Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 11, стр. 1043-1051

ВВЕДЕНИЕ

Фотонные (PBG – photonic bandgap) и электромагнитные (EBG – electromagnetic bandgap) кристаллы [1–4] в настоящее время активно используются при создании различных оптических и СВЧ-устройств с широким спектром функциональных возможностей: волноводов, волноводных сочленений, делителей мощности, антенн, фильтров и т.д.

При формировании кристаллических решеток применяются различные элементы: отверстия в диэлектрических подложках [6–9], диэлектрические стержни [10], металлические цилиндры [11, 12] и т.д. Кроме того, используются различные типы сеток: квадратные [5, 9–12], треугольные [6–10], а также сочетание различных сеток в одном устройстве [8].

В СВЧ-диапазоне можно выделить электромагнитные кристаллы (ЭМК) в виде двумерно-периодических решеток металлических цилиндров в планарных волноводах (ПВ) [4, 11, 12]. Формирование в ЭМК волноведущих каналов – EBG-волноводов осуществляется внесением дефектов в кристаллическую решетку путем удаления одного или нескольких рядов элементов вдоль выделенного направления в кристалле.

Исследованию частотной дисперсии волноводов в ЭМК из металлических цилиндров посвящены работы [11, 12]. В этих работах рассмотрены волноводы, образованные удалением одного, двух и трех рядов цилиндров, ориентированных вдоль главных осей [11] и вдоль диагоналей [12] ЭМК с квадратной сеткой.

В продолжение исследований [11, 12] в данной работе рассмотрены ЭМК из металлических цилиндров с треугольной сеткой и исследуются EBG-волноводы, ориентированные вдоль двух ортогональных осей решетки ЭМК. Для анализа частотных свойств волноводов применяется подход, описанный в [4, 11, 12] и основанный на параметрическом анализе критических частот волноводных мод и собственных волн однородного ЭМК. При вычислении дисперсионных характеристик кристалла и волноводов использовался режим eigenmode ANSYS HFSS (https://www.ansys.com/products/electronics/ansys-hfss).

Цель работы – на основе анализа частотной дисперсии определить факторы, влияющие на предельные рабочие частоты исследуемых волноводов (однорядных, двухрядных, трехрядных) в зависимости от ориентации в ЭМК с треугольной сеткой, найти оптимальные параметры решетки, обеспечивающие максимальные полосы одномодового режима работы волноводов, и сравнить полученные данные с результатами исследования волноводов в ЭМК с квадратной сеткой [11, 12].

1. СТРУКТУРА ЭМК И EBG-ВОЛНОВОДОВ

Рассмотрим изображенный на рис. 1а ЭМК в виде двумерно-периодической решетки металлических цилиндров с треугольной сеткой. Решетка цилиндров расположена между двумя идеально проводящими экранами. Цилиндры размещаются в узлах сетки, образующих равносторонние треугольники. Период решетки (расстояние между узлами сетки) P, диаметр цилиндров D, расстояние между экранами и высота цилиндров h. Модель элементарной ячейки ЭМК изображена на рис. 1б. Ячейка состоит из четырех половинок цилиндров, размеры ячейки вдоль осей решетки ЭМК – P и $P\sqrt 3 .$

Рис. 1.

Общий вид ЭМК с треугольной сеткой (а), элементарная ячейка ЭМК (б) и однорядные EBG-волноводы, ориентированные вдоль двух ортогональных осей кристалла (в, г) с периодом ${{P}_{w}} = P$ (волноводный канал 1) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (волноводный канал 2).

Выделим в ЭМК два ортогональных направления – вдоль 0х и 0y. Создадим линейные дефекты в кристалле путем удаления вдоль выделенных направлений одного, двух или трех рядов цилиндров. В результате получим однорядный (М = 1), двухрядный (M = 2) и трехрядный (M = 3) волноводы. Примеры однорядных волноводов с различной ориентацией в ЭМК (1, 2) приведены на рис. 1в–1г. Периоды волноводов ${{P}_{w}}$ равны соответствующим размерам элементарной ячейки ЭМК в зависимости от направления волновода: 1 – ${{P}_{w}} = P$ (волноводный канал 1) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (волноводный канал 2).

Одним из методов исследования частотных свойств периодических структур является численное электродинамическое моделирование c использованием системы ANSYS HFSS . В соответствии с алгоритмом поиска собственных значений и собственных функций (в режиме HFSS eigenmode) в исследуемой структуре выделяется элементарная ячейка с периодом $\bar {P}$ и на противоположных гранях ячейки используются периодические граничные условия . Задавая при моделировании различные сдвиги фаз $\Delta \varphi $ между гранями на длине периода и определяя соответствующие им частоты $\bar {f},$ можно получить дисперсионные характеристики собственных волн структуры в виде зависимости постоянных распространения ${\beta } = {{ - {\Delta }\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {\Delta }\varphi } {\bar {P}}}} \right. \kern-0em} {\bar {P}}}$ от частоты $\bar {f}.$

С целью получения дисперсионных характеристик в каждом из шести типов исследуемых волноводов, различающихся ориентацией в ЭМК и числом рядов удаленных цилиндров, были выделены элементарные ячейки, соответствующие одному периоду в направлении распространения волны. Модели ячеек волноводов в локальных системах координат с периодами ${{P}_{w}} = P$ и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ изображены на рис. 2 и 3 соответственно для М = 1 (а), 2 (б) и 3 (в). Ячейки ограничены по ширине конечным числом цилиндров и идеально-проводящими стенками, направление распространения волны во всех ячейках – вдоль 0x. Для получения дисперсионных характеристик однородного кристалла использовалась ячейка ЭМК, изображенная на рис. 1б, при моделировании распространения волны вдоль двух ортогональных направлений в кристалле последовательно задавались сдвиги фаз на гранях ячейки, соответствующих периодам $P$ и $P\sqrt 3 .$

Рис. 2.

Единичные ячейки однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) EBG-волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P.$

Рис. 3.

Единичные ячейки однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) EBG-волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 .$

2. ДИСПЕРСИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН EBG-ВОЛНОВОДОВ

На начальном этапе моделирования, ориентируясь на частотный диапазон 7…13 ГГц, мы выбрали такие значения параметров ЭМК, при которых поперечные размеры исследуемых волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ наиболее близки к размерам сечения стандартного волновода 23 × 10: высота цилиндров h = 10, период решетки для однорядных волноводов – P = 13.8, для двухрядных – P = 9.2, для трехрядных – P = 6.9. При этом диаметры цилиндров – D = 6.9 (M = 1), D = 3.68 (M = 2), D = 2.3 (M = 3) были выбраны произвольно. Здесь и далее все размеры даны в миллиметрах. Выбор значений периода в данных примерах не имеет принципиального значения, так как в дальнейшем все характеристики волноводов будут приведены в универсальном виде с использованием безразмерных параметров и нормировкой на период ЭМК.

С использованием ячеек волноводов, изображенных на рис. 2 и 3, с приведенными выше параметрами при моделировании в режиме HFSS eigenmode для получения дисперсионных характеристик основной (четной) и высшей (нечетной) волноводных мод на интервале изменения сдвига фаз ∆φ$( - \pi ,\pi )$ был задан поиск не менее четырех наименьших резонансных частот. Определение типа волны, соответствующего каждой резонансной частоте, осуществлялось на основе анализа структуры поля в ячейке волновода и направления вектора Пойнтинга. Фазовые постоянные волноводных мод определялись из соотношения ${\beta } = {{ - {\Delta }\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {\Delta }\varphi } {\bar {P}}}} \right. \kern-0em} {\bar {P}}},$ где $\bar {P}$ – обобщенный период соответствующей волноведущей структуры. Для однорядных и трехрядных волноводов этот период совпадает с периодом вдоль оси волновода $\bar {P}$ = ${{P}_{w}}$ (${{P}_{w}} = P$ или ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ в зависимости от ориентации). В исследуемых двухрядных волноводах в ЭМК с треугольной сеткой, как и в диагонально-ориентированных волноводах в ЭМК с квадратной сеткой [12], обобщенный период $\bar {P}$ связан с периодом ${{P}_{w}}$ соотношением $\bar {P} = U{{P}_{w}},$ где U – коэффициент замедления волны. Возникновение дополнительного замедления обусловлено отсутствием зеркальной симметрии боковых стенок волноводных каналов, образованных удалением четного числа рядов цилиндров вдоль направления распространения волны. При моделировании в режиме eigenmode коэффициент замедления определяется соотношением U = ${{{\Delta }{{\varphi }_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Delta }{{\varphi }_{{\max }}}} \pi }} \right. \kern-0em} \pi },$ где ${\Delta }{{\varphi }_{{\max }}}$ – разность фаз на границах первой полосы прозрачности основной волноводной моды. Для однорядных и трехрядных волноводов, независимо от типа сетки ЭМК, ${\Delta }{{\varphi }_{{\max }}} = \pi ,$ для двухрядных волноводов в ЭМК с треугольной сеткой (как и для диагонально-ориентированных волноводов в ЭМК с квадратной сеткой) – ${\Delta }{{\varphi }_{{\max }}} > \pi .$

В результате моделирования были получены дисперсионные характеристики собственных волн исследуемых волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $, представленные соответственно на рис. 4 и 5 (а – M = 1, б – 2, в – 3) в виде нормированных зависимостей модуля фазовых постоянных ${{\left| \beta \right|\bar {P}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|\bar {P}} \pi }} \right. \kern-0em} \pi }$ от безразмерного параметра ${{kP} \mathord{\left/ {\vphantom {{kP} \pi }} \right. \kern-0em} \pi },$ пропорционального частоте (k – волновое число свободного пространства). На всех рисунках кривые 1 (1', 1'') – дисперсионные характеристики основной волноводной моды, 2 (2 ', 2 '') – высшей (нечетной) моды. Из рисунков видно, что для дисперсионных характеристик основной волноводной моды характерно наличие запрещенных зон (расположенных в интервалах между ветвями 1 ', 1 ''), на границах которых значение модуля нормированной фазовой постоянной ${{\left| \beta \right|\bar {P}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|\bar {P}} \pi }} \right. \kern-0em} \pi } = 1,$ а групповая скорость волны равна нулю. Коэффициенты U, используемые при нормировке дисперсионных характеристик двухрядных волноводов с различной ориентацией в ЭМК с параметрами P = 9.2, D = 3.68 равны соответственно величинам 1.12 и 2. На рис. 4 и 5 также приведены дисперсионные характеристики однородного кристалла (пунктирные кривые). Как следует из рисунков, для всех рассмотренных случаев полосы прозрачности основной волноводной моды лежат в полосе запирания однородного ЭМК, образующего стенки волноводов. Со стороны низких частот эти полосы ограничены нижней критической частотой основной моды волноводов. Верхняя граница полосы прозрачности определяется либо нижней границей запрещенной зоны основной моды (см. рис. 4а, 5а–5в), либо критической частотой высшей (нечетной) моды волновода (см. рис. 4б, 4в).

Рис. 4.

Дисперсионные характеристики однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P{\text{:}}$ 1 – основной моды, 2 – высшей моды (ветви 1', 1'', 2 ', 2 '' разделены запрещенными зонами), пунктир – собственной волны однородного кристалла.

Рис. 5.

Дисперсионные характеристики однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 {\text{:}}$ 1 – основной моды (ветви 1', 1'' разделены запрещенной зоной), 2 – высшей моды, пунктир – собственной волны однородного кристалла.

Представление дисперсионных характеристик в нормированных координатах (см. рис. 4, 5) позволяет применить полученные результаты к анализу дисперсионных характеристик волноводов в ЭМК с произвольным значением периода P (при фиксированном отношении диаметра цилиндров к периоду решетки D/P). Следует добавить, что коэффициенты замедления U в двухрядных волноводах зависят от отношения D/P. Эти зависимости, рассчитанные для D/P 0.1…0.8, приведены на рис. 6 для волноводов с периодами ${{P}_{w}} = P$ (кривая 1) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (кривая 2).

Рис. 6.

Зависимость коэффициента замедления волны в двухрядных волноводах от относительного диаметра цилиндров.

Для анализа частотных свойств исследуемых волноводов в зависимости от относительного диаметра цилиндров D/P были выполнены расчеты критических частот основной и высшей волноводной моды, а также собственных волн однородного кристалла при изменении D/P в интервале значений $0.1 \leqslant D{\text{/}}P \leqslant 0.8.$ Результаты вычислений для однорядных, двухрядных и трехрядных волноводов с периодами ${{P}_{w}} = P$ и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ представлены на рис. 7 и 8 соответственно. Кривые 1, 2 на данных рисунках относятся к нижним критическим частотам основной и высшей волноводным модам f₁, f₂, кривая 3 соответствует нижней границе запрещенной зоны основной моды f_1bg, пунктирная кривая – нижней границе полосы прозрачности однородного кристалла f_l, образующего стенки волноводов.

Рис. 7.

Зависимости нормированных критических частот собственных волн однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ (кривая 1 – f₁, 2 – f₂, 3 – f_1bg) и однородного кристалла (пунктир) от относительного диаметра цилиндров.

Рис. 8.

Зависимости нормированных критических частот собственных волн однорядного (а), двухрядного (б) и трехрядного (в) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (кривая 1 – f₁, 2 – f₂, 3 – f_1bg) и однородного кристалла (пунктир) от относительного диаметра цилиндров.

На основе анализа зависимостей на рис. 7 и 8 можно установить факторы, определяющие верхнюю границу полосы рабочих частот исследуемых волноводов. Лишь в двух из рассмотренных случаев – в двухрядном и трехрядном волноводах с периодом ${{P}_{w}} = P$ (см. рис. 7б, 7в) для всех значений относительного диаметра цилиндров D/P верхней границей полосы рабочих частот является критическая частота высшей (нечетной) волноводной моды. Во всех остальных случаях внутри полосы прозрачности основной моды полосу волновода ограничивает либо запрещенная зона, в пределах которой волна перестает распространяться (при D/P > 0.35, D/P > 0.15 – соответственно для однорядных волноводов с периодами ${{P}_{w}} = P,$ ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 ,$ при D/P > 0.25, D/P > 0.1 для двухрядного и трехрядного волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $), либо критическая частота собственной волны однородного ЭМК, выше которой стенки волновода становятся прозрачными (см. рис. 7а при D/P < < 0.35, рис. 8а при D/P < 0.15, рис. 8б при D/P < 0.25).

3. ЧАСТОТНЫЕ ДИАПАЗОНЫ ВОЛНОВОДОВ

Определим максимальную F_max и минимальную F_min частоты рабочего диапазона волноводов: F_min соответствует нижней критической частоте основного типа волны f₁, а F_max равна минимальной из частот f₂, f_1bg и f_l. Диапазонные свойства волноводов, как и ранее в [11, 12], будем характеризовать относительной полосой рабочих частот F_max/F_min, а также центральной частотой диапазона f₀ = (F_max+ F_min)/2 в виде безразмерного параметра k₀P (где k₀ – соответствующее волновое число).

Зависимости нормированной центральной частоты k₀P и относительной полосы частот F_max/F_min от относительного диаметра цилиндров получены на основе данных о критических частотах на рис. 7 и 8 и соответственно изображены на рис. 9, 10 для волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ (а) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (б).

Рис. 9.

Зависимости нормированных центральных частот рабочих диапазонов однорядного (1), двухрядного (2) и трехрядного (3) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ (а) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (б) от относительного диаметра цилиндров.

Рис. 10.

Зависимости относительной полосы частот однорядного (1), двухрядного (2) и трехрядного (3) волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ (а) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (б) от относительного диаметра цилиндров.

Как видно из рис. 10а, относительные полосы двухрядных и трехрядных волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P$ (кривые 2, 3) растут с увеличением относительного диаметра цилиндров на всем интервале 0.1 < D/P < 0.8, и их значения превышают величину 1.9. Относительная полоса однорядного волновода (кривая 1) достигает максимального значения, равного величине 1.82, при D/P = 0.35, в то время как для однорядного волновода с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (кривая 1 на рис. 10б) величина максимума относительной полосы составляет лишь 1.2 (D/P = 0.15). В двухрядном волноводе с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (кривая 2 на рис. 10б) максимум относительной полосы, равный 1.7, наблюдается при D/P = 0.3. Следует отметить, что для всех типов волноводов с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 ,$ а также для однорядного волновода с периодом ${{P}_{w}} = P$ характерно падение величин F_max/F_min с ростом D/P после достижения максимальных значений. В этих случаях полосу частот волновода ограничивает сверху запрещенная зона, а величина F_max/F_min уменьшается с ростом D/P вслед за уменьшением отношения f_1bg./f₁ – относительной полосы прозрачности основной волноводной моды. В тех случаях, когда полоса частот волновода ограничивается сверху критической частотой высшей моды, величина F_max/F_min, равная отношению критических частот f₂/f₁, с увеличением D/P растет и стремится к значению 2.0, характерному для волновода со сплошными стенками.

Представляет интерес сравнение характеристик волноводов в ЭМК из металлических цилиндров с квадратной и треугольной сетками. На рис. 11 приведены зависимости от величины D/P относительных полос рабочих диапазонов однорядных волноводов с двумя типами сетки: с квадратной (кривые 1, 2 соответствуют осевым [11] и диагонально-ориентированным [12] волноводам) и треугольной (кривые 3, 4 соответствуют волноводам с различной ориентации в ЭМК). Из рисунка видно, что среди однорядных волноводов лучшими характеристиками обладают волноводы с наименьшим периодом вдоль направления распространения ${{P}_{w}} = P$ (кривая 1 соответствует волноводу, ориентированному вдоль главной оси ЭМК с квадратной сеткой, кривая 2 – вдоль одной из осей ЭМК с треугольной сеткой). Далее относительные полосы волноводов уменьшаются с увеличением периода ${{P}_{w}}$: кривая 2 характеризует полосу диагонально-ориентированного волновода с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 2 $ в ЭМК с квадратной сеткой, кривая 3 – волновода с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ в ЭМК с треугольной сеткой. Таким образом, среди исследованных однорядных волноводов наименьшая полоса частот принадлежит волноводу, образованному в ЭМК с треугольной сеткой, с периодом ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 .$

Рис. 11.

Относительные полосы частот однорядных волноводов в ЭМК с квадратной сеткой с осевой (1) и диагональной (2) ориентацией и треугольной сеткой с периодами ${{P}_{w}} = P$ (3) и ${{P}_{w}} = P\sqrt 3 $ (4).

Результаты данного исследования в совокупности с данными [11, 12] могут быть использованы при проектировании различных функциональных элементов и устройств СВЧ: изгибов волноводов, волноводных сочленений, делителей мощности и т.д., как на основе однородных ЭМК, так и с использованием сочетания различных видов сеток.