Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 3, стр. 265-267
Представление импульсного волнового поля набором метачастиц
В. В. Шевченко *
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация
* E-mail: sto@cplire.ru
Поступила в редакцию 26.10.2018
После доработки 26.10.2018
Принята к публикации 31.10.2018
Аннотация
Рассмотрены свойства направленно излученного осесимметричного импульса волнового поля, представленного набором осесимметричных метачастиц импульсных волновых полей. Найдено значение энергии, переносимой рассматриваемым импульсом и полученной в виде суммы энергий составляющих метачастиц.
1. Ранее в работе [1] было введено понятие метачастиц импульсных волновых полей (электромагнитного, акустического), направленно излученных апертурными источниками (антеннами, лазерами, акустическими мембранами) и распространяющихся в свободном пространстве и в однородных изотропных средах. Ниже рассмотрен пример возбуждения осесимметричных метачастиц круглой апертурой при направленном излучении осесимметричного волнового импульса.
2. В случае излучения осесимметричного импульса волнового поля функции полей метачастиц описываются в цилиндрических координатах r, φ, z независящими от угла φ функциями [1]:
(1)
$\begin{gathered} {{f}_{{ln}}}\left( {r,z,t} \right) = \\ = {{C}_{l}}{{{\bar {U}}}_{l}}\left( {z,t} \right){{C}_{n}}{{{\bar {V}}}_{n}}\left( {r,0,z} \right){\text{exp}}\left[ { - i\left( {kz - \omega t} \right)} \right], \\ \end{gathered} $Структурные функции метачастиц ${{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right)$ и ${{\bar {V}}_{n}}\left( {r,0,z} \right)$ в (1) имеют вид
(2)
${{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right) = {{U}_{l}}\left( \zeta \right) = N_{l}^{{ - 1}}{{H}_{l}}\left( \zeta \right){\text{exp}}\left( {{{ - {{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\zeta }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right),$(3)
${{\delta }_{L}} = \frac{1}{{kL}} = \frac{1}{\pi }\frac{\lambda }{{2L}},\,\,\,\,\quad\delta _{L}^{2} \ll 1\quad\,\,{\text{п р и }}\,\,\frac{\lambda }{{2L}} \leqslant 1,$(4)
$\begin{gathered} {{{\bar {V}}}_{n}}\left( {r,0,z} \right) = {{V}_{n}}\left( {\rho ,z} \right) = {{L}_{n}}({{\rho }^{2}}){\text{cos}}\sigma \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left\{ {{{ - {{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + i\left[ {\left( {1 + 2n} \right)\sigma - {{{{u}_{a}}{{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{a}}{{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $(5)
$\begin{gathered} {{\delta }_{a}} = \frac{1}{{ka}} = \frac{1}{\pi }\frac{\lambda }{{2a}},\,\,\,\,\quad\delta _{a}^{2} \ll 1\,\,\,\,{\text{п р и }}\quad \\ \frac{\lambda }{{2a}} \leqslant 1, \\ \end{gathered} $Отметим, что функции $\quad{{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right)$ по сравнению с функциями, приведенными в [1], здесь скорректированы, т.е. заменены на функции (2) и совпадают с опубликованными ранее при значении в них параметра $\quad\tau = 0.$
3. Пусть, например, импульсное волновое поле, излученное апертурным источником в направлении оси z, можно описать в плоскости апертуры, расположенной при z = 0, следующей функцией:
(6)
$\begin{gathered} f\left( {r,0,t} \right) = ({{{{e}^{2}}\sqrt[4]{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}\sqrt[4]{\pi }} 2}} \right. \kern-0em} 2})M\left( {\zeta ,\rho } \right) \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left[ { - {{({{\zeta }^{2}} + {{\rho }^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\zeta }^{2}} + {{\rho }^{2}})} 2}} \right. \kern-0em} 2} + i\omega t} \right] = \\ = M(\zeta ,\rho )U(\zeta )V(\rho ){\text{exp(}}i\omega t{\text{),}} \\ \end{gathered} $(7)
$\begin{gathered} U(\zeta ) = ({{e\sqrt[4]{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{e\sqrt[4]{\pi }} 2}} \right. \kern-0em} 2}){\text{exp(}}{{ - {{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\zeta }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}{\text{)}}, \\ V(\rho ) = e{\text{exp(}}{{ - {{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}{\text{)}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $При этом важно отметить, что функции рассматриваемых здесь импульсов от аргументов
включая структурные функции метачастиц, описывают волновые импульсы так, что при фиксированных значениях t и r они являются функциями от z, а при фиксированном z (в данном случае z = 0) – функциями от t и r соответственно.
Поскольку для структурных функций метачастиц (2)–(5) выполняются условия ортонормировки [1, 6–9], то имеем
и, следовательно, коэффициенты ${{C}_{l}},$ ${{C}_{n}}$ в выражении (1) можно вычислить [1] по формулам(10)
${{C}_{l}} = \int\limits_{ - 1}^1 U (\zeta ){{U}_{l}}(\zeta )d\zeta ,\,\,\,\,{{C}_{n}} = \int\limits_0^1 V (\rho ){{V}_{n}}\left( {\rho ,0} \right)2\rho d\rho .$Для четных и нечетных l: $l = 2\upsilon ,$ $l = 2\upsilon - 1,$ получим
(11)
${{C}_{{\upsilon = 0}}} = \frac{e}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\exp } ( - {{\zeta }^{2}})d\zeta = \frac{e}{2}\sqrt \pi \Phi (\sqrt 2 ) = 2,$(12)
$\begin{gathered} {{C}_{{2\upsilon }}} = \frac{{e\sqrt[4]{\pi }}}{{2{{N}_{{2\upsilon }}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {\exp ( - {{\zeta }^{2}})} {{H}_{{2\upsilon }}}(\zeta )d\zeta = \\ = - \quad\quad\left. {\frac{{\begin{array}{*{20}{c}} {\exp (1 - {{\zeta }^{2}}){{H}_{{2\upsilon - 1}}}} \end{array}(\zeta )}}{{{{2}^{\upsilon }}{{{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} \right|_{0}^{1} = \mp \frac{1}{{{{{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}, \\ \end{gathered} $поскольку $\int_{ - 1}^1 {\exp } ( - {{\zeta }^{2}}){{H}_{{2\upsilon - 1}}}(\zeta )d\zeta = 0,$ где υ = 1, 2, 3, …, $\Phi (\sqrt 2 ) = 0.84$ – значение интеграла вероятности [10], и аналогично
(14)
$\begin{gathered} {{С }_{{n = 0}}} = e\int\limits_0^1 {\exp ( - {{\rho }^{2}})} 2\rho d\rho = \\ = e\int\limits_0^1 {\exp ( - x)dx} = - \exp \left. {(1 - x)} \right|_{0}^{1} = e - 1 = \quad\quad\quad1.7, \\ \end{gathered} $(15)
$\begin{gathered} {{С }_{n}} = e\int\limits_0^1 {\exp ( - {{\rho }^{2}})} {{L}_{n}}({{\rho }^{2}})2\rho d\rho = \\ = \exp \left( {1 - x} \right)\left. {\left[ {{{L}_{{n - 1}}}(x) - {{L}_{n}}(x)} \right]} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{{n!}},\quad \\ \end{gathered} $В итоге функцию поля рассматриваемого импульса можно представить [1] в виде суммы функций полей метачастиц:
(16)
$\begin{gathered} f\left( {r,z,t} \right) = \sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{f}_{{\left( {2\upsilon } \right)n}}}} } \left( {r,z,t} \right) = \\ = \sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {{{C}_{{2\upsilon }}}} {{U}_{{2\upsilon }}}(\zeta )\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{C}_{n}}{{V}_{n}}} \left( {\rho ,z} \right){\text{exp}}\left[ { - i\left( {kz - \omega t} \right)} \right],\quad \\ \end{gathered} $4. Энергия, переносимая рассматриваемым импульсом волнового поля, на основании (9) тоже может быть представлена в виде суммы энергий метачастиц [1]:
(17)
${\text{Э }} = \sum\limits_{\upsilon ,n} {{{{\text{Э }}}_{{\upsilon ,n}}}} = A_{0}^{2}\sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {{{{\left| {{{С }_{{2\upsilon }}}} \right|}}^{2}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left| {{{С }_{n}}} \right|}}^{2}}} ,$(18)
$\begin{gathered} {{{{\bar {Э }}}}_{{00}}} = C_{{\upsilon = 0}}^{2}C_{{n = 0}}^{2} = 11.6, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{01}}} = C_{{\upsilon = 0}}^{2}C_{{n = 1}}^{2} = 4.0, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{10}}} = C_{{2\upsilon = 2}}^{2}C_{{n = 0}}^{2} = 1.4, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{\upsilon n}}} = C_{{2\upsilon }}^{2}C_{n}^{2} = {{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!{{{\left( {n!} \right)}}^{2}}} \right]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $Полная же относительная энергия импульса равна сумме:
(19)
${\bar {Э }} = {{{\bar {Э }}}_{{00}}} + {{{\bar {Э }}}_{{01}}} + {{{\bar {Э }}}_{{10}}} + \sum\limits_{\upsilon = 1}^\infty {С _{{2\upsilon }}^{2}} \sum\limits_{n = 1}^\infty {С _{n}^{2}} ,$${\text{ch}}\left( 1 \right) = 1.54$ – значение гиперболического косинуса, ${{I}_{0}}\left( 2 \right) = 2.28$ – значение модифицированной функции Бесселя [10, 11].
В результате для полной относительной энергии импульса получим
Таким образом, основная часть энергии переносится метачастицей с нулевыми индексами, поскольку$\quad{{{{{{\bar {Э }}}}_{{00}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\bar {Э }}}}_{{00}}}} {{\bar {Э }}\quad}}} \right. \kern-0em} {{\bar {Э }}\quad}} = 0.66,$ т.е. для рассматриваемого импульса энергия этой частицы составляет 2/3 от полной энергии импульса.
Список литературы
Шeвчeнкo B.B. // PЭ. 2018. T. 63. № 9. C. 899.
Квазиоптика. Сб. статей / Под ред. Каценеленбаума Б.З. и Шевченко В.В. М.: Мир, 1966.
Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974.
Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.
Katsenelenbaum B.Z. High-frequency Electrodynamics. Weinheim: Wiley-VCH, 2006.
Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Дрофа, 2006.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962.
Справочник по специальным функциям. Сб. статей / Под ред. Абрамовица М. и Стиган И. М.: Наука, 1979.
Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1964.
Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника