Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 9, стр. 887-890

В различных приложениях возникает задача построения трехзеркальных систем [1–4]. В данной работе рассматривается задача синтеза трехзеркальной системы с заданной формой главного зеркала. Синтез двухзеркальной системы с заданным главным зеркалом позволяет реализовать заданную форму выходного фронта и, соответственно, диаграммы направленности [5]. Однако этого часто оказывается недостаточно, и необходимо дополнительно реализовать заданный закон отображения фронтов. Этот закон определяет многие важные характеристики системы: КИП, уровень боковых лепестков, сканирующие свойства. Реализация заданной формы выходного фронта и закона отображения в системе с заданным главным зеркалом возможна, если число зеркал системы не менее трех.

Рассмотрим геометрию формирования лучей в трехзеркальной системе с цилиндрической или осевой симметрией и произвольным выходным фронтом ${{Y}_{0}}({{Z}_{0}})$ (рис. 1).

Ось трехзеркальной системы совпадает с осью 0z декартовой системы координат, начало координат находится в вершине второго вспомогательного зеркала, образующая которого описывается функцией ${{r}_{2}}({{\alpha }_{2}}),$ где ${{r}_{2}}$ – расстояние вдоль луча между вторым вспомогательным зеркалом и фронтом Y(Z), ${{\alpha }_{2}}$ – угол, отсчитываемый от оси, параллельной оси 0z. Источник сферической волны расположен в фокусе системы на расстоянии f от начала координат, осевое расстояние между вспомогательными зеркалами системы равно d.

Образующая первого вспомогательного зеркала описывается зависимостью ${{r}_{1}}({{\alpha }_{1}})$, где ${{r}_{1}}$ – радиус в полярной системе координат с центром в фокусе $f$, ${{\alpha }_{1}}$ – угол, отсчитываемый от оси 0z, $l$ – расстояние между точками на вспомогательных зеркалах вдоль луча. Образующая главного зеркала характеризуется декартовыми координатами y(z).

Необходимо, чтобы все лучи, выходящие из первого фокуса и отраженные зеркалами, формировали выходной фронт ${{Y}_{0}}({{Z}_{0}}),$ при этом должен выполняться заданный закон отображения ${{\alpha }_{2}} = {{\alpha }_{2}}({{\alpha }_{1}}).$

Требуя, чтобы система зеркал удовлетворяла условию равенства проекций лучей на оси координат и оптических путей при прохождении лучей между двумя фронтами, нетрудно получить линейное дифференциальное уравнение для образующей первого вспомогательного зеркала:

где $r = {{r}_{1}},$

L₀ = r₀₁ + d + r₀₂, ΔZ = r₀₁ + r₀₂ – d – S, S и ΔY определяются формой главного зеркала, r₀₁ = r₁(0), r₀₂ = r₂(0).

Ранее дифференциальное уравнение для синтеза двухзеркальной системы по заданному волновому фронту было получено в работе [6].

Уравнение (2) является уравнением Бернулли, а его решение выражается через двукратный интеграл

Для телескопической трехзеркальной системы с параболической формой главного зеркала решение (4) сводится к однократному интегралу [6]. При этом решение в явном виде удается получить только для нескольких частных случаев. Например, для апланатической системы, характеризующейся законом отображения $y = {{f}_{1}}\sin ({{\alpha }_{1}}),$ с параболическим главным зеркалом решение имеет вид [6]

где $\eta = {{2d{{f}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2d{{f}_{p}}} {({{r}_{{01}}}}}} \right. \kern-0em} {({{r}_{{01}}}}} - {{\rho }_{{02}}}){{f}_{1}},$ ${{\rho }_{{02}}} = {{f}_{p}} - {{r}_{{02}}}$ ($f{}_{p}$ – фокусное расстояние параболы, $f{}_{1}$ – фокальный радиус).

Для нахождения решения в общем случае воспользуемся методикой, предложенной в работе [4]. Будем искать решение уравнения (1) в виде полинома степени 2n:

При этом производная $\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 r}} \right. \kern-0em} r}} \right)'$ также выражается в виде полинома:

где

Используя разложение функции отображения в ряд Тэйлора по степеням $\alpha $, нетрудно получить явные выражения для величины $m$. После подстановки (6), (7) в (1), считая ${{b}_{0}}$ и ${{b}_{2}}$ известными, получим следующее равенство:

которое должно выполняться для любого $\alpha $, т.е. для любой точки образующей зеркала. Выбирая число таких точек (узлов), равное количеству неизвестных коэффициентов полинома (n – 1), получим систему линейных уравнений для определения ${{b}_{4}},{{b}_{6}},...,{{b}_{{2n}}}.$

Ограничимся случаем N = 3 и, выбрав две узловые точки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными коэффициентами полинома 6-го порядка. Решение этой системы имеет вид

где

${{\alpha }_{{01}}}$ и ${{\alpha }_{{02}}}$ – узловые точки.

Анализ точности аппроксимации решения дифференциального уравнения (2) для образующей малого вспомогательного зеркала полиномом 6-го порядка с коэффициентами, определяемыми соотношениями (7), (8) и (10), (11), был проведен для трехзеркального апланатического телескопа, в котором использовали два вида главного зеркала: параболическое или сферическое.

Нетрудно показать, что для параболического зеркала:

а для сферического зеркала:

где ${{\alpha }_{2}} = 2\arcsin (m\sin {{\alpha }_{1}}),$ $m = {{{{f}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{1}}} R}} \right. \kern-0em} R},$ $R$ – радиус сферы.

Для примера были выбраны следующие значения параметров системы: фокальный радиус $f{}_{1}$ = = 1 м, расстояние между вспомогательными зеркалами d = 0.1 м, положение источника сферического фронта f = 0, угловой размер первого вспомогательного зеркала $2{{\alpha }_{m}}$ = 60°.

Точность аппроксимации решения для образующей вспомогательного зеркала полиномом и реализации закона отображения зависит от выбора узлов при заданной целевой функции. При минимизации ошибки закона отображения ${{\delta }_{m}}$ были получены значения ${{\alpha }_{{01}}} = 0.69{{\alpha }_{m}}$ и ${{\alpha }_{{02}}} = 0.97{{\alpha }_{m}}.$ Образующие вспомогательных зеркал, рассчитанные для этих случаев с помощью разложения (6), приведены на рис. 2. Фокальное расстояние параболического зеркала равно${{f}_{p}}$ = 0.7 м, радиусы сферического зеркала R = 1.4 и 1.6 м. Образующая второго вспомогательного зеркала при этом определялась из условия точного формирования заданного выходного фронта.

На рис. 3 изображены зависимости ошибки аппроксимации образующей вспомогательного зеркала полиномом шестого порядка с выбранными узловыми точками от нормированного угла. На рис. 4 приведены соответствующие зависимости ошибки реализации закона отображения δ_m = $ = \left[ {(\operatorname{tg} {{({{{{\alpha }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}))} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{{\alpha }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}))} {\sin ({{\alpha }_{1}})}}} \right. \kern-0em} {\sin ({{\alpha }_{1}})}} - m} \right]$ – для параболического главного зеркала, ${{\delta }_{m}} = \left[ {(\sin {{({{{{\alpha }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}))} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{{\alpha }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}))} {\sin ({{\alpha }_{1}})}}} \right. \kern-0em} {\sin ({{\alpha }_{1}})}} - m} \right]$ – для сферического.

Как видно на рис. 3, 4, использование четырехчленного полинома позволяет обеспечить точность аппроксимации образующей малого вспомогательного зеркала не хуже 5 × 10^–7 м и точность реализации закона отображения порядка 2 × 10^–5.

Таким образом, полученные в работе формулы описывают решение задачи синтеза образующих трехзеркальной системы с произвольной формой образующей главного зеркала, реализующей заданный выходной фронт и, с заданной точностью, закон отображения. Форму образующей главного зеркала при этом можно выбирать из технологических соображений либо использовать как степень свободы для оптимизации трехзеркальной системы.