Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 4, стр. 409-418

ВВЕДЕНИЕ

Микрополосковые полосно-пропускающие фильтры (ППФ), с фиксированной настройкой [1–5] и перестраиваемые по частоте [6–9], находят практическое применение. В микрополосковых конструкциях ППФ, в отличие от других конструкций, например полосковых [10–12], существует достаточно сильное магнитное взаимодействие между несмежными резонаторами. Это взаимодействие тем сильнее, чем толще диэлектрическая подложка и чем ближе друг к другу расположены несмежные резонаторы. Из-за перекрестных связей такие фильтры “поневоле” становятся неминимально-фазовыми [13, 14] с более крутым правым скатом АЧХ. Подтверждением сказанному служат частотные характеристики гребенчатых, решетчатых и встречно-стержневых микрополосковых фильтров, приведенные в работах [1, 15]. Чтобы ослабить это взаимодействие, в фильтрах используют особое расположение резонаторов. В фильтрах с полуволновыми резонаторами, связанными емкостными зазорами [16], резонаторы ориентированы торцами друг к другу. Такое расположение резонаторов приводит к большой длине фильтров. В конструкциях фильтров с параллельно связанными полуволновыми резонаторами смежные резонаторы смещены друг относительно друга на половину своей длины [16]. Ближайшие несмежные резонаторы смещены на всю длину, что существенно уменьшает паразитное взаимодействие между ними. Расстояние между несмежными резонаторами у фильтров с П-образными резонаторами [17] увеличено благодаря достаточно большой ширине таких резонаторов.

Цель данной статьи – показать возможность использования паразитной перекрестной связи в микрополосковых ППФ с резонаторами, расположенными вдоль одной линии, для формирования АЧХ требуемой формы. В состав фильтров включены четвертьволновые и один П-образный резонаторы. Дополнительные перемычки между несмежными резонаторами, регулирующие перекрестную связь, не используются, так же как и двухъярусные конструкции ППФ [1, 18].

1. ТРЕХРЕЗОНАТОРНЫЕ ППФ

Рассмотрим трехрезонаторный ППФ (рис. 1a). Все связи между резонаторами k_ij (основные и перекрестная) носят магнитный характер, они представлены индуктивностями. Этот фильтр симметричный k₁₂ = k₂₃. Отрезки линий передачи резонаторов имеют характеристическое сопротивление Z₀ и электрическую длину θ. Крайние резонаторы фильтра одинаковые, они четвертьволновые с θ₀ = π/2, один их конец короткозамкнут. Средний резонатор фильтра полуволновый с θ₀ = π. Он включен в фильтр как четырехполюсник и является резонатором проходного типа. В условном представлении трехрезонаторного фильтра с перекрестной связью, показанном на рис. 1б, этот резонатор обозначен двойным кружком.

Для анализа частотных характеристик фильтра будем использовать коэффициенты связи и внешнюю добротность крайних резонаторов Q_e. Воспользуемся общим выражением для коэффициента связи двух резонаторов параллельного типа [16] $k = {J \mathord{\left/ {\vphantom {J {\sqrt {{{b}_{1}}{{b}_{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{b}_{1}}{{b}_{2}}} }},$_, где b₁ и b₂ – параметры крутизны проводимости первого и второго резонаторов, J – параметр инвертора проводимости.

Для индуктивной (магнитной) связи имеем J = = 1/2πf L и

для емкостной (электрической) связи – J = 2πfC и

Коэффициенту электрической связи (2) приписан знак минус. Выражения (1), (2) являются приближенными, что связано с заменой идеального элемента связи (инвертора) индуктивностью или емкостью. Параметры b₁ и b₂ резонаторов на основной резонансной частоте определены в работе [16]: b₁ = = π/4Z₀ – для четвертьволнового резонатора; b₂ = = π/2Z₀ – для полуволнового резонатора. Внешняя добротность крайних резонаторов фильтра в данном случае определяется формулой

где $\theta {\text{'}}$ – координата кондуктивного подключения нагрузок входа и выхода (см. рис. 1а), R_L = 50 Oм.

При построении частотных характеристик фильтра (см. рис. 1в) было принято, что резонаторы являются четвертьволновыми и полуволновыми на частоте f₀ = 1 ГГц, значение Z₀ = 10 Ом для четвертьволновых резонаторов и Z₀ = 20 Ом для полуволнового резонатора, основные коэффициенты связи К₁₂ = К₂₃ = 0.04, коэффициент перекрестной связи К₁₃ = 0.01. Используя выражение (1), переходим от заданных коэффициентов связи к соответствующим значениям индуктивностей: L₁₂ = L₂₃ = 50.66 нГ; L₁₃ = 202.64 нГ. Зададим координату подключения нагрузок к крайним резонаторам $\theta {\text{'}}$ = 65°, что приводит к значению внешней добротности Q_e = 21.99. Указанным выше данным соответствует частотная характеристика, приведенная на рис. 1в сплошной линией. Она имеет нуль передачи f_z1, расположенный слева от центральной частоты полосы пропускания f₀: f_z1 = = f₀ – 80 МГц. Если полуволновый проходной резонатор фильтра заменить четвертьволновым, включенным на отражение, то фильтр будет иметь нуль передачи f_z1, расположенный справа от f₀: f_z1 = = f₀ + 80 МГц (см. рис. 1в штриховая линия).

При описании трехрезонаторных ППФ используют нормированные коэффициенты связи m_ij = К_ij/FBW (i ≠ j) и комплексную переменную s = σ + jΩ, где Ω = (ω/ω₀ – ω₀/ω)/FBW – нормированная частота (FBW = BW/f₀ – относительная ширина полосы пропускания, BW – ширина полосы пропускания). Ось jΩ соответствует вещественным частотам. Значение Ω = 0 соответствует частоте f₀, а значение Ω = 1 – частоте на правом краю полосы пропускания f₀ + BW/2. Нормированная частота Ω₁ соответствует нулю передачи f_z1. Оба этих значения выражаются через коэффициенты связи:

где знаки “+” и “−” означают фильтры со средним резонатором отражательного [19] и проходного типа соответственно.

Имеющееся различие можно пояснить следующим образом. Если трехрезонаторный ППФ со всеми резонаторами отражательного типа является несимметричным (k₁₂ ≠ k₂₃), то расположение его нуля передачи определяется более общими выражениями:

Выражения (4) показывают, что изменение знака k₁₂ или k₂₃ приводит к тому, что нуль передачи f_z1 будет располагаться слева от f₀. Это также приводит к знаку минус в выражениях (3) для симметричного фильтра (k₁₂ = k₂₃) с проходным резонатором, напряжения на концах которого находятся в противофазе и который трансформирует положительную связь в отрицательную.

Далее используем матрицу связи трехрезонаторного фильтра при синхронной настройке [1]

Матрица (5) симметрична относительно главной диагонали m_ij = m_ji. Элементы главной диагонали m_ii представляют собой нормированные резонансные частоты резонаторов [1]

При синхронной настройке все m_ii = 0, поскольку резонансные частоты всех резонаторов одинаковые f₀₁ = f₀₂ = f₀₃ = f₀. Условие синхронной настройки может быть осуществлено при использовании инверторов в качестве элементов связи, так как инверторы не смещают резонансные частоты резонаторов. Условие синхронной настройки является идеализированным, но оно придает рассмотрению общность. Для описания фильтра также используется нормированная внешняя добротность крайних резонаторов q_e = Q_e FBW.

Положительные значения m_ij соответствуют магнитным (индуктивным) связям, а отрицательные значения m_ij – электрическим (емкостным) связям. В матрице (5) все значения m_ij положительные, что является характерным для трехрезонаторного ППФ со всеми магнитными связями.

Матрица связи [m] получена из матрицы сопротивлений [Z] или матрицы проводимостей [Y] электрической цепи с сосредоточенными элементами. П.И. Ричардс [20] ввел в электрическую цепь единичный элемент (ЕЭ). Этот элемент с двумя парами зажимов представляет короткий отрезок линии передачи, обладающий свойством трансформации сопротивлений. Включение ЕЭ, как четырехполюсника, в электрическую цепь с традиционными R, L, C-элементами не позволяет описать ее с помощью матрицы [Z] или [Y]. Рассматриваемый фильтр (см. рис. 1а) содержит средний резонатор “проходного типа”, который осуществляет трансформацию сопротивлений. Для его описания традиционно используемая матрица связи [m] в существующем виде непригодна. В нее надо искусственно ввести некоторые изменения, т.е. модифицировать.

Проведенный анализ показывает, что при описании фильтра с резонатором проходного типа (см. рис. 1а) следует у одного из двух основных коэффициентов связи, k₁₂ или k₂₃, поменять знак на противоположный. Модифицированная матрица связи такого фильтра может быть записана в виде

Матрица (6) является характерной для трехрезонаторного ППФ со всеми магнитными связями и средним резонатором проходного типа. В ней изменен знак только элемента m₁₂. Также может быть изменен знак только элемента m₂₃. Показанные на рис. 2 трехрезонаторные ППФ являются эквивалентными, поскольку они имеют одинаковые частотные характеристики.

Представленный на рис. 1а фильтр характеризуется значениями k₁₂ = k₂₃ = 0.04, k₁₃ = 0.01, Q_e = = 21.99, FBW = 0.0445. В результате нормирования получим m₁₂ = 0.899, m₂₃ = 0.899, m₁₃ = 0.225, q_e = 0.978. Изменяя знак m₁₂ на противоположный, запишем матрицу связи такого фильтра при синхронной настройке:

Изменение знака k₁₂ на противоположный равносильно замене индуктивности L₁₂ на емкость С₁₂. Согласно (2) значение этой емкости С₁₂ = 0.5 пФ.

Трехрезонаторный ППФ со средним резонатором проходного типа и всеми положительными коэффициентами связи обладает левосторонним нулем передачи f_z1, положение которого определяется выражением (3) со знаком “−”. В случае синхронной настройки такой фильтр может быть описан модифицированной матрицей связи (6).

2. ПОСТРОЕНИЕ МИКРОПОЛОСКОВОГО ТРЕХРЕЗОНАТОРНОГО ППФ

На рис. 3а представлена топология предлагаемого микрополоскового ППФ. В качестве проходного резонатора у него используется полуволновый П‑образный резонатор. Паразитные перекрестные связи между резонаторами носят магнитный характер. Фильтр реализован на подложке из ТММ-10i (Rogers), ε_r = 9.8, tg δ = 0.002, h = 1.905 мм. Короткое замыкание на концах четвертьволновых резонаторов обеспечивается с помощью металлизированных отверстий диаметром 0.4 мм.

Резонаторы имеют следующие параметры: w₁ = 2 мм, L₁ = 14 мм, w₂ = 1 мм, L₂ = 16 мм, ширина П-образного резонатора 3 мм. Резонаторы настроены на частоту 2 ГГц и разделены зазором S. Величина d характеризует смещение среднего резонатора вверх и вниз относительно крайних резонаторов. Изменяя параметры S и d, можно регулировать как коэффициенты связи k₁₂, k₁₃, так и отношение между ними k₁₃/k₁₂, что позволяет при заданной ширине полосы пропускания изменять расположение нуля передачи (3).

В качестве примера определим параметры рассматриваемого фильтра, используя следующие исходные данные: f₀ = 2 ГГц, FBW = 0.1, нуль передачи расположен на частоте f_z1 = 1.75 ГГц. Для построения воспользуемся упрощенной процедурой, основанной на чебышевском прототипе [16]. Зададим величину пульсаций L_Ar = 0.2 дБ и выпишем из [16] g-параметры: g₀ = g₄ = 1; g₁ = g₃ = 1.2275; g₂ = 1.1525. Подставляя эти значения и исходные данные в широко используемые выражения [16], находим: k₁₂ = 0.084, Q_e = 12.28. Для определения k₁₃ используем выражение (3). Подставляя в него значение k₁₂, частоту нуля передачи f_z1 = 1.75 ГГц и f₀, находим k₁₃ = 0.0282. Полученные значения коэффициентов связи реализуются при S = 1.8 мм и d = 0. Значение Q_e = 12.28 реализовано соответствующей координатой подключения к крайним резонаторам отрезка микрополосковой линии шириной 1 мм.

Фотография фильтра с указанными выше параметрами представлена на рис. 3б. Фильтр занимает площадь 21.6 × 16.6 мм². Промоделированные и измеренные частотные характеристики фильтра приведены на рис. 3в. Измеренные характеристики фильтра: f₀ = 2 ГГц, ширина полосы пропускания BW = 200 МГц (FBW = 0.1), вносимые потери на центральной частоте IL₀ = 0.8 дБ, обратные потери RL < − 12.5 дБ, частота нуля передачи f_z1 = 1.731 ГГц.

Используя принятую нормировку, определяем элементы матрицы связей рассматриваемого фильтра m₁₂ =0.840, m₂₃ = 0.840, m₁₃ = 0.282 и параметр q_e = 1.228. Изменяя знак m₁₂ на противоположный, можно записать в представлении (6) модифицированную матрицу связи этого фильтра при синхронной настройке.

Резонатор проходного типа и паразитная перекрестная связь магнитного характера обеспечивают рассмотренному микрополосковому ППФ левосторонний нуль передачи с регулируемым расположением.

3. ЧЕТЫРЕХРЕЗОНАТОРНЫЕ ППФ

Условное представление четырехрезонаторного ППФ со всеми магнитными связями показано на рис. 4а. Данный ППФ отличается от фильтра cо всеми четвертьволновыми резонаторами тем, что резонатор № 2 заменен на полуволновый резонатор проходного типа. Такая замена приводит к тому, что частотные характеристики двух фильтров существенно отличаются (рис. 4б–4д). На вставках к рисункам показаны различные варианты перекрестных связей. Штриховые кривые отображают частотные характеристики фильтра со всеми четвертьволновыми резонаторами. При построении частотных характеристик параметры резонаторов приняты такими же, как и на рис. 1а. Основные коэффициенты связи фильтра: k₁₂ = k₃₄ = 0.04 (L₁₂ = L₃₄ = 50.66 нГ), k₂₃ = = 0.032 (L₂₃ = 63.325 нГ); перекрестные коэффициенты связи k₁₃ = k₂₄ = 0.005 (L₁₃ = L₂₄ = 405.28 нГ), k₁₄ = 0.001 (L₁₄ = 2026.4 нГ); внешняя добротность Q_e = 21.99.

Если четырехрезонаторный ППФ имеет лишь одну перекрестную связь k₁₄ (см. рис. 4б), то два его нуля передачи S_1,2 определяются выражением

Выражение (7) со знаком “+” соответствует фильтру со всеми резонаторами отражательного типа [21, 22], со знаком “−” – фильтру со средним резонатором проходного типа. Изменение знака в (7) имеет то же самое объяснение, что и в выражении (3). Выражение (7) показывает, что при всех положительных связях и резонаторах отражательного типа S_{1, 2} = σ_{1, 2} (σ₂ = −σ₁). Такой фильтр является фильтром задержки. У фильтра с резонатором проходного типа два нуля передачи расположены на вещественных частотах, и симметрично относительно f₀, поэтому имеем

Подставляя принятые значения k_ij и f₀ в (8), получаем |f_z1,2 – f₀| = 0.114 ГГц, что и отражено на рис. 4б. Выражение (8) можно положить в основу упрощенной процедуры построения четырехрезонаторных фильтров с одной перекрестной связью k₁₄.

При перекрестной связи k₁₃ фильтр cо всеми четвертьволновыми резонаторами имеет правосторонний нуль передачи (см. рис. 4в). У фильтра с резонатором проходного типа нуль передачи расположен слева от f₀.

При влиянии двух перекрестных связей k₁₃ и k₂₄ (см. рис. 4г) фильтр cо всеми четвертьволновыми резонаторами имеет правосторонний нуль передачи, который расположен ближе к f₀, чем в предыдущем случае. У фильтра с резонатором проходного типа при выполнении условия

отсутствуют нули передачи на вещественных частотах, а частотная характеристика является симметричной. При k₁₃ ≠ k₂₄ АЧХ не будет симметричной, а будет иметь нуль передачи f_z. Если k₁₃ > k₂₄, то f_z < f₀, если же k₁₃ < k₂₄, то f_z > f₀.

При влиянии всех перекрестных связей k₁₃, k₂₄ и k₁₄ (см. рис. 4д) частотная характеристика фильтра cо всеми четвертьволновыми резонаторами остается несимметричной с правосторонним нулем передачи. У фильтра с резонатором проходного типа при выполнении условия (9) частотная характеристика симметричная с двумя нулями передачи, равноудаленными от f₀. Если же k₁₃ ≠ k₂₄, то частотный отклик не будет симметричным, два его нуля передачи будут по-разному удалены от f₀.

В модифицированной матрице связи, описывающей фильтр с резонатором № 2 проходного типа (см. рис. 4а), надо изменить знак m₁₂ на противоположный

Если проходной резонатор переместить на позиции № 3, то в модифицированной матрице связи надо изменить знак элемента m₃₄ на противоположный. Отметим, что в обоих случаях нельзя изменять знак нормированного основного коэффициента связи m₂₃, поскольку это приводит к иным частотным характеристикам.

Показанные на рис. 5a, 5б четырехрезонаторные ППФ являются эквивалентными, они имеют одинаковые частотные характеристики. В правой части этих рисунков показаны модифицированные фильтры, все резонаторы которых четвертьволновые.

Частотная характеристика фильтра (см. рис. 4д) имеет относительную ширину полосы пропускания FBW = 0.0476. Используя принятую нормировку, определяем элементы матрицы связи рассматриваемого фильтра m₁₂ = m₃₄ = 0.840, m₂₃ = 0.672, m₁₃ = = m₂₄ = 0.105, m₁₄ = 0.021 и параметр q_e = 1.047. Изменяя знак m₁₂ на противоположный, запишем модифицированную матрицу связи этого фильтра при синхронной настройке:

Микрополосковый ППФ четвертого порядка показан на рис. 6а. В качестве проходного резонатора у него используется полуволновый П-образный резонатор. Параметры резонаторов этого фильтра такие же, как у резонаторов трехрезонаторного фильтра (см. рис. 3). Эти резонаторы разделены зазорами: S₁₂ = 2.2 мм, S₂₃ = 2.4 мм, S₃₄ = 1.2 мм. Фильтр занимает площадь 21.6×20.8 мм². Он характеризуется: основными связями k₁₂ = k₃₄ = 0.08, k₂₃ = 0.065, перекрестными связями k₁₃ = 0.021, k₂₄ = 0.014, k₁₄ = 0.007 и значением внешней добротности крайних резонаторов Q_e = 12.5.

Измеренные частотные характеристики фильтра представлены на рис. 6б. Как и предполагалось, фильтр имеет два нуля передачи, расположенных с двух сторон от f₀. Поскольку у этого фильтра условие (9) не выполнено, то его нули передачи находятся на разном удалении от f₀. Левосторонний нуль передачи расположен ближе к f₀, чем правосторонний нуль передачи. Это поясняется тем, что k₁₃ > k₂₄. Можно добиться выполнения условия (9) путем перемещения вверх и вниз резонаторов фильтра, как это показано на рис. 3а.

Измеренные характеристики фильтра: f₀ = 2 ГГц, ширина полосы пропускания BW = 178 МГц (FBW = 0.089), вносимые потери на центральной частоте IL₀ = 1.2 дБ, обратные потери RL < − 12 дБ.

Используя принятую нормировку, определяем элементы матрицы связей рассматриваемого микрополоскового фильтра m₁₂ = 0.899, m₂₃ = 0.730, m₃₄ = 0.899, m₁₃ = 0.236, m₂₄ = 0.157, m₁₄ = 0.0786 и параметр q_e = 1.140. Изменяя знак m₁₂ на противоположный, можно записать в виде (10) модифицированную матрицу связи этого фильтра при синхронной настройке.

Четырехрезонаторный ППФ с проходным резонатором № 2 или № 3 и всеми положительными коэффициентами связи может обладать симметричной АЧХ с двумя нулями передачи, равноудаленными от f₀. Условие симметрии определено выражением (9). В случае синхронной настройки такой фильтр может быть описан модифицированной матрицей связи (10).

4. ПЯТИРЕЗОНАТОРНЫЕ ППФ

Условное представление пятирезонаторного ППФ со всеми магнитными связями приведено на рис. 7. Резонатор проходного типа занимает позицию № 3. На рис. 8 приведены частотные отклики этого фильтра для различных перекрестных связей, которые показаны на вставках. Штриховые кривые отображают частотные характеристики фильтра cо всеми четвертьволновыми резонаторами. При построении частотных характеристик на рис. 8 параметры резонаторов приняты такими же, как и в предшествующих двух случаях. Основные коэффициенты связи фильтра k₁₂ = k₄₅ = 0.04 (L₁₂ = L₄₅ = 50.66 нГ), k₂₃ = = k₃₄ = 0.032 (L₂₃ = L₃₄ = 63.325 нГ); перекрестные коэффициенты связи k₁₃ = k₂₄ = k₃₅ = 0.005 (L₁₃ = = L₂₄ = L₃₅ = 405.28 нГ), k₁₄ = k₂₅ = 0.002 (L₁₄ = L₂₅ = = 405.28 нГ), k₁₅ = 0.001 (L₁₅ = 1013.2 нГ); внешняя добротность крайних резонаторов Q_e = 21.99.

Частотные характеристики на рис. 8a–8г не нуждаются в комментариях. На рис. 8д АЧХ обоих фильтров одинаковые, поэтому оба графика совпадают. При влиянии всех перекрестных связей (рис. 8е) частотная характеристика фильтра cо всеми четвертьволновыми резонаторами несимметрична с правосторонним нулем передачи. Фильтр с резонатором № 3 проходного типа имеет частотную характеристику с более крутым левым скатом и левосторонним нулем передачи. У этого фильтра отсутствует правосторонний нуль передачи.

На рис. 9 представлена модификация ППФ пятого порядка с проходным резонатором № 3 за счет замены его резонатором отражательного типа и изменения знака коэффициента связи k₂₃. Штриховые кривые соответствуют частотным откликам фильтров с указанными выше изменениями. На рис. 9а частотные характеристики обоих фильтров при перекрестных связях k₁₄, k₁₅, k₂₄, k₂₅ одинаковые, поэтому обе кривые совпадают. При перекрестных связях k₁₃ и k₃₅, исходящих из резонатора № 3, частотные характеристики двух фильтров существенно отличаются друг от друга (рис. 9б). Это приводит к тому, что при учете всех перекрестных связей, частотные характеристики этих фильтров не совпадают (рис. 9в).

Микрополосковый ППФ пятого порядка представлен на рис. 10а. В качестве проходного резонатора у него используется полуволновый П‑образный резонатор. Параметры резонаторов этого фильтра такие же, как у предшествующих микрополосковых фильтров. Резонаторы фильтра разделены зазорами: S₁₂ = S₄₅ = 1.2 мм, S₂₃ = S₃₄ = 2.2 мм. Фильтр занимает площадь 21.6×23.8 мм². Его основные коэффициенты связи k₁₂ = k₄₅ = 0.08, k₂₃ = = k₃₄ = 0.065; перекрестные коэффициенты связи k₁₃ = k₃₅ = 0.0014, k₂₄ = 0.021, k₁₄ = k₂₅ = 0.007, k₁₅ = = 0.003, внешняя добротность крайних резонаторов Q_e = 12.5.

Измеренные частотные характеристики фильтра представлены на рис. 10б. Как и предполагалось, фильтр имеет один левосторонний нуль передачи, который удален от f₀ на 165 МГц. Правосторонний нуль передачи у него отсутствует. Тем не менее верхняя часть частотной характеристики, ограниченная уровнем затухания 40 дБ, достаточно близка к симметричной. Измеренные характеристики фильтра: f₀ = 2 ГГц, ширина полосы пропускания BW = 180 МГц (FBW = 0.09), вносимые потери на центральной частоте IL₀ = 1.5 дБ, обратные потери RL < − 12 дБ.

Пятирезонаторный ППФ с центральным резонатором проходного типа и всеми связями магнитного характера имеет левосторонний нуль передачи. Верхняя часть его АЧХ, ограниченная уровнем затухания 40 дБ, достаточно близка к симметричной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе показано, что если в микрополосковом гребенчатом фильтре один из ”внутренних” резонаторов заменить на полуволновый П-образный резонатор, то его частотная характеристика, имеющая правосторонний нуль передачи и повышенную крутизну правого ската, существенно изменится. Трехрезонаторный фильтр будет обладать левосторонним нулем передачи и повышенной крутизной левого ската АЧХ. Четырехрезонаторный фильтр будет иметь два нуля передачи, которые при выполнении условия (9) равноудалены от f₀. У пятирезонаторного фильтра будет один, левосторонний, нуль передачи, а форма верхней части его АЧХ близка к симметричной. При числе резонаторов N = 3, 4 и синхронной настройке такие фильтры могут быть описаны модифицированной матрицей связи.