Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 7, стр. 694-710
Статистические характеристики косинусных обобщенных BOC-сигналов (cosGBOC-сигналов) перспективных спутниковых радионавигационных систем
М. С. Ярлыков 1, *, С. М. Ярлыкова 2, **
1 Редакция журнала “Радиотехника и электроника”
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация
2 Институт кибернетики Российского технологического университета МИРЭА
119454 Москва, просп. Вернадского, 78, Российская Федерация
* E-mail: red@cplire.ru
** E-mail: yarlykova@mirea.ru
Поступила в редакцию 17.05.2018
После доработки 17.05.2018
Принята к публикации 16.02.2019
Аннотация
Рассмотрены свойства и статистические характеристики (временны́е и спектральные) косинусных обобщенных BOC-сигналов (cos GBOC-сигналов) для нового поколения спутниковых радионавигационных систем, в частности, таких как GPS (США), Galileo (Европа) и BeiDou (Китай). Получены аналитические выражения корреляционных функций (КФ) одиночных элементов модулирующей функции (МФ) cos GBOC-сигналов при типовых коэффициентах кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ (${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 и 4) для различных значений коэффициента заполнения ρ, где ρ ∈ [0, 1]. Показано, что полученные общие формулы справедливы в важных частных случаях: ρ = 0.5, что соответствует косинусным меандровым шумоподобным сигналам – cos BOC-сигналам, и ρ = 0 (или ρ = 1), что соответствует двоичным фазоманипулированным сигналам (BPSK-сигналам). Путем прямого преобразования Фурье КФ рассчитаны энергетические спектры (спектральные плотности мощности) одиночных элементов МФ cos GBOC-сигналов в случаях, когда ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 и 4.
ВВЕДЕНИЕ
В глобальных спутниковых радионавигационных системах (СРНС), таких как GPS (США), ГЛОНАСС (Россия), Galileo (Европа) и BeiDou (Китай), все более широко применяются (или планируются к применению) меандровые шумоподобные сигналы, называемые в англоязычной литературе binary offset carrier modulated signals (BOC-сигналы) [1–3].
В настоящее время все выделенные диапазоны частот, в частности, $L$-диапазон (длина волны составляет 15…20 см), который предназначен для СРНС, довольно плотно заняты уже существующими системами. В силу этого любое перераспределение несущих частот или выделение каких-либо новых частот является сложной проблемой и требует более эффективного использования диапазона с максимальной плотностью радиоэлектронных устройств и систем на единицу полосы частот. Все это усиливает необходимость разработки новых более совершенных навигационных сигналов, во многом характеризующих качество навигационных определений в целом.
В связи с этим для новых поколений глобальных СРНС заметным событием является разработка обобщенных (Generalized) BOC-сигналов – GBOC-сигналов [4–6].
Отличие GBOC-сигналов от BOC-сигналов заключается в том, что у них поднесущее колебание (ПК) представляет собой прямоугольный сигнал, т.е. периодическую биполярную последовательность прямоугольных видеоимпульсов, с произвольным значением коэффициента заполнения ρ, где ρ ∈ [0, 1]. Такое ПК навигационных GBOC-сигналов называется прямоугольным ПК (ППК). Другими словами, GBOC-сигналы – это шумоподобные сигналы с ППК, а BOC-сигналы – это шумоподобные сигналы с меандровым ПК (МПК).
В том важном частном случае, когда у ППК коэффициент заполнения ρ = 0.5, оно представляет собой МПК, а сами GBOC-сигналы при этом являются традиционными BOC-сигналами [1–3].
В другом частном случае, когда ρ = 0 или ρ = 1, GBOC-сигналы вырождаются в двоичные фазоманипулированные сигналы (binary phase shift keying signals – BPSK-сигналы). Этот случай является вырожденным, поскольку утрачивается зависимость сигналов от значения коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$.
Тот факт, что у GBOC-сигналов можно варьировать значением коэффициента заполнения ρ в пределах от 0 до 1, создает дополнительную возможность изменять в широких пределах форму и параметры корреляционных функций (КФ) и энергетических спектров таких сигналов. Это обстоятельство обусловливает определенные преимущества (в частности, по электромагнитной совместимости) использования в перспективных СРНС шумопобных GBOC-сигналов по сравнению с BOC- или BPSK-сигналами.
Как вариант, применение GBOC-сигналов обсуждается, например, в китайской СРНС BeiDou на третьей фазе ее развития при следующих значениях параметров сигналов: несущая частота GBOC-сигнала ${{f}_{{\text{Н }}}}$ = 1561.098 МГц, тип модуляции GBOC(2,2,$\rho $), коэффициент заполнения ρ = 0.3, частота следования символов псевдослучайной последовательности (ПСП) дальномерного кода ${{f}_{{\text{С }}}}$ = 2.046 МГц, частота ППК ${{f}_{{\text{П }}}}$ = 2.046 МГц, базовая (опорная) частота ${{f}_{{{\text{О }}{\kern 1pt} {\text{П }}}}}$ = 1.023 МГц [5].
Навигационные GBOC-сигналы (аналогично BOC-сигналам) в зависимости от относительного временнóго сдвига ПСП дальномерного кода и ППК подразделяются на sin GBOC- и cos GBOC-сигналы (соответственно синусные и косинусные обобщенные BOC-сигналы). Применительно к СРНС нового поколения sin GBOC-сигналы и их статистические характеристики были рассмотрены в [6, 7]. В данной работе рассмотрим cos GBOC-сигналы.
Структура модулирующей функции (МФ) и спектральные характеристики cos GBOC-сигналов обсуждались в [8], однако также важно рассмотреть их корреляционные характеристики, поскольку КФ во многом определяют структуру и параметры дискриминаторов в приемных устройствах СРНС.
Цель работы – получить аналитические выражения, построить графики и обсудить свойства КФ одиночных элементов МФ cos GBOC-сигналов при различных значениях $\rho $ для коэффициентов кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 и 4; кроме того, путем преобразования Фурье (ПФ) найти соответствующие энергетические спектры.
Для определенности дальнейших рассуждений поясним введенные термины:
1) “косинусный символ МФ” ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ означает видеосигнал, представляющий собой отрезок МФ ${{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала длительностью τC одного элемента ПСП дальномерного кода g(t), где t ∈ [${\kern 1pt} {{t}_{k}}{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} \,{{t}_{k}} + {{\tau }_{{\text{С }}}}$], взятый со знаком “+”;
2) “элемент МФ” ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ означает косинусный символ МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала, взятый со знаком “+” или “–” в зависимости от значения кодового коэффициента ${{\nu }_{k}} = \nu {\kern 1pt} ({{t}_{k}})$ ПСП дальномерного кода $g(t)$ в дискретный момент времени ${{t}_{k}} = k{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С }}}},$ где $k$ = 0, 1, 2, …;
3) термин типа “одиночный элемент МФ cos GBOC-сигнала” означает, что рассматривается математическое выражение, описывающее один элемент МФ cosGBOC-сигнала.
Рассматриваемые ПСП дальномерного кода $g(t)$ и косинусные ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ имеют единичные амплитуды, поэтому полученные выражения характеризуют нормированные КФ и энергетические спектры.
1. СТРУКТУРА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧАЕМОГО cos GBOC-СИГНАЛА
Применительно к среднеорбитальным СРНС cos GBOC-сигнал $s(t)$, излучаемый бортовым передатчиком какого-либо одного спутника из состава группировки, имеет традиционную форму представления [3, 8]:
(1)
$s(t - {{t}_{0}}) = A{\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC}}}}}(t - {{t}_{0}})\cos [{{\omega }_{{\text{Н }}}}(t - {{t}_{0}}) + \varphi (t)],$Как видно из (1), специфические особенности cos GBOC-сигналов $s(t)$ (при сравнении с sin GBOC- или BOC-сигналами) полностью определяются структурой и характеристиками МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t).$
По аналогии с [8], когда это не влияет на суть изложения, полагаем, что МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ cos GBOC-сигнала $s(t)$ обусловлена собственно ПСП дальномерного кода и косинусным ППК. В таком случае МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ имеет вид [8]
(2)
${{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t - {{t}_{0}}) = g(t - {{t}_{0}}){{r}_{{{\text{cos}}}}}(t - {{t}_{0}}),$Из формулы (2) следует, что МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ формируется путем перемножения взаимно синхронизированных последовательностей $g(t)$ и rcos(t), каждая из которых состоит из чередующихся единичных видеоимпульсов соответствующей длительности, меняющих свою полярность по определенным законам.
Соотношение для ПСП дальномерного кода $g(t)$, описывающее ее один период, имеет известный вид [3, 9]:
(3)
$g(t - {{t}_{0}}) = \sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {\nu {{{\kern 1pt} }_{k}}{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}}} [t - k{{\tau }_{{\text{С }}}} - {{t}_{0}}],$Функция ${\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}}[ \cdot ]$ в (3) представляет собой импульс единичной амплитуды длительностью ${{\tau }_{{\text{С }}}}$:
(4)
${\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}}[t - k{{\tau }_{{\text{С }}}}] = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,k{{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant t < (k + 1){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,k{{\tau }_{{\text{С }}}} > t \geqslant (k + 1){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$Длительность периода ПСП $g(t)$ (3) равна
Кодовые коэффициенты ${{\nu }_{k}} = \nu ({{t}_{k}}),$ где ${{t}_{k}} = k{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С }}}}$ – дискретное время, формируют ПСП дальномерного кода $g(t)$ (3). Они принимают на каждом элементе ПСП длительностью ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ значения +1 или –1 согласно определенному коду.
Так, например, в СРНС типа ГЛОНАСС дальномерный код стандартной точности представляет собой периодическую последовательность максимальной длины (М – последовательность, или последовательность Хаффмена) с периодом $T{}_{L}$ = 1 мс и частотой следования символов ${{f}_{{\text{С }}}}$ = = 511 кГц; в СРНС типа GPS дальномерный C/A код является периодической последовательностью Голда с периодом ${{T}_{L}}$ = 1 мс и частотой следования символов ${{f}_{{\text{С }}}}$ = 1.023 МГц [10, 11].
Косинусные ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ входящие в (2), и одиночные косинусные символы ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ МФ cos GBOC-сигналов $s(t)$ при различных значениях $\rho $ обсуждались в [8].
Косинусное ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ ПСП $g(t)$ (для произвольно заданной реализации) и МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ при коэффициенте кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 и коэффициенте заполнения $\rho $ = 0.75, представлены на рис. 1, где ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ – длительность элемента ПСП $g(t);$ ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ и ${{\tau }_{2}}$ – длительности положительного и отрицательного импульсов косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ соответственно; ${{T}_{{\text{П }}}}$ – длительность периода косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t).$
Из рис. 1 видно, что длительность периода косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ равна
(6)
${{T}_{{\text{П }}}} = 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}} + 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} = {{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}}.$Частота косинусного ППК rcos(t) с учетом (6) характеризуется следующим выражением:
(7)
${{f}_{{\text{П }}}} = \frac{1}{{{{T}_{{\text{П }}}}}} = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}}}},$где ${{f}_{{\text{П }}}}$ – частота косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t).$
Важный параметр косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ каким является коэффициент заполнения прямоугольного сигнала $\rho $, определяется как [4–6]
(8)
$\rho \triangleq {{{{\tau }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\tau }_{1}}} {{{T}_{{\text{П }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{{\text{П }}}}}},$где ρ ∈ [0, 1].
Согласно (6) и (8) имеем, что применительно к коэффициенту заполнения $\rho $ выполняются следующие соотношения (см. рис. 1):
(9)
${{\tau }_{{\text{1}}}} = \rho {{T}_{{\text{П }}}},\,\,\,\,{{\tau }_{2}} = (1 - \rho ){{T}_{{\text{П }}}}.$Частным случаем прямоугольного сигнала ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ при $\rho $ = 0.5 является меандровый сигнал, у которого длительности положительного и отрицательного импульсов равны, т.е.
где ${{\tau }_{{\text{М }}}}$ – длительность меандрового импульса. При этом длительность периода ПК равна ${{T}_{{\text{П }}}}$ $ \triangleq $ ${{T}_{{\text{М }}}}$ = = $2{{\tau }_{{\text{М }}}},$ где ${{T}_{{\text{М }}}}$ – период МПК [1, 3].
Таким образом, если ρ = 0.5, то косинусное ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ представляет собой косинусное МПК, а cos GBOC-сигнал является традиционным cosBOC-сигналом.
При сопоставлении различных типов модуляции cos GBOC-сигналов (по аналогии с sin GBOC-сигналами) используется следующее обозначение: cos GBOC(${{f}_{{\text{П }}}},$ ${{f}_{{\text{С }}}}$, ρ) [4–8]. Поскольку у СРНС частоты ${{f}_{{\text{П }}}}$ и ${{f}_{{\text{С }}}}$ обычно кратны базовой (опорной) частоте ${{f}_{{{\text{О }}{\kern 1pt} {\text{П }}}}}$ (в частности, для систем GPS и Galileo ${{f}_{{{\text{О }}{\kern 1pt} {\text{П }}}}}$ = 1.023 МГц), то часто применяется и иная форма записи для обозначения типа модуляции cosGBOC-сигналов: cos GBOC($\alpha ,\,\beta \,,\rho $), где $\alpha = {{{{f}_{{\text{П }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{{\text{П }}}}} {{{f}_{{{\text{О П }}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{f}_{{{\text{О П }}}}}}}$ и $\beta = {{{{f}_{{\text{С }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{{\text{С }}}}} {{{f}_{{{\text{О П }}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{f}_{{{\text{О П }}}}}}}.$
Для характеристики различных типов cosGBOC-сигналов в качестве показателя применяется либо коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ либо эквивалентный ему параметр ${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ – коэффициент кратности периодов косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ [4–8].
Коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ представляет собой число прямоугольных импульсов (положительных длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ и отрицательных длительностью ${{\tau }_{{\text{2}}}}$) косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ которые укладываются на длительности ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. рис. 1):
(11)
${{N}_{{\text{П }}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С }}}}}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{f}_{{\text{П }}}}}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} = \frac{{2\alpha }}{\beta },$где NП – положительное четное число (NП = 2, 4, 6, …).
Отметим, что в случае cosGBOC-сигналов при определении коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ первый и последний импульсы длительностью $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$ каждый, укладывающиеся на длительности ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. (6) и рис. 1), рассматриваются как половины одного импульса и при подсчете учитываются как один импульс длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}.$
Коэффициент кратности периодов ${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ представляет собой число периодов длительностью ${{T}_{{\text{П }}}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ которые укладываются на длительности ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. рис. 1):
(12)
${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}} = \frac{1}{2}{{N}_{{\text{П }}}}{\text{ = }}\frac{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}} = \frac{{{{f}_{{\text{П }}}}}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} = \frac{\alpha }{\beta },$где ${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ = 1, 2, 3, …
В частном случае cosGBOC-сигналов, когда ρ = 0.5, т.е. в случае cosBOC-сигналов, коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ представляет собой применяемый при рассмотрении cosBOC-сигналов параметр ${{N}_{{\text{М }}}}$ – коэффициент кратности меандровых импульсов:
(13)
${{N}_{{\text{М }}}} = \frac{{{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С }}}}}}{{{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{М }}}}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{f}_{{\text{М }}}}}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} = \frac{{2\alpha }}{\beta },$где ${{\tau }_{{\text{М }}}}$ определяется (10).
2. ОДИНОЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cos GBOC-СИГНАЛОВ
По аналогии с BOC- и sin GBOC-сигналами произвольный k-й элемент МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ (2) cosGBOC-сигналов определяется следующим выражением [3, 6–8]:
(14)
${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}} - {\text{cosGBOC}}}}}(t) = {{\nu }_{k}}{{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t),$где ${{\nu }_{k}}$ = $\nu {\kern 1pt} ({{t}_{k}})$ – кодовый коэффициент k-го элемента ПСП дальномерного кода $g(t),$ характеризуемой (3); ${{t}_{k}} = k{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С }}}}$ – дискретное время; ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ – одиночный косинусный символ МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ (2) cosGBOC-сигналов. Индекс ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ у параметра ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ означает, что рассматривается одиночный элемент МФ ${{d}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ длительностью ${{\tau }_{{\text{С }}}}.$
В соответствии с (13) одиночный элемент МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала $s(t)$ (1) представляет собой одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$, взятый со знаком “+” или “–” в зависимости от значения кодового коэффициента ${{\nu }_{k}}$ k-го элемента ПСП $g(t)$.
Одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t),$ учитывая (2), (3) и (11), при различных значениях коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ может быть записан в следующем виде (см. рис. 1) [8]:
(15)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t) = \sum\limits_{m = 0}^{0.5{{N}_{{\text{П }}}} - 1} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - m{{T}_{{\text{П }}}}} \right]--} \right.} \\ - \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{2}}}}}\left[ {t - m{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left. {\left[ {t - m{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $где ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, 4, 6, … (${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ = 1, 2, 3, …).
Стоящий у обозначений индекс ${{N}_{{\text{П }}}}$ означает, что рассматривается одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ с коэффициентом кратности импульсов, равном ${{N}_{{\text{П }}}}.$
Как видно из (15) и рис. 1, косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ представляет собой отрезок косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ длительностью ${{\tau }_{{\text{С }}}} = 0.5{{N}_{{\text{П }}}}{{T}_{{\text{П }}}}$ (11) . Изображенный на рис. 1 одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ заштрихован.
В частном случае cosGBOC-сигналов, когда ρ = 0.5, т.е. когда рассматриваются cosBOC-сигналы, формула (15) с учетом того, что ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ = ${{\tau }_{{\text{2}}}}$ = ${{\tau }_{{\text{М }}}}$ и ${{N}_{{\text{П }}}}$ = ${{N}_{{\text{М }}}}$ (${{N}_{{\text{М }}}}$ = 2, 4, 6,…), принимает вид
(16)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosBOC--}}{{N}_{{\text{М }}}}}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{М }}}}}}}[t] + \\ + \,\,\sum\limits_{m = 1}^{{{N}_{{\text{M}}}} - 1} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{m}}{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{M}}}}}}}\left[ {t - \left( {m - 0.5} \right){{\tau }_{{\text{M}}}}} \right]} + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{М }}}}}}}[t - \left( {{{N}_{{\text{M}}}} - 0.5} \right){{\tau }_{{\text{M}}}}], \\ \end{gathered} $где ${{N}_{{\text{М }}}}$ = 2, 4, 6, …
Видно, что формула (16) совпадает, например, с выражением (2.2) (при четном ${{N}_{{\text{М }}}}$) из [3].
На рис. 2 в соответствии с формулой (15) представлены графики одиночных косинусных символов ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ при ρ = 0.75 применительно к двум типам МФ cosGBOC-сигналов для ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 (рис. 2а) и 4 (рис. 2б) при одной и той же длительности ${{\tau }_{{\text{С }}}}$ элемента ПСП $g(t).$ (Далее, когда это не вызывает сомнений, слово “одиночный” в выражениях типа “одиночный косинусный символ” для краткости опускаем.)
График на рис. 2а соответствует случаю ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 (${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ = 1) и представляет косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t),$ который согласно (15) определяется соотношением
(17)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ t \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $Косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t)$ характеризует cos GBOC-сигналы с модуляцией, например, типа cos GBOC(1, 1, ρ) или cos GBOC(2, 2, ρ).
На рис. 2б для ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 (${{{\text{Q}}}_{{\text{П }}}}$ = 2) в соответствии с (15) изображен график косинусного символа
(18)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}--4}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{1}}}}}\left[ t \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{2}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{1}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{1}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{1}} - {{\tau }_{2}}} \right] - {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{2}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5{{\tau }_{1}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{1}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5{{\tau }_{1}} - {{\tau }_{2}}} \right], \\ \end{gathered} $который определяет cos GBOC-сигналы с модуляцией, например, типа cos GBOC(10, 5, ρ).
Из формулы (15) и рис. 2 видно, что в формировании косинусных символов ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}--{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ ≥ 4 используются в зависимости от длительности импульсы трех видов:
– положительные импульсы длительностью $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}},$
– положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}},$
– отрицательные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{2}}}}.$
При ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 структура косинусного символа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}--2}}}(t)$ по сравнению с общим случаем упрощается, и в ней положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ не используются.
Если у cos GBOC-сигналов коэффициент заполнения ρ варьировать в пределах от 0 до 1, то тогда при определенных значениях ρ соотношения между длительностями этих трех видов импульсов косинусных символов ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(t)$ изменяются на противоположные (см. (6), (8), (9) и рис. 2). По этой причине, согласно (15), с учетом (6), (8) и (9) в зависимости от значения коэффициента заполнения ρ, где ρ ∈ [0, 1], при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, 6, 8, … возможен один из следующих трех вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов:
1-й вариант соответствует условию, что
(19)
${{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т }}{\text{.е }}{\text{.}}\,\,\,\,\rho \in [0,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}],$2-й вариант соответствует условию, что
(20)
$0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{1}}}},\,\,\,\,{\text{т }}{\text{.е }}{\text{.}}\,\,\,\,\rho \in [{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}],$3-й вариант соответствует условию, что
(21)
$0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \geqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т }}{\text{.е }}{\text{.}}\,\,\,\,\rho \in [{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3},1].$Выше отмечалось, что для cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 в структуре косинусного символа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t)$ положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ не используются, поэтому в таком случае имеют место лишь два варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов при ρ ∈ [0,1]:
1-й вариант соответствует условию, что
(22)
$0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т }}{\text{.е }}{\text{.}}\,\,\,\,\rho \in [0,{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}],$2-й вариант соответствует условию, что
(23)
$0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \geqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т }}{\text{.е }}{\text{.}}\,\,\,\,\rho \in [{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3},1].$Как будет показано далее, каждому варианту формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов соответствует свое аналитическое выражение КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ cosGBOC-сигналов.
3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ОДИНОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛОВ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Особенности корреляционных характеристик cos GBOC-сигналов во многом определяются КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ (14).
Найдем аналитические выражения КФ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов при типовых коэффициентах кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ (${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 и 4) для различных значений коэффициента заполнения ρ, где ρ ∈ [0, 1], и рассмотрим свойства таких КФ.
В соответствии с общим определением КФ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов, характеризуемого (14) и (15), описывается следующим выражением [9, 12]:
(24)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ) \triangleq \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t){{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t--\tau )dt} , \\ \end{gathered} $где ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ – КФ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов; $\tau $ – время смещения одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t);$ $\left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}.$
С учетом выражения (14), связывающего одиночный элемент МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ и одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t),$ формула (24) для КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ принимает вид
(25)
${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ) = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t){{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t--\tau )dt} ,$где ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ – одиночный косинусный символ, определяемый (15).
При получении (25) учтено, что в соответствии с (3) имеем
Согласно (14), (15) и (24) КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ является нормированной.
Вычисляя КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ),$ следует в соответствии с (19)–(23) различать при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 два варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ а при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 – три варианта.
В принципе выражения для КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ можно также найти, используя обратное преобразование Фурье энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cos GBOC-сигналов.
4. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ОДИНОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛА С КОЭФФИЦИЕНТОМ КРАТНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2
На основе формулы (25) с учетом (17) получим аналитические выражения КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}} - {\text{cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC- сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2.
Индекс 2 (или 4) в обозначениях ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}} - {\text{cosGBOC}}}}}(t),$ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t)$ здесь и далее показывает значение коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}},$ применительно к которому проведены расчеты.
Одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t)$ (17) используется для формирования МФ cosGBOC-сигналов с модуляцией, например, типа cosGBOC(1, 1, ρ) или cosGBOC(2, 2, ρ) при различных значениях ρ.
Навигационные cosGBOC-сигналы с модуляцией типа cosGBOC(2, 2, ρ) рассматриваются как вариант для использования в китайской СРНС BeiDou на третьей фазе ее развития [4, 5].
Согласно (17) и (25), КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}} - 2}}}(t)$ cosGBOC-сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 характеризуется следующим выражением:
(27)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t){{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t--\tau )dt} = \\ {\kern 1pt} = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ t \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right]} \right.} + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left. {\left[ {t--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}} \right]} \right\}\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--\tau } \right]} \right. - \\ \left. {--\,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--\tau } \right] + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}--\tau } \right]} \right\}dt. \\ \end{gathered} $Отметим, что, согласно (9) и (11), при значении коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 имеем
(28)
${{\tau }_{{\text{C}}}} = {{T}_{{\text{П }}}},\,\,\,\,{{\tau }_{{\text{1}}}} = \rho {{\tau }_{{\text{C}}}}\,\,\,\,{\text{и }}\,\,\,\,{{\tau }_{{\text{2}}}} = (1--\rho ){{\tau }_{{\text{C}}}}.$С учетом (28) соотношение для КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ (27) принимает вид
(29)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ t \right]} \right.} --\,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ {t - 0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}\left. {{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ {t--0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}--(1--\rho ){{\tau }_{{\text{C}}}}} \right]} \right\}\,\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ {t--\tau } \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ {t - 0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}--\tau } \right]} \right. + \\ \left. { + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}}}}\left[ {t--0.5\rho {{\tau }_{{\text{C}}}}--(1--\rho ){{\tau }_{{\text{C}}}}--\tau } \right]} \right\}dt. \\ \end{gathered} $Чтобы получить аналитические выражения, характеризующие КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ (29) (так же как и в случае КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$), используем следующую методику. Сначала находим КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ при τ ≥ 0, т.е. все определенные интегралы, входящие в (29), вычисляем в пределах 0 ≤ τ ≤ ${{\tau }_{{\text{C}}}}.$ Затем, используя свойство четности КФ: ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ = ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(--\tau ,\rho ),$ распространяем результат на область, где τ ≤ 0.
Вычисление определенных интегралов в (29) производим отдельно как для 1-го варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов (ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$]), так и для 2-го варианта (ρ ∈ [${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$, 1]).
Выполнив преобразования и вычисление интегралов в (29) для 1-го варианта (22) и для 2-го варианта (23) формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ в соответствии с методикой получим, что КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 имеет вид
(30)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant \frac{2}{3}, \hfill \\ {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\frac{2}{3} \leqslant \rho \leqslant 1. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $Входящие в формулу (30) КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )$ и ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho )$ описываются следующими выражениями:
(31)
${{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 1--2\rho --\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ --3 + 2\rho + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 1--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ρ ∈ [0, 2/3], NП = 2 , τC = TП;
(32)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - 5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ --3 + 4\rho --\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ --3 + 2\rho + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 1--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $где ρ ∈ [2/3, 1], NП = 2 , τC = TП.
Вторые индексы 1 или 2 при ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )$ и ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho )$ в формулах (30)–(32) и далее, означают, что рассматривается 1-й или 2-й вариант формирования косинусного ППК rcos(t) cosGBOC-сигналов.
Покажем справедливость полученных общих формул для КФ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ cos GBOC-сигналов (30)–(32) в важных частных случаях cosBOC- и BPSK-сигналов (binary phase shift keying signals).
А. Первый частный случай – cosBOC-сигналы
Пусть коэффициент заполнения ρ = 0.5, т.е. рассматриваем cosBOC-сигналы.
Тогда соотношение (31) принимает следующий вид:
(33)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosBOC--2}}}}}(\tau ) = {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,0.5) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - \frac{{5\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ --\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0.5{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ --2 + \frac{{3\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 1.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ 1--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,1.5{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $Видно, что формула (33) совпадает с соответствующим выражением для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--2}}}}}(\tau ),$ например, (2.40) из [3].
Б. Второй частный случай (вырожденный случай) – BPSK-сигналы
Пусть коэффициент заполнения ρ = 0 (или ρ = 1), т.е. рассматриваем BPSK-сигналы. Тогда соотношения (31) при ρ = 0 и (32) при ρ = 1, определяющие КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ),$ приводятся к следующему виду:
(34)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau ) = {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,0) = {{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,1) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{C}}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $Видно, что формула (34) совпадает с соответствующим выражением для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau ),$ например, из [3, 13, 14].
Совпадение выведенных формул (30)–(32) для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 в частных случаях cosBOC-сигналов и BPSK-сигналов с известными результатами дополнительно подтверждает справедливость этих общих формул.
На рис. 3а–3г представлены графики КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ),$ построенные согласно (30)–(32), для одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 при различных значениях коэффициента заполнения $\rho $. Там же изображены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--2}}}}}(\tau )$ (штриховые линии) и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\kern 1pt} {\text{BPSK}}}}}(\tau {\kern 1pt} {\kern 1pt} )$ (штрихпунктирные линии) соответствующих cosBOC-сигналов и BPSK-сигналов.
На рис. 3а сплошной линией представлен график КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,0.25)$ cosGBOC-сигнала. Для сравнения приведен график КФ RsinGBOC–2(τ,0.25) sinGBOC-сигнала (пунктирная линия), рассчитанного в соответствии с соотношением [7, ф‑ла (24)]:
(35)
${{R}_{{{\text{sinGBOC--2--1}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - \frac{{3\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ 1--2\rho - \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\rho {{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ --1 + \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ρ ∈ [0, 0.5], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П }}}}$.
Как видно из формул (31), (35) и рис. 3а, основной пик КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,0.25)$ cos GBOC-сигнала является более острым при сравнении с основным пиком КФ ${{R}_{{{\text{sinGBOC--2}}}}}(\tau ,0.25)$ sin GBOC-сигнала.
Графики на рис. 3б характеризуют КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов при ρ = 0.25 (сплошная линия) и ρ = 0.45 (пунктирная линия), на рис. 3в – при $\rho = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$ (сплошная линия) и ρ = 0.6 (пунктирная), на рис. 3г – при $\rho = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$ (сплошная линия) и ρ = 0.75 (пунктирная линия).
Все КФ на рис. 3а–3г являются нормированными.
Из формул (30)–(32) и графиков на рис. 3а–3г следует, что применительно к cosGBOC-сигналам возможность изменения значения коэффициента заполнения ρ позволяет трансформировать форму и параметры КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ в весьма широких пределах, начиная от КФ BPSK-сигналов и завершая КФ cosBOC-сигналов.
В то же время видно, что основной пик КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов для различных значений ρ остается весьма острым (при сравнении с КФ ${{R}_{{{\text{sinGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ sinGBOC-сигналов и КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau )$ BPSK-сигнала) и совпадает с основным пиком КФ ${{R}_{{{\text{cosBOC--2}}}}}(\tau )$ cosBOC-сигналов.
Отмеченные особенности КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ являются достоинствами cosGBOC-сигналов.
5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ОДИНОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛА ПРИ ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Получим энергетический спектр (спектральную плотность мощности) ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 как прямое ПФ КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ [3, 7, 14]:
(36)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho ) = {\text{FT}}\left\{ {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )} \right\} = \\ = \,\,\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ){\text{exp}}\left\{ {{\text{--}}i\omega \tau } \right\}} d\tau , \\ \end{gathered} $где $\,{\text{FT}}\left\{ {\, \cdot \,} \right\}$ – символ прямого ПФ.
Для определенности рассуждений полагаем, что используется 1-й вариант формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, т.е. ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$]. Тогда, учитывая четность КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ согласно (31) и (36) имеем
(37)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\omega ,\rho ) = {\text{FT}}\left\{ {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )} \right\} = \\ = 2\int\limits_0^\infty {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho ){\text{cos}}\omega \tau d\tau } = \\ = 2\int\limits_0^{0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}}} {\left( {1 - \frac{{5\tau }}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau } + \\ + \,\,2\int\limits_{0.5\rho {{\tau }_{{\text{С }}}}}^{(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}} {\left( {1--2\rho --\frac{\tau }{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau } + \\ + \,\,2\int\limits_{(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}}^{(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}} {\left( {--3 + 2\rho + \frac{{3\tau }}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau } + \\ + \,\,2\int\limits_{(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С }}}}}^{{{\tau }_{{\text{С }}}}} {\left( {1--\frac{\tau }{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau } , \\ \end{gathered} $где ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П }}}}$.
Вычислив в выражении (37) определенные интегралы, получим, что энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 равен:
(38)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\omega ,\rho ) = \frac{2}{{{{\omega }^{2}}{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\left[ {5--{\text{cos}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right. - \\ --\,\,4\cos 0.5\rho \omega {{\tau }_{{\text{C}}}}--4{\text{cos(1--}}\rho )\omega {{\tau }_{{\text{C}}}} + \\ \left. { + \,\,4{\text{cos(1--0}}{\text{.5}}\rho )\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right], \\ \end{gathered} $где ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П }}}}$.
Учитывая, что
(39)
${{f}_{{\text{C}}}} = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}},\,\,\,\,\frac{{{\kern 1pt} \pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} = \frac{1}{2}\omega {{\tau }_{{\text{С }}}}\,\,{\text{и }}\,\,\omega = 2\pi f,$формулу (38) можем записать в виде
(40)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(f,\rho ) = \frac{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{{{{\pi }^{2}}{{f}^{2}}}}\left( {2.5--0.5\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right.-- \\ - \,\,2\cos \rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--2\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\cos \rho \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--2{\text{sin}}\frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} \times \\ \times \,\,{\text{sin}}\rho \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} + 2\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\cos \rho \frac{{{\kern 1pt} \pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} + 2{\kern 1pt} {\text{sin}}\frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\left. {{\text{sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right), \\ \end{gathered} $где ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П }}}}$.
После тригонометрических преобразований в выражении (40) окончательно находим:
(41)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(f,\rho ) = \frac{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{{{{\pi }^{2}}{{f}^{2}}}} \times \\ \times \,\,{{\left[ {{\text{2sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{cos}}(2--\rho )\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}--{\text{sin}}(1--\rho )\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right]}^{2}}, \\ \end{gathered} $где ρ ∈ [0, ${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П }}}}$.
Видно, что (41) совпадает с соответствующим выражением для ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(f,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, полученным в [8] (см. (37)) иным путем (на основе спектральной плотности без использования КФ).
Отметим, ${\text{ч т о }}$ энергетический спектр ${{S}_{{{\text{GBOC--2--}}{\kern 1pt} 2}}}(f,\rho )$ в случае 2-го варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П }}}}$= 2, т.е. ρ ∈ [${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$,1], вычисляется аналогичным образом и приводит к тому же результату (41).
Совпадение формулы (41) с известным ранее результатом дополнительно подтверждает правильность выведенных аналитических выражений (30)–(32) для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2.
6. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ОДИНОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛА С КОЭФФИЦИЕНТОМ КРАТНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4
Методика, используемая при получении аналитических выражений для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$ cos GBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, остается той же, что была применена при выводе соотношений для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2.
Одиночный косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(t),$ используемый при таком подходе, при вычислении КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ в случае, когда ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, характеризуется формулой (18) (см. рис. 2б). Косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(t)$ (18) может быть применен для формирования МФ навигационных cosGBOC-сигналов с модуляцией, например, типа cosGBOC(10, 5, ρ) при различных значениях $\rho $.
На основании (18), (24) и (25) выражение для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала в случае, когда коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, может быть представлено в виде
(42)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ) = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--4}}}}}(t){{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC--4}}}}}(t--\tau )dt} = \\ = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(t){{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(t--\tau )dt} = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ t \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right]} \right.} + \\ + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}} \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}} \right.\left. { - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \left. {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}} \right]} \right\} \times \\ \times \left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--\tau } \right]} \right. - {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--\tau } \right] + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}--\tau } \right]-- \\ - {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--\tau } \right]\left. { + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}--0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}--{{\tau }_{{\text{2}}}}--\tau } \right]} \right\}dt. \\ \end{gathered} $При значении ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 в соответствии с (8), (9) и (11) имеем
(43)
${{\tau }_{{\text{C}}}} = 2{{T}_{{\text{П }}}},\,\,\,\,{{\tau }_{{\text{1}}}} = \rho {{T}_{{\text{П }}}}\,\,\,\,{\text{и }}\,\,\,\,{{\tau }_{{\text{2}}}} = (1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}.$С учетом (43) соотношение для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ (42) принимает вид
(44)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ) = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{\kern 1pt} \rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ t \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}}}}} \right.} \left[ {t - 0.5{\kern 1pt} \rho {{T}_{{\text{П }}}}} \right] + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{\rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}} \right]-- \\ --{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5\rho {\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}{\kern 1pt} } \right] + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left. {\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}--0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}} \right]} \right\} \times \\ \times \left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--\tau } \right]} \right.--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t - 0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--\tau } \right] + {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{\rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}--\tau } \right]-- \\ - {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}} - 0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--\tau } \right] + \left. {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П }}}}--0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}--(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}--\tau } \right]} \right\}dt. \\ \end{gathered} $Вычислив определенные интегралы в формуле (44) для 1-го (19), 2-го (20) и 3-го (21) вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ согласно данной методике находим, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 определяется следующим соотношением:
(45)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ) = \left\{ \begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant \frac{1}{2}, \hfill \\ {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\frac{1}{2} \leqslant \rho \leqslant \frac{2}{3}, \hfill \\ {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\frac{2}{3} \leqslant \rho \leqslant 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Входящие в соотношение (45) КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho ),$ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho )$ имеют вид
(46)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1--\rho --2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1--3\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 3.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 3--2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1--\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,(2--\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ρ ∈ [0, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$] (1-й вариант), ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}};$
(47)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1--\rho --2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ - 3 + 3\rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 3.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П }}}}, \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 3--2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1--\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(2--\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ρ ∈ [${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$] (2-й вариант), ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}$;
(48)
${{R}_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 - \rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ - 3 + 4\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ - 3 + 3\rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --1 + 2\rho - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 3--2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2 - \rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ - 1 + 2\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,(2 - \rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П }}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П }}}} = {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ρ ∈ [${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$, 1] (3-й вариант), ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}$.
Далее покажем справедливость полученных аналитических соотношений (45)–(48) для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов в важных частных случаях cosBOC- и BPSK-сигналов.
А. Первый частный случай – cosBOC-сигналы
Пусть коэффициент заполнения ρ = 0.5, т.е. рассматриваем cosBOC-сигналы.
Тогда формулы (46) и (47), определяющие КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,0.5),$ принимают следующий вид:
(49)
${{R}_{{{\text{cosBOC--4}}}}}(\tau ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 9\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ 0.5--5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,0.5{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ --2.5 + 7\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 1.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ --1 + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{С }}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,1.5{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ 3 - 5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,2{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ 0.5--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,{\text{2}}{\text{.5}}{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 3{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ --2.5 + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,3{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 3.5{{\tau }_{{\text{М }}}}, \hfill \\ 1 - \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С }}}}}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\,3.{\text{5}}{{\tau }_{{\text{М }}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$где ${{\tau }_{{\text{М }}}} = {{\tau }_{{\text{1}}}} = {{\tau }_{{\text{2}}}} = \frac{1}{2}{\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}$ = $\frac{1}{2}{\kern 1pt} {{T}_{{\text{М }}}}$ – длительность меандрового импульса; ${{\tau }_{{\text{С }}}} = 2{{T}_{{\text{П }}}} = 2{{T}_{{\text{М }}}} = 4{{\tau }_{{\text{М }}}}$ – длительность элемента ПСП $g(t)$; ${{N}_{{\text{М }}}}$ = ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 – коэффициент кратности меандровых импульсов cosBOC-сигналов.
Видно, что формула (49) совпадает с соответствующим выражением для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--4}}}}}(\tau )$ cosBOC-сигналов, например, (2.49) из [3].
Б. Второй частный случай (вырожденный случай) – BPSK-сигналы
Пусть коэффициент заполнения ρ = 0 (или ρ = = 1), т.е. рассматриваем BPSK-сигналы, тогда соотношения (46) (при ρ = 0) и (48) (при ρ = 1), характеризующие КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ),$ записываются в виде
(50)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau ) = {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,0) = {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,1) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\,\,{\text{п р и }}\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С }}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{п р и }}\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{C}}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $Видно, что формула (50) совпадает с выражением для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau {\kern 1pt} )$ (34).
Совпадение формул (49) и (50) для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--4}}}}}(\tau )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau )$ в случаях cosBOC- и BPSK-сигналов с ранее известными результатами, например [3], дополнительно подтверждает справедливость полученных общих формул (45)–(48), определяющих КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов при ρ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {{T}_{{\text{П }}}}.$
На рис. 4а–4г в соответствии с формулами (45)–(48) представлены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ для одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 при различных значениях ρ, где ρ $ \in $ [0, 1]. Там же изображены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau )$ BPSK-сигналов (штрихпунктирные линии).
На рис. 4а показаны графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов при ρ = 0.25 (сплошная линия) и ρ = 0.5 (штриховая линия) (случай соответствующих cosBOC-сигналов), для сравнения изображен график КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{sinGBOC--4}}}}}(\tau ,0.25)$ sinGBOC-сигнала (пунктирная линия), рассчитанный по следующей формуле [7, ф-ла (37)]:
где ρ $ \in $ [0, 0.5], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П }}}}$.
Графики на рис. 4б характеризуют КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов при ρ = 0.45 (сплошная линия) и ρ = 0.3 (штриховая линия); на рис. 4в – при $\rho = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$ (сплошная линия) и ρ = = 0.6 (пунктирная линия), на рис. 4г – при ρ = 0.75 (сплошная линия) и $\rho = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$ (пунктирная линия). Все КФ на рис. 4а–4г являются нормированными.
Из формул (45)–(48) и рис. 4а–4г следует, что применительно к cosGBOC-сигналам возможность изменения значения коэффициента заполнения ρ позволяет трансформировать форму и параметры КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ в весьма широких пределах, начиная от КФ BPSK-сигналов и завершая КФ cosBOC-сигналов. В то же время видно, что основной пик КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов для различных значений $\rho $ остается весьма острым и совпадает с основным пиком КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--4}}}}}(\tau )$ cosBOC-сигналов.
Отмеченные особенности КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ являются достоинствами cosGBOC-сигналов.
7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ОДИНОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛА ПРИ ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Аналогично случаю, когда ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2, получим формулу энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}} - {\text{4}}}}}(t)$ cos GBOC-сигнала при коэффициенте кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 как прямое ПФ КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ [3, 9, 12]:
(52)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho ) = {\text{FT}}\left\{ {{{R}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )} \right\} = \\ = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{R}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ){\text{exp}}\left\{ {{\text{--}}i\omega \tau } \right\}} d\tau . \\ \end{gathered} $Методика вычисления энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 остается той же, что и в случае, когда ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2.
Пусть коэффициент заполнения ρ $ \in $ [0, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$], т.е. рассматриваем 1-й вариант (19) формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов. Тогда, учитывая четность КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ),$ согласно (46) и (52) имеем
(53)
$\begin{gathered} + \,\,2\int\limits_{\rho {{T}_{{\text{П }}}}}^{(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}} {\left( {1--3\rho --0.5\frac{\tau }{{{{T}_{{\text{П }}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau + } \\ + \,\,2\int\limits_{(1--\rho ){{T}_{{\text{П }}}}}^{{\kern 1pt} (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П }}}}} {\left( {--3 + \rho + 3.5\frac{\tau }{{{{T}_{{\text{П }}}}}}} \right){\text{cos}}\omega \tau d\tau + } \\ \end{gathered} $где $\rho $ $ \in $ [0, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П }}}}$.
После вычисления определенных интегралов в (53) находим, что энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$cosGBOC-сигнала при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 равен
(54)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\kern 1pt} {\text{cosGBOC--4--}}{\kern 1pt} {\text{1}}}}}(\omega ,\rho ) = \frac{1}{{{{\omega }^{2}}{{T}_{{\text{П }}}}}}\left[ {9--4\cos {\kern 1pt} {\text{0}}{\text{.5}}\rho \omega {{T}_{{\text{П }}}}} \right. - \\ --\,\,4{\text{cos}}\rho \omega {{T}_{{\text{П }}}}--8{\text{cos(1--}}\rho )\omega {{T}_{{\text{П }}}} + 8{\text{cos}}\omega {{T}_{{\text{П }}}} + \\ + \,\,4{\text{cos(1--0}}{\text{.5}}\rho )\omega {{T}_{{\text{П }}}}--4{\text{cos(1}} + {\text{0}}{\text{.5}}\rho )\omega {{T}_{{\text{П }}}}-- \\ \left. { - \,\,4{\text{cos(2--}}\rho )\omega {{T}_{{\text{П }}}} + 4{\text{cos(2--0}}{\text{.5}}\rho )\omega {{T}_{{\text{П }}}}--{\text{cos}}2\omega {{T}_{{\text{П }}}}} \right], \\ \end{gathered} $где ρ $ \in $ [0, $\frac{1}{2}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П }}}}$.
Формулу (54) с учетом (39) запишем в виде
(55)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(f,\rho ) = \frac{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{{2{{\pi }^{2}}{{f}^{2}}}}\left[ {9--4\cos \rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right. - \\ --\,\,4\cos \rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} + 8\cos \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--8\cos \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} \times \\ \times \,\,\cos \rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--8{\text{sin}}\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} + 8{\text{sin}}\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}-- \\ - \,\,4\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\cos \rho \frac{{{\kern 1pt} \pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}--4{\text{sin}}\frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}} + \\ \left. { + \,\,4\cos \frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\cos \rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}} + 4{\text{sin}}\frac{{2\pi f}}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right], \\ \end{gathered} $где ρ $ \in $ [0, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П }}}}$.
Выполнив тригонометрические преобразования в (55), окончательно находим:
(56)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(f,\rho ) = \frac{1}{{{{f}_{{\text{С }}}}}}\frac{{{\text{co}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}}}{{{{{\left( {\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right)}}^{2}}}} \times \\ \times \,\,{{\left[ {{\text{2sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{4{{f}_{{\text{С }}}}}}{\text{cos}}(2--\rho )\frac{{\pi f}}{{4{{f}_{{\text{С }}}}}}--{\text{sin}}(1--\rho )\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С }}}}}}} \right]}^{2}}, \\ \end{gathered} $где ρ $ \in $ [0, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$], ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П }}}}$.
Видно, что выражение (56) совпадает с соответствующей формулой для ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(f,\rho ),$ полученной иным путем (на основе спектральной плотности без использования КФ) (см. (37) в [8] при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4).
Энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(f,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4 в случае 2-го (20) и 3-го (21) вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов, т.е. соответственно при ρ $ \in $ [${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$] и при ρ $ \in $ [${2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$, 1], вычисляется аналогичным образом и приводит к тому же результату (56).
Такое совпадение формулы (56) с известным результатом дополнительно подтверждает правильность полученных аналитических выражений (45)–(48) для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Навигационные cosGBOC-сигналы (косинусные обобщенные BOC-сигналы) являются расширением класса (обобщением) традиционных cosBOC-сигналов за счет того, что у cosGBOC-сигналов ПК представляет собой ППК, т.е. периодическую биполярную последовательность прямоугольных видеоимпульсов ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ с тем или иным значением коэффициента заполнения ρ, где ρ $ \in $[0, 1].
В частном случае, когда у ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ коэффициент заполнения равен ρ = 0.5, оно представляет собой МПК, а сами cosGBOC-сигналы при этом являются cosBOC-сигналами. В другом частном случае, когда у ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ коэффициент заполнения ρ = 0 или ρ = 1, cosGBOC–сигналы вырождаются в двоичные фазоманипулированные сигналы (BPSK-сигналы).
У cosGBOC-сигналов (аналогично cosBOC-сигналам) относительный временнóй сдвиг ПСП дальномерного кода $g(t)$ и косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ таков, что одиночный элемент МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC}}}}}(t)$ (14) представляет собой косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t)$ (15), взятый со знаком “+” или “–” в зависимости от значения кодового коэффициента ${{\nu }_{k}}$ = $\nu ({{t}_{k}})$ k-го элемента ПСП $g(t).$
Основной научный результат работы – вывод формул (30)–(32) и (45)–(48) КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}} - {\text{2}}}}}(t)$ и ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С }}}}{\text{ - cosGBOC}} - {\text{4}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П }}}}$ = 2 и 4 для ρ ∈ [0, 1].
Возможность изменения формы и параметров КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ за счет варьирования значения коэффициента заполнения ρ предопределяет дополнительные преимущества cosGBOC-сигналов по сравнению с cosBOC-сигналами.
На основе аналитических выражений КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ были получены формулы энергетических спектров ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$ и ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ как соответствующие прямые ПФ. Соотношения найденных таким образом энергетических спектров ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$ и ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ совпадают с выражениями, полученными в [8] иным способом (через спектральные функции без привлечения КФ), что дополнительно подтверждает правильность выведенных формул для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ).$
По изложенной методике можно рассчитать КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов для значений коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П }}}}$ > 4, где ${{N}_{{\text{П }}}}$ – четное положительное число, но при этом трудоемкость вычислений возрастет.
Аналитические выражения и графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(\tau ,\rho )$ элементов МФ cosGBOC-сигналов в принципе позволяют для СРНС грядущего поколения количественно рассчитать потенциальные характеристики точности слежения за ПСП дальномерного кода $g(t)$ и оценить разрешающую способность сигналов при работе систем в условиях многолучевости.
На основе КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П }}}}}}}(\tau ,\rho )$ удается применительно к cosGBOC-сигналам осознанно преодолевать трудности при разработке навигационной аппаратуры потребителей, которая обеспечивала бы по возможности однозначное слежение за основным пиком КФ и минимизировала бы вероятность захвата ее боковых (ложных) пиков.
Список литературы
Betz J.W. // Proc. Nat. Technical Meeting of the Institute of Navigation (ION – NTM’99). San Diego 25–27 Jan. 1999. Fairfax: ION, 1999. P. 639.
Betz J.W. // Navigation, J. ION. 2001. V. 48. № 4. P. 227.
Ярлыков М.С. Меандровые шумоподобные сигналы (ВОС-сигналы) и их разновидности в спутниковых радионавигационных системах. М.: Радиотехника, 2017.
Liu W., Hu Y., Zhan X.Q. // Electron. Lett. 2012. V. 48. № 5. P. 284.
Liu W., Hu Y. // J. Communications Technology and Electronics. 2014. T. 59. № 11. P. 1206.
Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2017. T. 62. № 10. C. 964.
Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // РЭ. 2018. Т. 63. № 2. С. 157.
Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2018. T. 63. № 8. C. 808.
Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985.
Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1993.
Global Positioning Systems Directorate. Systems Engineering and Integration. Interface Specification IS – GPS – 200. Navstar GPS Space Segment/Navigation User Interfaces, IS – GPS –200G, 05 September 2012.
Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2‑е изд. М.: Сов. радио, 1982.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. школа, 2005.
Стеценко О.А. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. школа, 2007.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника
Пн.-пт.: 10.00-19.00