Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 5, стр. 498-505

ВВЕДЕНИЕ

В источниках излучения О-типа по мере укорочения длины волны поперечные размеры электронного пучка уменьшаются, возрастает плотность тока до десятков-сотен ампер с квадратного сантиметра, а также удельная мощность пучка. Это накладывает жесткие требования на величину токопрохождения пучка в пролетных каналах и его конфигурацию. Среди факторов, определяющих структуру таких пучков и уровень его токопрохождения, следует отметить влияние поперечных начальных тепловых скоростей электронов. Хотя средняя тепловая энергия электронов составляет доли электрон-вольта, а ускоряющее напряжение соответствует энергии электронов, превосходящей на несколько порядков тепловую, тепловое движение электронов приводит к возмущению конфигурации пучка, перераспределению плотности тока по сечению, ограничению по предельному сжатию пучка. Уже в ранних работах (см., например, [1, 2] и ссылки в них) были получены соотношения и зависимости, позволяющие судить о характеристиках ленточного теплового пучка с максвелловским распределением начальных скоростей электронов на катоде. Для электростатических пушек Пирса проведены расчеты, иллюстрирующие влияние начальных скоростей электронов в таких пучках [2], но в них не учитывается магнитное поле в пушках, что представляется важным для электронно-оптических систем (ЭОС) источников излучения коротковолнового диапазона. Имеются также строгие расчеты для некоторых ЭОС приборов О-типа этого диапазона с учетом влияния тепловых скоростей электронов в пучке, проведенные с использованием программ анализа [3]. Однако из представленных результатов в [3] неясно, в какой мере тепловое движение электронов возмущает пучок. Следует также отметить, что, хотя расчеты ЭОС по программам анализа и являются наиболее строгими, они имеют существенный недостаток – трудоемкость в подготовке данных и неоперативность. Поэтому актуальным является развитие методов, которые позволяют устранить отмеченные выше ограничения, но при этом получать в целом достоверную информацию о тепловом пучке. Как представляется, это может быть реализовано на основе изложенного в работе [1] метода учета влияния тепловых скоростей электронов в модели ленточного пучка с максвелловским распределением начальных скоростей на катоде. Метод позволяет в параксиальном приближении через выбранные характерные траектории электронов определить основные интегральные характеристики теплового пучка.

Цель данной работы – обобщить этот метод. Было учтено изменение осевой плотности заряда теплового пучка в уравнениях движения, записанных в криволинейной системе координат, получены уравнения для моделирования электронно-оптических систем и расчета основных интегральных характеристик теплового пучка, в том числе при его фокусировке магнитным полем. Проведенное обобщение расширяет возможности метода [1] при исследовании влияния поперечных тепловых скоростей электронов в сходящихся ленточных электронных пучках.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для исследования влияния поперечных тепловых скоростей электронов в ленточных электронных пучках будем использовать криволинейную систему координат q₁, q₂, q₃. Полагаем, что q₂ является параметром семейства траекторий ламинарного пучка, т.е. семейства, в котором электроны не имеют начальных тепловых скоростей. При этом если граничная траектория ламинарного пучка описывается в декартовой системе координат функцией Ф(х), то все внутренние траектории описываются функцией у(х) = q₂Ф(х), в которой значения q₂ в верхней полуплоскости изменяются в пределах 0 ≤ q₂ ≤ 1. Таким образом, траектории электронов ламинарного пучка лежат на поверхностях q₂ = const. Другая криволинейная координата q₁ является продольной координатой и выбирается так, чтобы поверхности q₁ = const были ортогональны поверхностям q₂ = const. Координата q₃, совпадает с декартовой координатой z по ширине пучка. Координатам q₁, q₂, q₃ соответствуют координаты х, у, z декартовой системы координат. Введенная система координат аналогична системе координат, используемой в теории формирования осесимметричных пучков, развитой В.Т. Овчаровым (см., например, [4]). Введем также нормировочные величины продольных и поперечных размеров l и Ф₀ соответственно, параметр параксиальности μ = Ф₀/l $ \ll $ 1, нормированную продольную криволинейную координату х₁ = q₁/l и нормированную функцию φ(x₁) = Ф(х₁)/Ф₀. Для выбранной системы координат коэффициенты Ламе в параксиальном приближении с точностью до μ² имеют вид

Связь криволинейных координат с декартовыми координатами дается формулами

Примем, что ширина электронного пучка много больше его толщины (модель бесконечно широкого ленточного пучка). Это позволяет использовать условие $(\partial {\text{/}}\partial {{q}_{3}}) \equiv 0$ в уравнениях движения [5, с. 80], записанных в криволинейных координатах. Полагая, что в реальном, тепловом пучке известны осевые распределения плотности пространственного заряда ${{\rho }_{{\text{т }}}}({{x}_{1}}),$ потенциала U(x₁), магнитного поля В(x₁), и, учитывая выражения (1) для коэффициентов Ламе, получим в параксиальном приближении уравнение поперечного движения электрона, стартующего на катоде из точки x₁ = 0, q₂ = q_2к:

где $\omega = {{q}_{2}}{\text{(}}t{\text{)}}\varphi ,$ ${{\omega }_{L}} = $ $ = \frac{{\eta B{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}}}{2},$ ${{\omega }_{{L{\text{к }}}}} = \frac{{\eta {{В }_{{\text{к }}}}}}{2},$ ${{\varphi }_{{\text{к }}}} = \varphi {\text{(}}0{\text{),}}$ В_к – магнитное поле на катоде, η – удельный заряд электрона, U₀ – нормировочная величина для потенциала, u(x₁) – нормированный потенциал, ε₀ – электрическая постоянная. При выводе (2) удерживали члены, пропорциональные µ², не учитывали продольную вдоль оси q₁ и поперечную вдоль оси q₃ начальные скорости электронов на катоде, а величину текущей продольной скорости электрона определяли через осевой потенциал. Выполняя дифференцирование в (2), получим уравнение относительно функции q₂(t), которая определяет траекторию электрона теплового пучка в криволинейной системе координат:

Для функции φ(х₁), описывающую граничную траекторию ламинарного (холодного) пучка, уравнение получается из (3), если принять q_2к = = q₂(t) = 1:

Здесь функция ψ_хол(х₁) определена уже через плотность пространственного заряда ${{\rho }_{{{\text{х о л }}}}}{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ ламинарного пучка. При этом полагаем, что распределение осевого потенциала в ламинарном и тепловом пучках различаются незначительно и описываются единой функцией u(х₁). Поэтому функции ${{\psi }_{{\text{т }}}}{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ и ${{\psi }_{{{\text{х о л }}}}}{\text{(}}{{x}_{{\text{1}}}}{\text{) }}$ отличаются только осевой плотностью пространственного заряда.

Уравнение (3) – линейное неоднородное уравнение. Его общим решением является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В качестве фундаментальных решений однородного уравнения выберем функции ${{q}_{{{\text{к р }}}}}(t)$ и $\mu l{{\varphi }_{{\text{к }}}}\sqrt {\frac{m}{{2\kappa T}}} {{q}_{{\text{т }}}}{\text{(}}t{\text{)}}$ (κ – постоянная Больцмана, m – масса электрона, Т – температура, К), подчинив ${{q}_{{{\text{к р }}}}}(t)$ и ${{q}_{{\text{т }}}}{\text{(}}t)$ следующим условиям:

Функция ${{q}_{{{\text{к р }}}}}(t)$ описывает движение электрона, вылетающего с кромки катода (q_2к = 1) с нулевой скоростью, а функция ${{q}_{{\text{т }}}}{\text{(}}t{\text{)}}$ описывает движение электрона, вылетающего из центра катода с тепловой скоростью

где ${{h}_{{2{\text{к }}}}}$ – коэффициент Ламе на катоде. Частное же решение неоднородного уравнения находим методом вариации произвольных постоянных через фундаментальные решения, оно имеет вид ${{q}_{{\text{ч }}}}(t){{q}_{{2{\text{к }}}}}$ и в начальный момент времени при t = 0 для него выполняются условия ${{q}_{{\text{ч }}}}(0) = {{\dot {q}}_{{\text{ч }}}}(0) = 0.$ Таким образом, общее решение уравнения (3) для электрона, стартующего из произвольной точки q_2к на катоде с произвольной поперечной вдоль координаты q₂ скоростью ${{h}_{{2{\text{к }}}}}{{\dot {q}}_{{2{\text{к }}}}},$ может быть записано в виде где ${{q}_{{\text{н }}}}(t) = {{q}_{{{\text{к p}}}}}(t) + {{q}_{{\text{ч }}}}(t).$ Из общего решения (5) следует, что для нахождения функции q₂(t) однородное дифференциальное уравнение для ${{q}_{{{\text{к p}}}}}(t)$ и неоднородное уравнение для ${{q}_{{\text{ч }}}}(t)$ можно объединить в одно неоднородное уравнение для функции ${{q}_{{\text{н }}}}(t).$ Функция ${{q}_{{\text{н }}}}(t),$ так же как и функция ${{q}_{{{\text{к p}}}}}(t),$ описывает движение электрона, покидающего катод из точки q_2к = 1 с нулевой тепловой скоростью, но для нахождения ${{q}_{{\text{н }}}}(t)$ необходимо уже интегрировать неоднородное дифференциальное уравнение. Такой электрон будем называть нетепловым. Соответственно, электрон, движение которого описывается функцией ${{q}_{{\text{т }}}}(t),$ будем называть тепловым. Уравнения для функций q_н(t) и q_т(t), описывающих движение характерных электронов, получаются из (3), (4) и имеют вид

Чтобы достичь точки x₁, ${{q}_{2}},$ электрон, покидающий катод из точки q_2к, должен иметь, согласно (5), начальную скорость h_2к${{\dot {q}}_{{2{\text{к }}}}},$ равную

Это является решающим при вычислении распределения плотности тока по сечению теплового пучка. Действительно, принимая максвелловский закон распределения начальных тепловых скоростей электронов на катоде и пренебрегая, как было указано выше, продольными и поперечными вдоль осей q₁, ${{q}_{3}}$ начальными скоростями электронов, плотность тока $j({{x}_{1}},{{q}_{2}})$ в произвольной точке ${{x}_{1}},{{q}_{2}}$ можно выразить в виде

где ${{j}_{{\text{к }}}}$ – плотность тока на катоде. Интегрирование в (9) необходимо проводить по всем начальным скоростям электронов ${{h}_{{{\text{2к }}}}}{{\dot {q}}_{{2{\text{к }}}}},$ вылетающих из точек ${{q}_{{2{\text{к }}}}}$ на катоде и прибывающих в окрестность точки ${{x}_{1}},{{q}_{2}}.$ С учетом (8), выражение (9) для плотности тока преобразуем к виду

Величину ${{\dot {q}}_{2}},$ которая в точке определяет скорость электрона, покидающего катод из точки ${{q}_{{2{\text{к }}}}},$ представим в виде ${{\dot {q}}_{2}} = P(t)\,{{q}_{{2{\text{к }}}}}$ или $d{{\dot {q}}_{2}} = P(t)d{{q}_{{2{\text{к }}}}},$ где функция P(t) пока неизвестна. Это позволяет интегрирование в (10) по ${{\dot {q}}_{2}}$ заменить интегрированием по поверхности катода в пределах $ - 1 \leqslant {{q}_{{2{\text{к }}}}} \leqslant 1.$ Выполняя интегрирование, получим формулу для плотности тока теплового пучка, содержащую введенную функцию $P(t).$

Если затем проинтегрировать выражение для плотности тока по координате ${{q}_{2}},$ для определения доли тока¹¹ ${I \mathord{\left/ {\vphantom {I {{{I}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{I}_{0}}}}$ в пределах условной границы q₂ = ±q теплового пучка и устремить $q \to \infty $ в полученном выражении, то, очевидно, должны получить ${I \mathord{\left/ {\vphantom {I {{{I}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{I}_{0}}}} = 1.$ Это позволяет определить функцию $P(t).$ В итоге выражения для плотности тока теплового пучка в произвольной точке и для доли тока в пределах его условной границы примут вид

где erf(u) = $\frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^u {\exp [ - ({{\xi }^{2}})]d\xi } $ интеграл вероятности. На рис. 1 представлены зависимости, отображающие изменение плотности тока по сечению теплового пучка и относительную величину тока в его границах, параметром является отношение ${{{{q}_{{\text{н }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{\text{н }}}}} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{q}_{{\text{т }}}}}}.$ Если условная граница совпадает с траекторией нетеплового электрона, т.е. q = q_н и ${{{{q}_{{\text{н }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{\text{н }}}}} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{q}_{{\text{т }}}}}}$ > 1, то с хорошим приближением доля тока может быть найдена при асимптотическом разложении интеграла вероятности:

Полученные формулы (11), (12) и зависимости, представленные на рис. 1, по виду аналогичны таковым в [1, 2], но отличаются тем, что в них учтено влияние магнитного поля на характеристики теплового пучка через значения функций ${{q}_{{\text{н }}}}(t),{{q}_{{\text{т }}}}(t),$ которые определены уравнениями (6), (7).

Для объемной плотности пространственного заряда на оси теплового пучка (q₂ = 0) из выражения (11) имеем

Аналогично объемная плотность пространственного заряда на оси ламинарного пучка будет:

Подставляя полученные выражения для ${{\rho }_{{\text{т }}}}{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ и ${{\rho }_{{{\text{х о л }}}}}{\text{(}}x{}_{1}{\text{)}}$ в уравнения (6), (7), получим самосогласованную систему уравнений, в которой учтено взаимное влияние двух факторов: пространственного заряда ${{\rho }_{{\text{т }}}}{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ на движение электронов в тепловом пучке и движение электронов на плотность пространственного заряда. В этих уравнениях, а также в уравнении (4) удобно перейти к дифференцированию по координате x₁ и вместо магнитных полей B(x₁) и B_к ввести, как это сделано в [6], величины их превышения над бриллюэновским полем для ламинарного пучка с нормированной в кроссовере полутолщиной ${{\varphi }_{0}} = {d \mathord{\left/ {\vphantom {d {2{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {2{{\Phi }_{0}}}}$ (d – толщина пучка). Уравнения примут вид

где n₀ – превышение рабочего магнитного поля над бриллюэновским полем, ${{B}_{{{\text{Б р }}}}} = 1.04 \times {{10}^{{ - 3}}}\sqrt {\frac{{{{р }_{\mu }}{{U}_{0}}}}{{sd}}} $ (тесла, вольт, миллиметр), ${{р }_{\mu }}$ – микропервеанс пучка, s – ширина пучка, n(x₁) – текущее превышение, $i = 0.0952{{{{p}_{\mu }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{p}_{\mu }}} {\mu {{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {\mu {{\mu }_{1}}}},$ ${{\mu }_{1}} = {s \mathord{\left/ {\vphantom {s l}} \right. \kern-0em} l}.$ Уравнение (16) совпадает с уравнением внутренней задачи синтеза сходящихся ленточных электронных пучков и описывает формирование ламинарных пучков при частичной магнитной экранировке катода. Решение этого уравнения, включающее определение распределения осевого потенциала $u({{x}_{1}})$ и магнитного поля $n({{x}_{1}}),$ обеспечивающих формирование ламинарного электронного пучка с заданными параметрами, согласованно входящего в область рабочего магнитного поля, представлено в [6]. Там же представлено и решение внешней задачи синтеза для определения конфигурации электродов формирующей системы. Результаты решения уравнения (16) необходимо использовать при интегрировании уравнений (14), (15) для нахождения функций ${{q}_{{\text{н }}}}({{x}_{1}}),{{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{{\text{1}}}}),$ через которые по формулам (11)–(13) определены основные интегральные характеристики теплового пучка.

Таким образом, решение системы уравнений (14)–(16) позволяет получить достаточно полную информацию о том, в какой мере реальный тепловой пучок, в котором учтены начальные скорости электронов, будет отличаться от ламинарного электронного пучка с граничной траекторией в области пушки, описываемой функцией $\varphi {\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ и имеющий в кроссовере и регулярной области магнитного поля нормированную полутолщину φ₀. Уравнения (14)–(16) могут быть использованы для исследования эффектов тепловых скоростей и при формировании пучка пушками с экранированным от магнитного поля катодом и пушками с сопровождением пучка магнитным полем. В первом случае в уравнениях сомножитель ${{(n_{0}^{2} - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(n_{0}^{2} - 1)} {{{n}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{0}}}}$ следует принять равным нулю (рабочее магнитное поле равно бриллюэновскому полю), а во втором случае заменить его на ${{n}_{0}}$ и задать нормированное магнитное поле $n{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ формулой $n({{x}_{1}}) = {{{{n}_{0}}{{\varphi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{0}}{{\varphi }_{0}}} {\varphi ({{x}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {\varphi ({{x}_{1}})}}.$ Особенности решения уравнения (16) в этих случаях представлены в работах [7, 8]. Уравнения (14), (15) упрощаются для области транспортировки, где²² $\varphi ({{x}_{1}}) = {{\varphi }_{0}}.$ Так как в этой области осевой потенциал $u({{x}_{1}}) = 1$ и нормированное осевое магнитное поле $n({{x}_{1}}) = {{n}_{0}},$ то в уравнениях (14), (15) будут отсутствовать производные от $u({{x}_{1}})$ и $\varphi ({{x}_{1}}),$ а уравнение (16) превратится в тождество.

Численное интегрирование уравнений (14)–(16) непосредственно от катода (x₁ = 0) невозможно, так как u(0) = 0. Поэтому необходимо сформулировать условия для функций ${{q}_{{\text{н }}}}({{x}_{1}}),{{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{{\text{1}}}})$ вблизи катода. Из физических соображений ясно, что вблизи катода плотности объемного пространственного заряда в тепловом и ламинарном пучках близки. В этом случае ${\text{erf}}\left( {{{{{q}_{{\text{н }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{\text{н }}}}} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right)$ ≈ 1. Поэтому решение уравнения (14) вблизи катода будет

Физически равенство ${{q}_{{\text{н }}}}({{x}_{1}}) = 1$ означает, что траектория нетеплового электрона вблизи катода совпадает с граничной траекторией ламинарного пучка, для которого ${{q}_{{\text{2}}}}({{x}_{1}}) = 1$. Траектории будут совпадать и в общем случае, если в области формирования или транспортировки ${\text{erf}}\left( {{{{{q}_{{\text{н }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{\text{н }}}}} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right) \approx 1$ (отметим, что полученная ранее формула (13) будет тогда определять долю тока в границах ламинарного пучка, т.е. при q₂ = ±1).

Определение начальных условий для функции ${{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{{\text{1}}}}),$ которая описывает траекторию теплового электрона, проведем, полагая, что вблизи катода

Первое условие следует из сопровождения ламинарного пучка магнитным полем вблизи катода в пушках с частичной магнитной экранировкой катода, а второе условие является следствием изменения осевого потенциала по закону $u({{x}_{1}}) \approx kx_{1}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$ который получается из уравнения (16), k = ${{\left( {{{9i} \mathord{\left/ {\vphantom {{9i} {4{{\varphi }_{{\text{к }}}}}}} \right. \kern-0em} {4{{\varphi }_{{\text{к }}}}}}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$ Эти условия всегда выполняются в ЭОС в режиме ограничения тока пространственным зарядом. Кроме того, так как вблизи катода правая часть уравнения (15) оказывается равной нулю, то, как показано в Приложении, решение этого уравнения будет иметь вид

где $\lambda = \sqrt {{{{{p}_{\mu }}{{U}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{p}_{\mu }}{{U}_{0}}} T}} \right. \kern-0em} T}} $ – параметр тепловых скоростей. Такой же параметр введен в [1] при исследовании эффектов тепловых скоростей в электростатических пушках Пирса, формирующих аксиально симметричные электронные пучки. Полученные формулы (18), (19) следует использовать при численном интегрировании уравнения (15), вычисляя по ним значения функции ${{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{1}})$ и ее производной вблизи катода, отступив, например, от катода на малый шаг интегрирования.

2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ

Рассмотрим модель ЭОС, в которой распределение потенциала в области формирования $0 \leqslant {{x}_{1}} \leqslant 1$ описывается соотношением $u{\text{(}}{{x}_{1}}{\text{)}}$ = $kx_{1}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$ $u(1) = 1.$ Распределение потенциала по закону 4/3 характерно для ЭОС, формирующей ламинарный пучок без компрессии, когда ${{\varphi }_{{\text{к }}}} = {{\varphi }_{0}}.$ Если положить ${{\varphi }_{{\text{к }}}} = 1,$ что всегда можно сделать выбором нормирующей величины Ф₀, то значение параметра i = 4/9. В области транспортировки, т.е. при ${{x}_{1}} \geqslant 1,$ осевой потенциал $u({{x}_{1}}) = 1,$ а уровень фокусирующего магнитного поля имеет нормированную величину ${{n}_{0}}.$ Пусть в плоскости x₁ = 1, т.е. на аноде, магнитное поле скачком уменьшается от величины ${{n}_{0}}$ до величины ${{n}_{{\text{к }}}} = {{(n_{0}^{2} - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(n_{0}^{2} - 1)} {{{n}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{0}}}}.$ Это обеспечивает согласованный ввод ламинарного пучка постоянного сечения из области формирования (пушки) в область транспортировки при условии сопровождения пучка магнитным полем с уровнем n_к в области пушки. Будем также полагать, что тепловые скорости электронов слабо возмущают тепловой пучок. Поэтому движение электронов теплового пучка будет происходить на фоне пространственного заряда ламинарного пучка. Подобное приближение использовали в [1, 2] при исследовании эффектов тепловых скоростей в электростатических пушках Пирса и в [5] при выводе формулы для плотности тока в тепловом аксиально-симметричном пучке. При сделанных предположениях формулы (17)–(19) оказываются справедливыми во всей области пушки, а не только вблизи катода, так как выполнено условие ${\text{erf}}\left( {{{{{q}_{{\text{н }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{\text{н }}}}} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{q}_{{\text{т }}}}}}} \right)$ ≈ 1. Поэтому в плоскости ${{x}_{1}} = 1$ (анода) будем иметь ${{\tilde {q}}_{{\text{н }}}} = 1,$ $\tilde {q}{{_{{\text{н }}}^{'}}_{{}}} = 0,$

Полученные значения функции ${{\tilde {q}}_{{\text{т }}}}$ и ее производной являются начальными условиями для определения этой функции из уравнения (15) в области транспортировки. Решение уравнения (15) в этой области с начальными условиями (20), (21) имеет вид

где ${\text{t}}{{{\text{g}}}^{2}}\psi = \frac{{i{\text{(}}n_{0}^{2} - 1{\text{)}}}}{2}{{\left( {\frac{{{{{\tilde {q}}}_{{\text{т }}}}}}{{\tilde {q}_{{\text{т }}}^{'}}}} \right)}^{2}}.$ Так как в области транспортировки функция ${{q}_{{\text{н }}}}({{x}_{1}}) = 1,$ а функция ${{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{1}})$ периодическая, то периодической функцией будет и отношение $\frac{{{{q}_{{\text{н }}}}({{x}_{1}})}}{{{{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{1}})}} = \frac{1}{{{{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{1}})}},$ которое по формулам (11)–(13), определяет основные интегральные характеристики пучка, в том числе его условную границу с заданным уровнем ${I \mathord{\left/ {\vphantom {I {{{I}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{I}_{0}}}}$ токосодержания (из уравнения (12) она может быть найдена). Поэтому эта граница будет пульсировать в пролетном канале с чередованием узлов, где ${{q}_{{\text{т }}}}({{x}_{1}})$ = 0 (аргумент синуса кратен π), и пучностей, когда аргумент синуса принимает значения π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2 и т.д. При значениях аргумента 3π/2, 7π/2 и т.д. величина q_т(x₁) < 0, но по модулю она максимальна. Отрицательное значение q_т(x₁) физически означает, что тепловой электрон пересек плоскость q₂ = 0 и находится в нижней полуплоскости. Но так как движение электронов пучка симметрично относительно плоскость q₂ = 0, то величину q_т(x₁) в формуле (22) в этих случаях следует брать по модулю. В узлах распределение плотности тока по сечению теплового пучка и его конфигурация, будет как в ламинарном пучке. В пучностях же расплывание теплового пучка максимально и, например, в границах ламинарного пучка, в соответствии с формулами (13), (22) доля тока будет выражаться формулой:

Из формулы (23) видно, что доля тока в границах ламинарного пучка зависит от величины $\sqrt {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s {d\lambda }}} \right. \kern-0em} {d\lambda }}} ,$ т.е. от электрических и геометрических параметров пучка, и от уровня фокусирующего поля. На рис. 2 представлены результаты расчета ${I \mathord{\left/ {\vphantom {I {{{I}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{I}_{0}}}}$ по этой формуле в зависимости от превышения рабочего магнитного поля над бриллюэновским полем для различных значений $\sqrt {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s {d\lambda }}} \right. \kern-0em} {d\lambda }}} .$ Эти зависимости могут быть использованы для оценки величины токопрохождения теплового пучка в пролетном канале для случая некомпрессионной оптики. Так, если параметры ЭОС, как в [3] (I₀ = 0.1 А, U₀ = 20000 В, Т = 1200 К, В₀ = 1.12 Т, s = 0.7 мм, d = = 0.1 мм), то $\sqrt {{s \mathord{\left/ {\vphantom {s {d\lambda }}} \right. \kern-0em} {d\lambda }}} $ = 3.44, n₀ = 10.8, и из зависимостей рис. 2 следует, что в такой ЭОС тепловые скорости электронов на характеристики пучка и его токопрохождение в канале практически не влияют, так как почти весь ток теплового пучка в пучностях сосредоточен в границах ламинарного пучка. Ясно, что для сходящихся электронных пучков необходимо численно интегрировать уравнения (14)–(16), а затем использовать формулы (11)–(13).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенный метод учета влияния начальных тепловых скоростей электронов дает возможность оперативно получать информацию об основных интегральных характеристиках тепловых электронных пучков. Его можно рассматривать как дополнение к методу синтеза при моделировании электронно-оптических систем, поскольку имеется возможность обоснованно выбирать параметры пучка, компрессию пушки, уровень фокусирующего магнитного поля, при которых влияние теплового движения электронов на характеристики пучка будут в допустимых пределах. Последнее является важным при разработке электронно-оптических систем для источников излучения О-типа коротковолнового диапазона.

Авторы признательны Д.И. Трубецкову за проявленный интерес к работе и сделанные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-02-00666).