Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 9, стр. 926-929

Выделение емкостных токов при диагностике неоднородного анизотропного образца

С. Г. Дмитриев *

Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация

* E-mail: sgd@ms.ire.rssi.ru

Поступила в редакцию 25.06.2018
После доработки 25.06.2018
Принята к публикации 27.07.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Определены формулы, описывающие вклад, вносимый емкостными токами в измеряемый во внешней цепи ток при диагностике неоднородных анизотропных образцов с медленно меняющимися параметрами.

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее важными компонентами современных полупроводниковых структур и приборов часто являются диэлектрики. К сожалению, они же бывают и наиболее уязвимыми частями приборов. Поэтому развитие современных технологий в свое время потребовало создания оригинальных высокочувствительных методов контроля, в особенности методов электрофизической диагностики (см., например, [13]). Деградация диэлектриков связана с возникновением дефектов, среди которых особую роль играют заряженные и дипольные дефекты. Но особенно коварны в своих проявлениях подвижные ионы в тонких диэлектрических пленках [18]. При исследовании ионов (и зарядов вообще) в диэлектриках представляют интерес токи, которые наводятся в электродах двигающимися в образце зарядами. Однако эти токи при измерениях могут сильно маскироваться сопутствующими емкостными токами. Поэтому для определения полезного сигнала необходимо выделение емкостных токов из общего измеряемого сигнала (см., [2, 5, 6] и цитированную там литературу).

Задачи такого рода имеют достаточно общий характер. При их решении полезны формулы, описывающие связь между зарядами и токами в вакууме или в диэлектрике, с одной стороны, и токами, измеряемыми во внешней цепи, – с другой. Такие формулы рассматривалась в ряде работ для различных применений [921]. Впервые вклад в ток от двигающегося в вакууме одиночного заряда изучался в самом общем виде (для произвольного числа электродов) в работах [910] (теорема Рамо) в связи с дробовыми шумами в вакуумных электронных приборах. Обобщения этих результатов использовались для анализа работы вакуумных сверхвысочастотных (СВЧ) приборов во многих статьях и монографиях (см., например, [1117] и цитированную там литературу). Применения к структурам с диэлектриками рассматривалось в работах [1820] для описания датчиков жесткого излучения [1821]. Вопросы диагностики структур металл–диэлектрик–полупроводник (МДП), интегральных схем и анизотропных образцов изучали в работах [58].

В данной работе найдены формулы, которые определяют вклад емкостных токов в измеряемые во внешней цепи токи, возникающие при изменении различных параметров исследуемого неоднородного анизотропного образца.

1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИЗМЕРЯЕМЫМИ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ ТОКАМИ И ПАРАМЕТРАМИ НЕОНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ОБРАЗЦА

Рассмотрим интеграл

(1)
${{J}_{1}} = - \iiint {{\text{div}}({{\varphi }^{{(1)}}}{{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})}dV,$
где интегрирование проводится по всему пространству, исключая N металлических электродов, а ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}(t,\vec {r})$ – плотность полного тока в исследуемом образце, которая описывается известной формулой
(2)
${{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = \vec {j} + {{\partial{ \vec {D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {D}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}.$
Здесь $\vec {j}(t,\vec {r})$ – плотность конвективного тока, $\vec {D}(t,\vec {r})$ – электрическая индукция
(3)
${{D}_{i}} = {{\varepsilon }_{{ij}}}{{E}_{j}} + {{P}_{i}},$
${{\varepsilon }_{{ij}}}(t,\vec {r})$ – тензор диэлектрической проницаемости, ${{E}_{j}}(t,\vec {r})$ – электрическое поле, ${{P}_{i}}(t,\vec {r})$ – плотность поляризации (по одинаковым тензорным индексам в (3) и ниже предполагается суммирование). Наконец ${{\varphi }^{{(1)}}}(t,\vec {r})$ – вспомогательный потенциал из другой задачи (которая будет выбрана далее), но с теми же электродами.

С помощью формул векторного анализа и равенства ${\text{div}}{{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = 0$ можно из интеграла (1) получить равенство

(4)
$\sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}}} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV},$
где ${{\vec {E}}^{{(1)}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1)}}},$ $\Phi _{k}^{{(1)}}(t)$ – потенциал k-го электрода из вспомогательной задачи (k = 1, 2, …, N), Ik – ток, втекающий в k-й электрод из внешней цепи, равный
(5)
${{I}_{k}} = {{\partial {{Q}_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{Q}_{k}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}} - {{i}_{k}}.$
Здесь ik – ток, втекающий из рассматриваемой области в k-й электрод:
(6)
${{i}_{k}} = - \iint\limits_{{{S}_{k}}} {(\vec {j} \cdot \vec {n})}dV,$
Qk – заряд k-го электрода, равный
(7)
${{Q}_{k}} = \iint\limits_{{{S}_{k}}} {(\vec {D} \cdot \vec {n})}dV,$
Sk – поверхность k-го электрода, $\vec {n}$ – внешняя нормаль к ней. При выводе (4) предполагалось, что электроды эквипотенциальны, а электрическое поле во вспомогательной задаче потенциально (исследуемые поля могут содержать непотенциальные компоненты). Отметим, что в электрофизических экспериментах традиционно используются квазистационарные режимы (когда поля изменяются достаточно медленно для того, чтобы вторичными эффектами можно было пренебречь). Аналогичное (4) уравнение в вакуумном случае было предложено в [12]. Распространение теории на однородный диэлектрик проводилось в [18, 19]. Дальнейшие обобщения развивались в [56, 20, 22].

Формулу для тока на отдельный (α-й) электрод можно получить, выбирая вспомогательную задачу с $\Phi _{k}^{{(1)}} = 0$ при k ≠ α и $\Phi _{\alpha }^{{(1)}} = {{\Phi }_{0}} = 1\,\,{\text{В}}$ [9, 10]. Она имеет вид

(8)
${{\Phi }_{0}}{{I}_{\alpha }} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1\alpha )}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV},$
где ${{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}}$ – поле во вспомогательной задаче в рассматриваемом случае.

Более подробно вывод уравнения (4) и история проблемы были рассмотрены в работе [22]. Здесь же мы сделаем замечание относительно его применения. Модель с разъединенными электродами была предложена в работах [9, 10], авторы которых вычисляли заряды электродов при различных положениях единственного неподвижного точечного заряда. Токи получались потом путем дифференцирования координаты этого заряда по времени. Вопрос о подведении зарядов к электродам в реальной ситуации (вопрос о подводящих ток проводах) остался при этом замаскированным. Оправданием этому может служить то обстоятельство, что электроды со сквозными токами (Ik = 0) не дают вклада в левую часть (4). Поэтому, в пренебрежении падением потенциала вдоль провода, можно рассматривать его в качестве “электрода”, не меняя вида уравнения (4). В противном случае в левой части (4) появятся более сложные слагаемые с интегралами по неэквипотенциальным поверхностям проводов. Кроме того, учет соединительных проводов (в качестве электродов) препятствует выделению отдельных электродов, как это сделано в уравнении (8). В принципе, можно отнести провода к среде и в прямой и в вспомогательной задачах или только во вспомогательной задаче. Можно, наконец, просто пренебречь их влиянием, как это и делается во многих работах, начиная с [9, 10]. Построения здесь могут быть разными, но в любом случае в хорошем эксперименте влияние проводов устраняется до минимума (а при необходимости паразитные эффекты учитываются дополнительно).

2. ВЫДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТНЫХ ТОКОВ

Для выделения емкостных токов из общего измеряемого тока удобно, по аналогии с [5, 6], рассмотреть другой интеграл (по тому же пространству):

(9)
${{J}_{2}} = - \iiint {{\text{div[}}{{\varphi }^{{(1)}}}{{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}} - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}}\varphi )]}dV,$
где ${{\vec {D}}^{{(1)}}}$ – электрическая индукция из вспомогательной задачи, а φ – потенциал в основной задаче. С помощью формул векторного анализа преобразуем это выражение к виду
(10)
${{J}_{2}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\left[ {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}} - \frac{\partial }{{\partial t}}(Q_{k}^{{(1)}}{{\Phi }_{k}})} \right]} ,$
где $Q_{k}^{{(1)}}$ – заряд k-го электрода во вспомогательной задаче, а Фk – потенциал k-го электрода основной задачи (электроды которой предполагаются эквипотенциальными). Замечание относительно проводов – те же.

Предположим теперь, что заряды (и токи) ${\text{во}}$ вспомогательной задаче отсутствуют, т.е. ${\text{div}}{{\vec {D}}^{{(1)}}} = 0$. Тогда в результате прямого дифференцирования в (9) получаем

(11)
${{J}_{2}} = \iiint {\left[ {\left( {{{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}}} \right) - \frac{\partial }{{\partial t}}({{{\vec {D}}}^{{(1)}}} \cdot \vec {E})} \right]dV},$
где $\vec {E} = - {\text{grad}}\varphi .$ Предположим далее, что и среда во вспомогательной задаче та же, т.е. тот же тензор диэлектрической проницаемости (это, конечно, наиболее естественное и традиционно используемое в литературе предположение). Тогда, раскрывая выражение под интегралом в (11) (и опуская здесь и далее поляризацию), получаем
(12)
$\begin{gathered} {{J}_{2}} = \iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1)}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(1)}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV. \\ \end{gathered} $

Суммируем последние преобразования:

(13)
$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{I}_{k}}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (Q_{k}^{{(1)}}{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1)}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(1)}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV. \\ \end{gathered} $

Отметим, что симметрия тензора диэлектрической проницаемости определяется принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагёра (вытекающим из симметрии микроскопических процессов по отношению к обращению времени) [2325]. При наличии магнитного поля $\vec {H}$ справедливо равенство

(14а)
${{\varepsilon }_{{ij}}}(\vec {H}) = {{\varepsilon }_{{ij}}}( - \vec {H}),$

т.е. тензор εij может и не быть симметричным. В отсутствие магнитного поля симметрия, конечно, сохраняется:

(14б)
${{\varepsilon }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ij}}}.$

Формулу для тока Iα на отдельный (α-й) электрод можно получить, если во вспомогательной задаче принять $\Phi _{k}^{{(1)}} = 0$ при k ≠ α и $\Phi _{\alpha }^{{(1)}} = {{\Phi }_{0}} = 1\,\,{\text{В}}$ [9, 10]. При этом выражение (13) приобретает следующий вид:

(15)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{0}}{{I}_{\alpha }} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (Q_{k}^{{(1\alpha )}}{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(1\alpha )}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(1\alpha )}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - } \right.} \\ - \,\,\left. {\frac{{\partial E_{i}^{{(1\alpha )}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}} \right\}dV, \\ \end{gathered} $
где $E_{i}^{{(1\alpha )}}$ и $Q_{k}^{{(1\alpha )}}$ – соответственно поле во вспомогательной задаче и заряд на k-м электроде (в ней же) в рассматриваемом случае. После деления на Ф0 получаем окончательную формулу для тока:
(16)
$\begin{gathered} {{I}_{\alpha }} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (С_{k}^{\alpha }{{\Phi }_{k}}) + \\ + \,\,\iiint {\left\{ {E_{i}^{{(\alpha )}}{{j}_{i}} + E_{i}^{{(\alpha )}}\frac{\partial }{{\partial t}}[({{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\varepsilon }_{{ji}}}){{E}_{j}}] - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \\ \left. { - \,\,\frac{{\partial E_{i}^{{(\alpha )}}}}{{\partial t}}{{\varepsilon }_{{ji}}}{{E}_{j}}dV} \right\}, \\ \end{gathered} $
где
(17)
$E_{i}^{{(\alpha )}} = {{E_{i}^{{(1\alpha )}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E_{i}^{{(1\alpha )}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}},$
(18)
$C_{k}^{\alpha } = {{Q_{k}^{{(1\alpha )}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Q_{k}^{{(1\alpha )}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}}$
– соответственно нормированное вспомогательное поле и емкостные коэффициенты (в статическом случае это коэффициенты емкости ($C_{\alpha }^{\alpha }$) и коэффициенты электростатической индукции ($C_{k}^{\alpha },$ k ≠ α) [25]).

Пространственные распределения парциальных полей $E_{i}^{{(\alpha )}}$ зависят только от геометрии эксперимента и параметров образца (но не от зарядов и токов в нем) и определяют его относительную чувствительность по отношению к токам (и процессам) в различных частях образца (и пространства эксперимента в целом). Это обстоятельство может быть использовано для подавления паразитных эффектов и усиления полезных сигналов. Между парциальными полями и исходным полем $E_{i}^{{(1)}}$ существует очевидная связь:

(19)
$E_{i}^{{(1)}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}{{E_{i}^{{(1k)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E_{i}^{{(1k)}}} {{{\Phi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{0}}}}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\Phi _{k}^{{(1)}}E_{i}^{{(k)}}} .$

В типичной экспериментальной ситуации измеряемые токи связаны только с двумя вкладами:

(20)
${{I}_{\alpha }} = I_{\alpha }^{{({\text{к}})}} + I_{\alpha }^{{({\text{е}})}},$

где токи

(21)
$I_{\alpha }^{{({\text{к}})}} = \iiint {({{{\vec {E}}}^{{(1)}}} \cdot {{{\vec {j}}}_{{\text{п}}}})dV}$

индуцированы (теорема Рамо) конвективными токами в образце (а паразитные токи пренебрежимо малы).

Второе слагаемое в (20), равное

(22)
$I_{\alpha }^{{({\text{е}})}} = \sum\limits_{k = 1}^N {\frac{\partial }{{\partial t}}} (С_{k}^{\alpha }{{\Phi }_{k}}),$

описывает емкостные токи. Они связаны с изменениями потенциалов электродов (традиционный вклад) и с изменениями емкостных коэффициентов, которые зависят в том числе и от диэлектрической проницаемости (явная зависимость токов от изменений тензора диэлектрической проницаемости представлена в [22]). Если емкостные коэффициенты зависят только от потенциалов электродов, то можно ввести понятия дифференциальных емкостей $С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha },$ определяемых следующим равенством:

(23)
$I_{\alpha }^{{({\text{е}})}} = \sum\limits_{k = 1}^N {С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha }} ({{\partial {{\Phi }_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\Phi }_{k}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}),$

где

(24)
$С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha } = С_{k}^{\alpha } + \sum\limits_{j = 1}^N {{{\Phi }_{j}}} \frac{{\partial С_{j}^{\alpha }}}{{\partial {{\Phi }_{k}}}}.$

Остаются второе и третье слагаемые под интегралом в (16): второе связано с несимметрией тензора диэлектрической проницаемости (вследствие наличия аксиального вектора в системе), и оно обычно отсутствует; третье обусловлено изменениями параметров образца, и оно будет проанализировано в другой работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выражения для измеряемых в электрофизических экспериментах токов во внешней цепи содержат несколько компонент, включая токи, наведенные в электродах движением зарядов в образце (теорема Рамо), и емкостные токи (см. формулы (13), (16) и сопутствующее обсуждение). Выделение емкостных токов позволяет определять конвективные токи в диэлектриках и полезно тем самым при диагностике зарядов (и вообще дефектов) в пленках диэлектриков в структурах компьютерной и космической электроники (см., например, [16] и цитированную там литературу). Электрофизическая диагностика играет особую роль в современной микроэлектронике. Хорошая кристаллическая структура и совершенные гетеропереходы – это далеко не все. Понятие “электронного качества” предполагает высокий уровень чистоты и чрезвычайно низкий уровень дефектности (отметим заряженные дефекты, особенно подвижные). Именно эти параметры являются определяющими в современных технологиях. Нынешние полупроводниковые структуры имеют тенденцию к дальнейшему усложнению и миниатюризации (см., например, обзор [26]). Они уже изменили нашу жизнь, а далее нас ожидает переход к молекулярной электронике.

Не удивительно, что параллельно растет и потребность в информационно емкой диагностике. Со времени открытия законов Кирхгофа [26] электрические цепи сильно изменились. Обсуждаемые соотношения (типа (13), (16)), по сути, расширяют эти законы на случай элементов с диэлектриками (вакуумом и т.п.).

Список литературы

  1. Nicollian E.R., Brews J.R. MOS (Metal-Oxide-Semiconductor) Physics and Technology. N.-Y.: J. Willey & Sons, 1982.

  2. Schroder D.K. Semiconductor Material and Device Characterization. N.-Y.: J. Wiley & Sons, 2006.

  3. Fleetwood D.M., Pantelides S.T., Schrimpf R.D. Defects in Microelectronic Materials and Devices. N.-Y.: Taylor & Francis Group, 2008.

  4. Дмитриев С.Г., Маркин Ю.В. // ФТП. 2008. Т. 42. № 1. С. 45.

  5. Дмитриев С.Г. // ФТП. 2009. Т. 43. № 6. С. 854.

  6. Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2012. T. 57. № 11. C. 1229.

  7. Дмитриев С.Г. // ФТП. 2011. Т. 45. № 2. С. 192.

  8. Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2013. T. 58. № 9. C. 983.

  9. Shockley W. // J. Appl. Phys. 1938. V. 9. № 10. P. 635.

  10. Ramo S. // Proc. IRE. 1939. V. 27. № 9. P. 584.

  11. Beck A.H.W. Thermionic Valves: Their Theory and Design. Cambridge: Cambridge University Press, 1953.

  12. Jen C.K. // Proc. IRE. 1941. V. 29. P. 345.

  13. Gabor D. // J. Inst. Electr. Engrs. 1944. V. 91. Pt. 3. № 15. P. 128.

  14. Гвоздовер С., Лопухин В. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1946. Т. 10. № 1. С. 29.

  15. Коваленко В.Ф. Введение в электронику сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1955.

  16. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. М.: Гостехиздат, 1953.

  17. Власов В.Ф. Электронные и ионные приборы. М.: Гос. изд-во лит. по вопросам связи и радио, 1960.

  18. Cavalleri G., Fabri G. et al. // Nucl. Instr. Meth. 1963. V. 21. P. 177.

  19. Cavalleri G., Gatti E. // Nucl. Instr. Meth. 1971. V. 92. P. 137.

  20. He Z. // Nucl. Instr. Meth. 2001. V. A463. № 1–2. P. 250.

  21. Tavernier S. Experimental Techniques in Nuclear and Particle Physics. London: Springer, 2010.

  22. Дмитpиeв C.Г. // PЭ. 2018. T. 63. № 10. C. 1115.

  23. Onsager L. // Phys. Rev. 1931. V. 37. P. 405.

  24. Onsager L. // Phys. Rev. 1931. V. 38. P. 2265.

  25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

  26. Zaima S. // Jap. J. Appl. Phys. 2013. V. 52. № 3. P. 030001.

  27. Kirchhoff G. // Ann. Phys. 1845. B. 64. S. 497.

Дополнительные материалы отсутствуют.