Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 9, стр. 926-929
Выделение емкостных токов при диагностике неоднородного анизотропного образца
С. Г. Дмитриев *
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация
* E-mail: sgd@ms.ire.rssi.ru
Поступила в редакцию 25.06.2018
После доработки 25.06.2018
Принята к публикации 27.07.2018
Аннотация
Определены формулы, описывающие вклад, вносимый емкостными токами в измеряемый во внешней цепи ток при диагностике неоднородных анизотропных образцов с медленно меняющимися параметрами.
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее важными компонентами современных полупроводниковых структур и приборов часто являются диэлектрики. К сожалению, они же бывают и наиболее уязвимыми частями приборов. Поэтому развитие современных технологий в свое время потребовало создания оригинальных высокочувствительных методов контроля, в особенности методов электрофизической диагностики (см., например, [1–3]). Деградация диэлектриков связана с возникновением дефектов, среди которых особую роль играют заряженные и дипольные дефекты. Но особенно коварны в своих проявлениях подвижные ионы в тонких диэлектрических пленках [1–8]. При исследовании ионов (и зарядов вообще) в диэлектриках представляют интерес токи, которые наводятся в электродах двигающимися в образце зарядами. Однако эти токи при измерениях могут сильно маскироваться сопутствующими емкостными токами. Поэтому для определения полезного сигнала необходимо выделение емкостных токов из общего измеряемого сигнала (см., [2, 5, 6] и цитированную там литературу).
Задачи такого рода имеют достаточно общий характер. При их решении полезны формулы, описывающие связь между зарядами и токами в вакууме или в диэлектрике, с одной стороны, и токами, измеряемыми во внешней цепи, – с другой. Такие формулы рассматривалась в ряде работ для различных применений [9–21]. Впервые вклад в ток от двигающегося в вакууме одиночного заряда изучался в самом общем виде (для произвольного числа электродов) в работах [9, 10] (теорема Рамо) в связи с дробовыми шумами в вакуумных электронных приборах. Обобщения этих результатов использовались для анализа работы вакуумных сверхвысочастотных (СВЧ) приборов во многих статьях и монографиях (см., например, [11–17] и цитированную там литературу). Применения к структурам с диэлектриками рассматривалось в работах [18–20] для описания датчиков жесткого излучения [18‒21]. Вопросы диагностики структур металл–диэлектрик–полупроводник (МДП), интегральных схем и анизотропных образцов изучали в работах [5–8].
В данной работе найдены формулы, которые определяют вклад емкостных токов в измеряемые во внешней цепи токи, возникающие при изменении различных параметров исследуемого неоднородного анизотропного образца.
1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИЗМЕРЯЕМЫМИ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ ТОКАМИ И ПАРАМЕТРАМИ НЕОНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ОБРАЗЦА
Рассмотрим интеграл
где интегрирование проводится по всему пространству, исключая N металлических электродов, а ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}(t,\vec {r})$ – плотность полного тока в исследуемом образце, которая описывается известной формулой(2)
${{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = \vec {j} + {{\partial{ \vec {D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {D}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}.$С помощью формул векторного анализа и равенства ${\text{div}}{{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = 0$ можно из интеграла (1) получить равенство
(4)
$\sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}}} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV},$(5)
${{I}_{k}} = {{\partial {{Q}_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{Q}_{k}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}} - {{i}_{k}}.$Формулу для тока на отдельный (α-й) электрод можно получить, выбирая вспомогательную задачу с $\Phi _{k}^{{(1)}} = 0$ при k ≠ α и $\Phi _{\alpha }^{{(1)}} = {{\Phi }_{0}} = 1\,\,{\text{В}}$ [9, 10]. Она имеет вид
(8)
${{\Phi }_{0}}{{I}_{\alpha }} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1\alpha )}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV},$Более подробно вывод уравнения (4) и история проблемы были рассмотрены в работе [22]. Здесь же мы сделаем замечание относительно его применения. Модель с разъединенными электродами была предложена в работах [9, 10], авторы которых вычисляли заряды электродов при различных положениях единственного неподвижного точечного заряда. Токи получались потом путем дифференцирования координаты этого заряда по времени. Вопрос о подведении зарядов к электродам в реальной ситуации (вопрос о подводящих ток проводах) остался при этом замаскированным. Оправданием этому может служить то обстоятельство, что электроды со сквозными токами (Ik = 0) не дают вклада в левую часть (4). Поэтому, в пренебрежении падением потенциала вдоль провода, можно рассматривать его в качестве “электрода”, не меняя вида уравнения (4). В противном случае в левой части (4) появятся более сложные слагаемые с интегралами по неэквипотенциальным поверхностям проводов. Кроме того, учет соединительных проводов (в качестве электродов) препятствует выделению отдельных электродов, как это сделано в уравнении (8). В принципе, можно отнести провода к среде и в прямой и в вспомогательной задачах или только во вспомогательной задаче. Можно, наконец, просто пренебречь их влиянием, как это и делается во многих работах, начиная с [9, 10]. Построения здесь могут быть разными, но в любом случае в хорошем эксперименте влияние проводов устраняется до минимума (а при необходимости паразитные эффекты учитываются дополнительно).
2. ВЫДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТНЫХ ТОКОВ
Для выделения емкостных токов из общего измеряемого тока удобно, по аналогии с [5, 6], рассмотреть другой интеграл (по тому же пространству):
(9)
${{J}_{2}} = - \iiint {{\text{div[}}{{\varphi }^{{(1)}}}{{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}} - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}}\varphi )]}dV,$(10)
${{J}_{2}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\left[ {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}} - \frac{\partial }{{\partial t}}(Q_{k}^{{(1)}}{{\Phi }_{k}})} \right]} ,$Предположим теперь, что заряды (и токи) ${\text{во}}$ вспомогательной задаче отсутствуют, т.е. ${\text{div}}{{\vec {D}}^{{(1)}}} = 0$. Тогда в результате прямого дифференцирования в (9) получаем
(11)
${{J}_{2}} = \iiint {\left[ {\left( {{{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}}} \right) - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \vec {E})} \right]dV},$(12)
$\begin{gathered} {{J}_{2}} = \iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1)}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(1)}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV. \\ \end{gathered} $Суммируем последние преобразования:
(13)
$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (Q_{k}^{{(1)}}{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1)}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(1)}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV. \\ \end{gathered} $Отметим, что симметрия тензора диэлектрической проницаемости определяется принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагёра (вытекающим из симметрии микроскопических процессов по отношению к обращению времени) [23–25]. При наличии магнитного поля $\vec {H}$ справедливо равенство
т.е. тензор εij может и не быть симметричным. В отсутствие магнитного поля симметрия, конечно, сохраняется:
Формулу для тока Iα на отдельный (α-й) электрод можно получить, если во вспомогательной задаче принять $\Phi _{k}^{{(1)}} = 0$ при k ≠ α и $\Phi _{\alpha }^{{(1)}} = {{\Phi }_{0}} = 1\,\,{\text{В}}$ [9, 10]. При этом выражение (13) приобретает следующий вид:
(15)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{0}}{{I}_{\alpha }} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (Q_{k}^{{(1\alpha )}}{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1\alpha )}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1\alpha )}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - } \right.} \\ - \,\,\left. {\frac{{\partial E_{i}^{{(1\alpha )}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV, \\ \end{gathered} $(16)
$\begin{gathered} {{I}_{\alpha }} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (С_{k}^{\alpha }{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(\alpha )}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(\alpha )}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(\alpha )}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}dV} \right\}, \\ \end{gathered} $(17)
$E_{i}^{{(\alpha )}} = {{E_{i}^{{(1\alpha )}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E_{i}^{{(1\alpha )}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}},$(18)
$C_{k}^{\alpha } = {{Q_{k}^{{(1\alpha )}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Q_{k}^{{(1\alpha )}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}}$Пространственные распределения парциальных полей $E_{i}^{{(\alpha )}}$ зависят только от геометрии эксперимента и параметров образца (но не от зарядов и токов в нем) и определяют его относительную чувствительность по отношению к токам (и процессам) в различных частях образца (и пространства эксперимента в целом). Это обстоятельство может быть использовано для подавления паразитных эффектов и усиления полезных сигналов. Между парциальными полями и исходным полем $E_{i}^{{(1)}}$ существует очевидная связь:
(19)
$E_{i}^{{(1)}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{E_{i}^{{(1k)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E_{i}^{{(1k)}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}E_{i}^{{(k)}}} .$В типичной экспериментальной ситуации измеряемые токи связаны только с двумя вкладами:
где токи
(21)
$I_{\alpha }^{{({\text{к}})}} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV}$индуцированы (теорема Рамо) конвективными токами в образце (а паразитные токи пренебрежимо малы).
Второе слагаемое в (20), равное
(22)
$I_{\alpha }^{{({\text{е}})}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (С_{k}^{\alpha }{{\Phi }_{k}}),$описывает емкостные токи. Они связаны с изменениями потенциалов электродов (традиционный вклад) и с изменениями емкостных коэффициентов, которые зависят в том числе и от диэлектрической проницаемости (явная зависимость токов от изменений тензора диэлектрической проницаемости представлена в [22]). Если емкостные коэффициенты зависят только от потенциалов электродов, то можно ввести понятия дифференциальных емкостей $С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha },$ определяемых следующим равенством:
(23)
$I_{\alpha }^{{({\text{е}})}} = \sum\limits_{k = 1}^N {С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha }} ({{\partial {{\Phi }_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\Phi }_{k}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}),$где
(24)
$С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha } = С_{k}^{\alpha } + \sum\limits_{j = 1}^N {{{\Phi }_{j}}} \frac{{\partial С_{j}^{\alpha }}}{{\partial {{\Phi }_{k}}}}.$Остаются второе и третье слагаемые под интегралом в (16): второе связано с несимметрией тензора диэлектрической проницаемости (вследствие наличия аксиального вектора в системе), и оно обычно отсутствует; третье обусловлено изменениями параметров образца, и оно будет проанализировано в другой работе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выражения для измеряемых в электрофизических экспериментах токов во внешней цепи содержат несколько компонент, включая токи, наведенные в электродах движением зарядов в образце (теорема Рамо), и емкостные токи (см. формулы (13), (16) и сопутствующее обсуждение). Выделение емкостных токов позволяет определять конвективные токи в диэлектриках и полезно тем самым при диагностике зарядов (и вообще дефектов) в пленках диэлектриков в структурах компьютерной и космической электроники (см., например, [1–6] и цитированную там литературу). Электрофизическая диагностика играет особую роль в современной микроэлектронике. Хорошая кристаллическая структура и совершенные гетеропереходы – это далеко не все. Понятие “электронного качества” предполагает высокий уровень чистоты и чрезвычайно низкий уровень дефектности (отметим заряженные дефекты, особенно подвижные). Именно эти параметры являются определяющими в современных технологиях. Нынешние полупроводниковые структуры имеют тенденцию к дальнейшему усложнению и миниатюризации (см., например, обзор [26]). Они уже изменили нашу жизнь, а далее нас ожидает переход к молекулярной электронике.
Не удивительно, что параллельно растет и потребность в информационно емкой диагностике. Со времени открытия законов Кирхгофа [26] электрические цепи сильно изменились. Обсуждаемые соотношения (типа (13), (16)), по сути, расширяют эти законы на случай элементов с диэлектриками (вакуумом и т.п.).
Список литературы
Nicollian E.R., Brews J.R. MOS (Metal-Oxide-Semiconductor) Physics and Technology. N.-Y.: J. Willey & Sons, 1982.
Schroder D.K. Semiconductor Material and Device Characterization. N.-Y.: J. Wiley & Sons, 2006.
Fleetwood D.M., Pantelides S.T., Schrimpf R.D. Defects in Microelectronic Materials and Devices. N.-Y.: Taylor & Francis Group, 2008.
Дмитриев С.Г., Маркин Ю.В. // ФТП. 2008. Т. 42. № 1. С. 45.
Дмитриев С.Г. // ФТП. 2009. Т. 43. № 6. С. 854.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2012. T. 57. № 11. C. 1229.
Дмитриев С.Г. // ФТП. 2011. Т. 45. № 2. С. 192.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2013. T. 58. № 9. C. 983.
Shockley W. // J. Appl. Phys. 1938. V. 9. № 10. P. 635.
Ramo S. // Proc. IRE. 1939. V. 27. № 9. P. 584.
Beck A.H.W. Thermionic Valves: Their Theory and Design. Cambridge: Cambridge University Press, 1953.
Jen C.K. // Proc. IRE. 1941. V. 29. P. 345.
Gabor D. // J. Inst. Electr. Engrs. 1944. V. 91. Pt. 3. № 15. P. 128.
Гвоздовер С., Лопухин В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1946. Т. 10. № 1. С. 29.
Коваленко В.Ф. Введение в электронику сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1955.
Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. М.: Гостехиздат, 1953.
Власов В.Ф. Электронные и ионные приборы. М.: Гос. изд-во лит. по вопросам связи и радио, 1960.
Cavalleri G., Fabri G. et al. // Nucl. Instr. Meth. 1963. V. 21. P. 177.
Cavalleri G., Gatti E. // Nucl. Instr. Meth. 1971. V. 92. P. 137.
He Z. // Nucl. Instr. Meth. 2001. V. A463. № 1–2. P. 250.
Tavernier S. Experimental Techniques in Nuclear and Particle Physics. London: Springer, 2010.
Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2018. T. 63. № 10. C. 1115.
Onsager L. // Phys. Rev. 1931. V. 37. P. 405.
Onsager L. // Phys. Rev. 1931. V. 38. P. 2265.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
Zaima S. // Jap. J. Appl. Phys. 2013. V. 52. № 3. P. 030001.
Kirchhoff G. // Ann. Phys. 1845. B. 64. S. 497.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника