cos \omega t - \exp \left( { - at} \right)} \right] + \\ + \,\,\frac{{{{J}_{0}}}}{{a{{\omega }^{2}}}}\left( {1 - \cos \omega t} \right) - \frac{a}{\omega }{{{\bar {J}}}_{0}}\,{\text{sin}}\,\omega t, \\ \dot {y} = - {{H}_{z}}x,\,\,\,\,{{V}_{0}} = 0. \\ \end{gathered} $

Асимптотика решения (21) при малых t определена формулами

(22)
$\begin{gathered} x = \frac{1}{6}{{J}_{0}}{{t}^{3}} - \frac{1}{{24}}a{{J}_{0}}{{t}^{4}} + ..., \\ t = {{\left( {\frac{6}{{{{J}_{0}}}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left[ {1 + {{{\left( {\frac{6}{{{{J}_{0}}}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\frac{a}{{12}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right], \\ \Phi = \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{9{{J}_{0}}}}{2}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left[ {1 - {{{\left( {\frac{6}{{{{J}_{0}}}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\frac{a}{{15}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right], \\ y - {{y}_{0}} = - {{H}_{z}}\left( {\frac{1}{{24}}{{J}_{0}}{{t}^{4}} - \frac{1}{{120}}a{{J}_{0}}{{t}^{5}} + ...} \right), \\ z - {{z}_{0}} = \left( {{{z}_{0}} + \frac{{{{W}_{0}}}}{a}} \right)t + \frac{1}{2}{{z}_{0}}{{a}^{2}}{{t}^{2}} + ..., \\ \end{gathered} $

из которых видно, что в плоскости (x, y) для функций u, $v$, Ф выполнены условия эмиссии в ${\rho }$-режиме, однако плоскость x = 0 не является поверхностью φ = const: потенциал на ней меняется по параболическому закону с изменением координаты z. В соответствии с этим старт частиц происходит по касательной к плоскости x = 0 в направлении z.

2. РЕШЕНИЯ ВТОРОГО ТИПА

Решения второго типа в цилиндрических координатах R, $\psi $, z с компонентами скорости ${{v}_{R}},$ ${{v}_{\psi }},$ w определены формулами

(23)

2.1. Рассмотрим решение вида (23) при ${{h{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{h{\kern 1pt} '} h}} \right. \kern-0em} h} = a$

(24)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = R{{I}_{1}}\left( \xi \right),\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = R{{I}_{2}}\left( \xi \right),\,\,\,w = az + {{R}^{\nu }}W\left( {t,\psi } \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + {{R}^{2}}{{I}_{4}}\left( \xi \right),\,\,\,\,{\rho } = {{I}_{5}}\left( \xi \right),\,\,\,\,\xi = t - \beta \psi , \\ \end{gathered} $

удовлетворяющее следующей системе уравнений:

(25)

Система (25) имеет частное решение

(26)
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = - \frac{a}{2},\,\,\,\,{{I}_{2}} = - \frac{{{{H}_{z}}}}{2},\,\,\,\,{{I}_{4}} = \frac{1}{8}\left( {{{a}^{2}} + H_{z}^{2}} \right), \\ {{I}_{5}} = \frac{1}{2}\left( {3{{a}^{2}} + H_{z}^{2}} \right), \\ W = W\left( \eta \right)\exp \left[ {a\left( {\frac{\nu }{2} - 1} \right)t} \right],\,\,\,\,\eta = \psi + \frac{1}{2}{{H}_{z}}t, \\ \end{gathered} $

где $W\left( \eta \right)$ – произвольная функция.

Формула (24) в этом случае принимает вид

(27)
$\begin{gathered} {{{v}}_{R}} = - \frac{a}{2}R,\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = - \frac{{{{H}_{z}}}}{2}R, \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + \frac{1}{8}\left( {{{a}^{2}} + H_{z}^{2}} \right){{R}^{2}},\,\,\,\,\rho = \frac{1}{2}\left( {3{{a}^{2}} + H_{z}^{2}} \right), \\ w = az + {{R}^{\nu }}\exp \left[ {a\left( {\frac{\nu }{2} - 1} \right)t} \right]W\left( \eta \right). \\ \end{gathered} $

Если $a > 0,$ $\nu < 2$ и $t \to \infty ,$ то течение (27) переходит в стационарный осесимметричный режим с гиперболоподобными трубками тока [6]. При $\nu = 2$ затухание по времени можно устранить, а $W\left( \eta \right)$ сделать периодической функцией, содержащей различные гармоники:

(28)
$\begin{gathered} W = {{R}^{2}}{{\cos }^{3}}\eta = \frac{1}{4}{{R}^{2}}\left( {\cos 3\eta + 3\cos \eta } \right), \\ W = {{R}^{2}}{{\cos }^{5}}\eta = \frac{1}{{16}}{{R}^{2}}\left( {\cos 5\eta + 5\cos 3\eta + 9\cos \eta } \right). \\ \end{gathered} $

В проекции на плоскость $z = {\text{const}}$ частицы движутся по скручивающейся или раскручивающейся спирали

(29)
$R = {{R}_{{{\kern 1pt} 0}}}\exp \left( {{{a\psi } \mathord{\left/ {\vphantom {{a\psi } {{{H}_{z}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{z}}}}} \right).$

3. РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ТИПА

Для решений третьего типа параметры пучка имеют вид

(30)

3.1. Рассмотрим электростатический поток при $h = {{t}^{c}},$ определяемый выражениями

(31)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = {{t}^{\alpha }}{{I}_{1}}\left( \xi \right),\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = {{t}^{\alpha }}{{I}_{2}}\left( \xi \right), \\ w = \frac{c}{t}z + \exp \left( {\nu \psi } \right){{t}^{\beta }}{{I}_{3}}\left( \xi \right), \\ \varphi = \frac{{c\left( {c - 1} \right)}}{{{{t}^{2}}}}{{z}^{2}} + {{t}^{{2\alpha }}}{{I}_{4}}\left( \xi \right),\,\,\,\,{\rho } = \frac{1}{{{{t}^{2}}}}{{I}_{5}}\left( \xi \right), \\ \xi = R{{t}^{{ - \alpha - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Функции в (31) удовлетворяют следующей системе уравнений:

(32)

Построим частное решение системы (32) при ${{I}_{2}} = {\text{const:}}$

(33)
${{I}_{2}} = {{V}_{0}},\,\,\,{{I}_{1}} = - \alpha \xi ,\,\,\,I_{4}^{'} = - \frac{{V_{0}^{2}}}{\xi } + \alpha \left( {\alpha + 1} \right)\xi \,.$

Используя выражение для $I_{4}^{'}$ в последнем уравнении (32), получим

(34)
${{I}_{5}} = c\left( {c - 1} \right) + 2\alpha \left( {\alpha + 1} \right).$

Уравнение для ${{I}_{5}}$ в (34) устанавливает связь параметров $\alpha $ и с:

(35)
$c = 2\left( {\alpha + 1} \right),\,\,\,\,{{I}_{5}} = 6{{\alpha }^{2}} + 8\alpha + 2.$

Из уравнений для ${{I}_{3}}$ в (32) и $I_{4}^{'}$ в (33) находим

(36)
$\begin{gathered} {{I}_{3}} = {{W}_{0}}{{\xi }^{\mu }}\exp \left( { - \frac{{\nu {{V}_{0}}}}{{2\alpha + 1}}\frac{1}{\xi }} \right),\,\,\,\,\mu = \frac{{\beta + 2\alpha + 2}}{{2\alpha + 1}}, \\ {{I}_{4}} = - V_{0}^{2}\ln \xi + \frac{1}{2}\alpha \left( {\alpha + 1} \right){{\xi }^{2}} + {{\Phi }_{0}}. \\ \end{gathered} $

В окончательном виде решение описывается формулами

(37)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = - \frac{\alpha }{t}R,\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = {{V}_{0}}{{t}^{\alpha }},\,\,\,\,w = \frac{{2\left( {\alpha + 1} \right)}}{t}z + \\ + \,\,{{W}_{0}}{{t}^{{\beta - \left( {\alpha + 1} \right)\mu }}}{{R}^{\mu }}\exp \left( {\nu \psi - \frac{{\nu {{V}_{0}}}}{{2\alpha + 1}}\frac{{{{t}^{{\alpha + 1}}}}}{R}} \right), \\ \varphi = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right)\left( {2\alpha + 1} \right)}}{{{{t}^{2}}}}{{z}^{2}} + \frac{1}{2}\frac{{\alpha \left( {\alpha + 1} \right)}}{{{{t}^{2}}}}{{R}^{2}} + \\ + \,\,{{t}^{{2\alpha }}}\left[ { - V_{0}^{2}\ln \left( {R{{t}^{{ - \alpha - 1}}}} \right) + {{\Phi }_{0}}} \right], \\ {\rho } = \frac{{6{{\alpha }^{2}} + 8\alpha + 2}}{{{{t}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Решение (37) справедливо при $\psi < 2\pi ,$ однако это не препятствует его использованию в качестве эталона при тестировании.

4. РЕШЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ТИПА

Решения четвертого типа описываются формулами

(38)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = RU\left( {t,\psi } \right),\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = RV\left( {t,\psi } \right), \\ w = az + RW\left( {t,\psi } \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + {{R}^{2}}\Phi \left( {t,\psi } \right) + a{{H}_{\psi }}Rz,\,\,\,\,{\rho } = {\rho }\left( {t,\psi } \right). \\ \end{gathered} $

Компоненты магнитного поля в системах x, y и R, $\psi $ связаны соотношениями

(39)
$\begin{gathered} {{H}_{R}} = {{H}_{x}}\cos \psi + {{H}_{y}}\,{\text{sin}}\psi , \\ {{H}_{\psi }} = - {{H}_{x}}\,{\text{sin}}\psi + {{H}_{y}}\cos \psi . \\ \end{gathered} $

4.1. Рассмотрим стационарное решение с функциями из (38) вида

(40)
$\begin{gathered} U = U\left( \psi \right),\,\,\,V = V\left( \psi \right),\,\,\,W = W\left( \psi \right), \\ \Phi = \Phi \left( \psi \right),\,\,\,\,\rho = \rho \left( \psi \right), \\ \end{gathered} $

удовлетворяющее следующей системе уравнений:

(41)

Построим частное решение системы (41) при $V = 0.$ В этом случае

(42)
$\begin{gathered} U = - \frac{a}{2},\,\,\,\,\Phi {\kern 1pt} ' = - \frac{a}{2}{{H}_{z}} - {{H}_{R}}W, \\ 2\Phi = \frac{{{{a}^{2}}}}{4} + W{{H}_{\psi }},\,\,\,\,W = - {{H}_{\psi }}. \\ \end{gathered} $

Учитывая связи

(43)
$H_{R}^{'} = {{H}_{\psi }},\,\,\,\,H_{\psi }^{'} = - {{H}_{R}},$

обнаруживаем, что уравнения для $\Phi $ в (42) совместны при ${{H}_{z}} = 0.$ В результате получаем

(44)

Вытекающее из нормировок условие ${\rho } > 0$ требует соответствующего соотношения между параметром а и величиной магнитного поля.

Окончательный вид решения описывается формулами

(45)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = - \frac{a}{2}R,\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,w = az - R{{H}_{\psi }}, \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}{{z}^{2}} + aRz{{H}_{\psi }} + \frac{1}{2}{{R}^{2}}\left( {\frac{{{{a}^{2}}}}{4} - H_{\psi }^{2}} \right), \\ {\rho } = \frac{3}{2}{{a}^{2}} - \left( {H_{x}^{2} + H_{y}^{2}} \right). \\ \end{gathered} $

Течение (45) является вихревым и немоноэнергетическим со следующими компонентами ротора обобщенного импульса $\vec {P}$ и полной энергией $\mathcal{H}$:

(46)
$\begin{gathered} {\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {P} = {\text{rot}}\left( {\vec {v} + \vec {A}} \right) = \left\{ {2{{H}_{R}},2{{H}_{\psi }},0} \right\}, \\ \mathcal{H} = \frac{1}{2}{{{\vec {v}}}^{2}} - \varphi = R{{H}_{\psi }}\left( {R{{H}_{\psi }} - 2az} \right). \\ \end{gathered} $

Решение (45) соответствует слоистому потоку с отсутствием перетекания между плоскостями $\psi = {\text{const}}$ в силу ${{v}_{\psi }} = 0$ при наличии азимутальных зависимостей у продольной компоненты скорости и потенциала.

5. РЕШЕНИЯ ПЯТОГО ТИПА

Параметры течения этого вида описываются формулами

(47)

5.1. При ${{H}_{x}} = {{H}_{z}} = 0,$ $h = \exp \left( {at} \right)$ рассмотрим решение

(48)
$\begin{gathered} u = - ax + U\left( {t,y} \right),\,\,\,\,v = V\left( y \right),\,\,\,\,w = az + W\left( {t,y} \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz + \Phi \left( y \right),\,\,\,\rho = \rho \left( y \right), \\ \end{gathered} $

функции V, Ф, $\rho $ для которого удовлетворяют уравнениям

(49)

а для компонент скорости u, w справедливы уравнения в частных производных

(50)
$\begin{gathered} \frac{{\partial U}}{{\partial t}} + V\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = aU - {{H}_{y}}W, \\ \frac{{\partial W}}{{\partial t}} + V\frac{{\partial W}}{{\partial y}} = {{H}_{y}}U - aW. \\ \end{gathered} $

Система (49) сводится к уравнению, формально совпадающему с уравнением для плоского магнетрона с магнитным полем $H_{z}^{2} = 2{{a}^{2}},$ хотя в нашем случае частота $\omega $ связана не с магнитным полем, а с параметром а:

(51)
$\begin{gathered} V = \frac{{dy}}{{d\tau }} \equiv \dot {y},\,\,\,\ddot {y} = \Phi {\kern 1pt} ',\,\,\,\,{{\left( {\Phi {\kern 1pt} '} \right)}^{\centerdot }} = {{J}_{0}} - 2{{a}^{2}}\dot {y}, \\ \Phi {\kern 1pt} ' = {{J}_{0}}\tau - 2{{a}^{2}}y + {{E}_{0}}, \\ \rho V = {{J}_{0}},\,\,\,\,\ddot {y} + 2{{a}^{2}}y = {{J}_{0}}\tau + {{E}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Решение системы (49) описывается формулами

(52)
$\begin{gathered} y = A\cos \,\omega \tau + B\,{\text{sin}}\,\omega \tau + \frac{{{{J}_{0}}}}{{{{\omega }^{2}}}}\tau + \frac{{{{E}_{0}}}}{{{{\omega }^{2}}}},\,\,\,\,{{\omega }^{2}} = 2{{a}^{2}}, \\ V = \omega \left( { - A\,{\text{sin}}\,\omega \tau + B\cos \,\omega \tau } \right) + \frac{{{{J}_{0}}}}{{{{\omega }^{2}}}}, \\ \Phi = \frac{1}{2}{{V}^{2}},\,\,\,\rho = \frac{{{{J}_{0}}}}{V}. \\ \end{gathered} $

Уравнения (50) могут быть проинтегрированы в двух случаях. В первом случае при $U = U\left( t \right),$ $W = W\left( t \right)$ имеем

(53)

На стационарное течение между плоскостями $y = {\text{const}}$, описываемое уравнениями (52), накладываются зависящие от времени и координат x, z сносовые скорости по этим осям:

(54)
$\begin{gathered} u = - \,ax + U\left( t \right),\,\,\,v = V\left( y \right),\,\,\,w = az + W\left( t \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz + \Phi \left( y \right),\,\,\,{\rho } = {\rho }\left( y \right). \\ \end{gathered} $

Второй случай решения уравнений (50) связан с рассмотрением трехмерного стационарного потока. При $U = U\left( y \right),$ $W = W\left( y \right)$ получаем

(55)
$VU{\kern 1pt} ' = aU - {{H}_{y}}W,\,\,\,\,VW{\kern 1pt} ' = {{H}_{y}}U - aW.$

В этом случае параметр $\tau $ в (51) тождествен t и аргумент t в (53), как и $\tau $ в (51), является функцией y: $t = t\left( y \right).$ Решение определено формулами

(56)
$\begin{gathered} u = - \,ax + U\left( y \right),\,\,\,\,v = V\left( y \right),\,\,\,w = az + W\left( y \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz + \Phi \left( y \right),\,\,\,{\rho } = {\rho }\left( y \right). \\ \end{gathered} $

Траектории течения, определяемого уравнениями (56), при начальных условиях $t = 0,$ $y = \dot {y} = U = 0$ описываются соотношениями

(57)
$\begin{gathered} x = \frac{\beta }{{{{a}^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}\left( {a\,{\text{sin}}\,\Omega t - \Omega \cos \Omega t} \right) + {{C}_{1}}\exp \left( { - at} \right), \\ y = \frac{{{{E}_{0}}}}{{{{\omega }^{2}}}}\left( {1 - \cos \omega t} \right) + \frac{{{{J}_{0}}}}{{{{\omega }^{3}}}}\left( {\omega t - {\text{sin}}\,\omega t} \right), \\ z = {{C}_{2}}\exp \left( {at} \right) - \frac{\beta }{{{{H}_{y}}}}{\text{sin}}\,\Omega t. \\ \end{gathered} $

При малых значениях параметра t эти функции имеют следующие асимптотики:

(58)
$\begin{gathered} x - {{x}_{0}} = - a{{x}_{0}}t,\,\,\,y = \frac{1}{2}{{E}_{0}}{{t}^{2}} + \frac{1}{6}{{J}_{0}}{{t}^{3}}, \\ z - {{z}_{0}} = \left( {a{{z}_{0}} - \frac{{\beta \Omega }}{{{{H}_{y}}}}} \right)t. \\ \end{gathered} $

Плоскость $y = 0$ можно трактовать как виртуальный эмиттер в Т-режиме, касательные компоненты скорости на котором отличны от нуля.

5.2. Решение с произвольной функцией $\Psi \left( t \right)$

(59)
$\begin{gathered} u = - ax + U\left( {t,y} \right),\,\,\,\,v = \Psi \left( t \right),\,\,\,w = az + W\left( {t,y} \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz + \Psi {\kern 1pt} 'y,\,\,\,\rho = \rho \left( t \right) \\ \end{gathered} $

имеет место при постоянной плотности $\rho = 2{{a}^{2}}$ и уравнениях (50) для функций U, W. Последние допускают решение вида

(60)
$\begin{gathered} U = \exp \left( {\alpha y} \right)\bar {U}\left( t \right),\,\,\,W = \exp \left( {\alpha y} \right)\bar {W}\left( t \right), \\ \bar {U}{\kern 1pt} '\, + \alpha \Psi \bar {U} = a\bar {U} - {{H}_{y}}\bar {W}, \\ \bar {W}{\kern 1pt} '\, + \alpha \Psi \bar {W} = {{H}_{y}}\bar {U} - a\bar {W}, \\ \end{gathered} $

уравнения для которого могут быть сведены к уравнению второго порядка

(61)

При $\Psi = {{\Psi }_{0}} = {\text{const}}$ решение уравнения (61) определено формулой

(62)
$\begin{gathered} \bar {U} = {{t}^{{ - {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 2}} \right. \kern-0em} 2} - \alpha {{\Psi }_{0}}}}}\left( {A\cos \Omega t + B\,{\text{sin}}\,\Omega t} \right), \\ {{\Omega }^{2}} = - \frac{5}{4}{{a}^{2}} - \alpha {{\Psi }_{0}}\left( {1 + 2\alpha {{\Psi }_{0}}} \right) + H_{y}^{2} > 0. \\ \end{gathered} $

Окончательная форма решения имеет вид

(63)
$\begin{gathered} u = - ax + {{t}^{{ - {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 2}} \right. \kern-0em} 2} - \alpha {{\Psi }_{0}}}}}\left( {A\cos \Omega t + B\,{\text{sin}}\,\Omega t} \right)\exp \left( {\alpha y} \right), \\ v = {{\Psi }_{0}},\,\,\,w = az + \frac{1}{{{{H}_{y}}}}{{t}^{{ - {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 2}} \right. \kern-0em} 2} - \alpha {{\Psi }_{0}}}}}\left[ {\left( {\frac{{{a \mathord{\left/ {\vphantom {a 2}} \right. \kern-0em} 2} + \alpha {{\Psi }_{0}}}}{t} + a - \alpha {{\Psi }_{0}}} \right)} \right.\left( {A\cos \Omega t + B\,{\text{sin}}\,\Omega t} \right) + \\ \left. { + \,\,\Omega \left( {A\,{\text{sin}}\,\Omega t - B\cos \Omega t} \right)} \right]\exp \left( {\alpha y} \right),\,\,\,\,\varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz,\,\,\,\rho = 2{{a}^{2}}. \\ \end{gathered} $

5.3. Рассмотрим решение с ${{h{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{h{\kern 1pt} '} h}} \right. \kern-0em} h} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c t}} \right. \kern-0em} t},$ $\vec {H} = 0$ и следующей специализацией функций в (47):

(64)
$\begin{gathered} u = - \frac{c}{t}x + {{t}^{\beta }}{{I}_{1}}\left( \xi \right),\,\,\,v = {{t}^{\alpha }}{{I}_{2}}\left( \xi \right),\,\,\,w = \frac{c}{t}z + {{t}^{\gamma }}{{I}_{3}}\left( \xi \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}\frac{c}{{{{t}^{2}}}}\left[ {\left( {c + 1} \right){{x}^{2}} + \left( {c - 1} \right){{z}^{2}}} \right] + {{t}^{{2\alpha }}}{{I}_{4}}\left( \xi \right), \\ {\rho } = \frac{1}{{{{t}^{2}}}}{{I}_{5}}\left( \xi \right),\,\,\,\xi = y{{t}^{{ - \alpha - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Функции из (64) описываются уравнениями

(65)

Построим частное решение для случая ${{I}_{1}} \equiv 0.$ Введем вместо $\xi $ новую переменную $\tau \left( \xi \right),$ определив ее уравнением

(66)
${{I}_{2}} - \left( {\alpha + 1} \right)\xi = \frac{{d\xi }}{{d\tau }} \equiv \dot {\xi }.$

При этом система (65) с учетом соотношения

(67)
$I_{2}^{'} - \left( {\alpha + 1} \right) = \frac{{d\dot {\xi }}}{{d\xi }} = \frac{1}{{\dot {\xi }}}\frac{{d\dot {\xi }}}{{d\tau }} = \frac{{\ddot {\xi }}}{{\dot {\xi }}}$

примет вид

(68)

В результате для функций ${{I}_{3}},$ ${{I}_{5}}$ получаем

(69)
${{I}_{3}} = {{W}_{0}}\exp \left[ { - \left( {\gamma + c} \right)\tau } \right],\,\,\,\,{{I}_{5}} = \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{\dot {\xi }}}\exp \left( {2\tau } \right).$

Домножив последнее уравнение в (68) на $\dot {\xi }$ и используя первое уравнение этой системы, приходим к уравнению второго порядка относительно переменной $\xi $

(70)

Линейное уравнение из (70) имеет следующее решение:

(71)
$\begin{gathered} \xi = {{\xi }_{0}} + \left( {A\cos \Omega t + B\,{\text{sin}}\,\Omega t} \right)\exp \left[ { - \left( {\alpha + \frac{1}{2}} \right)\tau } \right] + \\ + \,\,{{{{\bar {\rho }}}}_{0}}\exp \left( {2\tau } \right),\,\,\,{{{{\bar {\rho }}}}_{0}} = {{{{{\rho }}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\rho }}_{0}}} {\left[ {2\left( {{{\alpha }^{2}} + 5\alpha + 6 + 2{{c}^{2}}} \right)} \right]}}} \right. \kern-0em} {\left[ {2\left( {{{\alpha }^{2}} + 5\alpha + 6 + 2{{c}^{2}}} \right)} \right]}}, \\ {{\xi }_{0}} = {{{{\Phi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\Phi }_{0}}} {\left[ {\alpha \left( {\alpha + 1} \right) + 2{{c}^{2}}} \right]}}} \right. \kern-0em} {\left[ {\alpha \left( {\alpha + 1} \right) + 2{{c}^{2}}} \right]}}, \\ {{\Omega }^{2}} = 2{{c}^{2}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4} > 0. \\ \end{gathered} $

Из первого уравнения в (68) находим

(72)
$\begin{gathered} {{{\dot {I}}}_{4}} = \dot {\xi }I_{4}^{'} = \dot {\xi }\left( {{{{\dot {I}}}_{2}} + \alpha {{I}_{2}}} \right) = \\ = \dot {\xi }\ddot {\xi } + \left( {2\alpha + 1} \right){{{\dot {\xi }}}^{2}} + \alpha \left( {\alpha + 1} \right)\xi \dot {\xi }, \\ {{I}_{4}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {\alpha + 1} \right){{\xi }^{2}} + \frac{1}{2}{{{\dot {\xi }}}^{2}} + \left( {2\alpha + 1} \right)\int {{{{\dot {\xi }}}^{2}}d\tau } . \\ \end{gathered} $

Подсчет функций ${{I}_{2}},$ ${{I}_{4}}$ из (70), (72) сводится к алгебраическим операциям и легко берущемуся интегралу. В результате функция ${{I}_{4}}$ содержит линейные комбинации следующих агрегатов:

(73)
$\begin{gathered} \exp \left( {4\tau } \right),\,\,\,\exp \left[ {\left( { - \alpha + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\tau } \right] \times \\ \times \,\,\left( {{{C}_{1}}\cos \Omega \tau + {{C}_{2}}\,{\text{sin}}\,\Omega \tau } \right), \\ \exp \left[ { - \left( {2\alpha + 1} \right)\tau } \right]\left( {{{C}_{3}} + {{C}_{4}}\cos 2\Omega \tau + {{C}_{5}}\,{\text{sin}}\,2\Omega \tau } \right). \\ \end{gathered} $

Константы решения не удается подобрать так, чтобы оно выходило на стационарный режим с ${\rho } \ne 0,$ с течением времени пространство в осцилляционном режиме освобождается от пространственного заряда. Полный набор параметров потока описывается формулами

(74)
$\begin{gathered} u = - \frac{c}{t}x,\,\,\,\,v = {{t}^{\alpha }}{{I}_{2}}\left( \xi \right),\, \\ \,w = \frac{c}{t}z + \,\,{{W}_{0}}{{t}^{\gamma }}\exp \left[ { - \left( {\gamma + c} \right)\tau } \right], \\ \varphi = \frac{1}{2}\frac{c}{{{{t}^{2}}}}\left[ {\left( {c + 1} \right){{x}^{2}} + \left( {c - 1} \right){{z}^{2}}} \right] + {{t}^{{2\alpha }}}{{I}_{4}}\left( \xi \right), \\ {\rho } = \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{{{t}^{2}}}}\frac{{\exp \left( {2\tau } \right)}}{{\dot {\xi }}},\,\,\,\,\tau = \tau \left( \xi \right),\,\,\,\xi = y{{t}^{{ - \alpha - 1}}}. \\ \end{gathered} $

5.4. Решение следующей структуры:

(75)
$\begin{gathered} u = - ax + \exp \left( {\beta t} \right){{I}_{1}}\left( \xi \right),\,\,\,\,v = \exp \left( {\alpha t} \right){{I}_{2}}\left( \xi \right), \\ w = az + \exp \left( {\beta t} \right){{I}_{3}}\left( \xi \right), \\ \varphi = \frac{1}{2}{{a}^{2}}\left( {{{x}^{2}} + {{z}^{2}}} \right) + a{{H}_{y}}xz + \exp \left( {2\alpha t} \right){{I}_{4}}\left( \xi \right), \\ {\rho } = {{I}_{5}}\left( \xi \right),\,\,\,\,\xi = y\exp \left( { - \alpha t} \right) \\ \end{gathered} $

удовлетворяет уравнениям

(76)

Подобно предыдущему случаю введем новую переменную $\tau \left( \xi \right),$ определяемую соотношением

(77)
${{I}_{2}} - \alpha \xi = \frac{{d\xi }}{{d\tau }} \equiv \dot {\xi }.$

Перейдем к этой переменной в уравнениях системы (76)

(78)
$\begin{gathered} {{{\dot {I}}}_{1}} + \left( {\beta - a} \right){{I}_{1}} = - {{H}_{y}}{{I}_{3}},\,\,\,\,{{{\dot {I}}}_{2}} + \alpha {{I}_{2}} = I_{4}^{'}, \\ {{{\dot {I}}}_{3}} + \left( {\beta - a} \right){{I}_{3}} = {{H}_{y}}{{I}_{1}},\,\,\,\,{{{\dot {I}}}_{5}} + I_{2}^{'}{{I}_{5}} = 0, \\ {{\left( {I_{4}^{'}} \right)}^{\centerdot }} = \dot {\xi }\left( {{{I}_{5}} - 2{{a}^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Уравнения для функций ${{I}_{1}}$, ${{I}_{3}}$ трансформируются в уравнение второго порядка

(79)
$\begin{gathered} {{{\ddot {I}}}_{1}} + 2\left( {\beta - a} \right){{{\dot {I}}}_{1}} + \left[ {{{{\left( {\beta - a} \right)}}^{2}} + H_{y}^{2}} \right]{{I}_{1}} = 0, \\ {{I}_{1}} = \left( {A\cos \omega \tau + B\,{\text{sin}}\,\omega \tau } \right)\exp \left[ { - \left( {\beta - a} \right)\tau } \right], \\ \omega = {{H}_{y}}, \\ {{I}_{3}} = - \left( {B\cos \omega \tau - A\,{\text{sin}}\,\omega \tau } \right)\exp \left[ { - \left( {\beta - a} \right)\tau } \right]. \\ \end{gathered} $

Из уравнений (78) следует выражение для функции ${{I}_{5}}$:

(80)
$I_{2}^{'} = \frac{1}{{\dot {\xi }}}{{\dot {I}}_{2}} = \frac{{\ddot {\xi }}}{{\dot {\xi }}} + \alpha ,\,\,\,\,{{I}_{5}} = \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{\dot {\xi }}}\exp \left( { - \alpha \tau } \right).$

Теперь поддается интегрированию и уравнение для ${{I}_{4}}$

(81)
$\begin{gathered} {{\left( {I_{4}^{'}} \right)}^{\centerdot }} = {{{\rho }}_{0}}\exp \left( { - \alpha \tau } \right) - 2{{a}^{2}}\dot {\xi }, \\ I_{4}^{'} = - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{\alpha }\exp \left( { - \alpha \tau } \right) - 2{{a}^{2}}\xi + {{E}_{0}}, \\ {{{\dot {I}}}_{4}} = - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{\alpha }\dot {\xi }\exp \left( { - \alpha \tau } \right) - 2{{a}^{2}}\xi \dot {\xi } + {{E}_{0}}\dot {\xi }, \\ {{I}_{4}} = - {{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + {{E}_{0}}\xi - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{\alpha }\int {\exp \left( { - \alpha \tau } \right)\dot {\xi }d\tau } . \\ \end{gathered} $

Уравнение для ${{I}_{2}}$ в (78) позволяет установить зависимость $\xi = \xi \left( \tau \right)$

(82)
$\begin{gathered} \ddot {\xi } + 2\alpha \dot {\xi } + \left( {{{\alpha }^{2}} + 2{{a}^{2}}} \right)\xi = - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{\alpha }\exp \left( { - \alpha \tau } \right) + {{E}_{0}}, \\ {{\Omega }^{2}} = 2{{a}^{2}}, \\ \xi = \left( { - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{\alpha {{\Omega }^{2}}}} + C\cos \Omega \tau + D\,{\text{sin}}\,\Omega \tau } \right)\exp \left( { - \alpha \tau } \right) + \\ + \,\,\frac{{{{E}_{0}}}}{{{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Функция ${{I}_{4}}$ описывается выражением

(83)
$\begin{gathered} {{I}_{4}} = - {{a}^{2}}\exp \left( { - 2\alpha \tau } \right)\left[ {\frac{{{\rho }_{0}^{2}}}{{{{\alpha }^{2}}{{\Omega }^{4}}}} + \frac{1}{2}\left( {{{C}^{2}} + {{D}^{2}}} \right) - } \right. \\ - \,\,\frac{{2{{{\rho }}_{0}}}}{{\alpha {{\Omega }^{2}}}}\left( {C\cos \Omega \tau + D\,{\text{sin}}\,\Omega \tau } \right) + \\ \left. { + \,\,\frac{1}{2}\left( {{{C}^{2}} - {{D}^{2}}} \right)\cos 2\Omega \tau + CD\,{\text{sin}}\,2\Omega \tau } \right] + \\ + \,\,\exp \left( { - 3\alpha \tau } \right)\left\{ {\frac{1}{3}\frac{{{\rho }_{0}^{2}}}{{{{\alpha }^{2}}{{\Omega }^{2}}}} + \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{9{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}} \right. \times \\ \times \,\,\left[ { - \left( {3{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}} \right)C + 2\Omega D} \right]\cos \Omega \tau - \\ \left. { - \,\,\frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{9{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}\left[ {2\Omega C + \left( {3{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}} \right)D} \right]{\text{sin}}\,2\Omega \tau } \right\} + \\ + \,\,\frac{{2{{\alpha }^{2}}{{E}_{0}}}}{{{{\alpha }^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}\exp \left( { - \alpha \tau } \right)\left( { - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{\alpha {{\Omega }^{2}}}} + C\cos \Omega \tau + D\,{\text{sin}}\,\Omega \tau } \right). \\ \end{gathered} $

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Роль точных решений как эталонов при тестировании приближенных и численных моделей хорошо известна [5]. Несмотря на необходимость обеспечения ошибки на уровне десятых долей процента [7] при расчетах электронно-оптических систем для современных приборов СВЧ, в которых используются пучки с высокой компрессией, до сих пор остается открытой проблема физического тестирования на наборах эталонных точных решений для пакетов траекторного анализа, включая их коммерческие варианты. Известны две работы [8, 9] с тестированием программ предыдущего поколения, в которых на отдельных точных решениях выявлена ошибка в 7 и 3%, вполне устроившая их авторов. Приближенные геометризованные модели прошли тестирование на полном наборе эталонных решений с аддитивным и мультипликативным разделением переменных [10], причем одновременно с ними исследовалась параксиальная модель трубчатых пучков классической теории. Последние разработки численных алгоритмов [11] в области с исключенной проблемой сингулярной окрестности катода (куб, вырезанный из плоского диода с током, изменяющимся по закону ${3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$) приближаются к указанной выше желаемой ошибке порядка ${{10}^{{ - 3}}}$.

Рабочие режимы работы приборов СВЧ связаны с осцилляционными процессами, однако примеры соответствующих тестовых исследований неизвестны автору. Следует заметить, что решения нестационарных уравнений пучка в элементарных функциях, особенно удобные для этих целей, в литературе отсутствовали. Приведенные выше результаты, описывающие трехмерные нестационарные потоки, могут заполнить этот пробел. Среди трехмерных стационарных решений обнаружен пример, соответствующий эмиссии с неэквипотенциального катода в ${\rho }$-режиме, а также вариант инжекции по касательной с плоскости, на которой выполнены условия эмиссии, ограниченной температурой.

Список литературы

  1. Сыровой В.А. Введение в теорию интенсивных пучков заряженных частиц. М.: Энергоатомиздат, 2004.

  2. Meltzer B. // Proc. Phys. Soc. 1949. V. 62. № 360B. P. 813.

  3. Kent G. // Communic. Electr. 1960. V. 79. № 48. P. 144.

  4. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2009. T. 54. № 9. C. 1110.

  5. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2003. T. 48. № 3. C. 362.

  6. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2008. T. 53. № 6. C. 752.

  7. Акимов П.И., Никитин А.П., Сыровой В.А. // Электронная техника. Сер. 1. СВЧ-техника. 2018. № 1. С. 32.

  8. Birtles A.B., Dirmikis D. // Int. J. Electronics. 1975. V. 38. № 1. P. 49.

  9. Мануилов В.Н., Райский Б.В., Цимринг Ш.Е., Солуянова Е.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. Т. 35. № 9/10. С. 846.

  10. Сапронова Т.М., Сыровой В.А. // РЭ. 2010. Т. 55. № 6. С. 726.

  11. Козырев А.Н., Свешников В.М. // Прикл. физика. 2018. № 1. С. 30.

Дополнительные материалы отсутствуют.