Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 5, стр. 432-439
Вычисление скорости распространения электромагнитного поля в среде с включениями
В. П. Иванов *
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова
119334 Москва, ул. Бардина, 4, Российская Федерация
* E-mail: icenter@imash.ru
Поступила в редакцию 06.02.2018
После доработки 06.02.2018
Принята к публикации 28.02.2018
Аннотация
Исследованы два варианта метода вычисления скорости распространения электромагнитного поля в среде с включениями с помощью теории многократного рассеяния на основе явления дифракции электромагнитной волны на частицах сферической формы Q-слойной решетки и на Q-частицах, расположенных внутри волновода вдоль его оси.
ВВЕДЕНИЕ
С точки зрения теории распространения электромагнитного поля наличие большого количества частиц в среде может привести не только к ослаблению этого поля через механизм рассеяния, но и изменению скорости распространения поля в среде с частицами, что необходимо учитывать, например, при анализе сдвига спектра частот излучения из-за эффекта Доплера. Процесс распространения монохроматического звукового и электромагнитного поля в среде с частицами описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца соответственно. Теоретические исследования и эксперименты показывают, что скорость распространения звука в жидкости с пузырьками газа или пара, которая описывается скалярным уравнением Гельмгольца, может меняться на один-два порядка в зависимости от концентрации и размера пузырьков [1–5]. Следовательно, скорость распространения электромагнитных волн в среде с частицами также должна зависеть от свойств, концентрации и размера частиц. В предлагаемой статье в развитие работ [3‒5] для электромагнитных волн предложен следующий способ вычисления скорости распространения возмущений. В пространстве с заданной скоростью распространения поля (в вакууме это скорость света) выделяется область D, заполненная частицами сферической формы, и исследуется задача дифракции стороннего поля на этом множестве частиц. Далее предполагается, что область D без частиц представляет собой прозрачное тело с произвольной скоростью распространения поля, и решается задача дифракции того же стороннего поля на прозрачном теле D. Из условия равенства вне области D поля, рассеянного на частицах и на прозрачном теле, находится величина скорости распространения поля в прозрачном теле D, и эта скорость полагается равной эффективной скорости распространения поля в среде с частицами.
При произвольном расположении частиц в пространстве анализ физического механизма изменения скорости распространения электромагнитного поля затруднен из-за сложного поведения дифракционного поля на совокупности частиц. Поэтому механизм изменения скорости света за счет многократного рассеяния на частицах будем исследовать в средах, в которых частицы расположены регулярно, а именно, в виде соответствующих решеток. Рассмотрим две модели многократного рассеяния. В первой модели в качестве области D рассматривается шар DR и для обеспечения механизма многократного рассеяния исследуется задача дифракции плоской волны на сферической Q-слойной решетке элементов сферической формы малых волновых размеров, погруженной в шар DR. Расстояние между центрами элементов решетки порядка двух-трех диаметров элементов. Полученное решение сравнивается с решением задачи дифракции плоской волны на прозрачном шаре DR, заполненным средой с другими параметрами распространения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА СФЕРИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Рассмотрим задачу дифракции плоской волны $E_{x}^{0} = \sqrt {{{{{\mu }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}}} H_{y}^{0}$ = Eexp(ik0z), $k_{0}^{2}$ = (ω/c)2ε0μ0 – волновое число, ω – круговая частота, $c$ – скорость света, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $ – вектор напряженности электрического поля, ε0, μ0 – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, на сферической Q-слойной решетке. В сферической системе координат с полюсом в О координаты центра шара Dqnm задаются соотношениями:
При q > 1 углы $\theta _{{qnm}}^{0}$ = $\theta _{{qn}}^{0}$ = π(n – 1)/2q, n = 1, …, 2q + 1, $\varphi _{{qnm}}^{0}$ = 2π(m – 1)/Mqn, m = 1, …, Mqn.
Если n ≤ q + 1, то Mqn = 2n – 1, если n ≥ q + 1, то Mqn = 2(2q + 1 – n) + 1, волновой радиус k0R* не мал. Для q = 1 в точке O располагается центр шара D111. Множество сфер Sq радиусом Rq с элементами Dqnm будем называть сферической Q-слойной решеткой элементов Dqnm с центром в О. При такой геометрии расстояние между центрами элементов в сферической Q-слойной решетке порядка R, а число элементов равно
поэтому при конечной величине k0R* эффект взаимного рассеяния поля на частицах в Q-слойной сферической решетке должен быть конечным.
Обозначим через DR внешность элементов Q‑слойной решетки (${{\bar {D}}_{{qnm}}}$ – замыкание области Dqnm). Введем локальную декартову систему координат с началом в центре шара Dqnm, оси которой одинаково ориентированы и параллельны осям основной декартовой системы координат с центром в Оc. Введем также согласованную локальную сферическую систему координат (rqnm, θqnm, φqnm) с полюсом в центре шара Dqnm, полярной осью, совпадающей с осью z локальной декартовой системы и одинаково ориентированными полярным расстоянием и долготой основной и локальной сферических координатных систем. Пусть на сферическую Q‑слойную решетку из пространства DR падает плоская электромагнитная волна, имеющая отличную от нуля декартову компоненту
где $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} ,\vec {H}$ – векторы напряженности электрического и магнитного поля, ε0, μ0 – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в области DR.
Если среда в области DR-вакуум, то ε0 = μ0 = 1. Для упрощения решения исследуем задачу дифракции плоской волны на частицах Dqnm сферической формы с абсолютно проводящей поверхностью в предположении, что все частицы одного размера. Поверхность шара Dqnm обозначим Sqnm. Будем исследовать электромагнитное поле в диапазоне частот, для которого волновой размер k0a мал, а отношение расстояния между центрами частиц к диаметру частицы конечно. Представим векторы $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} ,\vec {H}$ в виде суммы падающего и рассеянного поля:
где ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }_{0}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }_{1}}$ – падающая и рассеянная части напряженности электрического поля, ${{\vec {H}}_{0}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {H} }_{1}}$ – падающая и рассеянная части напряженности магнитного поля. Векторы напряженности электрического и магнитного поля в области DR удовлетворяют уравнениям Максвелла
(1)
$\begin{gathered} {\text{rot}}\quad\vec {H} = - i\left( {{{\omega {{\varepsilon }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega {{\varepsilon }_{0}}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right)\vec {E},\,\,\,\,{\;rot}\vec {E} = i\left( {{{\omega {{\mu }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega {{\mu }_{0}}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right)\quad\vec {H}, \\ {\text{div}}\vec {E} = 0,\,\,\,\,{\text{div}}\vec {H} = 0. \\ \end{gathered} $Рассеянная составляющая векторов $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $ и $\vec {H}$ должна быть ограничена по модулю в области DR при Imk0 > 0. На поверхности сферы Sqnm должны выполняться условия сопряжения
(2)
${{\left[ {\vec {n},\vec {E}} \right]}_{{Sqnm}}} = 0,\,\,\,\,{{\left[ {\vec {n},\vec {H}} \right]}_{{Sqnm}}} = 0,$где [ , ] – векторное произведение, $\vec {n}$ – внешняя нормаль к сфере Sqnm. Ищется дважды непрерывно дифференцируемое внутри области DR и непрерывное вплоть до границы области решение задачи (1), (2).
Будем искать решение задачи (1), (2) в области DR с помощью потенциалов Дебая электрического U и магнитного V типов, которые удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца
(3)
$(\Delta + k_{0}^{2}){{\Pi }_{{e,m}}} = 0,\,\,\,{{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c},\,\,\,{{\Pi }_{e}} = U,\,\,\,{{\Pi }_{m}} = V.$Представим потенциалы Дебая U и V в виде сумм U= U0 + U1 и V= V0 + V1, где U0 и V0 – потенциалы, отвечающие падающему полю. Рассеянная составляющая потенциалов U1 и V1 должна быть ограничена по модулю в области D при Im k0 > 0. На поверхности сферы Sqnm должны выполняться условия равенства нулю касательных составляющих электромагнитного поля, выписанные на границе Sqnm, через потенциалы Дебая:
(4)
${{\left. {\frac{{\partial {\text{(}}{{r}_{{qnm}}}{\text{(}}{{U}_{0}} + {{U}_{1}}{\text{))}}}}{{\partial n}}} \right|}_{{{{S}_{{qnm}}}}}} = 0,$где ∂/∂n – производная по нормали к поверхности Sqnm, направленная из области Dqnm, rqnm – расстояние во вспомогательной сферической системе координат. Соотношения, связывающие потенциалы Дебая с проекциями электромагнитного поля внутри D в сферической системе координат (r, θ, φ), связанной с центром Oc, задаются по формулам
(7)
$\begin{gathered} {{E}_{r}} = \frac{{{{\partial }^{2}}(rU)}}{{\partial {{r}^{2}}}} + {{k}^{2}}(rU), \\ {{E}_{\theta }} = \frac{1}{r}\frac{{{{\partial }^{2}}(rU)}}{{\partial \theta \partial r}} + \frac{{i\omega \mu }}{{cr\sin \theta }}\frac{{\partial (rV)}}{{\partial \varphi }}, \\ {{H}_{\theta }} = \frac{{c{{k}^{2}}}}{{i\omega \mu }}\frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial (rU)}}{{\partial \varphi }} + \frac{1}{r}\frac{{{{\partial }^{2}}(rV)}}{{\partial \varphi \partial r}}, \\ {{H}_{r}} = \frac{{{{\partial }^{2}}(rV)}}{{\partial {{r}^{2}}}} + {{k}^{2}}(rV), \\ {{E}_{\varphi }} = - \frac{{i\omega \mu }}{{cr}}\frac{{\partial (rV)}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}(rU)}}{{\partial \varphi \partial r}}. \\ {{H}_{\varphi }} = \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}(rV)}}{{\partial \varphi \partial r}} - \frac{{c{{k}^{2}}}}{{i\omega \mu r}}\frac{{\partial (rU)}}{{\partial \theta }}. \\ \end{gathered} $В соотношениях (7) вне шара D волновое число k заменяется на k0.
Решение задачи для потенциала Дебая U1 следует искать в виде потенциалов для уравнения Гельмгольца простого слоя
(8)
$\begin{gathered} {{U}_{1}}(\bar {x}) = \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{nq}}}} {\int\limits_{{{S}_{{qnm}}}} {{{\nu }_{{qnm}}}({{{\bar {\xi }}}_{{qnm}}})} } } } {{G}_{0}}(\bar {x},{{{\bar {\xi }}}_{{qnm}}})ds, \\ {{G}_{0}} = \frac{{\exp (i{{k}_{0}}{{R}_{{qnm}}})}}{{4\pi {{R}_{{qnm}}}}}, \\ \end{gathered} $где через ${{G}_{0}}_{{}}$ обозначено фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, отвечающее волновому числу k0, Rqnm – расстояние от точки интегрирования до точки наблюдения в локальной сферической системе координат, ${{\nu }_{{qnm}}}$ – неизвестные плотности потенциалов. Потенциал Дебая V1 будем искать в виде суммы потенциалов двойного слоя для уравнения Гельмгольца
(9)
$\begin{gathered} {{V}_{1}}(\bar {x}) = \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{nq}}}} {\int\limits_{{{S}_{{qnm}}}} {{{w}_{{qnm}}}({{{\bar {\xi }}}_{{qnm}}})} } } } \frac{\partial }{{\partial n}}{{G}_{0}}(\bar {x},{{{\bar {\xi }}}_{{qnm}}})ds, \\ {{G}_{0}} = \frac{{\exp (i{{k}_{0}}{{R}_{{qnm}}})}}{{4\pi {{R}_{{qnm}}}}}, \\ \end{gathered} $где wqnm – неизвестные плотности потенциалов, ∂/∂n – производная по нормали в точке интегрирования. Из теории дифракции на шаре малого волнового диаметра известно, что плотности ${{\nu }_{{qnm}}}$ и ${{w}_{{qnm}}}$ можно искать в виде
(10)
$\begin{gathered} {{\nu }_{{qnm}}} = [{{a}_{{1qnm}}}P_{1}^{1}(\cos {{\theta }_{{qnm}}}) + \\ + \,\,{{a}_{{2qnm}}}P_{2}^{1}(\cos {{\theta }_{{qnm}}})]\cos ({{\varphi }_{{qnm}}}), \\ \end{gathered} $(11)
$\begin{gathered} {{w}_{{qnm}}} = [{{с }_{{1qnm}}}P_{1}^{1}(\cos {{\theta }_{{qnm}}}) + \\ + \,\,{{с }_{{2qnm}}}P_{2}^{1}(\cos {{\theta }_{{qnm}}})]\sin ({{\varphi }_{{qnm}}}), \\ \end{gathered} $где a1qn, a2qnm, c1qnm, c2qnm – неопределенные коэффициенты, $P_{n}^{m}(x)$ –присоединенные полиномы Лежандра, (θqnm, φqnm) – сферические координаты в локальной системе.
Воспользуемся свойствами потенциалов для уравнения Гельмгольца простого и двойного слоя. Подставим представления (8), (9) в краевые условия на поверхности Sqnm. В результате получим систему интегральных уравнений для вычисления плотностей ${{\nu }_{{qnm}}}$ и ${{w}_{{qnm}}}.$ Далее используем представления (10) и представления сферических функций в разных системах координат –
(12)
$\begin{gathered} h_{q}^{{(1)}}(k{{r}_{i}})P_{q}^{p}(\cos {{\theta }_{i}})\exp (ip{{\varphi }_{i}}) = \\ = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{m = - n}^n {Q_{{mnpq}}^{{(1)}}} } (r_{j}^{i},\theta _{j}^{i},\varphi _{j}^{i}){{j}_{n}}(k{{r}_{j}})P_{n}^{m}(\cos {{\theta }_{j}})\exp (im{{\varphi }_{j}}), \\ \end{gathered} $Здесь $({{r}_{i}},{{\theta }_{i}},{{\phi }_{i}})$ и $({{r}_{j}},{{\theta }_{j}},{{\phi }_{j}}) - $ сферические координаты в i-й и j-й системах координат соответственно, $(r_{j}^{i},\theta _{j}^{i},\varphi _{j}^{i})$ – координаты j-го центра в i-й системе координат, jn(x), hn(1)(x) – сферические функции Бесселя и Ганкеля, коэффициенты Клебша–Гордана $b_{i}^{{(qjnm)}}.$ Коэффициенты Клебша–Гордана $b_{i}^{{(qjnm)}}$ определены в [6]. Применяя представления (10), (12) в совокупности с методом Галеркина, получаем систему алгебраических уравнений для вычисления коэффициентов a1qn, a2qnm :
(13)
$\begin{gathered} \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{qn}}}} {({{x}_{{1qnm}}}{{A}_{{qnmpjl}}} + {{x}_{{2qnm}}}{{B}_{{qnmpjl}}})} } } = {{b}_{{pjl}}}, \\ p = 1,..,Q,\,\,\,\,j = 1,..,{{N}_{j}},\,\,\,l = 1,..,{{M}_{{pj}}}, \\ \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{qn}}}} {({{x}_{{1qnm}}}{{A}_{{1qnmpjl}}} + {{x}_{{2qnm}}}{{B}_{{1qnmpjl}}})} } } = {{b}_{{1pjl}}}, \\ p = 1,..,Q,\,\,\,\,j = 1,..,{{N}_{j}},\,\,\,l = 1,..,{{M}_{{pj}}}. \\ \end{gathered} $В уравнениях (13) введены обозначения
где $(r_{{q*}}^{{0p*}},\theta _{{q*}}^{{0p*}},\varphi _{{q*}}^{{0p*}})$ – координаты центра сферы Sqnm в системе координат, связанной с центром сферы Sp00; ${{j}_{i}}^{'}(ka),$ $h_{i}^{{(1)'}}(ka),$ $i = 1,2$ – соответственно производные сферических функций Бесселя и Ганкеля по аргументу, ${{\delta }_{{p*p*}}} = 1,$ ${{\delta }_{{p*q*}}} = 0,$ p* → (pjl), q* → (qnm).
Решая алгебраическую систему (13), (14), определяем амплитуды асимптотик неизвестных плотностей ${{\nu }_{{qnm}}},$ а по формуле (8) вычисляем поле U1. Поступая аналогичным образом для вычисления коэффициентов c1qnm, c2qnm, получим следующую систему алгебраических уравнений:
(15)
$\begin{gathered} \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{qn}}}} {({{y}_{{1qnm}}}{{C}_{{qnmpjl}}} + {{y}_{{2qnm}}}{{D}_{{qnmpjl}}})} } } = {{d}_{{pjl}}}, \\ p = 1,..,Q,\,\,\,\,j = 1,..,{{N}_{j}},\,\,\,\,l = 1,..,{{M}_{{pj}}}, \\ \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{q}}} {\sum\limits_{m = 1}^{{{M}_{{qn}}}} {({{y}_{{1qnm}}}{{C}_{{1qnmpjl}}} + {{y}_{{2qnm}}}{{D}_{{1qnmpjl}}})} } } = {{d}_{{1pjl}}}, \\ p = 1,..,Q,\,\,\,j = 1,..,{{N}_{j}},\,\,\,l = 1,..,{{M}_{{pj}}}. \\ \end{gathered} $В уравнениях (15) введены следующие обозначения:
Решая алгебраическую систему (15), определяем амплитуды асимптотик неизвестных плотностей wq, а по формуле (9) вычисляем поле V1.
Внутри прозрачного шара DR для произвольных значений параметров среды шара ε*, μ*, σ* решение задачи дифракции на прозрачном шаре можно выписать в явном виде. Оно приведено во многих работах, например, в [6]. Решение ищется в виде потенциалов Дебая электрического U j и магнитного V j (j = 0, 1) типов. Вне шара DR потенциалы удовлетворяют уравнениям
(16)
$\begin{gathered} (\Delta + k_{0}^{2}){{\Pi }_{{e,m}}} = 0,\,\,\,\,k_{0}^{2} = {{\omega }^{2}}{{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}, \\ {{\Pi }_{e}} = {{U}^{0}},\,\,\,{{\Pi }_{m}} = {{V}^{0}}, \\ \end{gathered} $(причем потенциалы должны быть ограничены по модулю при Imk0 > 0 в области вне шара D), а внутри D – уравнениям
(17)
$\begin{gathered} (\Delta + {{k}^{2}}){{\Pi }_{{e,m}}} = 0,\,\,\,{{k}^{2}} = ({{\omega }^{2}}\varepsilon {\text{*}}\mu {\text{*}} + i4\pi \sigma {\text{*}}{{\omega \mu {\text{*}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \mu {\text{*}})} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}, \\ {{\Pi }_{e}} = {{U}^{1}},\,\,\,{{\Pi }_{m}} = {{V}^{1}}. \\ \end{gathered} $На поверхности S шара DR для потенциалов Дебая, удовлетворяющих (16), (17), выполняются условия сшивания:
(18)
$\begin{gathered} \frac{{k_{0}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}(U_{0}^{0} + U_{1}^{0}) = {{\left. {\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}{{U}^{1}}} \right|}_{S}},\,\,\,\,\frac{{\partial (r(U_{0}^{0} + U_{1}^{0})}}{{\partial n}} = {{\left. {\frac{{\partial (r{{U}^{1}})}}{{\partial n}}} \right|}_{S}}, \\ {{U}^{0}} = U_{0}^{0} + U_{1}^{0},\,\,\,\,{{\mu }_{0}}(V_{0}^{0} + V_{1}^{0}) = {{\left. {{{\mu }_{1}}{{V}^{1}}} \right|}_{S}}, \\ \frac{{\partial (r(V_{0}^{0} + V_{1}^{0}))}}{{\partial n}} = {{\left. {\frac{{\partial (r{{V}^{1}})}}{{\partial n}}} \right|}_{S}},\,\,\,\,{{V}^{0}} = V_{0}^{0} + V_{1}^{0}, \\ \end{gathered} $где ∂/∂n – производная по нормали к поверхности S, направленная вне области D, r – расстояние в сферической системе координат. Для рассеянной составляющей потенциала Дебая $U_{0}^{1}$ электрического типа и $V_{0}^{1}$ магнитного типа в сферической системе координат, приведем взятые из работы [6] формулы
(19)
$\begin{gathered} U_{0}^{1}(r,\theta ,\varphi ) = - \frac{{E\cos \varphi }}{{i{{k}_{0}}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{i}^{n}}} \frac{{2n + 1}}{{n(n + 1)}} \times \\ \times \,\,\frac{{k{{\mu }_{0}}\psi _{n}^{'}({{k}_{0}}R*) - {{k}_{0}}\mu {\text{*}}{{\chi }_{n}}(kR*){{\psi }_{n}}({{k}_{0}}R*)}}{{k{{\mu }_{0}}\zeta _{n}^{'}({{k}_{0}}R*) - {{k}_{0}}\mu {\text{*}}{{\chi }_{n}}(kR*){{\zeta }_{n}}({{k}_{0}}R*)}} \times \\ \times \,\,P_{n}^{1}(\cos \theta )h_{n}^{{(1)}}({{k}_{0}}r), \\ V_{0}^{1}(r,\theta ,\varphi ) = - \frac{{E\sin \varphi }}{{i{{k}_{0}}}}\sqrt {\frac{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{i}^{n}}} \frac{{2n + 1}}{{n(n + 1)}} \times \\ \times \,\,\frac{{{{k}_{0}}\mu {\text{*}}\psi _{n}^{'}({{k}_{0}}R*) - k{{\mu }_{0}}{{\chi }_{n}}(kR*){{\psi }_{n}}({{k}_{0}}R*)}}{{{{k}_{0}}\mu {\text{*}}\zeta _{n}^{'}({{k}_{0}}R*) - k{{\mu }_{0}}{{\chi }_{n}}(kR*){{\zeta }_{n}}({{k}_{0}}R*)}} \times \\ \times \,\,P_{n}^{1}(\cos \theta )h_{n}^{{(1)}}({{k}_{0}}r). \\ \end{gathered} $Здесь ${{\psi }_{n}}(x) = x{{j}_{n}}(x),$ ${{\zeta }_{n}}(x) = xh_{n}^{{(1)}}(x),\,\,{{\chi }_{n}}(x) = $ $ = {{\psi _{n}^{'}(x)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\psi _{n}^{'}(x)} {{{\psi }_{n}}(x)}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{n}}(x)}},$ ${{j}_{n}}(x),$ $h_{n}^{{(1)}}(x)$ – сферические функции Бесселя и Ганкеля, $\psi _{n}^{'}(x),$ $\zeta _{n}^{'}(x)$ – производная по аргументу, $P_{n}^{m}(x)$ – присоединенные полиномы Лежандра.
Обозначим через ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }_{m}},$ ${{\vec {H}}_{m}}$ электромагнитное поле дифракции на прозрачном шаре, через ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }_{p}},$ ${{\vec {H}}_{p}}$ электромагнитное поле дифракции на Q‑слойной решетке и потребуем, чтобы поля и их касательные составляющие были равны в замкнутой области r ≥ R*
(20)
$\begin{gathered} {{\left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }}_{m}},{{{\vec {H}}}_{m}}} \right)}_{{r \geqslant R*}}} = {{\left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }}_{p}},{{{\vec {H}}}_{p}}} \right)}_{{r \geqslant R*}}}, \\ {{\left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }}_{m}},{{{\vec {H}}}_{m}}} \right)}_{{\tau ,r \geqslant R*}}} = {{\left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} }}_{p}},{{{\vec {H}}}_{p}}} \right)}_{{\tau ,r \geqslant R*}}}. \\ \end{gathered} $Считая поле дифракции на решетке известным, подставим в (20) соотношения (18). Путем интегрирования по сфере r = R* получаем нелинейные уравнения для вычисления параметров ε*, μ*, σ*. Если среды не ферромагнетики, то магнитная проницаемость в приведенных выше задачах известна и равна 1.0. В этом случае достаточно решить задачу определения потенциала Дебая электрического или магнитного типа для Q-слойной решетки и прозрачного шара и сравнить эти потенциалы по первому соотношению формулы (20).
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВОЛНОВОДЕ
Во второй модели для обеспечения механизма многократного рассеяния исследуется распространение электромагнитного поля через плоскую многослойную решетку. Она представляет собой Q плоскостей (слоев) zc = const. На слоях периодически вдоль осей x,y расположены центры элементов сферической формы, волновой радиус ka элементов не мал. Решетка погружена в слой толщиной (Q + 1)L, 2a/L ≤ 0.5, L – расстояние между плоскостями, на которых расположены центры элементов двоякопериодической решетки. Для магнитной составляющей поля такая задача эквивалентна задаче распространения нормальной волны в направляющей системе вида бесконечного волновода прямоугольного поперечного сечения, на оси которого на отрезке длиной (Q + 1)L располагаются центры Q-частиц сферической формы, волновой диаметр которых не мал, а расстояние между центрами конечно. В качестве области D рассматривается расположенный внутри волновода конечный слой толщиной (Q + 1)L с другими параметрами распространения. Для вычисления скорости распространения поля при z > (Q + 1)L сравнивается распространяющаяся составляющая поля дифракции на Q-частицах с полем в волноводе, прошедшим через слой длиной (Q + 1)L.
Для волновода с частицами рассмотрим спектр излучения, для которого волновой размер частиц ka ≤ 0.5. Пространство внутри волновода W будем характеризовать параметрами ε и μ (ε –диэлектрическая, μ – магнитная проницаемости). Для вакуума параметры ε = μ = 1. На оси волновода размещены частицы сферической формы Dq, q = 1, …, Q. Радиус частицы Dq равен а, ее центр расположен в точке с координатами (0,0,(q – 1)L), так что начало декартовой системы совпадает с центром первой частицы. Для упрощения решения будем считать поверхность частицы Dq идеально проводящей. Обозначим через (${{\bar {D}}_{q}}$ – замыкание области Dq). В области DqR из полупространства z < 0 на конечное множество частиц Dq падает электромагнитное поле. Представим полное поле в виде суммы падающего поля и рассеянной части. Векторы напряженности полного электрического $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $-поля и магнитного $\vec {H}$-поля в области DqR удовлетворяют уравнениям Максвелла
(21)
$\begin{gathered} {\text{rot}}\vec {H} = - i({{\omega \varepsilon } \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \varepsilon } c}} \right. \kern-0em} c})\vec {E},\,\,\,\,{\text{rot}}\vec {E} = i({{\omega \mu } \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \mu } c}} \right. \kern-0em} c})\vec {H}, \\ {\text{div}}\vec {E} = 0,\,\,\,\,{\text{div}}\vec {H} = 0, \\ \end{gathered} $где ω – круговая частота, с – скорость распространения света в вакууме. Из уравнений (21) следует, что в кусочно-однородной изотропной среде без локальных источников векторы $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $ и $\vec {H}$ удовлетворяют векторным уравнениям Гельмгольца
где k – волновое число поля в области DqR. На стенке волновода и на поверхностях Sq шаров Dq (q = 1, …, Q) должно выполняться условие обращения в нуль касательной составляющей электрического поля $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $. Если в волноводе распространяется электромагнитное поле, то рассеянная часть векторов $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {E} $ и $\vec {H}$ должна быть ограничена по модулю в области DqR при Im k > 0. Особенность распространения электромагнитных волн в волноводах заключается в том, что существует критическая длина волны, и волна с большей длиной в волноводе не распространяется. Если μ*, ε* – произвольные константы, характеризующие среду с включениями, то для вычисления этих констант среды нужно исследовать задачу распространения как электрической волны в волноводе (Hz-компонента равна нулю), так и задачу распространения магнитной волны (Еz-компонента равна нулю). Если материал среды и частиц не ферромагнетик, то с высокой точностью можно положить µ* = 1.0. В этом случае достаточно исследовать задачу дифракции в волноводе или электрических, или магнитных волн.
Далее исследуем магнитные волны, для которых Ez-компонента электромагнитного поля равна нулю. Пусть распространяющаяся из бесконечности при z < 0 в области D магнитная волна имеет вид
где ${{h}_{{10}}} = \sqrt {k_{{}}^{2} - g_{{10}}^{2}} > 0,$ $E_{z}^{0} = 0,$ множитель exp(–iωt) далее опускаем. Параметр $h = {{h}_{{nm}}} = \sqrt {{{k}^{2}} - g_{{nm}}^{2}} ,$ где gnm – собственные значения задачи Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа в поперечном сечении волновода, называется продольным волновым числом. Потребуем, чтобы поперечный волновой размер волновода лежал в диапазоне ${{g}_{{10}}}{{l}_{1}} < k{{l}_{1}} < {{g}_{{20}}}{{l}_{1}},$ где g10, g20 – первое и второе в порядке возрастания отличные от нуля собственные значения задачи Неймана уравнения Лапласа, определенные в поперечном сечении волновода. В этом случае тип волны, распространяющейся в волноводе при z < –L, сохранится при z > QL, т.е. новых нормальных волн в волноводе в процессе дифракции на частицах не возникнет. Обозначим Hz-компоненту полного магнитного поля в волноводе через U и примем U = U0+ U1, где U0 = $H_{z}^{0},$ U1 – рассеянная на частицах часть магнитного поля. Поле U1 внутри волновода удовлетворяет скалярному однородному уравнению Гельмгольца
(22)
$(\Delta + {{k}^{2}}){{U}_{1}} = 0,\,\,\,\,{{k}^{2}} = {{k}_{0}}^{2}\varepsilon \mu ,\,\,\,{{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c},$где k – волновое число в области П, ${{\left. {{{\partial {{U}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{U}_{1}}} {\partial n}}} \right. \kern-0em} {\partial n}}} \right|}_{\Gamma }} = 0,$ Г – боковая поверхность волновода, n – нормаль к боковой поверхности, направленная внутрь области определения поля. Поле U1 ограничено в области DqR при Imk > 0. На поверхности сфер Dq должны выполняться условия
(23)
${{\left. {\partial {\text{(}}{{U}_{0}} + {{{{U}_{1}}{\text{)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{1}}{\text{)}}} {\partial n}}} \right. \kern-0em} {\partial n}}} \right|}_{{{{S}_{q}}}}} = 0,\,\,\,q = 1,...,Q.$Здесь ∂/∂n – производная по нормали к сфере Sq, направленная из шара Dq.
Решение задачи (22), (23) можно представить в виде суммы потенциалов простого слоя для уравнения Гельмгольца со специальным ядром $G(\bar {x},{{\bar {\xi }}_{q}})$ в виде функции Грина для бесконечного волновода квадратного поперечного сечения с идеально проводящими стенками
(24)
$\begin{gathered} {{U}_{1}}(\bar {x}) = \sum\limits_{q = 1}^Q {\int\limits_{{{S}_{q}}} {{{\nu }_{q}}} } ({{{\bar {\xi }}}_{q}})G(\bar {x},{{{\bar {\xi }}}_{q}})ds,\,\,\,\bar {x} = (x,y,z) \in D, \\ {{{\bar {\xi }}}_{q}} = ({{\xi }_{q}},{{\eta }_{q}},{{\varsigma }_{q}}) \in {{S}_{q}}. \\ \end{gathered} $Подставляя представление (24) в краевые условия (23) и пользуясь свойствами потенциала простого слоя для уравнения Гельмгольца, получим систему интегральных уравнений для вычисления плотностей νq:
(25)
$\begin{gathered} {{ - {{\nu }_{p}}({{{\bar {\xi }}}_{{1p}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\nu }_{p}}({{{\bar {\xi }}}_{{1p}}})} 2}} \right. \kern-0em} 2} + \sum\limits_{q = 1}^Q {\int\limits_{Sq} {{{\nu }_{q}}} } ({{{\bar {\xi }}}_{q}})\frac{\partial }{{\partial {{n}_{1}}}}G({{{\bar {\xi }}}_{{1p}}},{{{\bar {\xi }}}_{q}})ds = \\ = - {{\partial {{U}_{0}}({{{\bar {\xi }}}_{{1p}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{U}_{0}}({{{\bar {\xi }}}_{{1p}}})} {\partial {{n}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{n}_{1}}}},\,\,\,p = 1,..,Q, \\ \end{gathered} $∂/∂n1 – производная по внешней к поверхности Sp нормали в точке ${{\bar {\xi }}_{{1p}}}$. При решении системы уравнений (25) удобно представление функции G, построенное методом отражения от стенок волновода
При условии ka, h10a ≤ 0.5 плотность νp можно искать в виде
(26)
${{\nu }_{p}} = \cos {{\varphi }_{p}}\sum\limits_{\beta = 1}^В {{{a}_{{p\beta }}}P_{\beta }^{1}} (\cos {{\theta }_{p}}),$где apβ, β = 1, В, p = 1, ..., Q – неопределенные коэффициенты, (θp, φp) – сферические координаты с полюсом в центре сферы Sp. При вычислении с точностью до четвертого знака параметр В = 5. Подставим в систему (25) представление (26) и представление сферических функций в разных системах координат (12).
Применяя метод Галеркина, получаем систему алгебраических уравнений для вычисления неизвестных xqβ =aqβh10/(2H):
(27)
$\begin{gathered} \sum\limits_{q = 1}^Q {\sum\limits_{\beta = 1}^{\rm B} {{{x}_{{q\beta }}}{{A}_{{q\beta p\alpha }}}} } = {{b}_{{p\alpha }}},\,\,\,\,p = 1,..,Q,\,\,\,\,\alpha = 1,..,B, \\ {{x}_{{q\beta }}} = {{{{a}_{{q\beta }}}{{h}_{{10}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{q\beta }}}{{h}_{{10}}}} {(2H)}}} \right. \kern-0em} {(2H)}}, \\ \end{gathered} $где
(28)
$\begin{gathered} {{b}_{{p\alpha }}} = - \int\limits_0^\pi {P_{\alpha }^{1}} (\cos {{\theta }_{p}})\sin {{\theta }_{p}}\left\{ {\frac{{\pi \sin {{\theta }_{p}}}}{{4{{l}_{1}}{{h}_{{10}}}}}} \right.\left[ {{{J}_{0}}\left( {\frac{{\pi a\sin {{\theta }_{p}}}}{{2{{l}_{1}}}}} \right)} \right. - \\ - \,\,{{J}_{2}}\left. {\left( {\frac{{\pi a\sin {{\theta }_{p}}}}{{2{{l}_{1}}}}} \right)} \right] + i\cos {{\theta }_{p}}{{J}_{1}}\left. {\left( {\frac{{\pi a\sin {{\theta }_{p}}}}{{2{{l}_{1}}}}} \right)} \right\}d{{\theta }_{p}}, \\ \end{gathered} $δpαpα =1, δqβpα = 0; q, p = 1,…, Q; α, β = 1, …, B; Jn(x) – функция Бесселя. $(r_{{qnm}}^{{0p}},\theta _{{qnm}}^{{0p}},\varphi _{{qnm}}^{{0p}})$ – координаты центра qnm – элемента двоякопериодической решетки в системе координат, связанной с центром элемента p = p00.
Решая алгебраическую систему (27), (28) определяем амплитуды асимптотик неизвестных плотностей νq, а по формуле (24) вычисляем поле U1. В процессе рассеяния поля на частицах образуется не только дифракционное поле U1, но и так называемая эффективная скорость распространения волн в среде с частицами. Эту скорость определим следующим образом. Пусть внутри волновода с параметрами среды ε, μ размещен слой S = = {(x, y, z): –l1 ≤ x, y ≤ l1, –L ≤ z ≤ QL} диэлектрика с параметрами среды $\varepsilon _{s}^{'} = {{\varepsilon }_{s}} + {{4\pi i{{\sigma }_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi i{{\sigma }_{s}}} \omega }} \right. \kern-0em} \omega },\quad$ μs = 1, где σs – проводимость среды слоя. Материал среды слоя будем считать не ферромагнетиком. Из полупространства z < 0 на слой S падает стороннее поле в виде магнитной волны
Требуется найти амплитуду прошедшей через слой волны при z > QL. Будем считать, что поперечный волновой размер волновода, содержащего диэлектрический слой, также лежит в диапазоне ${{g}_{{10}}}{{l}_{1}} < k{{l}_{1}} < {{g}_{{20}}}{{l}_{1}}.$ Магнитное поле удовлетворяет: вне S однородному уравнению Гельмгольца (22); внутри S тому же уравнению (22), в котором ε и µ надо заменить на $\varepsilon _{s}^{'},$ μs, – и однородным условиям Неймана на границе поперечного сечения. В процессе распространения волны $H_{z}^{0}$ в волноводе со слоем диэлектрика при z < 0 образуется отраженная волна, внутри слоя – стоячая волна с волновым числом $k_{s}^{2} = k_{0}^{2}\varepsilon _{s}^{'}{{\mu }_{s}},$ а вне слоя при z > QL возбуждается прошедшая волна. Амплитуды этих волн вычисляются из условий равенства касательных составляющих магнитного поля Hz на границах слоя при z = –L и z = QL. Решение этой задачи известно [7]. Прошедшая через слой волна имеет вид
где
Если потребовать, чтобы в волноводе при z > QL амплитуда Hzs прошедшего через слой S поля равнялась амплитуде Hzd падающего поля плюс амплитуде распространяющейся части поля дифракции на конечном множестве частиц Dq,
то при известных параметрах задачи ω, ε, μ = μs =1.0, равенство (29) с учетом соотношений (28) есть нелинейное уравнение для вычисления электрической проницаемости $\varepsilon _{s}^{'} = \varepsilon {*\;}$ или скорости распространения электромагнитного поля cs = ${c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\sqrt {\varepsilon {\text{*}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\varepsilon {\text{*}}} }},$ которая, вообще говоря, комплексна. Скорость распространения поля cs в слое S назовем эффективной скоростью распространения электромагнитного поля в среде волновода, содержащей включения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложены два способа вычисления скорости распространения электромагнитного поля в среде с включениями. Очевидно, что эффект многократного рассеяния возрастает с ростом числа слоев решеток. Если аналогия изменения скорости звука и света с ростом концентрации частиц справедлива, то скорость электромагнитного поля должна убывать с ростом концентрации от скорости света при нулевой концентрации, а затем возрастать. С точки зрения вычислений второй способ предпочтительнее первого, поскольку размерность матриц системы алгебраических уравнений (13), (15) существенно выше размерности матрицы системы (27), так как дифракционное взаимодействие между элементами в плоскости решетки учитывается специально выбранной функцией Грина в представлении (24). Например, при числе слоев сферической и плоской решетки, равной 50, и точности вычисления до четвертого знака размерность матрицы коэффициентов систем (13), (15) равна (500 292 × × 500 292), а размерность матрицы коэффициентов (27) равна (250 × 250).
Список литературы
Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука, 1982.
Алексеев В.Н., Рыбак С.А. // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 5. С. 690.
Foldy L.L. // Phys. Rev. 1945. V. 67. № 3/4. P.107.
Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. Т. 2.
Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981. Т. 2.
Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968.
Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1979.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника