Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 3, стр. 265-267

Представление импульсного волнового поля набором метачастиц

В. В. Шевченко *

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

* E-mail: sto@cplire.ru

Поступила в редакцию 26.10.2018
После доработки 26.10.2018
Принята к публикации 31.10.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены свойства направленно излученного осесимметричного импульса волнового поля, представленного набором осесимметричных метачастиц импульсных волновых полей. Найдено значение энергии, переносимой рассматриваемым импульсом и полученной в виде суммы энергий составляющих метачастиц.

1. Ранее в работе [1] было введено понятие метачастиц импульсных волновых полей (электромагнитного, акустического), направленно излученных апертурными источниками (антеннами, лазерами, акустическими мембранами) и распространяющихся в свободном пространстве и в однородных изотропных средах. Ниже рассмотрен пример возбуждения осесимметричных метачастиц круглой апертурой при направленном излучении осесимметричного волнового импульса.

2. В случае излучения осесимметричного импульса волнового поля функции полей метачастиц описываются в цилиндрических координатах r, φ, z независящими от угла φ функциями [1]:

(1)
$\begin{gathered} {{f}_{{ln}}}\left( {r,z,t} \right) = \\ = {{C}_{l}}{{{\bar {U}}}_{l}}\left( {z,t} \right){{C}_{n}}{{{\bar {V}}}_{n}}\left( {r,0,z} \right){\text{exp}}\left[ { - i\left( {kz - \omega t} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где l = 0, 1, 2, …, n = 0, 1, 2, …, коэффициенты ${{C}_{l}},$ ${{C}_{n}}$ – амплитудные константы, $k = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda } = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega v}} \right. \kern-0em} v},$ λ – длина волны, ω круговая частота поля, $v$ – скорость распространения волны, в частности для электромагнитной волны в свободном пространстве $v$ = с – скорости света, t – время.

Структурные функции метачастиц ${{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right)$ и ${{\bar {V}}_{n}}\left( {r,0,z} \right)$ в (1) имеют вид

(2)
${{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right) = {{U}_{l}}\left( \zeta \right) = N_{l}^{{ - 1}}{{H}_{l}}\left( \zeta \right){\text{exp}}\left( {{{ - {{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\zeta }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right),$
где ${{N}_{l}} = {{\left( {{{2}^{l}}l!\sqrt \pi } \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ ${{H}_{l}}\left( \zeta \right)$ – полином Эрмита [19], $\zeta = {{\left( {z - vt} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {z - vt} \right)} L}} \right. \kern-0em} L}$ = ${{\delta }_{L}}\left( {kz - \omega t} \right),$
(3)
${{\delta }_{L}} = \frac{1}{{kL}} = \frac{1}{\pi }\frac{\lambda }{{2L}},\,\,\,\,\quad\delta _{L}^{2} \ll 1\quad\,\,{\text{п р и }}\,\,\frac{\lambda }{{2L}} \leqslant 1,$
L – эффективная полудлина поля метачастицы вдоль оси z, ω средняя (несущая) частота узкой (при условии (3)) полосы частот [46] метачастицы;
(4)
$\begin{gathered} {{{\bar {V}}}_{n}}\left( {r,0,z} \right) = {{V}_{n}}\left( {\rho ,z} \right) = {{L}_{n}}({{\rho }^{2}}){\text{cos}}\sigma \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left\{ {{{ - {{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + i\left[ {\left( {1 + 2n} \right)\sigma - {{{{u}_{a}}{{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{a}}{{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
где ${{L}_{n}}({{\rho }^{2}})$ – полином Лагерра [19], $\rho = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r {{{w}_{a}}}}} \right. \kern-0em} {{{w}_{a}}}},$ ${{w}_{a}} = {a \mathord{\left/ {\vphantom {a {{\text{cos}}\sigma }}} \right. \kern-0em} {{\text{cos}}\sigma }},$ $\sigma = {\text{arctg}}\quad{{u}_{a}},$ ${\text{cos}}\sigma = {{\left( {1 + u_{a}^{2}} \right)}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$ ${{u}_{a}} = {{{{\delta }_{a}}z} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{a}}z} a}} \right. \kern-0em} a} = \delta _{a}^{2}kz,$
(5)
$\begin{gathered} {{\delta }_{a}} = \frac{1}{{ka}} = \frac{1}{\pi }\frac{\lambda }{{2a}},\,\,\,\,\quad\delta _{a}^{2} \ll 1\,\,\,\,{\text{п р и }}\quad \\ \frac{\lambda }{{2a}} \leqslant 1, \\ \end{gathered} $
a – радиус круглой излучающей апертуры.

Отметим, что функции $\quad{{\bar {U}}_{l}}\left( {z,t} \right)$ по сравнению с функциями, приведенными в [1], здесь скорректированы, т.е. заменены на функции (2) и совпадают с опубликованными ранее при значении в них параметра $\quad\tau = 0.$

3. Пусть, например, импульсное волновое поле, излученное апертурным источником в направлении оси z, можно описать в плоскости апертуры, расположенной при z = 0, следующей функцией:

(6)
$\begin{gathered} f\left( {r,0,t} \right) = ({{{{e}^{2}}\sqrt[4]{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}\sqrt[4]{\pi }} 2}} \right. \kern-0em} 2})M\left( {\zeta ,\rho } \right) \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left[ { - {{({{\zeta }^{2}} + {{\rho }^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\zeta }^{2}} + {{\rho }^{2}})} 2}} \right. \kern-0em} 2} + i\omega t} \right] = \\ = M(\zeta ,\rho )U(\zeta )V(\rho ){\text{exp(}}i\omega t{\text{),}} \\ \end{gathered} $
где $\zeta = {{ - \nu t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \nu t} L}} \right. \kern-0em} L},$ $\rho = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r a}} \right. \kern-0em} a}$ при z = 0,

$M\left( {\zeta ,\rho } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1\quad\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\, - 1 \leqslant \zeta \leqslant 1,\,\,\,\,{\;}\rho \leqslant 1,\quad\quad} \\ {0\quad\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{\;}\zeta < - 1,\,\,\,\,\quad1 < \zeta ,\,\,\,\,\quad\quad1 < \rho ,} \end{array}} \right.$
(7)
$\begin{gathered} U(\zeta ) = ({{e\sqrt[4]{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{e\sqrt[4]{\pi }} 2}} \right. \kern-0em} 2}){\text{exp(}}{{ - {{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\zeta }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}{\text{)}}, \\ V(\rho ) = e{\text{exp(}}{{ - {{\rho }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\rho }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}{\text{)}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

При этом важно отметить, что функции рассматриваемых здесь импульсов от аргументов

(8)
$\zeta = \zeta \left( {z,t} \right),\,\,\,\,\rho = \rho \left( {r,z} \right),$

включая структурные функции метачастиц, описывают волновые импульсы так, что при фиксированных значениях t и r они являются функциями от z, а при фиксированном z (в данном случае z = 0) – функциями от t и r соответственно.

Поскольку для структурных функций метачастиц (2)–(5) выполняются условия ортонормировки [1, 69], то имеем

(9)
и, следовательно, коэффициенты ${{C}_{l}},$ ${{C}_{n}}$ в выражении (1) можно вычислить [1] по формулам

(10)
${{C}_{l}} = \int\limits_{ - 1}^1 U (\zeta ){{U}_{l}}(\zeta )d\zeta ,\,\,\,\,{{C}_{n}} = \int\limits_0^1 V (\rho ){{V}_{n}}\left( {\rho ,0} \right)2\rho d\rho .$

Для четных и нечетных l: $l = 2\upsilon ,$ $l = 2\upsilon - 1,$ получим

(11)
${{C}_{{\upsilon = 0}}} = \frac{e}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\exp } ( - {{\zeta }^{2}})d\zeta = \frac{e}{2}\sqrt \pi \Phi (\sqrt 2 ) = 2,$
(12)
$\begin{gathered} {{C}_{{2\upsilon }}} = \frac{{e\sqrt[4]{\pi }}}{{2{{N}_{{2\upsilon }}}}}\int\limits_{ - 1}^1 {\exp ( - {{\zeta }^{2}})} {{H}_{{2\upsilon }}}(\zeta )d\zeta = \\ = - \quad\quad\left. {\frac{{\begin{array}{*{20}{c}} {\exp (1 - {{\zeta }^{2}}){{H}_{{2\upsilon - 1}}}} \end{array}(\zeta )}}{{{{2}^{\upsilon }}{{{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} \right|_{0}^{1} = \mp \frac{1}{{{{{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}, \\ \end{gathered} $
(13)
${{C}_{{2\upsilon - 1}}} = 0,$

поскольку $\int_{ - 1}^1 {\exp } ( - {{\zeta }^{2}}){{H}_{{2\upsilon - 1}}}(\zeta )d\zeta = 0,$ где υ = 1, 2, 3, …, $\Phi (\sqrt 2 ) = 0.84$ – значение интеграла вероятности [10], и аналогично

(14)
$\begin{gathered} {{С }_{{n = 0}}} = e\int\limits_0^1 {\exp ( - {{\rho }^{2}})} 2\rho d\rho = \\ = e\int\limits_0^1 {\exp ( - x)dx} = - \exp \left. {(1 - x)} \right|_{0}^{1} = e - 1 = \quad\quad\quad1.7, \\ \end{gathered} $
(15)
$\begin{gathered} {{С }_{n}} = e\int\limits_0^1 {\exp ( - {{\rho }^{2}})} {{L}_{n}}({{\rho }^{2}})2\rho d\rho = \\ = \exp \left( {1 - x} \right)\left. {\left[ {{{L}_{{n - 1}}}(x) - {{L}_{n}}(x)} \right]} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{{n!}},\quad \\ \end{gathered} $
где n = 1, 2, 3

В итоге функцию поля рассматриваемого импульса можно представить [1] в виде суммы функций полей метачастиц:

(16)
$\begin{gathered} f\left( {r,z,t} \right) = \sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{f}_{{\left( {2\upsilon } \right)n}}}} } \left( {r,z,t} \right) = \\ = \sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {{{C}_{{2\upsilon }}}} {{U}_{{2\upsilon }}}(\zeta )\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{C}_{n}}{{V}_{n}}} \left( {\rho ,z} \right){\text{exp}}\left[ { - i\left( {kz - \omega t} \right)} \right],\quad \\ \end{gathered} $
где коэффициенты ${{C}_{{2\upsilon }}},$ ${{C}_{n}}\quad$вычисляются по формулам (11)(15).

4. Энергия, переносимая рассматриваемым импульсом волнового поля, на основании (9) тоже может быть представлена в виде суммы энергий метачастиц [1]:

(17)
${\text{Э }} = \sum\limits_{\upsilon ,n} {{{{\text{Э }}}_{{\upsilon ,n}}}} = A_{0}^{2}\sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {{{{\left| {{{С }_{{2\upsilon }}}} \right|}}^{2}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{\left| {{{С }_{n}}} \right|}}^{2}}} ,$
где ${{A}_{0}}$ – размерная амплитудная константа, квадрат которой имеет размерность в джоулях. При этом относительные (безразмерные) доли энергии метачастиц согласно (11)–(15) имеют следующие величины:
(18)
$\begin{gathered} {{{{\bar {Э }}}}_{{00}}} = C_{{\upsilon = 0}}^{2}C_{{n = 0}}^{2} = 11.6, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{01}}} = C_{{\upsilon = 0}}^{2}C_{{n = 1}}^{2} = 4.0, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{10}}} = C_{{2\upsilon = 2}}^{2}C_{{n = 0}}^{2} = 1.4, \\ {{{{\bar {Э }}}}_{{\upsilon n}}} = C_{{2\upsilon }}^{2}C_{n}^{2} = {{\left[ {\left( {2\upsilon } \right)!{{{\left( {n!} \right)}}^{2}}} \right]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $
где υ = 1, 2, 3…, n = 1, 2, 3 …

Полная же относительная энергия импульса равна сумме:

(19)
${\bar {Э }} = {{{\bar {Э }}}_{{00}}} + {{{\bar {Э }}}_{{01}}} + {{{\bar {Э }}}_{{10}}} + \sum\limits_{\upsilon = 1}^\infty {С _{{2\upsilon }}^{2}} \sum\limits_{n = 1}^\infty {С _{n}^{2}} ,$
где

$\begin{gathered} \sum\limits_{\upsilon = 1}^\infty {С _{{2\upsilon }}^{2}} = \sum\limits_{\upsilon = 0}^\infty {\frac{1}{{\left( {2\upsilon } \right)!}}} - 1 = {\text{ch}}\left( 1 \right) - 1 = 0.54, \\ \sum\limits_{n = 1}^\infty {С _{n}^{2}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{{{\left( {n!} \right)}}^{2}}}}} - 1 = {{I}_{0}}\left( 2 \right) - 1 = 1.28, \\ \end{gathered} $

${\text{ch}}\left( 1 \right) = 1.54$ – значение гиперболического косинуса, ${{I}_{0}}\left( 2 \right) = 2.28$ – значение модифицированной функции Бесселя [10, 11].

В результате для полной относительной энергии импульса получим

(20)
${\bar {Э }} = 17.7.$

Таким образом, основная часть энергии переносится метачастицей с нулевыми индексами, поскольку$\quad{{{{{{\bar {Э }}}}_{{00}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\bar {Э }}}}_{{00}}}} {{\bar {Э }}\quad}}} \right. \kern-0em} {{\bar {Э }}\quad}} = 0.66,$ т.е. для рассматриваемого импульса энергия этой частицы составляет 2/3 от полной энергии импульса.

Список литературы

  1. Шeвчeнкo B.B. // PЭ. 2018. T. 63. № 9. C. 899.

  2. Квазиоптика. Сб. статей / Под ред. Каценеленбаума Б.З. и Шевченко В.В. М.: Мир, 1966.

  3. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974.

  4. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

  5. Katsenelenbaum B.Z. High-frequency Electrodynamics. Weinheim: Wiley-VCH, 2006.

  6. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Дрофа, 2006.

  7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962.

  8. Справочник по специальным функциям. Сб. статей / Под ред. Абрамовица М. и Стиган И. М.: Наука, 1979.

  9. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

  10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1964.

  11. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

Дополнительные материалы отсутствуют.