Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 1, стр. 75-89

Корреляционные функции навигационных cosGBOC-сигналов как обратное преобразование Фурье энергетических спектров

М. С. Ярлыков a*, С. М. Ярлыкова b**

a Редакция журнала “Радиотехника и электроника”
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

b Институт кибернетики Российского технологического университета МИРЭА
119454 Москва, просп. Вернадского, 78, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru
** E-mail: yarlykova@mirea.ru

Поступила в редакцию 27.03.2019
После доработки 27.03.2019
Принята к публикации 08.04.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены модулирующие функции (МФ) cosGBOC-сигналов (косинусных обобщенных BOC-сигналов) для нового поколения спутниковых радионавигационных систем, таких как Galileo (ЕС), GPS (США), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай). На основе обратного преобразования Фурье (ПФ) энергетических спектров получены аналитические выражения и построены графики корреляционных функций (КФ) одиночных элементов МФ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 для различных значений коэффициента заполнения $\rho $, где $\rho $ $ \in $ [0, 1]. При вычислении КФ в основу методики положено представление энергетического спектра в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками косинусного символа МФ (точками излома КФ) cosGBOC-сигналов. В ряде случаев вычисление КФ cosGBOC-сигналов путем обратного ПФ энергетических спектров оказывается более предпочтительным (в частности, по трудоемкости) при сравнении со способом получения КФ на основе ее общего определения.

ВВЕДЕНИЕ

Рост числа потребителей спутниковых радионавигационных систем (СРНС), таких как Galileo (ЕС), GPS (США), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай) при одновременном ужесточении требований, предъявляемых к многорежимности и качеству их функционирования, обусловливают возрастающую потребность в разработке и применении различных разновидностей и обобщений BOC-сигналов (binary offset carrier modulated signals) [14].

В связи с этим применительно к перспективным глобальным СРНС следует отметить исследование и разработку обобщенных (Generalized) BOC-сигналов (GBOC) [510].

Основное отличие GBOC-сигналов от BOC-сигналов заключается в том, что у обобщенных BOC-сигналов поднесущее колебание (ПК) представляет собой прямоугольный сигнал, т.е. периодическую биполярную последовательность прямоугольных видеоимпульсов, с произвольным значением коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, 1]. Такое ПК навигационных GBOC-сигналов называется прямоугольным ПК (ППК) [79]. Иначе говоря, GBOC-сигналы – это шумоподобные сигналы с ППК, а BOC-сигналы – это шумоподобные сигналы с меандровым ПК (МПК).

Когда у ППК коэффициент заполнения ρ = 0.5, то в этом важном частном случае оно представляет собой МПК, а сами GBOC-сигналы при этом являются традиционными BOC-сигналами [14]. В другом частном случае, когда ρ = 0 или ρ = 1, GBOC-сигналы вырождаются в двоичные фазоманипулированные сигналы (binary phase shift keying signals – BPSK-сигналы) [11]. Этот случай является вырожденным, поскольку при этом утрачивается зависимость сигналов от значения коэффициента кратности импульсов прямоугольного ПК ${{N}_{{\text{П}}}}$ [7]. Возможность изменять у GBOC-сигналов значение коэффициента заполнения ρ в пределах от 0 до 1, позволяет варьировать в широких пределах форму и параметры корреляционных функций (КФ) и энергетических спектров таких сигналов. Это обстоятельство обусловливает преимущества (в частности, по электромагнитной совместимости) применения GBOC-сигналов по сравнению с BOC-сигналами или BPSK-сигналами в перспективных СРНС.

Использование GBOC-сигналов, как вариант, обсуждается в китайской СРНС BeiDou на третьей фазе ее развития. При этом рассматриваются следующие значения параметров таких GBOC-сигналов: несущая частота GBOC-сигнала ${{f}_{{\text{Н}}}}$ = = 1561.098 МГц, тип модуляции GBOC(2, 2, ρ), коэффициент заполнения ρ = 0.3, частота следования символов псевдослучайной последовательности (ПСП) дальномерного кода ${{f}_{{\text{С}}}}$ = 2.046 МГц, частота ППК ${{f}_{{\text{П}}}}$ = 2.046 МГц, базовая (опорная) частота ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ = 1.023 МГц [5, 6].

Свойства и возможности GBOC-сигналов во многом определяются их корреляционными характеристиками. Знание аналитических выражений и графиков КФ позволяет в принципе количественно рассчитать для приемников СРНС потенциальные характеристики точности слежения за ПСП дальномерного кода и оценить разрешающую способность сигналов в условиях многолучевости и при действии помех. Располагая формулами КФ GBOC-сигналов, удается разрабатывать дискриминаторы приемников, близкие к оптимальным, которые обеспечивали бы, по возможности, однозначное слежение за основным пиком КФ и минимизировали бы вероятность захвата ее боковых (ложных) пиков.

Получение явных формул КФ GBOC-сигналов (особенно при больших значениях коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$) представляет собой довольно трудоемкую задачу [8, 10].

В ряде случаев аналитические выражения КФ GBOC-сигналов (аналогично BOC-сигналам [12]) предпочтительнее получать как обратное преобразование Фурье (ПФ) их энергетических спектров. Кроме того, вычисление КФ GBOC-сигналов другим методом (на основе энергетических спектров, а не прямым методом, используя общее определение КФ) позволяет дополнительно подтвердить правильность полученных формул КФ.

Как известно, GBOC-сигналы (аналогично BOC-сигналам) в зависимости от относительного сдвига по времени между ПСП дальномерного кода и ППК делятся на sinGBOC-сигналы (синусные обобщенные BOC-сигналы) и cosGBOC-сигналы (косинусные обобщенные BOC-сигналы) [510].

Аналитические выражения КФ sinGBOC-сигналов как обратное ПФ энергетических спектров получены в [13], где предложена методика расчета КФ одиночных элементов МФ таких сигналов. В основе методики лежит представление энергетического спектра sinGBOC-сигналов в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками синусного символа МФ ${{\mu }_{{\sin {\kern 1pt} {\text{GBOC}}}}}(t)$ sinGBOC-сигнала (т.е. точками излома КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\kern 1pt} \sin {\text{GBOC}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho {\kern 1pt} )$).

В данной статье рассматриваются cosGBOC-сигналы.

Цель работы – на основе обратного ПФ энергетических спектров в соответствии с методикой [13] получить аналитические выражения КФ одиночных элементов МФ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 при различных значениях коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, 1].

Рассматриваемые ПСП дальномерного кода и косинусные ППК имеют единичные амплитуды, поэтому полученные выражения характеризуют нормированные КФ.

Термин типа “одиночный элемент МФ cosGBOC-сигнала” означает, что рассматривается математическое выражение, описывающее один элемент МФ cosGBOC-сигнала.

1. СТРУКТУРА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧАЕМЫХ cosGBOC-СИГНАЛОВ

Навигационный cosGBOC-сигнал $s(t),$ излучаемый бортовым передатчиком какого-либо одного спутника из состава орбитальной группировки СРНС, имеет известный вид [2, 4, 7, 10]:

(1)
$s(t - {{t}_{0}}) = A{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t - {{t}_{0}})\cos [{{\omega }_{{\text{Н}}}}(t - {{t}_{0}}) + \varphi (t)],$
где $A = \sqrt {2{{P}_{{{\text{с}}{\kern 1pt} {\text{р}}}}}} $ – амплитуда cosGBOC-сигнала на выходе передатчика; ${{P}_{{{\text{с}}{\kern 1pt} {\text{р}}{\kern 1pt} }}}$ – средняя мощность cosGBOC-сигнала на выходе передатчика; ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ – МФ cosGBOC-сигнала, $\,{{\omega }_{{\text{Н}}}} = 2\pi {\kern 1pt} {{f}_{{\text{Н}}}}$ – круговая несущая частота радиосигнала; ${{f}_{{\text{Н}}}}$ – несущая частота cosGBOC-сигнала; $\varphi (t)$ – фаза радиосигнала; ${{t}_{0}}$ – начало отсчета.

Вся сложность и специфика cosGBOC-сигналов $s(t),$ как видно из (1), полностью определяется структурой и характеристиками МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t).$ Свойства и структура МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t),$ а также ее статистические характеристики в случаях cosGBOC-сигналов достаточно детально обсуждаются в [9, 10].

Далее для краткости, когда это не влияет на суть изложения, полагаем, что МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала $s(t)$ обусловлена собственно ПСП дальномерного кода и косинусным ППК. В таком случае МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала $s(t)$ записывается в виде [9, 10]

(2)
${{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t - {{t}_{0}}) = g(t - {{t}_{0}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {{r}_{{{\text{cos}}}}}(t - {{t}_{0}}),$
где $g(t - {{t}_{0}})$ – собственно ПСП дальномерного кода; ${{r}_{{{\kern 1pt} {\text{cos}}}}}(t - {{t}_{0}})$ – косинусное ППК, отражающее специфику cosGBOC-сигналов $s(t).$

Входящие в соотношение (2) ПСП $g(t)$ (для произвольно заданной реализации) и косинусное ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ представлены на рис. 1, где введены следующие обозначения: ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ – длительность элемента ПСП $g(t)$; ${{T}_{{\text{П}}}}$ – длительность периода косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$; ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ и ${{\tau }_{2}}$ – длительности положительного и отрицательного импульсов косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ соответственно.

Рис. 1.

Формирование модулирующей функции cosGBOC-сигнала при ρ = 0.25 и ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 .

Длительность периода ${{T}_{{\text{П}}}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ (см. рис. 1) равна

(3)
${{T}_{{\text{П}}}} = 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}} + 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} = {{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}}.$

Частота косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ с учетом (3) характеризуется выражением

(4)
${{f}_{{\text{П}}}} = \frac{1}{{{{T}_{{\text{П}}}}}} = \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{1}}}} + {{\tau }_{2}}}},$
где ${{f}_{{\text{П}}}}$ – частота косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t).$

Важный параметр косинусного ППК rcos(t) (и, соответственно, cosGBOC-сигналов $s(t)$), каким является коэффициент заполнения прямоугольного сигнала ρ, определяется как [6, 9, 10]

(5)
$\rho \triangleq \frac{{{{\tau }_{{\text{1}}}}}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}},$
где ρ $ \in $ [0, 1].

На рис. 1 коэффициент заполнения косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ в качестве примера принят равным ρ = 0.25, а начало отсчета ${{t}_{0}}$ = 0.

Согласно (3) и (5) имеем, что для коэффициента заполнения ρ выполняются следующие соотношения (см. рис. 1):

(6)
${{\tau }_{{\text{1}}}} = \rho {{T}_{{\text{П}}}},\,\,\,\,{{\tau }_{2}} = (1 - \rho ){{T}_{{\text{П}}}}.$

Частным случаем косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ когда коэффициент заполнения ρ = 0.5, является меандровый сигнал, у которого длительности положительного и отрицательного импульсов равны, т.е.

(7)
${{\tau }_{{\text{1}}}} = {{\tau }_{2}} \triangleq {{\tau }_{{\text{М}}}},$
где ${{\tau }_{{\text{М}}}}$ – длительность меандрового импульса. При этом длительность периода ПК равна ${{T}_{{\text{П}}}} \triangleq {{T}_{{\text{М}}}}$ = = $2{{\tau }_{{\text{М}}}}$, где ${{T}_{{\text{М}}}}$ – период МПК [4].

Таким образом, если коэффициент заполнения ρ = 0.5, то косинусное ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ представляет собой косинусное МПК, а cosGBOC-сигнал $s(t)$ является традиционным cosBOC-сигналом.

Соотношение для ПСП дальномерного кода $g(t)$, описывающее ее один период, имеет известный вид [4, 9, 11]:

(8)
$g(t - {{t}_{0}}) = \sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {\nu {{{\kern 1pt} }_{k}}{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}}} [t - k{{\tau }_{{\text{С}}}} - {{t}_{0}}],$
где L – коэффициент расширения спектра, т.е. число элементов на периоде ПСП $g(t)$; ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ – длительность элемента ПСП $g(t)$; k = 0, 1, 2, … , (L – 1) – номер элемента ПСП на периоде; ${{t}_{0}}$ – начало отсчета.

Функция ${\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}}[ \cdot ]$ в (8) представляет собой импульс единичной амплитуды длительностью ${{\tau }_{{\text{С}}}}$:

(9)
${\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}}[t - k{{\tau }_{{\text{С}}}}] = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,{\text{при }}k{{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant t < (k + 1){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,{\text{при }}k{{\tau }_{{\text{С}}}} > t \geqslant (k + 1){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $k = 0,1,2, \cdots ,(L - 1).$

Кодовые коэффициенты ${{\nu }_{k}}$ = $\nu ({{t}_{k}})$, где ${{t}_{k}} = k{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С}}}}$ – дискретное время, формируют ПСП дальномерного кода $g(t)$ (8). Они принимают на каждом элементе ПСП длительностью ${{\tau }_{С}}$ значения +1 или –1 согласно определяемому кодом закону чередования элементов на периоде. Длительность периода ПСП $g(t)$ (8) равна

(10)
${{T}_{L}} = L{{\tau }_{{\text{С}}}}.$

Например, в СРНС типа ГЛОНАСС дальномерный код стандартной точности представляет собой периодическую последовательность максимальной длины (М-последовательность, или последовательность Хаффмена) с периодом $T{}_{L}$ = 1 мс и частотой следования символов ${{f}_{{\text{С}}}}$ = 511 кГц.

В СРНС типа GPS дальномерный C/A код является периодической последовательностью Голда с периодом ${{T}_{L}}$ = 1 мс и частотой следования символов ${{f}_{{\text{С}}}}$ = 1.023 МГц [14, 15].

Для сравнения различных типов модуляции cosGBOC-сигналов (по аналогии с cosBOC-сигналами) используется следующее обозначение: cosGBOC(${{f}_{{\text{П}}}}$, ${{f}_{{\text{С}}}}$, ρ) [47]. Поскольку у СРНС частоты ${{f}_{{\text{П}}}}$ и ${{f}_{{\text{С}}}}$, как правило, кратны базовой (опорной) частоте ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ (в частности, для систем GPS и Galileo ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ = 1.023 МГц), то обычно применяется несколько иная форма записи для обозначения типа модуляции cosGBOC-сигналов: cosGBOC($\alpha ,\,\beta \,,\rho $), где α = fП/fОП и β = fС/fОП.

В качестве еще одного показателя cosGBOC-сигналов $s(t)$ используется либо коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ либо эквивалентный ему параметр Qп – коэффициент кратности периодов косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ [710].

Коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ представляет собой число прямоугольных импульсов (положительных длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ и отрицательных длительностью ${{\tau }_{{\text{2}}}}$) косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$, которые укладываются на длительности ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. рис. 1):

(11)
${{N}_{{\text{П}}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С}}}}}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{f}_{{\text{П}}}}}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}} = \frac{{2\alpha }}{\beta },$
где ${{N}_{{\text{П}}}}$ – положительное четное число (${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, 4, 6, …).

Следует отметить, что в случае cosGBOC-сигналов при определении коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ первый и последний импульсы длительностью $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$ каждый, укладывающиеся на длительности ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. (3) и рис. 1), рассматриваются как половины одного импульса и при подсчете учитываются как один импульс длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$. На рис. 1 график МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ в качестве примера характеризует cosGBOC-сигналы с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4.

Коэффициент кратности периодов ${{{\text{Q}}}_{{\text{П}}}}$ представляет собой число периодов длительностью ${{T}_{{\text{П}}}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ которые укладываются на длительности ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ одного элемента ПСП $g(t)$ (см. рис. 1):

${{Q}_{{\text{П}}}} = \frac{1}{2}{{N}_{{\text{П}}}}{\text{ = }}\frac{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}} = \frac{{{{f}_{{\text{П}}}}}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}} = \frac{\alpha }{\beta },$
где ${{Q}_{{\text{П}}}}$ = 1, 2, 3, ….

В частном случае косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t),$ когда коэффициент заполнения $\rho $ = 0.5, т.е. в случае cosBOC-сигналов, коэффициент кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ представляет собой используемый при рассмотрении cosBOC-сигналов параметр ${{N}_{{\text{М}}}}$ – коэффициент кратности меандровых импульсов:

${{N}_{{\text{М}}}} = \frac{{{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С}}}}}}{{{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{М}}}}}} = \frac{{2{\kern 1pt} {{f}_{{\text{М}}}}}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}} = \frac{{2\alpha }}{\beta },$
где ${{\tau }_{{\text{М}}}}$ – длительность меандрового импульса МПК, характеризуемая (7).

2. ОДИНОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛОВ

При сравнительной оценке свойств и возможностей cosGBOC-сигналов с cosBOC-сигналами и BPSK-сигналами многое определяется КФ и энергетическими спектрами одиночных элементов МФ этих сигналов.

Согласно (2) и (8) произвольный k-й элемент МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов (по аналогии с cosBOC-сигналами) имеет вид [4, 9, 10]

(12)
${{d}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t) = {{\nu }_{k}}{{\mu }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(t),$
где ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ – одиночный элемент МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала; $\mu {\kern 1pt} {{{\kern 1pt} }_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}\,(t)$ – одиночный косинусный символ МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала; ${{\nu }_{k}}$ = $\nu {\kern 1pt} ({{t}_{k}})$ – кодовый коэффициент k-го элемента ПСП дальномерного кода $g(t)$, характеризуемой (8); ${{t}_{k}} = k{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{С}}}}$ – дискретное время ($k = 0,1,2, \cdots $).

В формуле (12) и далее для простоты принято, что начало отсчета ${{t}_{0}}$ = 0. Индекс ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ у обозначения ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ отражает тот факт, что рассматривается одиночный элемент МФ ${\kern 1pt} {{d}_{{{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ длительностью ${{\tau }_{{\text{С}}}}$. (Далее в выражениях типа “одиночный элемент“ или “одиночный символ“ слово “одиночный”, где это не вызывает сомнений, для краткости опускаем.)

В соответствии с (12) элемент МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала $s(t)$ (1) представляет собой символ $\mu {\kern 1pt} {{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$, взятый со знаком “+” или “–” в зависимости от значения кодового коэффициента ${{\nu }_{k}}$ $k$-го элемента ПСП $g(t)$.

Косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$, учитывая (2), (8) и (11), при различных значениях коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ может быть записан в следующем виде [9, 10]:

(13)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t) = \sum\limits_{m = 0}^{0.5{{N}_{{\text{П}}}} - 1} {\left\{ {{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - m{{T}_{{\text{П}}}}} \right]--} \right.} \\ - \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - m{{T}_{{\text{П}}}} - 0.5{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ \left. { + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - m{{T}_{{\text{П}}}} - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
где ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, 4, 6, ….

В формуле (13) и далее индекс ${\kern 1pt} {\kern 1pt} {{N}_{{\text{П}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $ в обозначениях типа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ указывает значение коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$.

Как видно из (13) и рис. 1, косинусный символ МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ представляет собой отрезок длительностью ${{\tau }_{С}}$ косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ при определенном значении коэффициента заполнения ρ. Длительность ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ косинусного символа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ в соответствии с (11) равна

(14)
${{\tau }_{{\text{C}}}} = 0.5{{N}_{{\text{П}}}}{{T}_{{\text{П}}}}.$

Косинусный символ МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,4}}}(t)$ на рис. 1 заштрихован.

В частном случае cosGBOC-сигналов, когда коэффициент заполнения ρ = 0.5, т.е. рассматриваются cosBOC-сигналы, формула (13) с учетом того, что ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ = ${{\tau }_{{\text{2}}}}$ = ${{\tau }_{{\text{М}}}}$ и ${{N}_{{\text{П}}}}$ = ${{N}_{{\text{М}}}}$, может быть представлена в следующем виде:

(15)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosBOC--}}{{N}_{{\text{М}}}}}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{М}}}}}}}[t] + \\ + \,\,\sum\limits_{m{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 1}^{{{N}_{{\text{M}}}} - 1} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{m}}{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{M}}}}}}}\left[ {t - \left( {m - 0.5} \right){{\tau }_{{\text{M}}}}} \right]} + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{М}}}}}}}[t - \left( {{{N}_{{\text{M}}}} - 0.5} \right){{\tau }_{{\text{M}}}}], \\ \end{gathered} $
где ${{N}_{{\text{М}}}}$ = 2, 4, 6,…

Видно, что формула (15) совпадает, например, с выражением из работы [4, (2.2) ] (при четном ${{N}_{{\text{М}}}}$).

На рис. 2 в соответствии с формулой (13) представлены графики косинусных символов МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ при ρ = 0.25 применительно к двум типам МФ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 для одной и той же длительности ${{\tau }_{{\text{С}}}}$ элемента ПСП $g(t)$.

Рис. 2.

Косинусные символы модулирующей функции cosGBOC-сигналов при ρ = 0.25, ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 (а) и ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 (б).

График на рис. 2а соответствует случаю ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и представляет косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,2}}}(t)$, который согласно (13) определяется соотношением

(16)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,2}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {{\kern 1pt} t} \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,2}}}(t)$ характеризует cosGBOC-сигналы с модуляцией, например, типа cosGBOC(1, 1, ρ) или cosGBOC(2, 2, ρ).

График на рис. 2б соответствует случаю ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 и представляет косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,4}}}(t),$ который в соответствии с (13)) характеризуется формулой

(17)
$\begin{gathered} {{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,4}}}(t) = {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {{\kern 1pt} t} \right]--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ + \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t - 0.5{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]{\kern 1pt} \,\,--{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{2}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П}}}} - 0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}} \right] + \\ {\text{ + }}{\kern 1pt} \,\,{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}}}}\left[ {t--{{T}_{{\text{П}}}} - 0.5{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{1}}}} - {{\tau }_{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Косинусный символ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,4}}}(t)$ определяет cosGBOC-сигналы с модуляцией, например, типа cosGBOC(10, 5, ρ).

Из рассмотрения формулы (13) и рис. 2б видно, что в формировании косинусных символов ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ при ${{N}_{{\text{П}}}}$ ≥ 4 используются импульсы (в зависимости от их длительности) трех видов:

– положительные импульсы длительностью $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$,

– положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$,

– отрицательные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{2}}}}$.

Отметим, что при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 структура косинусного символа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,2}}}(t)$ по сравнению с общим случаем упрощается и в ней положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ не используются.

Если у cosGBOC-сигналов коэффициент заполнения ρ варьировать в пределах от 0 до 1, то тогда при определенных значениях ρ соотношения между длительностями этих трех видов импульсов косинусных символов ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ изменяются на противоположные (см. (3) и (6)).

По этой причине, согласно (13), с учетом (3) и (6) в зависимости от значения коэффициента заполнения ρ, где ρ $ \in $ [0, 1], при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4, 6, 8,… возможен один из следующих трех вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов [9, 10]:

(18)
$1{\text{ - й вариант}}{\kern 1pt} :\,\,{{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}}\,\,\rho \in \left[ {0,\frac{1}{2}} \right];$
(19)
$2{\text{ - й вариант}}{\kern 1pt} :\,\,0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{1}}}},\,\,\,\,{\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}}\,\,\rho \in \left[ {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right];$
(20)
$3{\text{ - й вариант}}{\kern 1pt} :\,\,0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \geqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}}\,\,\rho \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right].$

Как отмечали [9, 10], для cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 в структуре косинусного символа ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}\,2}}}(t)$ положительные импульсы длительностью ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ не используются, поэтому в таком случае имеют место лишь два варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ при ρ $ \in $ [0, 1]:

(21)
$1{\text{ - й вариант}}{\kern 1pt} :\,\,0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \leqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}}\,\,\rho \in \left[ {0,\frac{2}{3}} \right];$
(22)
$2{\text{ - й вариант}}{\kern 1pt} :\,\,0.5{{\tau }_{{\text{1}}}} \geqslant {{\tau }_{{\text{2}}}},\,\,\,\,{\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}}\,\,\rho \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right].$

Каждому варианту формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов соответствует свое аналитическое выражение КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\kern 1pt} {\text{cosGBOC--}}N{{{\kern 1pt} }_{{\text{П}}}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho {\kern 1pt} )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{G}}{\kern 1pt} {\text{BOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов [10].

3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДИНОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛОВ

При вычислении КФ cosGBOC-сигналов на основе обратного преобразования Фурье энергетического спектра основные соотношения по расчету статистических характеристик (корреляционных и спектральных) по существу во многом подобны случаю sinGBOC-сигналов [13].

Спектральная плотность (спектральная функция) ${{G}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,{\kern 1pt} \rho {\kern 1pt} ){\kern 1pt} $ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала представляет собой прямое ПФ от этого элемента МФ [9, 13, 16, 17]:

(23)
$\begin{gathered} {{G}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ) \triangleq {\text{FT}}\left\{ {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cosGBOC}}}}}(t)} \right\} = \\ = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t){\text{exp}}\left\{ {{\text{--}}i\omega t} \right\}} dt,\,\,\,\,{{t}_{0}} = 0, \\ \end{gathered} $
где $\,{\text{FT}}\left\{ {\, \cdot \,} \right\}$ – символ прямого ПФ.

Энергетический спектр (спектральная плотность мощности) ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,{\kern 1pt} \rho {\kern 1pt} )\,$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала характеризуется соотношением [9, 13, 16, 17]

(24)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ) \triangleq \frac{1}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{G}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ){\kern 1pt} G_{{{\text{cosGBOC}}}}^{ * }(\omega ,\rho )} \right], \\ \end{gathered} $
где $G_{{{\text{cosGBOC}}}}^{ * }(\omega ,\rho )$ – комплексно-сопряженная спектральная плотность от ${{G}_{{{\text{GBOC}}}}}(\omega ,{\kern 1pt} \rho ).$

В соответствии с определением КФ для одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала, характеризуемого (12) и (13), можно записать [16, 17]

(25)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ) \triangleq \frac{1}{{{{\tau }_{C}}}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^{{{\tau }_{{\text{C}}}}} {{{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t){{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t--\tau )dt} , \\ \end{gathered} $
где $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ – КФ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала; ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 1/${{f}_{{\text{С}}}}$ – длительность элемента ПСП $g(t)$; $\left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С}}}}.$

Согласно общему положению статистической радиотехники, КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ и соответствующий энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - }}{\kern 1pt} {\text{cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигнала представляют собой пару ПФ (оригиналы и изображения) [16, 17].

В соответствии с этим выполняются следующие соотношения:

(26)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ) = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {{{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )} \right\} = \\ = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ){\text{exp}}\left\{ {i\omega \tau } \right\}} d\omega . \\ \end{gathered} $
(27)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ) = {\text{FT}}\left\{ {{{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )} \right\} = \\ = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ){\text{exp}}\left\{ {{\text{--}}i\omega \tau } \right\}} d\tau , \\ \end{gathered} $
где $\,{\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\, \cdot \,} \right\}$ – символ обратного ПФ.

Учитывая, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ и энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )$ представляют собой четные функции своих аргументов, формулы (26) и (27) принимают вид

(28)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ) = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {{{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )} \right\} = \\ = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\infty {{{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ){\text{cos}}\omega \tau } d\omega , \\ \end{gathered} $
(29)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ) = {\text{FT}}\left\{ {{{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )} \right\} = \\ = 2\int\limits_0^\infty {{{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho {\kern 1pt} ){\text{cos}}\omega \tau } d\tau . \\ \end{gathered} $

В статье [13] предложена методика расчета КФ ${{R}_{{{\text{sinGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - sinGBOC}}}}}(t)$ sinGBOC-сигналов на основе обратного ПФ их энергетического спектра ${{S}_{{{\text{sinGBOC}}}}}(\omega ,\rho ).$ Распространим эту методику на cosGBOC-сигналы.

Суть методики, позволяющей получить аналитические выражения КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho {\kern 1pt} $ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов как обратное ПФ энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho ),$ состоит в том, что он представляется в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками (точками излома КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$) косинусного символа МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(t)$ (13). При таком представлении энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )$ последующее вычисление оригиналов по изображениям затруднений не вызывает. Пары ПФ (оригиналы и изображения), которые необходимы для получения аналитических выражений КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho ),$ представлены в табл. 1 [4, 12, 17].

Таблица 1.  

Пары преобразований Фурье

Оригинал Изображение
$R{\kern 1pt} (\tau ) = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {S(\omega )} \right\} = \frac{1}{{2\pi {\kern 1pt} }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {S(\omega ){\text{exp}}\left\{ {i\omega \tau } \right\}} d\omega $ $S(\omega ) = {\text{FT}}\left\{ {R{\kern 1pt} (\tau )} \right\} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {R{\kern 1pt} (\tau )\,{\text{exp}}\left\{ {{\text{--}}i\omega \tau } \right\}} d\tau $
$\frac{1}{2}[\delta (\tau + T) + \delta (\tau --T)]$ $\cos \omega T$
${\text{sign(}}\tau \,{\text{)}}$ $\frac{2}{{i\omega }}$
${{\tau }^{n}}$ ${{i}^{n}}2\pi {\kern 1pt} {{\delta }^{{(n)}}}(\omega )$
$\tau $ $i2\pi {\kern 1pt} {{\delta }^{{(1)}}}(\omega )$
$\tau \,{\text{sign(}}\tau {\text{)}}$ $ - \frac{2}{{{{\omega }^{2}}}}$
$ - \frac{1}{2}\tau \,{\text{sign(}}\tau {\text{)}}$ $\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}$
$ - \frac{1}{4}(\tau + bT)\,{\text{sign(}}\tau + bT{\text{)}} - \frac{1}{4}(\tau - bT)\,{\text{sign(}}\tau - bT{\text{)}}$ $\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}\cos b\omega T$

Примечание: ${{\delta }^{{(n)}}}(\omega )$n-я производная дельта-функции Дирака $\delta (\omega )$, ${{\delta }^{{(1)}}}(\omega )$ – 1-я производная дельта-функции Дирака $\delta (\omega )$, ${\text{sign}}{\kern 1pt} z = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z > 0; \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z = 0; \hfill \\ - 1\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ – функция “сигнум”.

Далее получим аналитические выражения КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов на основе формулы (28) как обратное ПФ энергетических спектров ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\omega ,\rho )$ при коэффициенте кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 для различных значений коэффициента заполнения ρ, где ρ $ \in $[0, 1].

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ОДИНОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ cosGBOC-СИГНАЛОВ

Применительно к cosGBOC-сигналам энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(f,\rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t),$ характеризуемого (12) и (13), при произвольном значении коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ определяется следующей формулой [9]:

(30)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(f,\rho ) = \frac{1}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}\frac{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}\left( {\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)}}{{{{{\left( {\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)}}^{2}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}\left( {\frac{{2\pi f}}{{{{N}_{{\text{П}}}}{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {{\text{2sin}}{\kern 1pt} \left( {\rho \frac{{\pi f}}{{{{N}_{{\text{П}}}}{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right){\text{cos}}\left( {(2--\rho ){\kern 1pt} \frac{{\pi f}}{{{{N}_{{\text{П}}}}{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)} \right. - \\ - \,\,{\text{sin}}{{\left. {\left( {(1--\rho )\frac{{2\pi f}}{{{{N}_{{\text{П}}}}{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)} \right]}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где fC – частота следования символов ПСП g(t) (8); ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, 4, 6,… – коэффициент кратности импульсов, характеризуемый (11); ρ $ \in $ [0, 1] – коэффициент заполнения (5).

Методика вычисления аналитических выражений КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ на основе обратного ПФ (28) энергетических спектров ${{S}_{{{\text{cosGBOC}}}}}(f,\rho )$ (30) применительно к cosGBOC-сигналам в случаях ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 по существу одинакова.

4.1. Корреляционная функция $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента модулирующей функции cosGBOC-сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2

При коэффициенте кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}2}}}(t)$ cosGBOC-сигналов, согласно (30), описывается следующим выражением:

(31)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho ) = \frac{1}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}\frac{1}{{{{{\left( {\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)}}^{2}}}} \times \\ \times \,\,{{\left[ {{\text{2sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С}}}}}}{\text{cos}}(2--\rho )\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С}}}}}}--{\text{sin}}(1--\rho )\frac{{\pi f}}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right]}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где ρ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П}}}}.$

В соответствии с предложенной методикой (по аналогии с sinGBOC-сигналами [13]) представим энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(f,\rho )$(31) при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками косинусного символа МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(t)$ (16) cosGBOC-сигналов (т.е. точками излома КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$).

В таком случае формула (31) принимает следующий вид:

(32)
${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho ) = \frac{2}{{{{\omega }^{2}}{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^4 {{{h}_{i}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} ,$
где ρ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, ${{\tau }_{C}}$ = ${{T}_{{\text{П}}}}$, $\omega = 2\pi f,$ а коэффициенты ${{h}_{{{\kern 1pt} i}}}{\kern 1pt} $ и ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,4} $) представлены в табл. 2.

Таблица 2.  

Коэффициенты формулы энергетического спектра ${{S}_{{{\text{co}}{\kern 1pt} {\text{sGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$

$i$ ${{h}_{{{\kern 1pt} i}}}$ ${{g}_{i}}$
0 5 0
1 – 1 1
2 – 4 0.5$\rho $
3 – 4 1 – $\rho $
4 4 1 – 0.5$\rho $

Видно, что формула (32) совпадает с соответствующим выражением для энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$ из работы [10, ф-ла (38)].

Найдем КФ ${{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ (25) одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC--}}2}}}(t)$ (см. (12) и (16)) cosGBOC – сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 как обратное ПФ (28) энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )$ (32).

Подставив (32) в (28), получим

(33)
$\begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ) = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {{{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho )} \right\} = \\ = \,\,\frac{1}{\pi }\int\limits_0^\infty {{{S}_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\omega ,\rho ){\text{cos}}\omega \tau } d\omega = \\ = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{2}{{{{\omega }^{2}}{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^4 {{{h}_{i}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} } \right\} = \\ = \frac{2}{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^4 {{{h}_{i}}{\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right\}.} \\ \end{gathered} $

Оригиналы ${\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right\},$ где i = $\overline {0,4} $, приведены в табл. 1 и имеют вид

(34)
$\begin{gathered} {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{\tau }_{{\text{C}}}}} \right\} = --\frac{1}{4}(\tau + {{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}){\text{sign(}}\tau + {{g}_{{{\kern 1pt} i}}}{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{)}} - \\ - \frac{1}{4}(\tau - {{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}){\text{sign(}}\tau - {{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{),}} \\ \end{gathered} $

коэффициенты ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,4} $) приведены в табл. 2.

Входящая в формулу (34) функция “сигнум” z (см. табл. 1) имеет вид

(35)
${\text{sign}}{\kern 1pt} z = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z > 0; \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z = 0; \hfill \\ - 1\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,z < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Подставив (34) в (33), находим, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ равна

(36)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ) = --\frac{1}{2} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 0}^4 {{{h}_{i}}\left\{ {\frac{\tau }{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}\left[ {{\text{sign(}}\tau + {{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{)}} + {\text{sign(}}\tau --{{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{)}}} \right]} \right.} + \\ \left. {\frac{{}}{{}} + \,\,{{g}_{{{\kern 1pt} i}}}{\kern 1pt} \left[ {{\text{sign(}}\tau + {{g}_{i}}{\kern 1pt} {{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{)}}--{\text{sign(}}\tau --{{g}_{i}}{{\tau }_{{\text{C}}}}{\text{)}}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
где ρ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П}}}}$, а коэффициенты ${{h}_{{{\kern 1pt} i}}}{\kern 1pt} $ и ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,4} $) приведены в табл. 2.

Для cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 в зависимости от значения коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, 1], возможен, как отмечали (см. (21) и (22)), один из двух вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$.

Так, 1-й вариант формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 (21) соответствует условию, что $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$ $ \leqslant $ ${{\tau }_{{\text{2}}}}$, т.е. ρ $ \in $ $\left[ {0,\frac{2}{3}} \right],$ и 2-й вариант формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 (22) соответствует условию, что $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$ $ \geqslant $ ${{\tau }_{{\text{2}}}}$, т.е. $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{2}{3},1} \right]$.

Каждому варианту формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ присуща своя последовательность чередования характерных точек КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ на оси времени смещения τ (т.е. точек излома КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$) и соответственно свое аналитическое выражение КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}2}}}(t)$ cosGBOC-сигналов [10].

Согласно предложенной методике с учетом значений функции “сигнум” (35) произведем вычисления в формуле (36) отдельно для 1-го и 2‑го вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t).$

В результате находим, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}2}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 характеризуется следующими соотношениями:

(37)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant \frac{2}{3},} \\ {{{R}_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\frac{2}{3} \leqslant \rho \leqslant 1.} \end{array}} \right. \\ \end{gathered} $

Входящие в формулу (37) КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho )$ равны соответственно

(38)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - 5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 1--2\rho --\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,0.5\rho {{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ --3 + 2\rho + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 1--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}}\left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $
где $\rho \in \left[ {0,\frac{2}{3}} \right],$ ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П}}}}$;
(39)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 1 - 5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ --3 + 4\rho --\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ --3 + 2\rho + 3\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0.5\rho {{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 1--\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{\tau }_{{\text{С}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{\tau }_{{\text{С}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $
где $\rho \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right],$ ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = ${{T}_{{\text{П}}}}$.

В формулах (37)(39) и далее, характеризующих КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--1}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2--2}}}}}(\tau ,\rho ),$ последние цифры в индексах означают, что рассматривается 1-й или 2-й вариант формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов.

Формулы (37)(39), как и следовало ожидать, совпадают с соответствующими выражениями для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ из [10] (см. (30)–(32)), которые получены другим методом (на основе общего определения КФ и без использования энергетического спектра).

На рис. 3а и 3б представлены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho ),$ построенные согласно (37)–(39), для одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC--2}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 при различных значениях коэффициента заполнения ρ: а) при $\rho \in \left[ {0,\frac{2}{3}} \right],$ б) при $\rho \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right]$. На этих же рисунках изображены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosBOC--2}}}}}(\tau )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{BPSK}}}}}(\tau )$ соответствующих cosBOC-сигналов (штриховые линии) и BPSK-сигналов (штрихпунктирные линии).

Рис. 3.

Корреляционные функции $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}2}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента модулирующей функции cosGBOC-сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 при $\rho $$ \in $ $\left[ {0,\frac{2}{3}} \right]$ (а) и $\rho $$ \in $ $\left[ {\frac{2}{3},1} \right]$ (б).

Графики на рис. 3а характеризуют КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ cosGBOC-сигналов при ρ = 0.3 (сплошная линия) и 0.45 (пунктирная линия), на рис. 3б – при ρ = 2/3 (сплошная линия) и 0.9 (пунктирная линия). Все КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ на рис. 3а и 3б являются нормированными. Особенности КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ обсуждаются в [10].

4.2. Корреляционная функция $R{{{\kern 1pt} }_{{{\kern 1pt} {\text{cosGBOC--}}\,4}}}(\tau ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho {\kern 1pt} )$ одиночного элемента модулирующей функции cosGBOC-сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4

Энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho )$ (24) одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}4}}}(t),$ характеризуемого (12) и (17), cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4, в соответствии с (30), имеет вид

(40)
$\begin{gathered} {{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho ) = \frac{1}{{{{f}_{{\text{С}}}}}}\frac{{{\text{co}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С}}}}}}}}{{{{{\left( {\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right)}}^{2}}}}{\kern 1pt} \times \\ \times \,\,{{\left[ {{\text{2sin}}\rho \frac{{\pi f}}{{4{{f}_{{\text{С}}}}}}{\text{cos}}(2--\rho )\frac{{\pi f}}{{4{{f}_{{\text{С}}}}}}--{\text{sin}}(1--\rho )\frac{{\pi f}}{{2{{f}_{{\text{С}}}}}}} \right]}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где $\rho $ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П}}}}$.

Согласно предложенной методике, чтобы получить аналитическое выражение КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ (25) одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}4}}}(t)$ cosGBOC-сигналов, представим энергетический спектр ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho )$ (40) при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 (по аналогии с sinGBOC-сигналами [13]) в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками косинусного символа МФ ${{\mu }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(t)$ (17) (т.е. точками излома КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$). В таком случае находим, что формула энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(f,{\kern 1pt} \rho )$ (40) может быть записана в следующем виде:

(41)
${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho ) = \frac{1}{{{{\omega }^{2}}{{T}_{{\text{П}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^9 {{\kern 1pt} {{h}_{i}}{\kern 1pt} {\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{T}_{{\text{П}}}}} ,$
где $\rho $ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П}}}}$, $\omega = 2\pi {\kern 1pt} f$, а коэффициенты ${{h}_{i}}{\kern 1pt} $ и ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,9} $) представлены в табл. 3.

Таблица 3.

Коэффициенты формулы энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$

$i$ ${{h}_{{{\kern 1pt} i}}}$ ${{g}_{i}}$
0 9 0
1 – 4 0.5$\rho $
2 – 4 $\rho $
3 – 8 1 – $\rho $
4 8 1
5 4 1 – 0.5$\rho $
6 – 4 1 + 0.5$\rho $
7 – 4 2 – $\rho $
8 4 2 – 0.5$\rho $
9 – 1 2

Видно, что формула (41) совпадает с соответствующим выражением для энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ из [10] (см. ф-ла (54)).

Далее получим КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ (25) при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 как обратное ПФ энергетического спектра ${{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )$ (41). Подставив (41) в (28), получим

(42)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ) = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {{{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho )} \right\} = \\ = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\infty {{{S}_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\omega ,\rho ){\text{cos}}\omega \tau } d\omega = \\ = {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}{{T}_{{\text{П}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^9 {{{h}_{i}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{T}_{{\text{П}}}}} } \right\} = \\ = \frac{1}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\sum\limits_{i = 0}^9 {{\kern 1pt} {{h}_{i}}{\kern 1pt} {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{T}_{{\text{П}}}}} \right\}} . \\ \end{gathered} $

Оригиналы ${\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}{\kern 1pt} \omega {{T}_{{\text{П}}}}} \right\},$ где i = $\overline {0,9} $, входящие в (42), приведены в табл. 1 и имеют вид

(43)
$\begin{gathered} {\text{F}}{{{\text{T}}}^{{{\text{--1}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{\omega }^{2}}}}{\text{cos}}{{g}_{i}}\omega {{T}_{{\text{П}}}}} \right\} = --\frac{1}{4}(\tau + {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}){\text{sign(}}\tau + {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{)}} - \\ - \frac{1}{4}(\tau - {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}){\text{sign(}}\tau - {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{),}} \\ \end{gathered} $

коэффициенты ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,9} $) приведены в табл. 3.

Подставив (43) в (42), после вычислений находим, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ равна

(44)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = --\frac{1}{4}\sum\limits_{i = 0}^9 {{\kern 1pt} {{h}_{i}}\left\{ {\frac{\tau }{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\left[ {{\text{sign(}}\tau + {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{)}} + {\text{sign(}}\tau --{{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{)}}} \right]} \right.} + \\ \left. {\frac{{}}{{}} + \,\,{{g}_{i}}\left[ {{\text{sign(}}\tau + {{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{)}}--{\text{sign(}}\tau --{{g}_{i}}{{T}_{{\text{П}}}}{\text{)}}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $

где $\rho $ $ \in $ [0, 1], ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4, ${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = 2${{T}_{{\text{П}}}}$, а коэффициенты ${{h}_{i}}{\kern 1pt} $ и ${{g}_{{{\kern 1pt} i}}}$ (i = $\overline {0,9} $) приведены в табл. 3.

Для cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 в зависимости от значения коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, 1], возможен, как отмечали (см. (18)–(20)), один из трех вариантов формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ [10]. Так, 1-й вариант (18) соответствует условию, что ${{\tau }_{{\text{1}}}}$ $ \leqslant $ ${{\tau }_{{\text{2}}}}$, т.е. $\rho \in \left[ {0,\frac{1}{2}} \right];$ 2-й вариант (19) соответствует условию, что $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$ $ \leqslant $ ${{\tau }_{{\text{2}}}}$ $ \leqslant $ ${{\tau }_{{\text{1}}}}$, т.е. $\rho \in \left[ {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right];$ 3-й вариант (20) соответствует условию, что ${{\tau }_{{\text{2}}}}$ $ \leqslant $ $0.5{{\tau }_{{\text{1}}}}$, т.е. $\rho \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right].$

Каждому варианту формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$ присуща своя последовательность чередования характерных точек КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ на оси времени смещения $\tau $ (т.е. точек излома КФ) и, соответственно, свое аналитическое выражение КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ [10].

В соответствии с используемой методикой (аналогично случаю при ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2) произведем с учетом (35) вычисления в формуле (44) отдельно для каждого варианта формирования косинусного ППК ${{r}_{{{\text{cos}}}}}(t)$.

В результате находим, что КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--}}4}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 характеризуется следующими соотношениями:

(45)
$\begin{gathered} R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \rho \leqslant \frac{1}{2}, \hfill \\ {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\frac{1}{2} \leqslant \rho \leqslant \frac{2}{3}, \hfill \\ {{R}_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho )\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\frac{2}{3} \leqslant \rho \leqslant 1. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

Входящие в формулу (45) КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho ),$ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho )$ равны соответственно:

(46)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--1}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1--\rho --2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1--3\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 3.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 3--2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1--\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5{\kern 1pt} \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{{\kern 1pt} \left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $\rho $ $ \in $ $\left[ {0,\frac{1}{2}} \right],$ ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {{T}_{{\text{П}}}};$
(47)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--2}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1--\rho --2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + 3\rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 3.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П}}}}\, \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 3--2.5{\kern 1pt} \frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1--\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right],$ ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 ,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{T}_{{\text{П}}}}$;
(48)
$R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4--3}}}}}(\tau ,\rho ) = \left\{ \begin{gathered} 1 - 4.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,0 \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + 4\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,{\text{при}}\,\,\,(1--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}} \hfill \\ --3 + 3\rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,0.5\rho {{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --1 + 2\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,(1--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant \rho {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --1 + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\rho {{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant {{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 3--2.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,{{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --1 + 2\rho --0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,(2--\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ --3 + \rho + 1.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,(1 + 0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant (2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}}, \hfill \\ 1 - 0.5\frac{{\left| \tau \right|}}{{{{T}_{{\text{П}}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,(2--0.5\rho ){{T}_{{\text{П}}}} \leqslant \left| \tau \right| \leqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ {\text{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\left| \tau \right| \geqslant 2{{T}_{{\text{П}}}} = {{\tau }_{{\text{С}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{2}{3},1} \right]$ ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4,${{\tau }_{{\text{C}}}}$ = $2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{T}_{{\text{П}}}}$.

Как и следовало ожидать, формулы (45)(48), совпадают с соответствующими выражениями для КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ из [10], которые получены другим методом (на основе общего определения КФ и без использования энергетического спектра).

На рис. 4а–4в согласно (45)–(48) представлены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ для одиночного элемента МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cos}}{\kern 1pt} {\text{GBOC--4}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов NП = 4 при различных значениях коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, $1{\kern 1pt} $] (при $\rho $ $ \in $ $\left[ {0,\frac{1}{2}} \right]$рис. 4а, при $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right]$рис. 4б и при $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{2}{3},1} \right]$рис. 4в). На этих же рисунках изображены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\kern 1pt} {\text{BPSK}}}}}(\tau {\kern 1pt} {\kern 1pt} )$ BPSK-сигналов (штрихпунктирные).

Рис. 4.

Корреляционные функции $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}4}}}(\tau ,\rho )$ одиночного элемента модулирующей функции cosGBOC-сигнала с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 4 при $\rho $ $ \in $ $\left[ {0,\frac{1}{2}} \right]$ (а), $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{1}{2},\frac{2}{3}} \right]$ (б) и $\rho $ $ \in $ $\left[ {\frac{2}{3},1} \right]$ (в).

На рис. 4а–4в представлены графики КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов при различных ρ:

а) ρ = 0.45 (сплошная кривая), ρ = 0.3 (штриховая) и ρ = 0.5 (пунктирная) (случай соответствующих cosBOC-сигналов);

б) ρ = 2/3 (сплошная) и ρ = 0.55 (штриховая);

в) ρ = 0.9 (сплошная), ρ = 0.75 (штриховая) и при ρ = 2/3 (пунктирная).

Все КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ на рис. 4а–4в являются нормированными.

Особенности КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho )$ cosGBOC-сигналов рассматриваются в [10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Шумоподобные cosGBOC-сигналы, являющиеся обобщением cosBOC-сигналов, предназначены для применения в перспективных глобальных СРНС) таких, как GPS (США), Galileo (ЕС), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай).

Основной научный результат работы состоит в том, что предложенная в [13] методика вычисления КФ одиночных элементов МФ sinGBOC-сигналов на основе обратного ПФ энергетических спектров распространена на cosGBOC-сигналы, и этим способом получены аналитические выражения КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ ${{d}_{{{{\tau }_{{\text{С}}}}{\text{ - cosGBOC}}}}}(t)$ cosGBOC-сигналов с коэффициентом кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2 и 4 для различных значений коэффициента заполнения ρ, где $\rho $ $ \in $ [0, 1].

В основе методики лежит представление энергетического спектра GBOC-сигналов в виде взвешенной алгебраической суммы косинусов углов, определяемых характерными точками синусного символа МФ ${{\mu }_{{{\kern 1pt} {\text{GBOC}}}}}(t)$ (т.е. точками излома КФ).

Полученные аналитические выражения КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--2}}}}}(\tau ,\rho )$ и $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--4}}}}}(\tau ,\rho ),$ как и следовало ожидать, совпадают с соответствующими формулами из [10], найденными другим методом (на основе общего определения КФ и без использования энергетических спектров).

Вычисление КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(\tau ,\rho )$ путем обратного ПФ энергетических спектров ${{S}_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(\omega ,\rho )$ в ряде случаев оказывается более предпочтительным при сравнении со способом получения КФ на основе их общего определения.

По изложенной методике аналогичным образом можно получить аналитические выражения КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(\tau ,\rho )$ одиночных элементов МФ cosGBOC-сигналов при любом другом значении коэффициента кратности импульсов ${{N}_{{\text{П}}}}$, где ${{N}_{{\text{П}}}}$ = 2, 4, 6, ….

Располагая аналитическими выражениями КФ $R{{{\kern 1pt} }_{{{\text{cosGBOC--}}{{N}_{{\text{П}}}}}}}(\tau ,{\kern 1pt} \rho )$ одиночных элементов МФ cosGBOC-сигналов, удается осознанно преодолевать трудности при разработке навигационной аппаратуры потребителей (в частности, дискриминаторов) с целью обеспечения, по возможности, однозначного слежения за основным пиком КФ и минимизации вероятности захвата ее боковых (ложных) пиков. Для СРНС грядущего поколения на этой же основе можно в принципе количественно рассчитать потенциальные характеристики точности слежения за ПСП дальномерного кода и оценить разрешающую способность сигналов в условиях многолучевости и при действии помех различного рода.

Список литературы

  1. Betz J.W. // Proc. National Technical Meeting of the Institute of Navigation (ION – NTM’99), January 1999. P. 639.

  2. Betz J.W. // Navigation, J. ION. 2001. V. 48. № 4. P. 227.

  3. Hein G.W., Godet J., Issler J.-L. et al. // Proc. Institute of Navigation Global Positioning System Meeting (ION GPS 2002). Portland. USA. 24–27 Sep. 2002. Fairfax: ION, 2002. P. 266.

  4. Ярлыков М.С. Меандровые шумоподобные сигналы (ВОС-сигналы) и их разновидности в спутниковых радионавигационных системах. М.: Радиотехника, 2017.

  5. Liu W., Hu Y., Zhan X.Q. // Electronics Lett. 2012. V. 48. № 5. P. 284.

  6. Liu W., Hu Y. // J. Communications Technology and Electronics. 2014. V. 59. № 11. P. 1206.

  7. Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2017. T. 62. № 10. C. 964.

  8. Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // РЭ. 2018. Т. 63. № 2. С. 157.

  9. Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2018. T. 63. № 8. C. 808.

  10. Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // РЭ. 2019. Т. 64. № 7. С. 694.

  11. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985.

  12. Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2016. T. 61. № 8. C. 725.

  13. Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2019. T. 64. № 8. C. 775 .

  14. Global Positioning Systems Directorate. Systems Engineering and Integration. Interface Specification IS – GPS – 200. – Navstar GPS Space Segment/Navigation User Interfaces, IS – GPS –200G, 05 September 2012.

  15. Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1993.

  16. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд. М.: Сов. радио, 1982.

  17. Стеценко О.А. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2007.

Дополнительные материалы отсутствуют.